Valor en Riesgo: Evaluación del desempeño de diferentes metodologías para 7 países latinoamericanos Por: Julio Cesar Alonso Mauricio Alejandro Arcos

Transcripción

1 Valor en Riesgo: Evaluación del desempeño de diferenes meodologías para 7 países lainoamericanos Por: Julio Cesar Alonso Mauricio Alejandro Arcos No. 8, Agoso 2006

2 BORRADORES DE ECONOMÍA Y FINANZAS Edior Jhon James Mora Jefe, Deparameno de Economía jjmora@icesi.edu.co Asisene de edición Sephanie Vergara Rojas Gesión ediorial Deparameno de Economía Universidad ICESI Conenido: 1.- Inroducción Cálculo del Valor en Riesgo Aproximación paramérica Aproximación no-paramérica Aproximación semi-paramérica Evaluación empírica. El diseño del ejercicio Daos Proceso de Esimación Evaluación del Ajuse Resulados Comenarios Finales Referencias Anexo 1. Gráficos de Probabilidad Normal (q-q plo o Normal Probabiliy Plo) páginas ISSN Primera edición, sepiembre de

3 VALOR EN RIESGO: EVALUACIÓN DEL DESEMPEÑO DE DIFERENTES METODOLOGÍAS PARA 7 PAÍSES LATINOAMERICANOS. Julio Cesar Alonso 1 Mauricio Alejandro Arcos 2 Resumen: Ese documeno evalúa el comporamieno de diferenes méodos (paramérico, no paraméricos y semi-paraméricos) para esimar el VaR (valor en riesgo) de un porafolio represenaivo para 7 países lainoamericanos. El cálculo del VaR implica la esimación del i-esimo percenil de la disribución del valor fuuro del valor de un porafolio. Los resulados no muesran la exisencia de un méodo que se compore mejor que los demás. Con un nivel de confianza del 95% los modelos paraméricos que emplean el EWMA se desempeñan en general bien así como con el TGARCH, pero esos modelos ienen un comporamieno pobre cuando la significancia considerada es del 1%. Absrac: This paper evaluaes he performance of differen parameric and semiparameric mehods, as well as he hisorical simulaion mehod, o esimae he nexrading-day VaR of 7 represenaive porfolios for 7 differen Lain American counries. I is found ha here is no a single model ha ouperforms he ohers. For a 95% confiden level, parameric models wih EWMA and TGARCH specificaion o updae he volailiy ouperforms he ohers. On he oher hand, hose models over-esimae he rue VaR for a 99% confidence level. Palabras claves: Valor en Riesgo, GARCH, TGARCH, EWMA, Simulación Hisórica, Backesing., Laino América, Aproximación Paramérica, Filrado Hisórico. Clasificación JEL: C22; C52; C53; G15 1 Direcor Cenro de Invesigaciones en Economía y Finanzas de la Universidad Icesi (CIENFI). Profesor iempo compleo. jcalonso@icesi.edu.co 2 Asisene de invesigación CIENFI. Esudiane Economía y Negocios Inernacionales Icesi. 2

4 1.- Inroducción La gerencia del riesgo se ha converido en uno de los emas más imporanes para las insiuciones financieras, no financieras, reguladoras y académicas. Ese inerés ha llevado al cenro de la discusión académica y regulaoria las mediciones de riesgo de mercado. El Valor en Riesgo (VaR por su nombre en inglés) se ha converido en una de las herramienas más empleadas para la medición de riesgo ano por reguladores, agenes y académicos. Una de las razones para esa popularidad es la sencillez del concepo y en especial lo inuiivo de su inerpreación, al ser ésa la medida (esimación) de la máxima pérdida posible para un horizone de iempo y un nivel de significancia deerminados, bajo circunsancias consideradas como normales en el mercado. Esa popularidad daa desde principios de los 80 cuando las principales firmas financieras de los países desarrollaos empleaban el VaR como medida del riesgo de sus porafolio. Pero a mediados de los 90 esa popularidad se poencializa por el inerés de los reguladores en el VaR como medida de riesgo. En abril de 1995 el Comié de Basilea para la Supervisión Bancaria propuso permiir a los bancos calcular sus requerimienos de capial para cubrir su riesgo de mercado por medio de sus propios modelos VaR. En junio de ese mismo año, la Reserva Federal de los Esados Unidos adopa un a medida similar. En diciembre de ese mismo año, la US Securiies and Exchange Commission inicio la discusión de una propuesa de emplear medidas de riesgo corporaivo, enre las cuales se incluían el VaR. Después de la segunda miad de los 90 el VaR se popularizó en el mundo como medida del riesgo de mercado de acivos o porafolios. 3

5 Si bien el concepo derás del VaR es muy sencillo, el cálculo de ése no lo es, pues implica en la mayoría de casos suponer el comporamieno de la disribución de los rendimienos. Algunas aplicaciones implican suponer una disribución normal con varianza consane de los rendimienos, mienras que oras implican manener el supueso de la disribución pero permiiendo que la varianza se acualice periodo ras período. Ese documeno evalúa el comporamieno predicivo de 5 méodos de cálculo de esimación del VaR para los porafolios represenaivos de 7 países lainoamericanos. Para al fin, se emplean los rendimienos de los índices de Bolsa de Argenina, Brasil, Colombia, Chile, México, Perú y Venezuela. El documeno esá organizado de la siguiene manera, la primera pare corresponde a esa breve inroducción. La segunda discue rápidamene los méodos a emplear para la esimación del VaR. La ercera sección discue los cálculos realizados, así como los méodos que se emplearán para su evaluación. La ercera pare resume los resulados obenidos. 2.- Cálculo del Valor en Riesgo En esa sección se presenará una breve revisión y clasificación de diferenes méodos que se emplearán más adelane para el cálculo del VaR para el siguiene día. El Valor en Riesgo se define como la máxima perdida esperada en un porafolio con ciero nivel de confianza en un deerminado periodo de iempo. Específicamene, el VaR para el siguiene período de negociaciones dada la información disponible en el acual periodo ( VaR + ) esa definido por: 1 Pr( z < VaR ) = α, (1)

6 Donde z + 1 represena el cambio (o rendimieno) fuuro en el valor del porafolio en un periodo de iempo deerminado y α es uno menos el nivel de confianza del VaR. Cieramene, la implemenación de VaR depende de los supuesos subyacenes sobre la serie de los reornos. Es fácil demosrar que si z + 1 siguen una disribución cuyos dos primeros momenos son finios (como la disribución normal o la ), enonces el valor en riesgo será: ( ) VaR = F α σ (2) + 1 Donde σ represena la desviación esándar de la disribución de z + 1 y F ( α ) es el cuanil alpha de la correspondiene disribución (esandarizada). Así, si bien la inerpreación e idea derás del VAR es muy sencilla, su cálculo no lo es. El cálculo del VaR depende crucialmene de dos supuesos respeco al comporamieno de z + 1: su volailidad (desviación esándar σ ) y su disribución F ( ). Como se mencionó, exisen varias aproximaciones meodológicas para la esimación del VaR que básicamene se clasifican en: i) aproximación por medio de la mariz de varianzas y covariazas o aproximación paramérica; ii) la simulación hisórica o aproximación no-paramérica, y, iii) la semiparamérica que incluye enre oras la aproximación por medio de la eoría del valor exremo y la simulación hisórica filrada. En las siguienes secciones se describirán rápidamene esas aproximaciones. 5

7 2.1.- Aproximación paramérica. Esa aproximación implica suponer una deerminada función de disribución (y por ano F () ) y el comporamieno del parámero que la caraceriza (σ ). Un hecho esilizado muy documenado sobre los rendimienos de acivos es la presencia de varianza grupal (volailiy clusering) 3 ; en oras palabras, la volailidad no es consane y por ano σ dependerá del iempo ( σ + 1 ). Teniendo en cuena ese hecho esilizado, el VaR de un porafolio puede ser enonces esimado usando la siguiene expresión ( ) 1 VaR + = F α σ + (3) 1 Donde σ + 1 es la desviación esándar condicional a la información disponible en el periodo. Reornado a la disribución de los rendimienos, un supueso común es que los reornos diarios se disribuyen normalmene, y por ano F ( α ) corresponde simplemene al cuanil apropiado de la disribución normal esándar. A pesar de que el supueso de normalidad simplifica ampliamene los cálculos del VaR, eso implica un coso relaivamene alo, pues hay amplia evidencia que susena que las renabilidades diarias si bien siguen una disribución acampanada y simérica, poseen un alo grado de lepocurosis 4 (colas pesadas). De esa manera, dado el supueso en orno a la disribución de lo rendimienos, será necesario deerminar un comporamieno de la volailidad. El modelo más simple para deerminar σ + 1 es el promedio móvil ponderado exponencialmene o proceso EWMA, por sus siglas en inglés. 3 Con (2001) y Alonso y Arcos (2005)) 4 Cuando las renabilidades son lepocuricas, el uso de una disribución normal subesima la probabilidad de las renabilidades en los exremos; y por ano, se generaran esimaciones del VaR que son por lo general muy pequeñas. Una opción es asumir que la disribución de los rendimienos sigue una disribución. 6

8 El EWMA implica que la varianza del periodo siguiene como un promedio ponderado de la varianza acual y el rendimieno acual al cuadrado ( z ) σ = 1 λσ + (1 + λ) z (4) Donde λ represena el facor de decaimieno que asigna la influencia en la volailidad acual de la varianza del período anerior 5. Como lo demuesran Guerman y Harris (2002), la esimación de la varianza condicional por el méodo del EWMA es un caso especial de un modelo de GARCH 6 (Engle (1982) y Bollerslev (1986)). El modelo GARCH (1,1) para la varianza condicional de las renabilidades viene dado por la siguiene expresión σ = 1 α + 0 ασ α2z (5) Donde, α 1 y α 2 son parámeros a ser esimados 7. Dado el supueso de la disribución de las renabilidades, las esimaciones de los parámeros del modelo (5) se pueden enconrar por medio del méodo de máxima verosimiliud. Una exensión del modelo GARCH para modelar la volailidad de los rendimienos es el TGARCH(1,1) (Treshold GARCH). Ese ipo de modelo inena capurar la presencia de comporamienos asiméricos en la varianza; es decir, a renabilidades negaivas (o por debajo de su media hisórica) se asignan mayores varianzas condicionales con respeco a renabilidades 5 JP Morgan emplea en su RiskMerics un λ de 0.94 para daos diarios y 0.97 para daos mensuales. 6 De la sigla inglesa Generalized Auoregressive Condicional Heeroscedasiciy 7 Noe que cuando α 0 = 0 y α2 = 1 α1, eso reduce el GARCH(1,1) a el modelo EWMA y es conocido como un modelo GARCH inegrado o IGARCH. 7

9 posiivas. En ese caso el modelo que describe la varianza condicional ( siguiene parón: 2 σ + 1 ) se supone seguirá el σ = 1 α + 0 βσ + 1 α1z + + γdz (6) Donde, d 1 z < 0 = 0 z 0 (7) Ese modelo preende capurar el mayor riesgo asociado a rendimienos negaivos que posiivos. Exisen muchas más exensiones a los modelos GARCH, sin embargo, hay poca evidencia que permia afirmar que alguno de esos modelos apora una mejora significaiva sobre el GARCH (1,1) (para una mayor discusión ver Hendricks (1996)). Adicionalmene, en el conexo del VaR, la evidencia empírica sugiere pocas razones por la cuales elegir enre el modelo GARCH (1,1) y el EWMA. Para resumir, esa aproximación implica emplear (3), asumir una disribución para los rendimienos y por ano una F () (frecuenemene se asume que dicha disribución es normal o ) y una manera para acualizar la varianza condicional ( σ + 1 ) que frecuenemene puede ser un modelo EWMA, GARCH, TGARCH, ec Aproximación no-paramérica Esa aproximación no emplea ningún supueso sobre la disribución de los rendimienos, ni supone ningún ipo de comporamieno de los parámeros. Una de las aproximaciones no paraméricas más 8

10 empleadas es la Simulación Hisórica (SH). Esa aproximación implica emplear los reornos hisóricos para derivar el VaR por medio del percenil empírico de la disribución muesral. Lo anerior equivale a la siguiene expresión n {{ } } SH VaR = Percenil z, α 100 (8) = Es decir, la SH asume que la disribución de los rendimienos fuuros es bien descria por la disribución hisórica de los rendimienos. Dado que no se supone ninguna disribución especifica (como la normal o la ) y que emplea las realizaciones de los rendimienos, ese méodo iene en cuena posibles disribuciones no-normales y colas pesadas; sin embargo, no iene en cuena la posibilidad de una volailidad condicional. Finalmene, es imporane anoar, que si bien esá aproximación aparenemene no implica supueso alguno sobre la disribución de los rendimienos, de hecho si esá suponiendo que la disribución es consane y por ano la volailidad Aproximación semi-paramérica La aproximación paramérica implica el supueso crucial de la disribución de los rendimienos, pero permie considerar las innovaciones en la varianza. Por oro lado, la aproximación no paramérica no necesia suponer una disribución, pero no permie acualizar la volailidad. Exise una aproximación que permie combinar la aproximación paramérica y no paramérica denominada Simulación Hisoria Filrada (SHF) propueso por Hull and Whie (1998.) y Barone-Adesi e al (1999). Esa aproximación responde a los requerimienos de colas pesadas (ver Barone -Adesi y Giannopoulos (2001) para una discusión del ema) y acualización de la varianza. En ese caso el VaR es calculado como: n {{ } } 1 SHF VaR = Percenil ε, α 100 σ (9) + = 9

11 Donde ano ε y σ + 1 son generados a parir de un modelo de comporamieno de la volailidad, como por ejemplo un modelo GARCH (1,1). 3.- Evaluación empírica. El diseño del ejercicio. En la sección anerior se describieron diferenes méodos para la esimación del VaR: i) res méodos paraméricos (EWMA, GARCH(1,1) TGARCH(1,1) bajo el supueso de una disribución normal o de los rendimienos), ii) uno no-paramérico (SH) y iii) uno semi-paramérico (SHF). En esa sección generaremos, para cada uno de esos méodos, pronósicos de VaR, fuera de muesra, del siguiene día para porafolios represenaivos de siee países lainoamericanos Daos Los daos empleados corresponden a las renabilidades diarias coninuas calculadas para 7 índices de Bolsa de países lainoamericanos: Argenina, Brasil, Colombia, Chile, México, Perú y Venezuela. (El amaño y coberura de las muesras es diferene para cada uno de esos países) En especial los índices empleados corresponden a: MERVAL (Argenina), IBRX (Brasil), SIPSA (Chile), IGBC (Colombia), Índice de Precios y Coizaciones (México), IGVBL (Perú) e Índice Bursáil de Caracas (Venezuela). Dichos daos fueron obenidos a parir de la base de daos Economáica., omiiendo los fines de semana y fesivos. La Tabla 1 muesra el resumen esadísico para las siee series. 10

12 Tabla 1. Resumen esadísico de los daos empleados. 1 de 2 Argenina Brasil Chile Perú Periodo 10/19/ /28/1995-1/2/1989-1/2/1986-2/21/2005 2/21/2005 2/8/2005 2/21/2005 Observaciones Minimo -0, , , , Maximo 0, , , , Media 0, , , , Varianza 0, , , , Error esandar 0, , , , Coeficiene de Asimeria -2, , , , Curosis 76,067 15, ,680 6, Jarque-Bera ,4 *** 21413,34 *** *** 8491,296 *** Se puede rechazar la Hipóesis nula de Normalidad con un 99% de confianza Tabla 1. Resumen esadísico de los daos empleados. (Con.) 2 de 2 Colombia Mexico Venezuela Periodo 1/2/1991-6/12/ /31/1990-2/21/2005 2/21/2005 2/21/2005 Observaciones Minimo Maximo Media Varianza Error esandar Coeficiene de Asimeria Curosis Jarque-Bera *** *** *** *** Se puede rechazar la Hipóesis nula de Normalidad con un 99% de confianza Como era de esperarse, y corroborando los hechos esilizados del comporamieno de los rendimienos, no exise evidencia a favor de la normalidad de la renabilidad diaria. En el Anexo 1 se presena ora medida de normalidad, el q-q plo o gráfico de probabilidad normal, en odos los casos es evidene la presencia de colas más pesadas que lo esperado bajo una disribución normal. Hecho que es corroborado por la curosis de las series (odas son lepocuricas). También exise alguna evidencia de asimería, aunque como lo punualizan Guerman y Harris (2002), en presencia de exceso de curosis dicha asimería es difícil de inerprear. 11

13 3.2.- Proceso de Esimación Para cada una de las series se emplea una venana móvil de mil observaciones para la esimación del VaR de acuerdo a cada uno de los 18 modelos paraméricos relacionados en la Tabla 2. Así SH mismo se esimo el modelo de simulación hisórica ( VaR + ) y 16 modelos semiparaméricos de 1 simulación hisórica filrada. En el caso de los cálculos semiparaméricos, se emplea los mismos 18 modelos para acualizar la varianza empleados para el caso paramérico a excepción de aquellos que suponían una disribución. Tabla 2. Los 18 modelos paraméricos empleados para la esimación del VaR. Supueso de la Noación disribución de los rendimienos EWMA( λ ) VaR + 1 Normal Modelo para la acualización de la volailidad EWMA σ = 1 λσ + (1 + λ) z, para λ = 0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.91,0.92, GARCH ( NORMAL) VaR + 1 Normal GARCH(1,1) σ = 1 α + 0 ασ α2z GARCH ( Dn ) VaR + 1 Disribución GARCH(1,1) σ = 1 α + 0 ασ α2z VaR + Normal TGARCH ( NORMAL) 1 VaR + Disribución TGARCH ( Dn ) 1 TGARCH(1,1) σ = 1 α + 0 βσ + 1 α1z + + γdz donde d = 1 si z < 0 y d = 0 si z 0 TGARCH(1,1) σ = 1 α + 0 βσ + 1 α1z + + γdz donde d = 1 si z < 0 y d = 0 si z 0 Una vez generado el pronósico fuera de muesra para el periodo +1, la venana de mil observaciones es movida para generar el siguiene pronósico y así sucesivamene hasa agoar la muesra oal. 12

14 3.3.- Evaluación del Ajuse Evaluar la bondad de ajuse de nuesros diferenes modelos para el cálculo del VaR no es una area rivial. Dado que la realización del VaR en el periodo +1 no es observable, pues solo conamos con una realización del rendimieno en el periodo +1, endremos que realizar varias consideraciones para evaluar los modelos. Dada la definición de VaR, la manera más inuiiva para comprobar la bondad de nuesro modelo será comprobar cuál es la proporción en que se observa una perdida superior a la predicción del modelo (es decir superior al VaR). Dicha proporción debería ser en promedio igual al nivel de significancia; en oras palabras, el modelo debe proveer la coberura no condicionada. Para comprobar eso calculamos las proporciones de excepciones ˆp (eveno en el que el rendimieno es menor al VaR) para cada uno de los modelos que son esimados. Con el fin de evaluar la hipóesis nula que p (1995), cuya expresión corresponde a = α, se puede emplear el esadísico de Kupiec U = pˆ α pˆ(1 pˆ) / N (10) Donde ˆp es la proporción de excepciones observada y N es el número oal de predicciones. Kupiec (1995) demosró que ese esadísico sigue una disribución con N-1 grados de liberad. Ora forma de evaluar los pronósicos provisos por el VaR, es considerar como una condición a cumplir por pare de un modelo de dicha nauraleza, el proporcionar una correca coberura condicional. Pues si un modelo VaR capura de manera precisa la disribución condicional de los 13

15 reornos y sus propiedades dinámicas 8, enonces las excepciones deben ser impredecibles. Para evaluar la hipóesis nula de la correca coberura condicional para un modelo VaR, Chrisoffersen (1998) derivó el esadísico basado en una razón de máxima verosimiliud (LR) que sigue una disribución Chi-cuadrado con 2 grados de liberad, dado por: LR = 2( LnL LnL ) (11) C A 0 T00 + T10 T01+ T11S L = (1 π ) π (1 π ) π, L0 = (1 π) π, π ij = Tij /( Ti 0 + Ti 1), T00 T01 T10 T11 Donde A ( )/( ) π = T01 + T11 T00 + T01 + T10 + T11, y ij T es el numero de veces en que el esado i-ésimo es seguido del esado j-esimo, donde el esado 0 es donde la perdida del porafolio es menor que el VaR esimado, y el 1 corresponde al esado en el cual el reorno acual es mayor que el VaR esimado 9. Ora forma de evaluar diferenes modelos de medida de riesgo es emplear la función de uilidad que incluya de alguna manera la magniud de la pérdida asociada al méodo, al como lo sugiere López (1998) López inroduce una función de magniud de pérdida ( magiude loss funcion ) que iene en cuena el número de excepciones y la magniud de la excepción, de la siguiene forma: ( ) 2 Lopez 1 + z+ 1 VaR si y 1 1 VaR + + < + 1 Ψ + 1 = (12) 0 ow.. Así, esa función penaliza de mayor manera al méodo en el que las excepciones sean más grandes. Siguiendo a López (1998) un modelo de medición de riesgo será preferido si minimiza N Lopez. = 1 Ψ= Ψ 8 Condiciones ales como volailidad variable a ravés del iempo y la curosis. 9 El esadísico LRc sigue una disribución Chi-cuadrado con 3 grados de liberad. 14

16 4.- Resulados La ablas 3 y 4 regisran la asa de excepciones ( ˆp ), el p-valor del esadísico para el conrase de la hipóesis de la correca coberura no-condicionada, y el p-valor de la razón de máxima verosimiliud (LR) para el conrase de la hipóesis nula de la correca coberura condicional y el valor del esadísico de López (1998), para odos los modelos evaluados con un nivel de confianza ano del 95% como del 99, respecivamene. Los resulados más desacables para el caso de un nivel de confianza del 95% (Tabla 3) son los siguienes: 1. Se puede observar que el méodo EWMA, para algunos de los diferenes facores de decaimieno, proveen el cubrimieno nominal deseado (coberura no condicionada). Pero en general ese méodo no provee el cubrimieno condicional deseado, a excepción de algunos facores de decaimieno para Chile. 2. Coninuando con el méodo EWMA, para odos los índices se prefiere el mayor facor de decaimieno de acuerdo al crierio de López (1998). 3. El modelo TGARCH, ya sea con una disribución normal o -suden asociada, posee un porcenaje de excepciones esadísicamene igual al esperado (coberura no condicionada) para odos los índices bursáiles; en el caso de Chile no se pudo calcular ese modelo. La coberura condicional de los dos modelos TGARCH ambién es la correca para odos los casos que se calculó el modelo. Cabe resalar, que la aproximación paramérica por medio del modelo TGARCH, con excepción de Colombia, no parece enconrar ninguna diferencia enre suponer una disribución normal o -suden, en especial si se considera el crierio de López (1998). 15

17 4. Si se comparan los modelos TGARH y los EWMA de acuerdo al crierio de López (1998) se iene que en érminos generales el modelo TGARCH es, preferible a los diferenes EWMA, pues en el caso de Argenina, México y Perú, ya sea que el modelo TGARCH cuene con una disribución normal o -suden, el correspondiene esadísicos de López es el menor. Adicionalmene, en el caso de Colombia el modelo TGARCH con disribución presena el menor esadísico en comparación a cualquier modelo de nauraleza EWMA. Por oro lado, el desempeño de ese modelo de nauraleza paramérica es pobre cuando se compara conra cualquier modelo EWMA para las series de Brasil y Venezuela. (No aplica ese esadísico para el caso de Chile). 5. Los oros modelos evaluados y no mencionados aneriormene se caracerizan por su incapacidad de saisfacer la coberura no-condicionada y/o la coberura condicionada, por lo cual no se hace mayor mención al respeco. Para el caso de un nivel de confianza del 99% (Ver Tabla 4) los resulados son oalmene diferenes. Para la esimación por el méodo del EWMA, ningún facor de decaimieno brinda la coberura no condicionada deseada, si bien para el caso de Argenina, Brasil y Chile se presena la coberura condicional deseada para valores bajos del facor de decaimieno 10. Así mismo, observando los modelos resanes regisrados en la Tabla 4 se puede apreciar que el TGARCH, ya sea con una disribución normal o -suden asociada, no cumple las condiciones esablecidas para la mayoría de las series de índices bursáiles, pues solo se desempeña bien para Brasil y Venezuela. Cabe resalar, que la aproximación paramérica por medio del modelo TGARCH no parece enconrar ninguna diferencia enre suponer una disribución normal o -suden. 10 Para el caso de Chile, con odos los facores de decaimieno se presena la coberura condicional deseada. 16

18 Adicionalmene, al nivel de significancia analizado se logró deerminar que el modelo GARCH bajo una disribución -suden cumple con la oalidad de las condiciones evaluadas en ese esudio para las series de Argenina y Brasil. Ese hecho va en conraposición con lo enconrado por Guerma y Harris (2002), Billio y Pelizzon (2000) y Angelidis y Benos (20004) para series de rendimienos de países desarrollados 11. Considerando solo los modelos que cumplen con los res primeros crierios de desempeño, se logró deerminar que el modelo GARCH con disribución -suden regisra el menor esadísico de López, lo cual lo hace preferible En úlima insancia, los modelos evaluados y no mencionados aneriormene se caracerizan por su incapacidad para saisfacer la coberura no-condicionada y/o la coberura condicionada, por lo cual no se hace mayor mención al respeco. 11 Esos auores enconraron que para rendimienos de países desarrollados el modelo GARCH bajo una disribución sobre-esima la proporción de excepciones ano a 97.5 como al 99% de confianza. 17

19 Tabla 3 VaR al 5% Argenina Brasil Chile ˆp pvalue- v pvalue-lr v Ψ ˆp pvalue- v pvalue-lr v Ψ ˆp pvalue- v pvalue-lr v Ψ EWMA-n E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E GARCH-n E E E E E+11 GARCH E E E TGARCH-n E E+01 NA TGARCH E E+01 NA HS E E FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n E E ***

20 Tabla 3. VaR al 5% (Con.) Colombia Mexico Peru ˆp p-value v p-value LR v Ψ ˆp p-value v p-value LR v Ψ ˆp p-value v p-value LR v Ψ EWMA-n E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E GARCH-n E E E-12 *** 5.82E E E E+10 GARCH E E E E-09 *** E E TGARCH-n E E E+02 TGARCH E E E+02 HS E FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n

21 Tabla 3. VaR al 5% (Con.) Venezuela ˆp p-value v p-value LR v Ψ EWMA-n E E E E E E E E E GARCH-n E E E+10 GARCH E E TGARCH-n E E E+01 TGARCH E E E+01 HS E FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n

22 Tabla 4 VaR al 1% Argenina Brasil Chile ˆp p-value v p-value LR v Ψ ˆp p-value v p-value LR v Ψ ˆp p-value v p-value LR v Ψ EWMA-n GARCH-n GARCH TGARCH-n NA TGARCH NA HS FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n

23 Tabla 4 VaR al 1% (Con.) Colombia Mexico Peru p u LR u Ψ p u LR u Ψ p u LR u Ψ EWMA-n GARCH-n GARCH TGARCH-n TGARCH HS FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n

24 Tabla 4 VaR al 1% (Con.) Venezuela p L R Ψ u u EWMA-n GARCH-n GARCH TGARCH-n TGARCH HS FHS-GARCH-n FHS-TGARCH-n NA 23

25 5.- Comenarios Finales En ese documeno hemos empleado diferenes méodos (paramérico, no paraméricos y semiparaméricos) para esimar el VaR de un porafolio represenaivo para 7 países lainoamericanos. Los resulados, como era de esperarse no muesran la exisencia de un méodo que se compore mejor que los demás. De hecho, con un nivel de significancia del 95% los modelos paraméricos que emplean el EWMA se comporan en general bien así como con el TGARCH, pero esos modelos ienen un comporamieno pobre cuando el nivel de confianza considerado es del 1%. Ese resulado puede ser evidencia de la presencia de evenos exremos, ya que al momeno de considerar aconecimienos al final de las colas (VaR con nivel de significancia del 1%) los méodos convencionales no ienen un correco desempeño pues en general ienden a sobre esimar la proporción de excepciones. Resulado que concuerda con lo enconrado por Guerma y Harris (2002) para los índices de Bolsa de Esados Unidos, Japón y Reino Unido. Eso implica la necesidad de esudiar en dealle los valores exremos de los rendimienos, para esimar el VaR con una coberura condicional y no-condicional adecuada. En ese orden de ideas, fuuras invesigaciones implicarán emplear la eoría de los valores exremos para modelar el comporamieno de los rendimienos de los porafolios represenaivos de las principales bolsas de esos países lainoamericanos.

26 6.- Referencias Alonso C., Julio César and Mauricio Alejandro Arcos "4 Hechos Esilizados de las series de rendimienos: Una ilusración para Colombia." Mimeo. Angelidis, Timoheos and Alexandros Benos "Value-a-Risk for Greek Socks." Mimeo. Barone-Adesi, G., K. Giannopoulos, and L. Vosper "VaR wihou correlaions for nonlinear Porfolios." Journal of Fuures Markes, 19, pp Barone Adesi, Giovanni and Kosas Giannopoulos "Non-parameric VaR Techniques: Myhs and Realiies." Economic Noes. July, 30:2, pp Billio, M. and L Pelizzon "2000. Value-a-Risk: A mulivariae swiching regime approach." Journal of Empirical Finace, 7, pp Bollerslev, T "Generalized auoregressive condiional heeroscedasiciy." Journal of Economerics, 31, pp Chrisoffersen, Peer "Evaluaing inerval forecass." Inernaional Economic Review, 39, pp Con, Rama "Empirical Properies of Asse Reurns: Sylized Facs and Saisical Issues." Quaniaive Finance, 1:2, pp Engle, Rober F "Auoregressive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaion." Economerica, 31, pp Guerma, Cherif and Richard Harris "Forecasing value a risk allowing for ime variaion in he variance and kurosis of porfolio reurns." Inernaional Journal of Forecasing, 18, pp

27 Hendricks, D "Evaluaion of value-a-risk models using hisorical daa." Federal Reserve Bank of New York Economic Policy Review, pp Hull, J. and A. Whie "Incorporaing volailiy updaing ino he hisorical simulaion mehod for VaR." Journal of Risk, 1, pp Kupiec, P.H "Techniques for verifying he accuracy of risk measuremen models." The Journal of Derivaives, 3, pp López, José. A "Mehods for evaluaing Value-a-Risk esimaes." Federal Reserve Bank of New York, Economic Policy Review.:2, pp

28 Anexo 1. Gráficos de Probabilidad Normal (q-q plo o Normal Probabiliy Plo) MERVAL (Argenina) IBRX (Brasil) Normal Q-Q Plo Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Sample Quaniles SIPSA (Chile) Theoreical Quaniles Normal Q-Q Plo IGBC (Colombia) Theoreical Quaniles Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Sample Quaniles Theoreical Quaniles Theoreical Quaniles 27

29 Índice de Precios y Coizaciones (México) IGVBL (Perú) Normal Q-Q Plo Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Sample Quaniles Theoreical Quaniles Índice Bursáil de Caracas (Venezuela) Theoreical Quaniles Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Theoreical Quaniles 28

30 RESUMEN BORRADORES DE ECONOMÍA Y FINANZAS Número Auor Tíulo Fecha El efeco de las caracerísicas socio-económicas sobre la 1 Jhon J. Mora consisencia en la oma de decisiones: Un análisis May-01 experimenal. 2 Julio C. Alonso Crecer para exporar o exporar para crecer? El caso del Valle del Cauca. Mar-05 3 Jhon J. Mora La relación enre las herencias, regalos o loerías y la probabilidad de paricipar en el mercado laboral: EL caso de Jun-05 España, Julián Benavides Concenración de la propiedad y desempeño conable: El caso lainoamericano. Sep-05 Price ransmission dynamics beween ADRD and heir 5 Luís Berggrun underlying foreign securiy: The case of Banco de Colombia Dic-05 S.A.- BANCOLOMBIA 6 Julio C. Alonso y Vanesa Inegración espacial del mercado de la papa en el Valle del Monoya Cauca: Dos aproximaciones diferenes, una misma conclusión Mar-06 7 Jhon J. Mora Daos de Panel en Probi Dinámicos Jun-06 8 Julio C. Alonso ymauricio Valor en Riesgo: evaluación del desempeño de diferenes Arcos meodologías para 7 países lainoamericanos Ago-06 29