MODELIZACIÓN DEL TIPO DE INTERÉS A CORTO PLAZO CON MODELOS TAR: UNA APLICACIÓN AL CASO ESPAÑOL

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1 MODELIZACIÓN DEL TIPO DE INTERÉS A CORTO PLAZO CON MODELOS TAR: UNA APLICACIÓN AL CASO ESPAÑOL Anoni Vidiella Anguera 1 y Anonio Alegre Escolano 2 1Becario de invesigación del Deparamen de Maemàica Econòmica, Financera i Acuarial de la Universia de Barcelona. 2Caedráico de Universidad del Deparamen de Maemàica Econòmica, Financera i Acuarial de la Universia de Barcelona RESUMEN En ese rabajo se invesiga el comporamieno dinámico no-lineal del ipo de inerés a coro plazo en el mercado inerbancario español. La modelización de los ipo de inerés a coro plazo es fundamenal por su condición de variable clave que influye en la dinámica de oda la esrucura de ipos de inerés. Sin embargo la mayoría de los modelos univarianes, por ejemplo Vasicek (1977), no son capaces de capurar los parones de volailidad reales ni la esrucura de dependencia enre los ipos de inerés a diferenes plazos. La solución que se ha omado hisóricamene para soslayar esos problemas ha radicado en la inclusión de más facores o variables explicaivos. Los modelos TAR inroducidos por Tong (1990) se han uilizado exiosamene para capurar el comporamieno heerocedásico de los ipos de inerés sin incluir facores exra. En ese rabajo se comparan modelos con diferene número de regímenes como se sugiere en Pfann, Schoman y Tschernig (1996) y Pai y Perdersen (1999). Para el proceso de esimación se ha combinado la meodología propuesa por Knoers y De Gooijer (1999) para los parámeros relacionados con el modelo no-lineal y el méodo de los GMM descrio en Hamilon (1994). PALABRAS CLAVE: modelos de series emporales no lineales, ipo de inerés a coro plazo.

2 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación INTRODUCCIÓN El ipo de inerés a coro plazo es considerado en odos los modelos radicionales el principal facor observable que influye en la dinámica de la esrucura emporal de ipos de inerés (ETTI). Por ello el ipo de inerés a coro plazo es una pieza clave en la mayoría de modelos de valoración de insrumenos sensibles a esa variable. Además la modelización economérica de los ipos de inerés es de úil aplicación para la gesión de riesgo, por ejemplo en modelos asse-liabiliy managemen (ALM) de aplicación reciene en el mundo acuarial, permie generar escenarios fuuros. Los modelos clásicos de ipo de inerés se han esudiado básicamene bajo hipóesis lineales, esas consisen en que el ipo de inerés a coro plazo sigue un modelo de series emporales llamado auoregresivo y/o media móvil (ARMA). Una complea explicación de esos modelos se encuenra en Hamilon (1994). Esos modelos derivan de las formulaciones en iempo coninuo propuesas por Cox, Ingersoll y Ross (1985, CIR de aquí en adelane) y Vasicek (1977). Una exensa revisión de la implanación economérica de esos modelos puede enconrarse en Chan, Karolyi, Longsaff and Sanders (1992, CKLS de aquí en adelane). Todos esos modelos perenecen a los llamados modelos unifacoriales. Además exisen varios modelos que incluyen más de un facor para predecir los movimienos de la ETTI. Se pueden enconrar modelos de dos facores en Longsaff y Schwarz (1992) y en Fong y Vasicek (1992). Esos modelos incluyen aquellos facores de riesgo que demuesran ener poder explicaivo uilizando écnicas de esadísica mulivariane. Los facores explicaivos que normalmene se uilizan son las variaciones en la pendiene o en la curvaura de la ETTI y volailidades. El modelo más general y complejo esá formado por res facores explicaivos independienes, ejemplos se pueden enconrar en Chen (1996). En ese rabajo nos cenraremos sólo en modelos de un facor. En general se escriben como, dr ( r ) d + σ( r ) dw, = µ (1) 144

3 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano donde r es la asa insanánea del ipo de inerés y dw un movimieno browniano esándar 1. El modelo de Vasicek (l977) reemplaza el érmino pendiene µ(r ) por (α+βr ) y el érmino asociado a la varianza se deja independiene de r. Enonces el modelo se escribe como, dr ( α + βr ) d + σdw. = (2) En el modelo CIR los dos parámeros, pendiene y varianza, dependen linealmene del nivel r, dando como resulado la siguiene especificación, dr ( α + βr ) d + σ r dw. = (3) Una versión exendida de ese modelo es el propueso por CKLS que incluye un parámero adicional en la esrucura de la varianza. Esa especificación puede escribirse como dr γ ( α + βr ) d + σr dw. = (4) Esa es la versión más amplia para modelos unidimensionales de ipo de inerés a coro plazo. Es fácil comprobar que se raa solo de una generalización de las dos especificaciones aneriores con γ=0 para el modelo de Vasicek y γ=0.5 para el modelo CIR. Esa úlima ecuación puede ser escria ambién como, dr α γ γ = -β - r d + σr dw = κ( µ - r ) d + σr dw, (5) - β donde κ es la velocidad de reversión a la media y µ la media incondicional del ipo de inerés nominal. 1 También llamado proceso de Wiener, posee dos propiedades clave. La primera es que dw se disribuye como una normal de media cero y desviación d y la segunda hace referencia a la independencia enre dos incremenos no solapados del proceso. 145

4 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación... Si cualquier de los res modelos especificados (2), (3) o (4) iene pendiene posiiva, el proceso esocásico implício definido por las ecuaciones crecerá con el iempo hasa el infinio. Eso es obviamene una especificación no realisa. Una manera de solvenar ese problema es la inroducción de una función decreciene de volailidad con respeco al iempo. Sin embargo, ese planeamieno no es una solución conveniene ya que implica un descenso de la volailidad a medida que se incremena el vencimieno. La solución más uilizada en la lieraura financiera es la modelización del proceso bajo la hipóesis de reversión a la media. Esa consise en la exisencia bajo condiciones normales de ipos de inerés de un valor medio alrededor del cual los ipos de inerés revieren, es decir, cuando el grado de divergencia enre el ipo de inerés y el valor medio es alo, la asa de inerés converge hacia ese valor medio. Más dealles se pueden enconrar en Rebonao (1998). La principal venaja del modelo de Vasicek es su simplicidad en el proceso de esimación ya que se define compleamene como un proceso lineal. Sin embargo, iene el inconveniene que puede producir escenarios con ipos de inerés negaivos con basane frecuencia. En el mundo real la verosimiliud de asas nominales negaivas de ipo de inerés a coro plazo es exremadamene baja. Oro supueso poco realisa bajo el modelo de Vasicek es la homocedasicidad del proceso. Esá ampliamene asumido que la volailidad de los ipos de inerés esá posiivamene relacionada con el nivel de ésos, es decir, durane eapas de ipo de inerés alo (bajo) se espera una volailidad ala (baja). Ese parón esá parcialmene recogido en el modelo CIR ya que la volailidad es proporcional a la raíz cuadrada del valor que oma el ipo de inerés. En el modelo CKLS el efeco del nivel sobre la variación de la asa de inerés se incremena a medida que el parámero γ se hace mayor. 2. ANÁLISIS DE LOS DATOS En ese rabajo se ha uilizado la serie de ipo de inerés inerbancario a un mes, con frecuencia semanal procedene del Banco de España. Esa serie esá represenada en el Gráfico 1 desde 1998 hasa el 146

5 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano febrero de A primera visa se pueden señalar dos caracerísicas de esa serie. La primera es la dependencia de la volailidad con respeco al nivel del ipo de inerés. Esa relación es especialmene relevane en siuaciones de crisis monearias como las sucedidas en la primera miad de Por ano, los modelos ipo CKLS que recogen esa dependencia son de especial uilidad. La segunda caracerísica es la exisencia de diferenes regímenes de ipo de inerés /05/88 12/05/89 11/05/91 10/05/93 9/05/95 8/05/97 7/06/99 Gráfico 1: Tipo inerbancario a un mes Dependiendo del nivel del ipo a coro plazo el proceso iene propiedades disinas. Ese hecho se observa claramene en la Gráfica 1. Para analizar más dealladamene los daos se calculan una serie de esadísicos que se recogen en la Tabla 1. Se comprueba que los primeros momenos del ipo de inerés a coro plazo sugieren la exisencia de una raíz uniaria con una esrucura de probabilidad maringala 2. Nóese que las primeras diferencias sólo esán ligeramene auocorrelacionadas. Para confirmar esos resulados se han realizado los ess de raíces uniarias de Phillips-Perron y el aumenado Dickey-Fuller. Los resulados se encuenran en la Tabla 2. Para la serie de daos sin diferenciar los ess se han realizado incluyendo consane y pendiene. En ambos ess no se rechaza la 2 Básicamene eso significa que, E [ r ] = r 1 147

6 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación... hipóesis nula de raíz uniaria. En cambio para la serie diferenciada no se ha incluido ni pendiene ni consane ya que su gráfica no lo sugería. Los resulados de los ess nos indican claramene que la serie diferenciada ya cumple con el principio de esacionariedad y por ano no es necesario seguir diferenciando los daos. Serie x σˆ Asim. Cur. ˆρ 1 Rango r r R : r < r : r < R : r r : r Tabla 1: Resumen de esadísicos También se comprueba que los primeros momenos de la disribución son significaivamene diferenes dependiendo si el valor que oma el ipo de inerés en el periodo anerior es inferior o superior a , confirmado ora vez que la heeroscedasicidad observada en los daos esa relacionada con el nivel. Además el parámero curosis es exremadamene alo. Eso se puede producir parcialmene por la heerocedasicidad del proceso, pero muy probablemene por la presencia de ouliers en los daos. Esos parones observados en la serie bajo esudio nos llevan a considerar oro ipo de modelización para el ipo de inerés como la propuesa por Pfann, Schoman y Tschernig (1996, PST de aquí en adelane) y Pai y Pedersen (1999, PP de aquí en adelane). Esos auores consideran que los modelos de series emporales lineales no son capaces de reproducir el comporamieno hisórico de los ipos de inerés a coro plazo. Por lo ano, proponen la modelización de ese facor a parir de un modelo de series emporales no-lineales llamado hreshold auoregressive models (TAR). Como se deallará mas adelane ese modelo permie simplificar la esrucura no lineal de un proceso en simples regímenes lineales dependiendo del valor que oma en el pasado una variable de esado respeco a un parámero umbral. 148

7 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano Serie ADF PP () 1 r r ( ) (1) Valor críico de MacKinnon al 5% = (2) Valor críico de MacKinnon al 5% = Tabla 2: Resulados de los ess de raíz uniaria. No es difícil enconrar razones económicas para explicar ese comporamieno específico de los ipos de inerés a parir de las acuaciones de los Bancos Cenrales (BC) y de las políicas de inervención de las auoridades monearias. Como es conocido los BC uilizan el ipo de inerés a coro plazo como uno de principales insrumenos de políica monearia. Por ejemplo, el Banco de España uvo que incremenar los ipos de inerés para defender la Pesea conra con los movimienos especulaivos de vena durane oda la primera miad de Eso se confirma en el Gráfico 1. Ninguno de los modelos lineales inroducidos previamene puede capurar ese ipo de dinámica. Un proceso esocásico sujeo a ese ipo de impacos no puede ser caracerizado como un proceso lineal. Es imporane en oda modelización de los ipos de inerés considerar la relación del modelo uilizado con la ETTI esperada, ya que los ipos de inerés a largo plazo recogen la especaivas de los fuuros movimienos del ipo a coro. Por lo ano es necesario analizar que propiedades hay implícias a largo plazo en nuesro modelo. Los modelos de series emporales no-lineales son capaces de recoger las caracerísicas mosradas por los procesos a largo plazo de una manera parsimoniosa. 149

8 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación MODELOS TAR Se puede enconrar una deallada explicación de los modelos TAR en el libro de Tong (1990). Un proceso esocásico { Y } se dice que sigue un proceso discreo self-exciing hreshold auoregressive, SETAR( K 1,...,K J ) con J regímenes si saisface la relación, () 1 ( 1) ( 1) α 0 + α i Y-i + σ ε if c0 Y d < c1, ( 2) ( 2) ( 2) α 0 + α i Y-i + σ ε if c1 Y d < c 2, Y = (6) ( J) ( J) ( J) α 0 + αi Y-i + σ ε if c J 1 Y d < cj. Donde { ε } es una sucesión de variables aleaorias normalmene disribuidas (n.i.d) de esperanza cero y varianza uniaria; d, es un enero posiivo conocido como parámero de reardo (o reardo del umbral); c j ( j = 0,1,...,J ) es un conjuno de parameros umbral que paren la reca real enre J regímenes adyacenes definiendo regiones [ c j, c j+1 ) con c j < c j + 1, c 0 = y c J = +. Esa clases de modelos TAR, se denominan self-exciing porque la variable que condiciona los regímenes es la propia variable explicada. En el caso que se quiera incorporar la heeroscedasicidad definida en CKLS se rabajará con modelos llamados SETAR con heeroscedasicidad proporcional (SETAR-PH) definidos por PST. Ese modelo puede ser escrio para dos regímenes como 3, r α = α () () () ( γ ) + β ( 2) ( 2) ( 2) γ ( ) + β r -1 r -1 + ε σ + ε σ r -1 2 r -1 if if r 1 r 1 c, > c. (7) 3 Para discreizar el modelo coninuo se ha uilizado el procedimieno común para esos modelos. Por ejemplo, el modelo coninuo, dr = ( α + βr ) d + σdw, se discreiza como, r r = α + βr + σε

9 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano En realidad la expresión (7) es una versión exendida del modelo SETAR-PH de PST ya que la heerocedasicidad esá doblemene definida por diferenes regímenes y diferenes parámeros γ. 4. PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN El méodo de esimación uilizado por PST y PP esá basado en simulación bayesiana. En ese rabajo no se uiliza esa meodología sino la de la regresión arreglada propuesa por Tsay (1989). Igual que los rabajos de PST y PP, el parámero reardo d, se fija igual a 1. Para la esimación del parámero umbral, c, se sigue una meodología de común aplicación en esadísica llamada boosrapping y se uiliza una esraegia de búsqueda exraída del rabajo de Knoers y De Gooijer (1999), 1. Fijar el número de regímenes l * uilizando información a priori, por ejemplo analizando los daos gráficamene. 2. Seleccionar un inervalo [r L, r U ] en el que los valores umbral van a ser buscados o aquella combinación de valores si hay más de dos regímenes. En el presene rabajo r L y r U se fijan al percenil 5 y al percenil 95 respecivamene. 3. Con el fin de garanizar que hay suficienes observaciones en cada régimen se fija la ampliud de los inervalos de búsqueda en, ru - rl donde N = número de observaciones, 0.9N [ ] al que en cada régimen j-ésimo coniene como mínimo 20 observaciones. 4. Para la búsqueda de los parámeros umbral se esima un modelo SETAR sobre cada régimen y la forma paramérica de cada nivel corresponde a la propuesa por Vasicek. Enonces, seleccionamos aquel valor umbral r c r, al que U L 151

10 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación... 2 ĉ = arg min σε ( α, β,c), donde c varianzas residuales en cada régimen. 2 σ ε es la suma agregada de las Poseriormene los valores ĉ, se manienen para la esimación de los modelos resanes (CIR y CKLS) con la finalidad de obener resulados comparables sobre el mismo número de daos en cada régimen. Una vez obenidos los valores para los umbrales las series r y r son divididas de acuerdo a ĉ. Con esas nuevas series los parámeros para cada régimen se pueden esimar uilizando el Méodo de los Momenos Generalizados (GMM) como se propone en el arículo de CKLS. Una exensa explicación de cómo uilizar esa meodología se encuenra en Hamilon (1994). Ese méodo iene una serie de venajas imporanes para la esimación de procesos de ipo de inerés. Primero, el méodo GMM no precisa que la disribución de las variaciones emporales de ipos de inerés sean normales, eso es imporane en el caso de la esimación del modelo CIR ya que ese modelo asume que los cambios en las asas de inerés son proporcionales a una variación no cenrada de χ 2. Segundo, los esimadores GMM y sus respecivos errores esándar son consisenes aunque las perurbaciones sean condicionalmene heerocedásicas. 5. RESULTADOS Como ya se ha viso en la sección de análisis de los daos, la serie emporal de ipo de inerés a coro plazo esá lejos de la hipóesis de normalidad, básicamene por dos razones. La primera se basa en el propio proceso de generación de daos ya que se ve influido por shocks de carácer no-lineal. Se ha realizado una inervención para la corrección de los valores ouliers, para oda la serie son un oal de 16. Se ha considerado oulier odo aquel valor que sobrepase res veces la desviación esándar correspondiene al régimen en que se encuenra la observación. Los resulados obenidos sobre los modelos clásicos se encuenran en la abla 3. Bajo el modelo de Vasicek el ipo de inerés a coro sigue 152

11 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano un random walk ya que el parámero β esá muy cercano al cero. Sin embargo, si incluimos la dependencia de la volailidad con respeco al nivel de ipos los resulados son diferenes. Los valores de los parámeros de los modelos CIR y CKLS son muy parecidos. Por lo ano se podría acepar que el modelo CIR es una represenación adecuada para el proceso bajo esudio. Sin embargo los resulados sobre el conjuno de residuos obenidos para el modelo CIR, nos indican que el modelo esimado esá lejos de ser ópimo. Exise correlación serial significaiva para reardos elevados (esadísico Ljung-Box p-valor= en el reardo 9) y efecos ARCH(3) significaivos ( esadísico LM p-valor= ). n=616 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) Tabla 3: Valores esimados para los modelos radicionales La abla 4 recoge los resulados obenidos para el modelo con un solo umbral (l*=2). El valor esimado para el umbral con el procedimieno descrio aneriormene es ĉ = El modelo de Vasicek se puede considerar como una aproximación válida para el proceso que gobierna ese régimen ya que los parámeros esimados para los oros modelos más generalizados son casi iguales. El valor medio en ese régimen corresponde a un ipo de inerés del 1.6%. Los residuos obenidos en ese régimen no presenan ni problemas de correlación serial ni problemas de efecos ARCH en ningún orden. 153

12 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación... R. I n=248 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) R. II n=377 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) Umbral ĉ Tabla 4: Valores esimados para el modelo con 2 regímenes Las diferencias significaivas enre los valores de los parámeros de cada nivel confirman la necesidad de uilizar diferenes regímenes para la modelización de la asa de inerés a coro plazo. Además es ineresane observar que el régimen que corresponde a valores más elevados iene mayor varianza, confirmando la hipóesis de la relación posiiva enre el nivel del ipo de inerés a coro plazo y su varianza. El segundo régimen se ajusa más a un proceso random walk ya que el parámero que corresponde a la pendiene no es significaivamene diferene de cero, especialmene en el modelo Vasicek. El valor negaivo de la pendiene del random walk indica que el proceso enderá a moverse hacia valores inferiores. Ese resulado es consisene ya que nos enconramos en el régimen superior. Los residuos para ese régimen ampoco presenan signos de mala especificación ya que no presenan correlación serial. Si que es significaivo un ligero efeco ARCH (1) (esadísico LM p- valor= ). 154

13 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano El úlimo modelo esimado es el modelo con dos umbrales (l*=3). Los valores umbrales esimados ĉ, ĉ 1 2 se encuenran recogidos en la pare inferior izquierda de la abla 5. Esos valores paren los daos en res regímenes, que corresponden a un esado de ipos de inerés bajos, a un esado de ransición o medio y a un esado de ipos alos que incluye los valores de crisis monearias pasadas. Según los resulados obenidos para el primer régimen, el modelo con parámeros más significaivos es el modelo de Vasicek. Ese nivel inferior de ipos de inerés iene un valor medio esimado del 2.89%. Los residuos para ese régimen no presenan correlación serial y sólo se encuenra un leve efeco ARCH (1) (esadísico LM p-valor= ). Para los regímenes segundo y ercero el modelo que posee los parámeros más significaivos es el propueso por CIR. Sus valores medios son del 8.74% para el nivel medio y del 13.70% para el nivel superior. Los residuos del segundo régimen esán lejos de ser ópimos y muesran la posibilidad de algún ipo de mala especificación, ya que hay correlación serial significaiva (esadísico Ljung-Box p-valor= en el reardo 2) y efecos ARCH (1) (esadísico LM p-valor= ). En cambio para el úlimo régimen los residuos ienen un comporamieno correco. En general parece que no es necesario para la modelización del ipo de inerés a coro un modelo muy sofisicado para recoger el parón heerocedásico de los daos, como el propueso por CKLS. Como alernaiva se puede esimar la variación de la volailidad con modelos más sencillos ajusados para cada nivel. 155

14 Modelización del ipo de inerés a coro plazo con modelos ar: una aplicación... R. I n=252 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) R. II n=119 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) R. III n=250 αˆ βˆ σˆ γˆ Vasicek ( ) ( ) ( ) - CIR ( ) ( ) ( ) - CKLS ( ) ( ) ( ) ( ) Umbral ĉ ĉ Tabla 5: Valores esimados para el modelo con 3 regímenes 6. CONCLUSIONES En ese rabajo se han uilizado un modelo de series emporales nolineales para modelización del ipo de inerés a coro plazo. Creemos que el resulado más imporane que se deriva de ese rabajo es la consaación empírica de que uilizando modelos más sencillos sobre diferenes niveles de los daos se puede modelizar mejor el ipo de inerés a coro plazo. Ese hecho iene sus venajas si se quiere uilizar esos modelos como insrumeno de predicción, valoración o generación de escenarios. Para la predicción se consaa que no es 156

15 Anoni Vidiella Anguera y Anonio Alegre Escolano necesario uilizar modelizaciones muy complejas para los ipos de inerés a coro plazo si esamos rabajando sobre un horizone emporal no muy lejano y denro de un mismo esado de asas de inerés. Para la valoración, ambién para insrumenos a coro plazo, no se pueden uilizar direcamene los valores esimados para los parámeros ya que represenan una disribución de probabilidades real. Para su posible uilización en valoración se debe buscar la disribución neural al riesgo equivalene a real esimada, para ello, deben esimarse ambién las primas de riesgo asociadas. Para la valoración de insrumenos a largo plazo se debería ener en cuena la exisencia de diferenes regímenes. Finalmene para generación de escenarios a largo plazo, si que se deberá ener en cuena la posible ransición de un régimen a oro y por ano se deberá proceder a la variación de parámeros según sea el nivel de los inereses a coro plazo. Aún quedan algunas cosas por hacer en invesigaciones fuuras basadas en ese rabajo. La primera es la obención de la oda la ETTI a parir de los resulados obenidos. No es un rabajo inmediao ya que la no-linealidad se va rasladar a los disinos plazos. La segunda se basa en la inroducción del comporamieno esocásico de la volailidad como un facor predicor de las variaciones de los ipos de inerés más como se sugiere en PST, uilizando modelos ipo TARSO definidos en Tong (1990). 7. BIBLIOGRAFÍA [1] CHAN, K., KAROLYI, G., LONGSTAFF, F. Y A. SAUNDERS (1992), An empirical comparison of alernaive models of he shor-erm ineres rae. Journal of Finance, 41, [2] CHEN, L. (1996). Sochasic mean and sochasic volailiy, a hree facor model of he erm srucure of ineres raes and is applicaions in derivaives pricing and risk managemen. Financial Markes, Insiuions and Insrumens. Vol. 5, No. 1, [3] COX, J.C., J.E. INGERSOLL Y S.A. ROSS (1985). A heory of he erm srucure of ineres raes. Economerica 53,

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