Modelización de la volatilidad del tipo de interés a corto plazo*

Transcripción

1 Revisa de Modelización de la volailidad del ipo de inerés a coro plazo* Francis Benio Universidad de Alicane. Ángel León Universidad de Alicane. Juan M. Nave ** Universidad de Casilla - La Mancha. Resumen: Ese arículo analiza en el mercado español el impaco que el diferene raamieno de la volailidad de los cambios del ipo de inerés a coro plazo iene sobre la bondad de los modelos unifacoriales de los ipos de inerés. Para ello se esiman y comparan disinas modelizaciones de heerocedasicidad condicional agrupadas en res bloques: (1) los modelos Nivel; () los modelos GARCH; y (3) los modelos Mixos que combinan los efecos nivel y GARCH recogidos por los aneriores. El análisis realizado revela la superioridad de los modelos Mixos, confirmando la evidencia inernacional. Adicionalmene, se deeca una ausencia de asimería en la respuesa de la volailidad condicional del ipo de inerés a coro plazo frene a sus innovaciones. Palabras clave: Modelos de ipos de inerés; Heerocedasicidad condicional; Modelos GARCH; Esrucura emporal de los ipos de inerés. Clasificación JEL: C; E43. Absrac: This paper compares he abiliy of alernaive one facor models o capure he volailiy of shor erm ineres raes in he Spanish marke. Several condiional heeroscedasiciy models are esimaed. Specifically, hey are divided ino hree groups: (1) Levels models, () GARCH models and (3) Mixed models. Models under he las group combine he effecs in boh 64 * Los auores quieren agradecer los comenarios y sugerencias de Manuel Moreno, Eliseo Navarro, Alfonso Novales, Anonio Rubia, Gonzalo Rubio, un evaluador anónimo de Documenos de Trabajo del IVIE y, especialmene, los de un evaluador anónimo y el edior, Alejandro Balbás, de la Revisa de Economía Financiera. También se encuenran en deuda con Anonio García de la Oficina de Esadísica y Cenral de Balances del Banco de España, desde donde ha resuelo con exremada amabilidad odas las dudas surgidas en la elaboración de la base de daos. Una versión anerior de ese rabajo se presenó en las III Jornadas sobre Esrucura Temporal de Tipos de Inerés (Cuenca, 00) y el X Foro de Finanzas (Sevilla, 00) y ha sido publicada por el IVIE en su serie de Documenos de Trabajo con la referencia WP-EC Francis Benio y Ángel León agradecen la financiación recibida de la Oficina de Ciencia y Tecnología de la Generalia Valenciana, CTIDIA Ángel León agradece la financiación del Miniserio de Ciencia y Tecnología (DGI), BEC Ángel León y Juan M. Nave agradecen la financiación de la Fundación BBVA, 1/BBVA /00. Juan M. Nave agradece la financiación del Miniserio Español de Ciencia y Tecnología (DGI), BEC , y de la Consejería de Ciencia y Tecnología de la Juna de Comunidades de Casilla - La Mancha, PAC ** Correspondencia a: Juan M. Nave, Faculad de Ciencias Sociales, Avda. Alfares 44, Cuenca. Dirección elecrónica: Juan.Nave@uclm.es.

2 Revisa de (1) and (). The empirical resuls show ha Mixed ones overcome he ohers. This fac confirms he inernaional evidence. Finally, here is no significance for asymmeric behavior in he condiional volailiy. Keywords: Ineres rae models; Condiional heeroscedasiciy; GARCH models; Term srucure of ineres raes. JEL Classificaion: C; E43 1. INTRODUCCIÓN La dinámica del ipo de inerés a coro plazo recibe una considerable aención en la lieraura financiera pueso que consiuye el principal facor en la modelización de la esrucura emporal de los ipos de inerés (ETTI). Sin embargo, no exise consenso unánime sobre la mejor manera de modelizar el ipo de inerés a coro plazo y, en paricular, sobre el raamieno concreo de su volailidad, pieza clave, al menos desde un puno de visa eórico, en la deerminación de las primas de riesgo. Con la finalidad de aporar evidencia al respeco, en ese rabajo analizamos los modelos en iempo coninuo con un único facor que, además de presenar las venajas de su sencillez, de su fácil esimación y de ofrecer, bajo cieras condiciones, soluciones cerradas para la valoración de bonos cupón cero y de sus derivados, por el hecho de ser los más parcos en el número de facores, van a permiir resalar la influencia del disino raamieno que en ellos se hace de la volailidad. En el conexo señalado, los disinos modelos desarrollados en la lieraura pueden clasificarse, aendiendo al raamieno específico que dan a la volailidad del ipo de inerés a coro plazo, en res grandes grupos: (1) los modelos anidados en Chan e al. (CKLS) (199), los cuales especifican la volailidad del ipo de inerés a coro plazo como función de su nivel y que, por ello, denominamos modelos Nivel; () los modelos generalizados de heerocedasicidad condicional auorregresiva, modelos GARCH, en los que la volailidad es función de su propio pasado y del impaco de las innovaciones del ipo de inerés a coro plazo; y (3) los modelos Mixos, que combinan el efeco nivel y los efecos GARCH, modelos inroducidos inicialmene por Kearns (199), aunque fueran Brenner, Harjes y Kroner (BHK) (1996) los primeros en presenar resulados de su esimación. La evidencia empírica inernacional ha mosrado que los modelos Nivel ienden a sobresimar el propio efeco nivel, principalmene por no recoger la correlación serial en la varianza condicional que los modelos GARCH capan con mayor precisión, recogiendo el efeco agrupamieno, propio de las series financieras de ala frecuencia. No obsane, esos úlimos modelos ambién han recibido críicas variadas: la primera y más imporane es la de no reflejar el impaco del nivel de los ipos sobre la volailidad; en segundo lugar, la de presenar, al igual que los modelos de volailidad consane, la indeseable propiedad de permiir ipos negaivos; y, por úlimo, la relaiva a la ala persisencia de las innovaciones en la volailidad enconrada que puede dar indicios de no esacionariedad, dificulando el esudio de la serie. Todos esos inconvenienes han llevado a la consideración en los úlimos años de los modelos Mixos, es decir, modelos en los que la volailidad depende, ano del nivel del ipo de inerés a coro plazo, como de su propio pasado y del impaco de las innovaciones. Modelización de la volailidad del ipo... 65

3 Revisa de Son basane numerosos los esudios empíricos realizados en diferenes mercados, enre los que desacan Andersen y Lund (1997a), Koedijk e al. (1997), Bali (000a, 000b) y, el más reciene, Bali (003), que demuesran que los modelos Mixos permien una mejor represenación de la dinámica de la volailidad de los cambios en el ipo de inerés a coro plazo frene a los modelos Nivel y modelos GARCH. Sin embargo, en el mercado español, a pesar de enconrar rabajos que uilizan los modelos Nivel, como los de Moreno y Peña (1996), García (1998), Navas (1999) y Rico (000), y los modelos GARCH, como los de Abad (000) y Benio (001), el análisis y/o aplicación de los modelos Mixos, hasa donde llega el conocimieno de los auores, no se ha llevado a cabo. Así pues, en el conexo paricular del mercado español, el objeivo principal de ese rabajo se concrea en corroborar la evidencia inernacional, es decir, la superioridad de los modelos Mixos frene a los modelos Nivel y modelos GARCH. Para ello, el reso del rabajo se esrucura del siguiene modo: en la siguiene sección, la segunda, se especifican los disinos modelos que se analizarán poseriormene; en la sección ercera se describen los daos uilizados; la sección cuara se dedica a la esimación de los modelos y a la presenación de los resulados obenidos; y por úlimo, en la sección quina se resumen las principales conclusiones obenidas en el rabajo.. MODELIZACIÓN UNIFACTORIAL DE LOS TIPOS DE INTERÉS Tal y como se ha comenado, nos cenramos en la modelización unifacorial en iempo coninuo del ipo de inerés a coro plazo, r, asumiendo que la dinámica de sus movimienos sigue un proceso de difusión de Io represenado a ravés de la siguiene ecuación diferencial esocásica: ( ) ( ) dr = µ r d + σ r dw (1) en donde µ ( r) es la deriva o esperanza condicional insanánea de la variación del ipo de inerés por unidad de iempo; el cuadrado de σ ( r) es la varianza condicional de la variación del ipo de inerés por unidad de iempo; y dw es un proceso de Wiener, siendo dw : N(0, d ) para un dado..1. Especificación de la deriva Una de las especificaciones más uilizada en los rabajos sobre ipos de inerés ha sido la del modelo de Vasicek (1977), el cual especifica la deriva en la expresión (1), como un proceso de reversión a la media, µ ( r) = α0 + α1r, donde r reviere hacia el ipo de inerés medio a largo plazo α0 / α1, mienras α1 mide la velocidad consane de reversión a esa media. La hipóesis de reversión a la media implica la exisencia, bajo condiciones normales, de un valor medio alrededor del cual el ipo de inerés a coro plazo reviere. De no ser así, la varianza de la disribución incremenaría sin límie con el paso del iempo Exisen argumenos económicos convincenes asociados a los ciclos económicos y a la demanda de fondos que avalan ese ipo de procesos: cuando los ipos son elevados, la economía iende a ralenizarse y se demandan menos fondos, como resulado, los ipos de inerés bajan; cuando los ipos son bajos, se incremena la demanda de fondos y los ipos de inerés ienden a subir.

4 Revisa de No obsane, son varios los auores, como por ejemplo Aï-Sahalia (1996), los que indican que una especificación lineal de la reversión a la media no recoge la disina fuerza con la que iende a su media a largo plazo el ipo de inerés a coro plazo según sea su nivel. En ese senido, Koedijk e al. (1997) y Ball y Torous (1999) muesran que la especificación no lineal de la reversión a la media, no iene repercusión sobre las esimaciones de los parámeros de volailidad esocásica... Especificación de la volailidad - Modelos Nivel. Una caracerísica del comporamieno hisórico de los ipos de inerés es que, aunque sólo se deba a moivos de escala, ienden a ser más voláiles cuano más elevados son. Ese efeco, juno a la posibilidad de producir ipos negaivos que ienen los modelos de volailidad consane, como los de Meron (1973) y Vasicek (1977), se palia con el desarrollo de los modelos Nivel, en los cuales la volailidad de las variaciones del ipo de inerés a coro plazo es función del nivel de los ipos. En CKLS (199) se realiza un esudio empírico de esos modelos que quedan anidados en la siguiene ecuación diferencial esocásica, dr = ( α + α r ) d + σr dw γ 0 1 () El parámero de difusión, σ, es meramene un facor de escala de la volailidad; mienras que la presencia de r γ, en el érmino de difusión, asegura ipos posiivos e inroduce la heerocedasicidad condicional únicamene a ravés del nivel de los ipos, reflejando así el efeco nivel. El parámero γ es el coeficiene de la elasicidad de la volailidad respeco a r, es decir, valores de γ superiores a la unidad indican una ala sensibilidad de la volailidad al nivel del ipo de inerés a coro plazo. La dinámica de la ecuación () implica que la media y la varianza condicional de los cambios en el ipo de inerés a coro plazo dependen exclusivamene del nivel acual de los ipos y no de su comporamieno pasado, es decir, el ipo de inerés a coro plazo sigue un proceso de Markov. Para la esimación de la ecuación () se uiliza la discreización de Euler 3 : r = α + α r + ε, donde r r r 1 y Ese modelo anida a los modelos de volailidad consane y Nivel más conocidos, como son el de Meron (1973); Vasicek (1977); Cox e al. (1985); Dohan (1978); Black y Scholes (1973); Brennan y Schwarz (1980); Cox e al. (1980); Cox (1975) y Cox y Ross (1976). 3 En ese senido, James y Webber (000:363) afirman en base a su experiencia que en las aplicaciones ípicas de modelización de ipos de inerés, los requerimienos compuacionales adicionales requeridos al considerar aproximaciones de orden superior son demasiado grandes respeco de las ganancias que ésas reporan. (3) Modelización de la volailidad del ipo... 67

5 Revisa de I ε h 1/ η ; η : iid N(0,1) ; ε / I 1 : N(0, h) ; siendo 1 el conjuno de información disponible hasa el momeno -1. La ecuación de la varianza condicional para los modelos Nivel viene dada por la siguiene expresión: h = σ r γ 1 (4) - Modelos GARCH. Es ampliamene reconocido que las series de ipos de inerés presenan una fuere heerocedasicidad condicional en la varianza. El modelo de CKLS inena recoger esa caracerísica permiiendo a la volailidad depender del nivel de los ipos. Sin embargo, los modelos Nivel no son capaces de capar compleamene la heerocedasicidad, al no recoger el efeco agrupamieno y la ala persisencia, propios de las series financieras, lo que a su vez provoca que sobresimen la sensibilidad de la volailidad al nivel de los ipos de inerés, al y como se pone de manifieso en BHK (1996), quienes consideran que γ = 1 o γ = 1.5 represenan valores poco razonables de la sensibilidad de la volailidad al nivel de los ipos, pues en el mercado americano de leras del esoro se han dado periodos hisóricos de esabilidad con ipos alos (por ejemplo de 1983 a 1984) y periodos de gran volailidad con ipos bajos (por ejemplo a finales de 199 e inicio de 1993) 4. Una clase diferene de modelos, que sí recogen ales caracerísicas, son los modelos GARCH 5. Esos modelos especifican la varianza condicional en función de su propio pasado y del cuadrado de las observaciones pasadas del componene no anicipado de los ipos de inerés. Pueso que para odos los modelos manendremos la misma especificación para la media condicional, la diferencia vendrá dada por la especificación para la ecuación de la volailidad condicional. De ese modo la ecuación (4) para el modelo GARCH (1,1) es 6 : h = ω + βh + αε 1 1 (5) En el modelo GARCH el efeco sobre la varianza de las innovaciones es independiene del signo de ésas. Sin embargo, la evidencia parece mosrar que las innovaciones posiivas en los 68 4 Esa misma línea argumenal se defiende en los rabajos de Koedijk e al. (1997) y Andersen y Lund (1997a) enre oros. 5 El modelo GARCH (p,q) fue presenado por Bollerslev (1986) como una generalización del modelo de Engel (198) y aplicado a series de ipos de inerés por Engle e al. (1987), Engle e al. (1990) y Engle y Ng (1993). 6 La uilización de la esrucura GARCH (1,1) es un crierio esándar ampliamene acepado, pues se ha comprobado que recoge suficienemene la esrucura en volailidad. Así la mayoría de los rabajos que analizan a los modelos Mixos proponen para esos una esrucura GARCH (1,1), como por ejemplo: BHK (1996), Koedijk e al. (1997), Andersen y Lund (1997b), Bali (1999, 000a, 000b, 003), Koumos (000) y Ferreira (000). Imponer modelos más complejos, con respeco a los órdenes de p y q, en la modelización de la heerocedasicidad condicional genera problemas en la esimación, ya que se iene que esimar conjunamene los parámeros del modelo de volailidad condicional, los parámeros del modelo de la media y el valor de γ.

6 Revisa de cambios de los ipos de inerés (negaivas en precios de bonos y rendimienos) ienen mayor impaco en la volailidad que las innovaciones negaivas de la misma magniud. Esa respuesa asimérica de la volailidad se conoce ambién como efeco apalancamieno, y para recogerlo han surgido los modelos asiméricos, que en realidad son generalizaciones del modelo GARCH. La especificación del componene predecible de la volailidad, la varianza condicional, para el modelo GJR-GARCH, propueso por Glosen e al. (1993), del que se presenan resulados es la siguiene 7 : h h D + = ω + β 1+ αε 1+ θ 1ε 1, (6) con. D = 1 if ε > 0; D = 0 en caso conrario La obención de un valor para el parámero θ 0, implicará la exisencia de respuesa asimérica por pare de la volailidad al impaco de innovaciones posiivas o negaivas. Concreamene, para θ > 0, las innovaciones posiivas causan mayor impaco sobre la volailidad que las negaivas de la misma magniud. - Modelos Mixos. Los modelos GARCH adolecen de no recoger el impaco del nivel de los ipos de inerés sobre la volailidad de los cambios, es decir, el efeco nivel. Además, la mayoría de los rabajos empíricos muesran que ˆ β + ˆ α 1, es decir, que la varianza condicional no es esacionaria y por ano los shocks presenes afecarán permanenemene a la volailidad fuura, presenando además la indeseable propiedad de permiir ipos negaivos. Por su pare, los modelos Nivel presenan, al y como se ha comenado con anerioridad, an sólo una especificación para el efeco nivel en la que, para γ > 0, incremenos de los ipos implican, necesariamene, incremenos de la volailidad, mienras que disminuciones de los ipos implican, necesariamene, disminuciones en la volailidad; y lo más imporane, no recogen compleamene la correlación serial en la varianza condicional. Por odos esos inconvenienes, BHK (1996), enre oros, proponen los modelos Mixos, en donde se recoge el efeco nivel y el efeco GARCH simuláneamene, llegando a la conclusión de que CKLS (199) sobresiman la sensibilidad de la volailidad al nivel de los ipos, ya que la incorporación de las innovaciones reduce la esimación del parámero γ ; mienras que la incorporación del efeco nivel a los modelos GARCH mejora sus resulados, principalmene al reducir el nivel de persisencia de las innovaciones sobre la volailidad 8. 7 Paralelamene se han esimado los modelos GARCH asiméricos AGARCH (Engle, 1990) y NAGARCH (Engle y Ng, 1993), así como el modelo asimérico TGARCH (Zakoian, 1994) que modeliza direcamene la volailidad, coincidiendo los resulados obenidos respeco al efeco apalancamieno con los presenados para el modelo GJR- GARCH. 8 Muchos auores han seguido los pasos de BHK (1996) y así podemos considerar modelos Mixos a los desarrollados por Andersen y Lund (1997a), Koedijk e al. (1997) y Bali (000a, 000b, 003) para Esados Unidos; por Ferreira (000) para Francia y Alemania; y por Koumos (000) para los aneriores países más Canadá, Japón y Reino Unido. Modelización de la volailidad del ipo... 69

7 Revisa de BHK (1996) sugieren la siguiene especificación para la varianza condicional de los cambios del ipo de inerés a coro plazo: h = σ r γ 1 (7) donde σ presena esrucura GARCH (1,1) σ = ω + βσ + αε 1 1 para el modelo Mixo simérico. También se consideran los modelos Mixos asiméricos, es decir aquellos que, además de combinar el efeco nivel y el impaco de las innovaciones en los ipos, recogen la respuesa asimérica de la volailidad ane las innovaciones posiivas y negaivas. Concreamene se presenan resulados del modelo Nivel-GJR-GARCH cuya expresión se obiene añadiendo en la expresión (7) la especificación de σ que desarrolla la expresión (6) DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS Dado que el ipo de inerés insanáneo es una variable no observable, para llevar a cabo el análisis es necesario recurrir a una variable observable que lo aproxime adecuadamene. 10 Para realizar esa elección hay que sopesar las venajas e inconvenienes de elegir un ipo de inerés a más coro plazo (como sería el diario o el semanal) o uno a más largo plazo (por ejemplo el ipo de inerés a un mes, a res meses, a seis meses). Por un lado, el ipo de inerés a res meses o a seis meses se aleja basane del concepo de ipo de inerés insanáneo, sin embargo un ipo de inerés a más coro plazo (diario, semanal) puede recoger las ensiones de liquidez propias del segmeno del mercado moneario y de regulación financiera del que se exraen. La elección realizada es la de rabajar con ipos de inerés mensuales, con frecuencia diaria, derivados de las operaciones simuláneas al conado con Bonos y Obligaciones del Esado, al igual que se hace en la mayoría de los rabajos revisados de la lieraura. En cuano al ipo de operación de referencia se ha elegido las Operaciones Simuláneas al Conado, operaivamene equivalenes a los repos negociados en oros mercados europeos y de EEUU. Los ipos de inerés derivados de esas operaciones se calculan bajo el régimen de capialización simple y año comercial, y sus series hisóricas en porcenajes anualizados se publican en formao elecrónico en el Boleín de la Cenral de Anoaciones del Banco de España. Esa serie se ha ransformado a ipos de inerés compuesos coninuos Paralelamene se han esimado los modelos Nivel-GARCH asiméricos: Nivel-AGARCH y Nivel-NAGARCH, así como el modelo mixo asimérico Nivel-TGARCH que modeliza direcamene la volailidad, coincidiendo los resulados obenidos respeco al efeco apalancamieno con los presenados para el modelo Nivel-GJR-GARCH. 10 En ese senido, señalar que CKLS (199) y Longsaff y Schwarz (199) uilizan el ipo de inerés de las Leras del Tesoro americanas a un mes; Anderson y Lund (1997) y Sanon (1997) uilizan esos mismos íulos pero a res meses; Nowman (1997), el ipo de inerés inerbancario a un mes en Gran Breaña; Aï-Sahalia (1996) uiliza el ipo Eurodolar a una semana.

8 Revisa de Los daos uilizados cubren el periodo comprendido enre agoso de 1994 y diciembre de 000, en oal 1594 observaciones diarias. En el Gráfico 1 se muesra la serie del ipo de inerés mensual juno a su primera diferencia 11. Puede apreciarse como la volailidad se presena por grupos (efeco GARCH) y como, en érminos generales, ha sido mayor para periodos de ipos alos (efeco nivel). Gráfico 1. Tipo de inerés a un mes y su primera diferencia. Con razo fino se represena la serie diaria del ipo de inerés de las operaciones simuláneas al conado con Bonos y Obligaciones del Esado al plazo de un mes en capialización compuesa coninua (escala izquierda) desde agoso de 1994 hasa diciembre de 000. En razo grueso se represena su primera diferencia en escala porcenual (escala derecha). 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0,05 0,04 0,03 0,0 0,01 0 0/08/1994 0/08/1995 0/08/1996 0/08/1997 0/08/1998 0/08/1999 0/08/000 En el Cuadro 1 se muesran los esadísicos descripivos de la primera diferencia de nuesra serie de ipos de inerés. La mediana de esos cambios es negaiva, lo cual indica que las caídas diarias en el ipo de inerés a un mes durane el periodo analizado han sido más imporanes que las subidas, como obviamene se aprecia en el Gráfico 1. Se observa que la serie muesra una correlación de orden 1 de mayor magniud en valor absoluo que las resanes, eso nos sugiere la incorporación de reardos de la variable dependiene como variable explicaiva en la media condicional. Uilizando los crierios de Akaike y Schwarz, el número de reardos ópimos es de uno por lo que la media condicional finalmene esimada ha sido: 0-0, -0,4-0,6-0,8-1 -1, -1,4-1,6 Modelización de la volailidad del ipo La serie de primeras diferencias presena cinco valores exremadamene aípicos, cuaro siuados en junio de 1995 (los días 7, 9, 16 y 19) y un quino el día de enero de Tales valores se alejan de la media en más de siee desviaciones ípicas. 71

9 Revisa de ( r ) = 0 + 1r + r 1 µ α α α Por úlimo, el esadísico de Jarque-Bera rechaza la normalidad y el es de raíces uniarias de Dickey-Fuller Aumenado indica la inexisencia de raíz uniaria para esa serie, a diferencia de lo que sucede con la serie al nivel en la que sí se deeca presencia de raíz uniaria. Cuadro 1. Esadísicos descripivos de la serie de primeras diferencias del ipo de inerés a coro plazo. Media ρ Mediana ρ Máximo ρ Mínimo ρ Desviación ρ Asimería ρ Curosis ρ Jarque-Bera ADF (p-value) (0.000) Valor críico Ese cuadro resume los principales esadísicos de la serie diaria de primeras diferencias del ipo de inerés de las operaciones simuláneas al conado con Bonos y Obligaciones del Esado al plazo de un mes. Se expresan en capialización compuesa coninua y en érminos porcenuales anualizados. El periodo comprende desde agoso de 1994 hasa diciembre de 000. Se muesran ambién los coeficienes de auocorrelación hasa el sépimo orden, así como los resulados del es de raíz uniaria, es de Dickey-Fuller Aumenado (ADF). El número de reardos uilizado es de 4. El valor críico se presena al 10%. 7

10 Revisa de 4. ESTIMACIÓN Y RESULTADOS Todos los modelos han sido esimados mediane máxima verosimiliud resringida 1, asumiendo que las perurbaciones son independienes y esán idénicamene disribuidas. La esimación máximo verosímil (MV) exige especificar una disribución para las perurbaciones, y generalmene se supone normalidad. De ese modo el logarimo de la función de verosimiliud será: T 1 1 ε ln f( Θ ) = ln h = 1 h (8) donde Θ es el verdadero vecor de parámeros de la media y varianza condicional. Las esimaciones llevadas a cabo presenan unos esadísicos basados en errores esándar robusos ane una incorreca especificación de las disribuciones supuesas en la esimación Bollerslev y Wooldridge (199). El esimador cuasi máximo verosímil es consisene y asinóicamene normal, siempre que la media y la varianza esén correcamene especificadas 13. En el Panel A del Cuadro se presenan las esimaciones de los parámeros de los modelos aneriormene descrios. Respeco del parámero γ, que mide la inensidad del efeco nivel, se aprecia una disminución de su valor al pasar del modelo Nivel a los modelos Mixos, es decir, exise una reducción del efeco nivel al inroducir la esrucura GARCH, resulado coherene con los obenidos por BHK (1996), Andersen y Lund (1997a), Koedijk e al. (1997), Ferreira (000) y Bali (000b), enre oros. Con respeco a la esrucura GARCH, al y como se observa en el mismo Panel A del Cuadro, la suma de los valores esimados para los parámeros β y α en los modelos GARCH supera la unidad, resulado común en BHK (1996), Ferreira (000), Engle e al. (1987) y Engle y Ng. (1993). Sin embargo, al incorporar el efeco nivel se produce una disminución del valor en los parámeros β y α, especialmene en ese úlimo, lo que podría permiir una reducción de la persisencia de las innovaciones sobre la volailidad. Las esimaciones del efeco ARCH en los modelos GARCH y GJR son elevadas y no significaivas, mienras que al inroducir la especificación mixa, dichas esimaciones decrecen a valores habiuales y son significaivas. Como indican BHK (1996), an solo podemos conjeurar que en los modelos Mixos, a diferencia de los modelos GARCH, la persisencia en los parámeros de la volailidad es finia. Sin embargo no podemos afirmarlo concluyenemene dado que la persisencia en los modelos Mixos es una función de la persisencia en el parámero de volailidad σ,que se mide con la suma de ( α + β ), más la persisencia en el nivel de los ipos. El parámero asociado a la varianza condicional del periodo anerior, β, presena ano en los modelos GARCH como en los Mixos un elevado valor esimado, que unido a su ala signi- 1 Todas las esimaciones se han obenido uilizando la librería CML de GAUSS. 13 Un camino alernaivo es el uilizado en BHK (1996) donde se asume una disribución -suden que proporciona la flexibilidad necesaria para capurar la lepocurosis de los ipos de inerés. Sin embargo, esudios como los de Koedijk e al. (1997) y Andersen y Lund (1997a) demuesran que la esimación de los parámeros y sus errores esándar no experimenan cambios imporanes al pasar del supueso de normalidad a la disribución -suden. Modelización de la volailidad del ipo... 73

11 Revisa de Cuadro. Cuadro. Esimación del modelo Nivel general, modelos GARCH y Mixos Esimación del modelo Nivel general, modelos GARCH y Mixos Los parámeros han sido esimados a parir de las siguienes especificaciones economéricas: r = α + α r + α r + ε, ε = h η, η iid N(0,1) 1/ : CKLS GARCH GJR Nivel-GARCH Nivel-GJR h h = σ r γ 1 = ω + β h + αε 1 1 h h D ω β αε θ = ε ; ε D h σ r γ 1 h =, con σ r γ 1 =, con D σ = ω + βσ + αε 1 1 = 1 si > 0; = 0 si no + σ = ω + βσ + αε + θd ε ; D + = 1 si ε > 0; D + = 0 si no α 0 α 1 α σ Modelo Nivel Modelos GARCH Modelos Mixos CKLS GARCH GJR Nivel-GARCH Nivel-GJR (0.70) (-1.0) (-5.101) (4.994) (0.868) (-1.75) (-8.556) PANEL A (0.13) (-0.775) (0.063) (0.818) (-1.46) (-8.965) (0.518) (-1.558) (-6.174) γ (3.57) (3.093) (.911) ω (0.905) (0.853) (0.000) (0.000) β (4.711) (.5) (4.570) (4.809) α (1.799) (1.6) (.087) (.09) θ (0.157) (0.8) PANEL B Log-L SIC Q (0) (0.000) (0.657) (0.760) (0.97) (0.971) EM EAM Panel A: Resulados de la esimación por máxima verosimiliud con desviaciones ípicas robusas de Bollerslev y Wooldridge (199). Esadísico enre parénesis. Panel B: Log-L es el logarimo de la función de verosimiliud y SIC el Crierio de Informacion de Schwarz. Q (0) es el esadísico de Ljung-Box de auocorrelación en los residuos esandarizados al cuadrado, y enre parénesis aparece el p-valor. EM y EAM son el error medio y el error absoluo medio, respecivamene.

12 Revisa de ficaividad, sosiene la idea de un fuere comporamieno de inercia de la volailidad de los ipos de inerés. Con respeco al efeco apalancamieno odos los modelos asiméricos analizados evidencian una fala de respuesa asimérica de la volailidad, ano para el caso de los modelos GARCH como de los modelos Mixos. Ese resulado, en la línea de los obenidos en Andersen y Lund (1997b), puede esar relacionado con la evolución del ipo de inerés a coro plazo en el periodo de iempo considerado. En el Panel B del Cuadro observamos que bajo el Crierio de Información de Schwarz (SIC) los modelos GARCH superan en ajuse al modelo Nivel general (CKLS), y a su vez los modelos Mixos superan a los modelos GARCH. Es decir, los modelos que especifican la volailidad únicamene en función de las innovaciones capan mejor la volailidad que aquellos que lo hacen únicamene en función del nivel, confirmando de ese modo las conclusiones de BHK (1996), Koumos (000) y Bali (000b y 003). Sin embargo, la combinación del efeco nivel y la esrucura GARCH mejora cualquier especificación que considere ambas caracerísicas por separado. Conclusiones que pueden corroborarse observando el esadísico Ljung-Box de auocorrelación en los residuos esandarizados al cuadrado, Q (0), donde se aprecia como el paso del modelo Nivel a los modelos GARCH y de ésos a los modelos Mixos va recogiendo cada vez mejor la esrucura en la volailidad. En ese senido, el Gráfico dibuja la volailidad realizada del período, aproximada mediane r, 14 y las esimaciones de volailidad de los modelos GARCH, Nivel-GARCH y CLKS. En él se observa como los dos primeros recogen basane bien la esrucura de la serie de volailidad realizada, mienras que el modelo de CKLS muesra una esimación relaivamene plana. En el mismo Panel B del Cuadro aparecen los esadísicos error medio (EM) y error absoluo medio (EAM), donde 1 N = 1 N 1/ ( ) EM = h r 1 N = 1 N EAM = h r 1/ h 1/ siendo la desviación esimada para cada modelo. Según EM observamos que odos los modelos sobreesiman la volailidad realizada, siendo el modelo mixo el que presena menor sobreesimación. También el modelo mixo iene el menor EAM, raificando su superioridad sobre los oros dos modelos. 14 Ese crierio para aproximar la variable volailidad no observable es el comúnmene uilizado en la lieraura ciada sobre modelización del ipo de inerés a coro plazo (pueden verse al respeco los rabajos de Bali, 003, 000a, Ferreira, 000, BHK, 1996 y CKLS, 199), ano para la medición de la capacidad prediciva de la volailidad denro de la muesra, al y como aquí ocurre, como fuera de ella. No obsane, cabe señalar que la uilización de esa variable de aproximación de la volailidad en series de frecuencia diaria puede provocar una aparene conradicción enre buenas predicciones de volailidad, denro y/o fuera de la muesra, y el bajo poder predicivo de la serie observable uilizada, debido a su elevado error de medida. En ese senido, Andersen y Bollerslev (1998) demuesran que el coeficiene de deerminación eórico de la regresión lineal simple de la variable realizada ex-pos sobre la predicción GARCH (1,1) a un día es muy bajo. (9) (10) Modelización de la volailidad del ipo... 75

13 Revisa de Gráfico. Volailidad diaria del ipo de inerés a un mes. Se represenan las series de volailidad esimada con los modelos: CKLS, GARCH y Mixo, así como la volailidad realizada durane el periodo de análisis (de agoso de 1994 a diciembre de 000) aproximada mediane. r Volailidades 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 03/08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/ /08/000 Desv CKLS Desv GARCH Desv MIXTOS Volailidad realizada Cuadro 3. Conrase de razón de verosimiliud. Panel A: Modelos GARCH versus Modelos Mixos Esadísico LR H : 0 H 0 1 Modelo Modelo GARCH Nivel-GARCH GJR Nivel-GJR Panel B: Modelo CKLS versus Modelo Mixo H : 0 H 0 1 Modelo Modelo CKLS Nivel-GARCH Ese cuadro presena los resulados del conrase de razón de verosimiliud (likehood raio: LR) que viene dado por la siguiene expresión: LR Log L Log L * = ( ), siendo * Log L el valor del logarimo de la función de verosimiliud evaluada bajo la hipóesis nula y Log L bajo la hipóesis alernaiva. El esadísico LR se disribuye asinóicamene como una χ con grados de liberad igual al número de resricciones bajo la hipóesis nula. Los valores críicos para uno y dos grados de liberad al 5% son χ = y χ =. (1,0.05) 3.84 (,0.05) 5.99

14 Revisa de Adicionalmene comparamos los modelos a ravés del conrase de razón de verosimiliud que aparece en el Cuadro 3. Bajo la resricción γ = 0 los modelos Mixos anidan a los modelos GARCH correspondienes y bajo las resricciones β = α = 0 al modelo de CKLS. Tales resricciones conforman las hipóesis nulas en el conrae de razón de verosimiliud. El rechazo de ambas hipóesis pone de manifieso la necesidad de modelizar la volailidad conjunamene en función del nivel y del impaco de las innovaciones. 5. CONCLUSIONES En ese rabajo se han analizado res grandes grupos de modelos para la volailidad de los cambios en el ipo de inerés a coro plazo en el mercado español: los llamados modelos Nivel, anidados por el modelo empírico de CKLS (199); los modelos GARCH, el simérico y el GJR- GARCH asimérico; y los modelos Mixos propuesos por BHK (1996), para los cuales la volailidad es función ano del nivel de los ipos como del impaco de las innovaciones. Los resulados nos llevan a corroborar las conclusiones de BHK (1996): los modelos Mixos mejoran cualquier especificación de la volailidad que considere por separado el efeco nivel y la esrucura GARCH. Así, el modelo Nivel general de CKLS muesra una esimación de la sensibilidad al nivel de los ipos que se ve reducida al incorporar el impaco de las innovaciones, indicando que los modelos de Nivel ienden a sobresimar al efeco debido a una mala especificación de la volailidad. Por su pare la familia de modelos GARCH al incorporarles el efeco nivel reducen el alo grado de persisencia en la volailidad, al menos en la pare que corresponde al parámero de volailidad σ. Por úlimo, la fala de evidencia de respuesa asimérica de la volailidad a las innovaciones posiivas y negaivas, nos permie concluir que de los modelos aquí analizados, el modelo Mixo simérico, es decir, el modelo Nivel-GARCH resula ser el más adecuado para modelizar la volailidad de los ipos de inerés a coro plazo en la muesra analizada. REFERENCIAS Abad, P., 000. La esrucura emporal de volailidades en el mercado de swaps de ipos de inerés, Tesis Docoral, Universidad Compluense de Madrid. Aï-Sahalia, Y., Tesing coninuous ime models of he spo ineres rae, Review of Financial Sudies 9 (), Andersen, T. y Bollerslev, Answering he skepcs: yes, sandard volailiy models do provide accurae forecass, Inernaional Economic Review 39, Andersen, T. y J. Lund, 1997a. Esimaing coninuous-ime sochasic volailiy models of he shor-erm ineres rae, Journal of Economerics 77, Andersen, T. y J. Lund, 1997b. Sochasic volailiy and mean drif in he shor rae difusión: sources of seepness, level and curvaure in he yield curve, WP 14, Norhwesern Universiy, Kellog Graduae School of Managemen. Bali, T.G., An Empirical Comparison of Coninuos Time Models of he Shor Term Ineres Rae, Journal of Fuures Markes 19, Modelización de la volailidad del ipo... 77

15 Revisa de Bali, T.G., 000a. Modeling he condiional mean and variance of he shor rae using diffusion, GARCH, and moving average models, Journal of Fuures Markes 0 (8), Bali, T.G., 000b. Tesing he empirical performance of sochasic volailiy models of he shor-erm ineres rae, Journal of Financial and Quaniaive Analysis 35 (), Bali, T.G., 003. Modelling he sochasic behavior of sor-erm ineres raes: Pricing implicaios for discoun bonds, Journal of Banking and Finance 7 (), Ball, C. y W. Torous, The sochasic volailiy of shor-erm ineres raes: Inernaional evidence, Journal of Finance 54 (6), Benio, S., 001. Facores comunes en los niveles y la volailidad de los ipos cupón cero de la Deuda Pública española, Tesis Docoral, Universidad Compluense de Madrid. Black, F. y M. Scholes, The pricing of opions and corporae liabiliies, Journal of Poliical Economy 81, Bollerslev, T., Generalized auorregressive condiional heeroskedasiciy, Journal of Economérics 31, Bollerslev, T. y J. Wooldridge, 199. Quasi máximum likelihood esimaion and inference in dynamic models wih ime varying covariance, Economeric Reviews 11, Brennan, M. y E. Schwarz, Analyzing converible bonds, Journal of Financial and Quaniaive Analysis 15, Brenner, R.J., Harjes, R. y K. Kroner, Anoher look a models of he shor erm ineres rae, Journal of Financial and Quaniaive Analysis 31, Chan, K., Karolyi, A., Longsaff, F. y A. Sanders, 199. An empirical comparison of models of shor erm ineres raes, Journal of Finance 47, Cox, J., Noes on opion pricing I: Consan elasiciy of variance diffusions, WP, Sanford Universiy. Cox, J., Ingersoll, J. y S. Ross, An analysis of variable rae loan conracs, Journal of Finance 35 (), Cox, J., Ingersoll, J. y S. Ross, A heory of he erm srucure of ineres raes, Economerica 53 (), Cox, J y S. Ross, The valuaion of opions for alernaive sochasic processes, Journal of Financial Economics 3 (1-), Dohan, L.U., On he erm srucure of ineres raes, Journal of Financial Economics 6 (1), Engle, R., 198. Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance U.K. inflaion, Economerica 50 (4),

16 Revisa de Engle, R., Discussion: Sock marke volailiy and he Crash of 87, Review of Financial Sudies 3, Engle, R., Lilien, D. y R. Robins, Esimaing ime varying risk premia in he erm srucure: he ARCH-M Model, Economerica 55 (), Engle, R. y V. Ng, Measuring and esing he impac of news on volailiy, Journal of Finance 48 (5), Ferreira, M., 000. Tesing models of he spo ineres rae volailiy, Mimeo (hp://home.isce.p/~mlaf). García, J., Tipos de inerés a coro Plazo en España, Revisa de Economía Aplicada 6 (18), 5-6. Glosen, L., Jagannahan, R. y D. Runkle, On he relaion beween he expeced value and he volailiy of he nominal excess reurn on socks, Journal of Finance 48, James J. y N. Webber, 000. Ineres rae modelling, John Wiley & Sons, Ld., England. Kearns, P., 199. Pricing ineres rae derivaive securiies when volailiy is sochasic, Mimeo, Universiy of Rocheser, NY. Koedijk, K., Nissen, F., Schoman, P. y C. Wolff, The dynamics of shor-erm raes volailiy reconsidered, European Finance Review 1, Koumos, G., 000. Modeling shor-erm ineres rae volailiy: informaion shocks versus ineres rae levels, Journal of Fixed Income 9 (4), Longsaff, F. y E. Schwarz, 199. Ineres rae volailiy and he erm srucure: A wo facor general equilibrium model, Journal of Finance 47 (4), Meron, R., Theory of raional opion princing, Bell Journal of Economics and Managemen Science 4, Moreno, M. y J.I. Peña, On he Term Srucure of Inerbank Ineres Raes: Jump-Diffusion Processes and Opion Pricing, en Dunis, C., Forecasing Financial Markes: Advances for Exchange Raes, Ineres Raes and Asse Managemen, John Wiley & Sons, Navas, J., Consisen vs. Non-Consisen Term Srucure Models: Some Evidence from he Spanish Marke, Journal of Fixed Income 9 (3), Rico, P., 000. Procesos esocásicos del ipo de inerés a coro plazo, Revisa de Economía Aplicada 8 (), Sanon, R., A nonparameric model of erm srucure dynamics and he marke price of ineres rae risk, Journal of Finance 5 (5), Vasicek, O., An equilibrium characerizaion of he erm srucure of ineres, Journal of Financial Economics 5 (), Zakoian, J., Threshold heeroskedasic models, Journal of Economic and Conrol 18, Modelización de la volailidad del ipo... 79