CALCULO DE VAR PARA UN PORTAFOLIO DE PRÉSTAMOS

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1 CALCULO DE VAR PARA UN PORTAFOLIO DE PRÉSTAMOS INTRODUCCIÓN 1 Ricardo A. Tagliafichi Una de las principales funciones de las enidades financieras es la colocación de los depósios en présamos en sus disinas versiones: compra de bonos y obligaciones negociables, présamos personales, prendarios, hipoecarios, descueno de documenos, anicipos en cuena corriene, financiación de arjeas de crédio, ec. Ese flujo de fondos a cobrar que surge de ese porafolio de présamos, esá sujeo a los siguienes riesgos: o o o Riesgo de Crédio Riesgo de Tasa de Inerés Riesgo de Liquidez Ese rabajo esá dedicado al análisis de dichos riesgos y la valoración de los mismos mediane disinos modelos de cálculo financiero y esadísica. En primer lugar se analiza el riesgo de Crédio mediane el cálculo de la mora de la carera según definiciones del Banco Cenral de la República Argenina y la aplicación de un modelo de scoring, a los efecos de calcular la mora a la que se expone dicha carera. Como segunda pare se desarrollan modelos de aplicación para el cálculo del valor acual de la carera por flucuaciones en la asa de inerés, se analizan las esrucuras de asas en disinos ambienes económicos y la predicción del comporamieno de la misma. En la ercer pare y como consecuencia de las flucuaciones de la asa de inerés, nos enfrenamos con el riesgo más imporane de la indusria financiera que es el riesgo de liquidez o lo que seria no poder honrar las obligaciones a su vencimieno. Ese riesgo esá ínimamene relacionado con los vaivenes de la asa de inerés. Se muesran los efecos del descalce. Finalmene con las medidas de los riesgos calculadas se muesran las disinas alernaivas a adopar para miigar las posibles pérdidas esimadas por los modelos aplicados. 1. EL PORTAFOLIO DE PRÉSTAMOS Las enidades financieras, por el origen de su acividad, ienen una gran pare de sus acivos inveridos en présamos de disino ipo, lo que llamamos un porafolio de rena fija.

2 Si queremos simplificar el concepo a los efecos de unificar el funcionamieno de los efecos financieros, podemos decir que la enidad financiera se dedica a la compra de derechos de cobranzas de disinos flujos de fondos. En oras palabras se oorga un présamo y el deudor debe reinegrar una canidad de cuoas, compra un bono u obligación negociable y el emisor se compromee a reinegrar el capial más el inerés en los plazos de emisión convenidos. Hasa mediados de los 80 para las enidades financieras el único riesgo que se analizaba era el riesgo de crédio, específicamene el riesgo de mora y defaul de los flujos de fondos compromeidos. Con los úlimos aconecimienos y las crisis recurrenes en odas pares desde los 90 a la fecha, el cálculo del riesgo de crédio se ha sofisicado y han aparecido oros riesgos que ponen a las enidades y al sisema frene a una crisis de confianza. El sisema financiero se sosiene solo si en el momeno del vencimieno de los compromisos la enidad financiera honra sus obligaciones. La sola mención del delay de un pago por 24 horas provoca un resfriado que puede converirse en pulmonía, neumonía y muere del sisema. Por ello la valoración de los acivos deducidas las respecivas reservas por los riesgos a que esá expueso el porafolio, debe guardar una relación sana con los compromisos asumidos en el pasivo. 1.1 VaR de Crédio Para el cálculo del riesgo de mora o defaul, es imporane definir los ipos de présamos que oorgan las enidades financieras 1.2 Tipos de présamos El porafolio de rena fija se lo puede dividir en dos grandes grupos: 1) Bonos, obligaciones negociables y présamos a enidades calificadas o suscepibles de calificación de crédio 2) Présamos personales, prendarios, hipoecarios, ec. En el caso del primer grupo, las calificadoras de riesgo deben emiir una calificación del deudor en el momeno de la emisión de las obligaciones, con el compromiso de manener al deudor calificado hasa el vencimieno del produco emiido. A parir de dicha calificación se uiliza una mariz de ransición o proceso de Markov a los efecos de obener la probabilidad de defaul del deudor en un periodo dado. Esa forma de cálculo esá basada en dos pilares a) la calificación del deudor y b) la confección de la mariz de ransición. 2

3 Tabla 1. Mariz de ransición a un año de plazo Califica ción Inicial Calificación a fin de año (% de probabilidad de cambio) AAA AA A BBB BB B CCC Def. AAA AA A BBB BB B CCC Una de las formas de corroborar el cálculo anerior sería recurriendo al dicho popular Cuando la limosna es grande hasa el sano desconfía, en ese caso el exceso de asa sobre el rendimieno del acivo puede dar una idea de la probabilidad de defaul según el siguiene esquema. 3

4 Proceso de Defaul Probabilidad = Defaul Pago = f $ Precio Inicial P Probabilidad = 1 - No hay defaul Pago = $ P f 100 (1 ) (1 i ) (1 i) (1 i) (1 i) 1 f (1 i ) (1 i) 1 f (1 i ) ( i i) (1 i )(1 f ) donde: es la probabilidad de defaul f es la asa de recupero en caso de defaul i es la asa de inerés libre de riesgo TLR (fly o qualiy) i es la asa de inerés aplicada a la operación o TIR P es el precio de mercado VN es el Valor Nominal o flujo de fondos 4

5 Considerando múliples periodos, compondremos asas de inerés y asas de defaul sobre cada periodo. En oras palabras es ahora un promedio anual de asa de defaul; suponiendo que la inversión es por periodos resula: P (1 i) 100 (1 i ) (1 i ) 100 (1 i) Reordenando los érminos se puede escribir: (1 i) (1 i ) (1 i) (1 i ) f 100 (1 ) i (1 ) 1 f 1 1 (1 ) 1 f (1 ) (1 f ) f f (1 ) Cuando exise un defaul se recupera una proporción de la inversión (f ) y se pierde una proporción o porcenaje igual a (1 f ) que llamamos coeficiene de pérdida. El raio enre el premio o exceso de asa por sobre la asa libre de riesgo y el coeficiene de pérdida da una idea de la magniud de la probabilidad de defaul. Ya quedó demosrado en la pasada crisis de las hipoecas basura en 2007, la falacia de las calificaciones de los deudores. Las calificaciones de Lehman Brohers y Madoff permiían esablecer en una de las marices de ransición que la probabilidad de defaul para los próximos 360 días era del 0.16% y la probabilidad de salir de la caegoría de invesmen grade era del 5% en el mismo período. El segundo grupo, los présamos que se cancelan con pagos siguiendo sisemas de présamo francés, alemán, americano o bulle y de caída libre, para deudores que no ienen y no necesian calificación de riesgo, la probabilidad de defaul para un periodo dado puede ser calculada mediane el empleo de un modelo de scoring aplicado a la enidad. A parir de una gran canidad de observaciones se puede consruir un modelo de Scoring de manera al que permia calcular la probabilidad de defaul. 5

6 Variable Tabla 2. Modelo de información requerida Presena arasos de pago por más de 90 días (defaul) Variable dependiene Tipo Nro. de veces Dummy Valor de la variable Si Nro. > 0 Valor = 1 Impore del présamo Valor Valor Relación cuoa / ingreso Valor Valor Esado Civil Dummy Casado = 0 Tiene garane Dummy Si = 0 Es propieario del lugar donde vive Dummy Si = 0 Zona de residencia (algunas zonas pueden ser omadas como riesgosas) Dummy Tiene cheques rechazados Dummy Si = 1 Zona riesgosa = 1 A parir de las i observaciones realizadas en el cuadro anerior, esas son enunciaivas, si se aplica un modelo de regresión lineal de Mínimos Cuadrados clásico para un suceso binomial en ese caso, esuvo alguna vez durane la vida del conrao con mora de más de 90 días, que denominaremos defaul, se obiene como resulado de la ecuación un valor que llamaremos Scoring. Sea enonces una variable dependiene, binomial, llamada Dummy que solo puede omar dos valores, por ejemplo: Defaul = 1, no Defaul = 0 Si llamamos: y i = 1 (en caso de defaul) y i = 0 (en caso de no defaul) Enonces el modelo de regresión será: P( y 1 x ) 1 F( x ) Donde F es una función conínua y denoa la probabilidad acumulada para el coeficiene enconrado o sea la probabilidad que se produzca el suceso, en nuesro caso defaul, esimado a parir de los coeficienes enconrados en la regresión para las variables explicaivas. 6

7 Esa probabilidad acumulada depende del modelo binomial seleccionado para la disribución de F. Los parámeros del modelo que esiman una variable dependiene que solo oma valores de 1 o 0 surgen de una regresión de mínimos cuadrados aplicando el concepo de máxima verosimiliud, para el cálculo de los coeficiene de la mariz x β Esos modelos de regresión binaria paren de la composición del modelo no solo en la selección de las variables explicaivas sino en la selección de la disribución de probabilidades de los errores del modelo. Se presenan para su uso res modelos de regresión binaria para su cálculo que son los siguienes: 1) El modelo Probi (disribución normal de los errores) 2) El modelo Logi (disribución logísica de los errores) 3) El modelo Gompi (disribución de valores exremos de los errores) 2. EL MODELO PROBIT P( y i ' ' 1x ) 1 ( x ) ( x ) i i Ese modelo presena una disribución normal para los errores de la mariz x 3. EL MODELO LOGIT Donde la disribución de los errores depende de una disribución logísica, que admie la presencia de simería pero con colas más pesadas o valores exremos en ambos lados de la curva 4. EL MODELO GOMPIT x ' x x (1e ) e P( yi 1xi ) 1 e ' x (1 e ' ' ) P( y i 1x ) 1 (1 exp( e i ' x )) exp( e ' x ) Esá basada en la disribución acumulada de probabilidades para el ipo I de la disribución de valores exremos o sea es una disribución de probabilidades 7

8 asimérica esimada hacia el lado de los mínimos endiendo a una disribución Weibull. En odos los casos F(x β) es el valor del scoring enconrado y su función represena la probabilidad que un deudor que su análisis arroje ese valor de scoring, se presene en defaul. Cuando se corre un modelo de ese ipo, como resulado de la regresión binaria hay que analizar los siguienes coeficienes: LR y Mac Fadden R 2. El esadísico LR es un coeficiene que sirve para medir si las variables explicaivas del modelo, en su conjuno, son nulas. Su cálculo es igual a 1 donde es la función de máxima verosimiliud y es la función de máxima verosimiliud resringida. Ese coeficiene esadísico iende a la disribución Chi Cuadrado con k grados de liberad siendo k la canidad de variables explicaivas del modelo. El oro coeficiene es el Mac Fadden R². Ese mide los resulados de las disinas opciones del cálculo de los residuos del modelo y sirve para elegir el modelo de scoring que se va a uilizar. Ejemplo: Variable dependiene: que el deudor se arase más de 90 días Modelo de scoring: Logi Resulado de la ecuación (x β): 3.45 x' x' Scoring: e 1 e = (suele mosrárselo como 969) Probabilidad que caiga en una mora de más de 90 días = = 3.1% Var para un porafolio de rena fija En un porafolio de rena fija se agrega un componene fundamenal que es la asa de inerés y la esrucura de la misma para calcular el valor del porafolio de rena fija Pariendo de que el valor del porafolio de inversión que llamaremos P es el resulado de la siguiene fórmula: CF1 CF2 CF3 CF P 2 3 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) n n 8

9 El problema se presena en el cálculo de la esrucura de asas para cada uno de los periodos que componen el flujo de fondos de ese porafolio. Ese es un modelo empírico de esrucura de asas de inerés a parir de la coización u observación del mercado expueso en el cuadro siguiene: Gráfico 1 Esrucura de Tasas Plazo TNA % % % % % % % % % Esrucura de Tasas 28.50% 23.50% 18.50% 13.50% 8.50% Tasas proyecadas A parir de esa esrucura de asas esimada se puede calcular el valor del porafolio al día de la fecha y comenzar a esimar VaR pariendo de los cálculos de Duraion y Convexiy que son: MD 1 1 i n 1 1 CF i P Para la Duraion y CV n 1 ( 1) CF (1 i) 2 Para el ajuse por convexidad En forma gráfica se pueden apreciar ambos efecos 9

10 Gráfico 2 De manera al que la variación porcenual del porafolio esará dada por: % P MDi 0.5 CV i Para la esimación de δi, variación porcenual de la asa de inerés, podemos uilizar los pasos uilizados para el cálculo de VaR de rena variable pero en ese caso mirando el oro lado de la curva, dado que la pérdida de valor de nuesro porafolio esará dada por el incremeno de la asa de inerés. Ese valor de δi esá compueso de dos pares: 1) el coeficiene de seguridad que resula de la disribución de probabilidades que se puede aplicar a las variables y 2) la volailidad esimada para el horizone de iempo calculado. 2 10

11 Gráfico 3 Además del cálculo de la volailidad de la asa y su disribución de probabilidades, debemos deerminar qué variable uilizar para el cálculo de la variación de la asa de inerés. Forma de cálculo de la variación de la asa de inerés Esáico: Coeficiene de seguridad Dinámico: volailidad de la asa Como se puede apreciar en los cuadros expuesos a coninuación la asa de inerés de referencia en nuesro país resula ser la asa Badlar para bancos privados dado que además de usársela para el ajuse de la asa de présamos a largo plazo, es una variable para esablecer disinas esrucuras de asa. Cuando la asa de inerés Badlar sube en forma brusca, las esrucuras de asa ofrecida por el mercado se aplanan y los plazos oferados son menores. Si bien se puede enconrar un precio para plazos mayores a 365 días, no se puede concrear la operación por fala de oferene. Gráficos 4, 5 y 6 28,50% 23,50% 18,50% 13,50% 8,50% 27/0 Tasa de 32% 30% 28,50% 28% 26% 24% 22% 20% 30/1 23,50% 18,50% 13,50% 8,50% 28/0 11

12 5. CALCULO ESTÁTICO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIACIONES DE LA TASA BADLAR Como resulane de esas observaciones y al rechazarse la normalidad de esas variaciones surge la necesidad del uso de disribuciones de colas pesadas, ales como la disribución logísica, la de valores exremos o la disribución alargada de Kupiec, siendo esa úlima la que supera al back esing. Gráfico Serie: BADLAR Observaiones 1485 Media Mediana Maximo Minimo 6.81 volailidad Asimeria 1.57 Kurosis 6.25 Jarque-Bera Probabilidad que enga disribucion Normal CÁLCULO DINÁMICO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS VARIACIONES DE LA TASA BADLAR: Una de las formas de esimar la variación diaria de la asa de inerés es usar un modelo dinámico. Por qué la denominación de dinámico? Porque es un modelo que se basa en el comporamieno de la serie como dependiene del iempo, o sea analiza los daos como una serie cronológica, donde para hacer una predicción de δi, esa se va a realizar a parir de los úlimos daos observados. Lo que vamos a uilizar son modelos Arch 1 aplicados a la regresión de la series sobre una consane. Por qué se usa de ese modelo dinámico? Por las siguienes razones: a) Cuando se analiza la serie en forma esáica adverimos una gran concenración de daos alrededor del valor medio y además muchos daos en los exremos, lo que nos permie decir que la serie visa como independiene de iempo es lepocúrica y de colas pesadas. 39 Hay cienos de rabajos que raan el problema de la esimación de la volailidad. Los modelos de mayor aplicación en la maeria surgen de la aplicación de modelos Garch(1,1) desarrollados por Engle y Bollerslev cuyos coeficienes esán incluidos en los análisis de las series en las páginas de Bloomberg. 12

13 Tasa de Ineres Badlar 02/01/ /04/ /08/ /12/ /04/ /08/ /11/ /03/ /07/ /11/ /02/ /06/ /10/ /02/ /06/ /09/ /01/ /05/ /09/ /01/2009 % Variaciones diarias b) Como consecuencia de a) esos daos no ienen disribución normal de probabilidades. c) La función de auo correlación y la función de auo correlación parcial demuesran que las variaciones no son independienes enre cada una de las observaciones. También los modelos fracales confirman esa aseveración d) Hoy a un inversor no le ineresa que pasó hace más de dos años o hace más de un año, le ineresa el comporamieno reciene, es por odo eso que se propone el uso del siguiene modelo para el cálculo de la volailidad de la serie cronológica, en ese caso las variaciones diarias de la asa Badlar. e) De acuerdo a lo expresado en d) esa es una forma que enemos los quans de compaibilizar razonamienos con los inuiivos. Gráfico Tasa de ineres Badlar Tasa de ineres Badlar % variaciones diarias Si se superan los resulados de una serie de es esadísicos, esaríamos en condiciones de usar el siguiene modelo: Donde es el valor al cuadrado de la volailidad en el momeno -1 es el error al cuadrado de la observación menos la media en -1-1 es el cuadrado de la volailidad esimada para -1 son los coeficienes de la ecuación 2 1

14 Ese modelo compaibiliza las creencias o inuición de los raders poniéndole un suseno maemáico a su inuición. Un poco del error de ayer () y oro poco de lo que esime para ayer (β) Si el modelo supera el back esing, y la suma de los coeficienes (α + β) < 1 enonces se puede uilizar el modelo para calcular la volailidad para τ días, para superar el problema que la serie presena por no ener disribución normal de probabilidades. La consecuencia de que las variaciones diarias no esén nid impide el uso de la regla de ½ o movimieno browniano para el cálculo de la volailidad para un periodo de τ días. La fórmula que se muesra abajo es muy conveniene para calcular la volailidad para un periodo dado, no solo para conocer el riesgo de mercado durane ciero periodo de iempo, sino que ambién se puede usar para modificar la formula de Black and Scholes. 1 ( ) Donde son los coeficienes de la ecuación es el cuadrado de la volailidad esimada para τ son la canidad de periodos para los que será calculada la volailidad En el gráfico siguiene se puede observar como el modelo Garch (1,1) enconrado supera el back esing 14

15 Gráfico 9 15 Back esing para un modelo Garch(1,1) δi upper limi limie inferior %variacion diaria Con el cálculo de δi se puede calcular no solo la esimación de la variación del porafolio de rena fija VaR, además se pueden calcular los siguienes riesgos Gráfico 10 δi = z 1,τ TNA 1,τ = TNA 0 (1+ δi) Riesgo de asa de inerés Riesgo de liquidez VaR de Rena Fija 15

16 El riesgo de la asa de inerés impaca direcamene en el valor acual del porafolio de rena fija, pero además en forma indireca provoca un riesgo adicional que es el riesgo de liquidez 7. RIESGO DE LIQUIDEZ El riesgo de liquidez es un riesgo poco amigable para su cálculo como lo son los riesgos analizados y como lo es el riesgo de crédio. Esa es la razón por la cual el comié del Banco de Basilea no esablece cargos de capial por ese riesgo, no obsane odos sabemos lo imporane que es, sobre odo para insiuciones financieras, valorar, moniorear y manejar la liquidez. El problema se lo puede separar en dos pares: 1) Liquidez de los acivos, ambién llamado marke / produc liquidiy risk, es el riesgo que una posición no puede ser fácilmene negociada sin influenciar en el precio de mercado, por la inadecuada profundidad del mismo. 2) Riesgo del financiamieno es el riesgo que iene una enidad financiera, que para cumplir con sus obligaciones conraídas debe incurrir en pérdidas exraordinarias, por ener que vender acivos a bajo precio o omar fondos a asas muy alas. Una de los indicadores para el cálculo del riesgo de mercado de un porafolio de rena fijo financiado por depósios, obligaciones negociables y oras fuenes de financiación, es el uso de Gap Duraion. Ese modelo se basa en el cálculo de las duraions por línea de financiaciones oorgadas y recibidas de manera al de calcular el descalce de las carera. Para el cálculo de las duraions usaremos el valor acual de los flujos de fondos desconadas a las asas correspondienes a la esrucura que ofrece el mercado en el momeno de la esimación. Tomemos el siguiene ejemplo: Tabla 3 Acivo Valor Acual (MVA) MD (DA) Prom. Pond (PPA) Pasivo Valor Acual (MVP) MD (DP) Prom. Pond (PPP) Prendario Depósios Hipoecario ON Tarjeas Oros Toal Toal

17 Donde para los acivos: (MVA) Es el valor acual del flujo de fondos desconados con las esrucura de asas del mercado. (DA) Es la duraion que esá calculada la TIR resulane del MVA y el flujo de fondos (PPA) Es el Promedio ponderado que resula de: MVA DA Lo mismo es para los pasivos pero la sigla usada reemplaza la úlima lera A por la P Por efeco del descalce en el flujo de fondos, se esá en presencia de los riesgos de valuación de los acivos dado que habrá que financiarse, en caso de iliquidez del mercado, a asas más caras y a plazos más coros. En consecuencia el cálculo de Gap Duraion esará dado por: MVP GD PPA PPL MVA Si usamos lo que el mercado llama como DV01 o sea que la asa suba 100 punos básicos, la pérdida que se endrá sobre los acivos esará dada por: Si se desea calcular el VaR del porafolio para un periodo de 30 días, habrá que calcular la volailidad de la asa badlar usando los modelos no lineales explicados más arriba además de calcular la disribución de probabilidades a la que se ajusa dicha asa, de manera al que se pueda esimar el correspondiene δi que resula 17 % Perdida GD TIR Como se puede apreciar de ese cálculo, cuano menor sea el descalce menor será el coeficiene de gap duraion, dado que la relación pasivos acivos será más grande y en consecuencia menor será el riesgo por la coberura de las fuuras financiaciones. 8. VAR DEL PORTAFOLIO POR VARIACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS La variación en Basic Poins para el mes puede ser calculada por la variación esimada para la asa badlar para los próximo 30 días y es un valor que se puede ingresar para una esimación más cercana a la realidad. Se dejó 100 bp porque el mercado usa el DV01 como una medida esándar de riesgo, pero debería ponerse el valor calculado de δi para el periodo de iempo esimado, generalmene para los próximos 30 días en ese caso de rena fija.

18 del coeficiene del nivel de seguridad de la variable muliplicado por la volailidad para dicho periodo. En consecuencia quedaría el porcenaje de pérdida sobre los acivos: 9. CONCLUSIONES Var de Crédio GD % Perdida 12 a) Acivos con calificación de crédio i TIR 1 12 En los acivos con calificación de crédio es imporane deecar si las calificaciones esán on line con los esándares inernacionales que se esablecen para las calificaciones. En el caso de obligaciones soberanas las cuenas públicas son un indicio del bienesar de la economía y permien esablecer si la calificación oorgada es acorde con los indicadores macro del país emisor En el caso de empresas pariculares los índices de endeudamieno y la capacidad de pago de los inereses son elemenos suscepibles de verificar si las calificaciones son aceradas o no. Para miigar la probabilidad de defaul los CDS (Credi Defaul Swap) son los derivados más aconsejables para cubrir los riesgos asumidos b) Acivos de crédio masivo sin calificación Un buen modelo de scoring es el que nos esimará que capial de riesgo esamos exponiendo en cada línea de crédio y ese capial lo relacionaremos con los ingresos que percibimos por dicha línea (RAPM) a efeco de esimar si ese coeficiene saisface la inversión en esa línea de producos Los modelos uilizados serían la regresión binaria para el cálculo del scoring en el caso de présamos minorisas y la revisión de las marices de ransición y calificaciones para los présamos de obligaciones negociables y bonos VaR de asa de inerés El cálculo de la liquidación de los acivos cuando la asa de inerés sube rae relacionado el riesgo de descalce o liquidez. El análisis de la duraion, gap duraion y el cálculo de la variación de la asa de inerés, permie esablecer cuáles serán las fuenes de financiamieno a las que 18

19 deberíamos recurrir a fin de cubrir los descalces de la carera y cuál será el coso que debemos asumir para manener la carera de présamos. Ese cálculo es imporane, dado que previene las grandes subas de las asas de inerés, con la consiguiene escasez de fondos. Las medidas previniendo la escasez de fondos deben aniciparse, dado que una vez que se produce la iliquidez de mercado, oda medida será muy cososa de aplicar. En ese ipo de cálculo, es imporane hacer un buen análisis de bondad del ajuse de la variable usada a los efecos de calcular el coeficiene de probabilidad de ocurrencia de la misma y la volailidad, descarando la famosa regla de ½ que no se cumple por la presencia de heerocedasicidad en la regresión sugerida para el cálculo de la volailidad. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bersein P. (1996) Agains he Gods, Nueva York, John Wiley. Bollerslev T. (1986) Generalized auorregresive condiional heerocedasiciy, Journal of Economerics 31, Bcbs (2001), The New Basel Capial Accord, Bank for Inernaional Selemen. Greene W. (1997) Economeric Analysis, Nueva York, Prenice Hall. Engle R. (1982) Auorregresive condiional Heerocedasiciy wih esimaes of he variance of Unied Kingdom inflaion, Economeric 50, Mishkin F. (2007) The economics of Money, Banking and Financial Markes, Nueva York, Pearson. Jorion P. (2002) Value a Risk, Nueva York, Prenice Hall. Siddiqi N. (1969) Credi Risk Scorecards, Nueva York, John Wiley. 19