Un Modelo Macroeconómico de la Estructura Temporal de Tasas de Interés en México

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1 Banco de México Documenos de Invesigación Banco de México Working Papers N Un Modelo Macroeconómico de la Esrucura Temporal de Tasas de Inerés en México Josué Fernando Corés Espada Banco de México Manuel Ramos-Francia Banco de México Julio 2008 La serie de Documenos de Invesigación del Banco de México divulga resulados preliminares de rabajos de invesigación económica realizados en el Banco de México con la finalidad de propiciar el inercambio y debae de ideas. El conenido de los Documenos de Invesigación, así como las conclusiones que de ellos se derivan, son responsabilidad exclusiva de los auores y no reflejan necesariamene las del Banco de México. The Working Papers series of Banco de México disseminaes preliminary resuls of economic research conduced a Banco de México in order o promoe he exchange and debae of ideas. The views and conclusions presened in he Working Papers are exclusively he responsibiliy of he auhors and do no necessarily reflec hose of Banco de México.

2 Documeno de Invesigación Working Paper Un Modelo Macroeconómico de la Esrucura Temporal de Tasas de Inerés en México * Josué Fernando Corés Espada Manuel Ramos-Francia Banco de México Banco de México Resumen En ese arículo se invesiga cómo afecan disinos choques macroeconómicos a la esrucura emporal de asas de inerés en México. En paricular, se desarrolla un modelo que combina una especificación de no-arbiraje de la esrucura emporal de asas con un modelo macroeconómico para una economía pequeña y abiera. Se encuenra que aquellos choques que ienen un efeco persisene sobre la inflación afecan el nivel de la curva de rendimienos. El efeco en los rendimienos de mediano y largo plazo es provocado por el incremeno en las expecaivas de asas de inerés fuuras de coro plazo y por las primas de riesgo. Con respeco a los choques de demanda, se encuenra que un choque posiivo provoca un incremeno y un aplanamieno en la curva de rendimienos. El aplanamieno es explicado por la respuesa de la auoridad monearia y por las primas de riesgo variables. Palabras Clave: Esrucura-Temporal, No-Arbiraje, Choques Macroeconómicos. Absrac This paper invesigaes how differen macroeconomic shocks affec he erm-srucure of ineres raes in Mexico. In paricular, we develop a model ha combines a no-arbirage specificaion of he erm srucure wih a macroeconomic model of a small open economy. We find ha shocks ha are perceived o have a persisen effec on inflaion affec he level of he yield curve. The effec on medium and long-erm yields resuls from he increase in expeced fuure shor raes and in risk premia. Wih respec o demand shocks, our resuls show ha a posiive shock leads o an upward flaening shif in he yield curve. The flaening of he curve is explained by boh he moneary policy response and he imevarying erm premia. Keywords: Term-Srucure, No-Arbirage, Macroeconomic Shocks. Keywords: Term-Srucure, No-Arbirage, Macroeconomic Shocks. JEL Classificaion: C13, E43, G12. * Ese documeno se presenó en mayo de 2008 en el Taller de Economisas en Jefe, Cenro de Esudios de Bancos Cenrales (CCBS) del Banco de Inglaerra. Agradecemos a los paricipanes por sus comenarios. De igual manera agradecemos a Ana María Aguilar, Aruro Anón, Emilio Fernández-Corugedo y Albero Torres por sus valiosos comenarios y sugerencias. Lorenza de Icaza, Jorge Mejía, Claudia Ramirez y Diego Villamil proporcionaron excelene ayuda en la invesigación. Dirección General de Invesigación Económica. jfcores@banxico.org.mx. Dirección General de Invesigación Económica. mrfran@banxico.org.mx.

3 1. Inroducción En el presene documeno se invesigan los efecos de disinos choques macroeconómicos sobre la esrucura emporal de asas de inerés en México. En paricular, se desarrolla y esima un modelo que combina una especi cación afín de no-arbiraje de la esrucura emporal de asas de inerés, en el senido de Ang y Piazzesi (2003), con un modelo macroeconómico de pequeña escala para una economía pequeña y abiera (SOE, por sus siglas en inglés). La especi cación afín de no-arbiraje permie que las primas de riesgo cambien en el iempo, mienras que el modelo macro inroduce esrucura en la dinámica de las variables macro, lo cual permie ideni car el efeco de los choques esrucurales sobre la economía (la lieraura de no-arbiraje ípicamene uiliza vecores auorregresivos para describir la dinámica de las variables de esado). La descripción del comporamieno conjuno de la curva de rendimienos y las variables macroeconómicas es imporane para la valuación de bonos, las decisiones de inversión y la políica nanciera y monearia, enre oros. Las recienes invesigaciones eóricas y empíricas en nanzas han mejorado el enendimieno de las propiedades dinámicas de la esrucura emporal de asas de inerés. La mayoría de los modelos de esrucura emporal uilizan facores laenes para explicar las ucuaciones de la esrucura emporal; por ejemplo, Du e y Kan (1996), Dai y Singleon (2000), y Du ee (2002). Dichos modelos se desarrollan bajo el supueso de no-arbiraje y pueden capurar algunas caracerísicas relevanes de la curva de rendimienos uilizando facores laenes. Sin embargo, dichos modelos no explican que variables macroeconómicas afecan las variables laenes. Muchos esudios empíricos aplican un enfoque diferene uilizando Modelos de Vecores Auorregresivos (VAR, por sus siglas en inglés) para explicar el comporamieno conjuno de la esrucura emporal de asas de inerés y las variables macroeconómicas. Por ejemplo, Campbell y Ammer (1993) uilizan un modelo VAR para analizar los rendimienos en exceso de bonos y de acciones de EE.UU. y encuenran que las noicias sobre los rendimienos en exceso de acciones en el fuuro y la in ación deerminan dichos rendimienos. Evans y Marshall (2001) ambién uilizan un modelo VAR para invesigar los impacos de los choques monearios y reales en varias asas de inerés y muesran que los choques a la políica monearia ienen un efeco pronunciado, pero ransiorio, en las asas de inerés de coro plazo, y casi no afecan las asas de inerés de largo plazo. En conrase, los choques al empleo ienen un impaco de mayor duración sobre las asas de inerés a ravés de la curva de rendimienos. Los modelos VAR son úiles para analizar los impacos de los choques macroeconómicos sobre varias asas de inerés, uilizando funciones impulso-respuesa. Sin embargo, el uso de modelos VAR presena varias desvenajas cuando se analiza la esrucura emporal de asas de inerés. Primero, solamene se pueden 1

4 analizar los efecos de las variables macroeconómicas sobre los rendimienos al vencimieno que esán incluidos en el modelo. Los modelos VAR no explican cómo los rendimienos al vencimieno que no esán incluidos en el modelo responderán a cambios en las variables macroeconómicas. Segundo, los cambios predichos de los rendimienos con fechas disinas de vencimieno del modelo VAR posiblemene no impiden el arbiraje, porque los modelos VAR no resringidos no requieren que los cambios de varias asas de inerés proporcionen oporunidades de no-arbiraje. En conrase, un modelo de esrucura emporal sin arbiraje describe compleamene cómo los rendimienos de odos los vencimienos responden a los choques de las variables de esado subyacenes. En el presene documeno se combina una especi cación afín de no-arbiraje de esrucura emporal de asas de inerés con un modelo macroeconómico esrucural para una economía pequeña y abiera. Se incorporan variables macroeconómicas como facores en el modelo de esrucura emporal uilizando una represenación de facores para el kernel de precios, el cual ja los precios para odos los bonos en la economía. Mediane ese méodo se puede modelar de manera direca y manejable el efeco de los facores macro en los precios de los bonos. Nuesro arículo forma pare de una lieraura cada vez más creciene que explora la relación enre la esrucura emporal y la dinámica macroeconómica. Enre los invesigadores que empezaron a incorporar facores macroeconómicos en un modelo de la esrucura emporal se encuenran Kozicki y Tinsley (2001) y Ang y Piazzesi (2003). En conrase con esos documenos, en el presene arículo odas las variables macro obedecen a un conjuno de relaciones esrucurales macroeconómicas que permien una inerpreación económica imporane de la dinámica de la esrucura emporal. Por ejemplo, se puede mosrar el impaco de choques macroeconómicos en la esrucura emporal de asas de inerés. Además, las ineracciones implícias enre las variables macroeconómicas y la esrucura emporal de asas de inerés son más generales en nuesro esquema que en los oros arículos mencionados. Exisen res esudios relacionados, Rudebusch y Wu (2004), Hordahl, Trisani y Vesin (2006), y Bekaer, Cho y Moreno (2005), que ambién combinan un modelo de esrucura emporal con un modelo macro neo-keynesiano. Esos documenos esudian la dinámica conjuna de los rendimienos de bonos y variables macroeconómicas en un marco económico cerrado. Nuesro documeno analiza la dinámica conjuna de los rendimienos de bonos y las variables macroeconómicas en un marco de una economía pequeña y abiera. La curva de rendimienos domésicos se modela en un marco afín de la esrucura emporal, y el precio de riesgo depende de las variables macroeconómicas inernas y exernas. Los resulados principales son los siguienes. Como se observa en mercados desarrollados 2

5 (Ang y Piazzesi, 2003), las esimaciones del modelo muesran que las primas de riesgo siguen un comporamieno conracíclico y aumenan de acuerdo con el nivel de la asa de in ación. Adicionalmene, el modelo muesra una fuere respuesa conemporánea de la esrucura emporal ane varios choques macroeconómicos. Por ejemplo, los choques que perciben ener un efeco persisene sobre la in ación (es decir, un choque de ipo cos-push persisene) afecan el nivel de la curva de rendimienos. El efeco en los rendimienos de mediano y largo plazo es provocado por el incremeno en las expecaivas de asas de inerés fuuras de coro plazo y por las primas de riesgo. Con respeco a los choques de demanda, se encuenra que un choque de demanda posiivo provoca un incremeno y un aplanamieno en la curva de rendimienos. El aplanamieno de la curva se explica por la respuesa de la auoridad monearia (que incremena la asa de inerés de coro plazo después del choque) y por las primas de riesgo que cambian en el iempo. El documeno esá esrucurado de la siguiene manera: las Secciones 2 y 3 describen el modelo esrucural macroeconómico, así como el modelo de la esrucura emporal, respecivamene. La Sección 4 explica la meodología, mienras que en la Sección 5 se muesran y analizan los resulados. En la Sección 6 se exponen las conclusiones. 2. Modelo Macroeconómico Se presena un modelo neo-keynesiano de una economía pequeña y abiera que incluye una curva de Phillips, una curva IS y una regla de políica monearia con dos adiciones. Primero, se asume que la in ación general es el promedio ponderado de la in ación subyacene y no subyacene. Una curva de Phillips neo-keynesiana describe la dinámica de la in ación subyacene, mienras que la in ación no subyacene sigue un proceso AR(1). Segundo, dada la evidencia empírica en conra de la paridad descubiera de asas de inerés (UIRP, por sus siglas en inglés), el ipo de cambio real rezagado se incorpora en la ecuación de UIRP Ofera Agregada La ecuación de ofera agregada (AS, por sus siglas en inglés) describe la dinámica de la in ación. En el presene modelo se uiliza una ecuación de ofera agregada como el ipo de curva de Phillips esimada por Svensson (1998). Se vincula la in ación con la in ación esperada en el fuuro y la brecha de produco, uilizando la deerminación de precios a la Calvo bajo compeencia monopolísica en el mercado de bienes inermedios. De esa manera se puede derivar una curva de Phillips que esá direccionada hacia delane (forward looking). Suponiendo que algunos jadores de precios no ajusan los precios ópimamene y los indexan 3

6 a la in ación pasada, se obiene persisencia endógena en la ecuación de AS. Por lo ano, resula una curva de AS neo-keynesiana esándar que vincula la in ación subyacene con la brecha de produco: c = a 1 c 1 + a 2 E c +1 + a3 x + AS (1) donde c es la in ación subyacene, x es la brecha de produco, y AS es un choque de ofera exógeno. a 3 capura el inercambio (rade-o ) enre la in ación y la brecha de produco en coro plazo, y a 1 caraceriza la persisencia endógena de la in ación, donde a 1 + a 2 = 1; ya que la curva de AS cumple con la caracerísica de homogeneidad dinámica. Nuesro modelo se diseña para una economía pequeña y abiera, por lo ano, se requiere la incorporación de los efecos del ipo de cambio sobre la in ación. McCallum y Nelson (2001), y Gali y Monacelli (2005), enre oros, han desarrollado versiones de la ecuación de AS para una SOE: c = a 1 c 1 + a 2 E c +1 + a3 x + a 4 e + USA + AS (2) donde e denoa los cambios en el ipo de cambio nominal, USA denoa la in ación de EE.UU., y el parámero a 4 represena el impaco del ipo de cambio nominal y de la in ación de EE.UU. sobre la in ación domésica. Dado que la curva de AS saisface la caracerísica de homogeneidad dinámica a 1 + a 2 + a 4 = 1: El cambio en el ipo de cambio real se de ne de la siguiene manera: q = e + USA (3) donde q denoa el ipo de cambio real. Un mayor q signi ca una depreciación de la moneda de la SOE. denoa la in ación general y es igual a: =! c + (1!) nc (4) Se asume que la in ación no subyacene sigue un proceso AR(1): nc +1 = nc + nc +1 (5) 2.2. Demanda Agregada En una economía cerrada, normalmene se deriva la ecuación de demanda agregada (AD, por sus siglas en inglés) de un modelo de equilibrio general para un agene represenaivo uilizando las condiciones de primer orden. Los enfoques radicionales no logran incorporar 4

7 la persisencia en la brecha de produco. Por al moivo, esudios recienes, por ejemplo, Fuhrer (2000), y Cho y Moreno (2005) derivan una alernaiva de la ecuación de la curva IS considerando la maximización de la uilidad y la formación exerna de hábios: x = b 1 x 1 + b 2 E (x +1 ) + b 3 (i E +1 ) + IS (6) donde i es la asa de inerés de coro plazo. El residual IS es un choque de demanda agregada. La especi cación de la formación de hábios genera persisencia endógena en la brecha de produco. Los parámeros b 1 y b 2 dependen del nivel de la persisencia de hábios y del parámero de la aversión al riesgo. Basado en McCallum y Nelson (2001), y Gali y Monacelli (2005), en el presene esudio se especi ca la dinámica de AD de la siguiene manera: x = b 1 x 1 + b 2 E (x +1 ) + b 3 (i E +1 ) + b 4 x USA + b 5 q + IS (7) La ecuación de la curva IS describe la dinámica de AD y esá deerminada por cambios en la asa de inerés real de coro plazo, el ipo de cambio real y la brecha de produco de EE.UU. El érmino de la ecuación que esá direccionado hacia delane (forward looking) capura la preferencia de hogares a ener parones de consumo esables a ravés del iempo Regla de Políica Monearia Se asume que la auoridad monearia ja la asa de inerés de coro plazo de acuerdo con una regla de Taylor simple: i = i 1 + (1 ) i + d 1 ( ) + d 2 x + MP (8) El banco cenral inerviene cuando la in ación es ala y/o la producción se desvía de su endencia. El parámero d 1 describe la respuesa del banco cenral a la in ación, mienras que d 2 denoa la reacción a ucuaciones en la brecha de produco. es el objeivo de in ación que puede cambiar en el iempo, y i es el nivel deseado de la asa de inerés nominal que prevalecería si = y x = 0: Se supone que y i son consanes. El parámero capura la endencia de los bancos cenrales a suavizar los cambios de la asa de inerés (ver Clarida, Gali y Gerler (1999)), y MP es un choque de políica monearia exógeno. 5

8 2.4. Tipo de Cambio Real Según la paridad descubiera de asas de inerés, las divisas con rendimienos alos deberían depreciarse. De igual manera, predice que el ipo de cambio real (RER, por sus siglas en inglés), ceeris paribus, debería apreciarse si la asa de inerés real aumena. Sin embargo, exise fuere evidencia empírica en conra de la UIRP. Por lo ano, el ipo de cambio real rezagado se incluye en la ecuación de UIRP: q = c 1 q 1 + c 2 E (q +1 ) + i USA E USA +1 (i E +1 ) + q (9) La UIRP se cumple, si c 1 = 0; y c 2 = 1. q es un choque de ipo de cambio real exógeno Variables Exógenas Se asume que las variables de EE.UU. USA ; x USA ; i USA son exógenas y siguen un proceso VAR(2). Además, se supone que los choques exernos y domésicos son independienes e idénicamene disribuidos con varianzas homoscedásicas. El presene modelo macroeconómico se presena en forma de mariz: Q " X 1;+1 E X 2;+1 # = Z " X 1; X 2; # + Bi + " 1;+1 0 donde X 1; es un vecor de variables predeerminadas, X 2; es un vecor de variables direccionadas hacia delane (forward looking), i es el insrumeno de políica y 1;+1 es un vecor de choques independienes e idénicamene disribuidos. Además, se supone que 1; N (0; ), donde es una mariz diagonal con varianzas consanes. La asa de inerés nominal de coro plazo se presena en forma recursiva: i = F " Los coe cienes de marices Q; Z; B y F se de nen a ravés de las ecuaciones esrucurales de las variables macroeconómicas inernas y exernas. Bajo condiciones de regularidad, se puede solucionar el modelo numéricamene uilizando méodos esándar. El equilibrio con X 1; X 2; expecaivas racionales se denoa como un VAR de primer orden: donde X = c ; x ; i ; q ; nc # # (10) (11) X = c + X 1 + (12) ; USA ; x USA ; i USA 0 y 6

9 = AS ; IS ; MP ; q ; nc ; USA 0 ; xusa ; iusa. Por lo ano, el VAR describe la dinámica implicada por el modelo bajo varias resricciones no lineales. Por lo general, no se puede resolver analíicamene. En nuesro modelo, primero se resuelve numéricamene para uilizando el méodo QZ y poseriormene se resuelve para y c: Las reglas de movimieno de las variables de esado se obuvieron endógenamene como funciones de los parámeros del modelo macroeconómico. En conrase, en los modelos a nes esándar se obienen las ecuaciones de la asa de inerés de coro plazo y las reglas de movimieno de las variables de esado de manera exógena. 3. Modelo Macro- nanciero de la Esrucura Temporal La esrucura emporal de asas de inerés puede ser represenada mediane los modelos a nes de la esrucura emporal, los cuales se basan en una condición explícia de no-arbiraje en los mercados nancieros. El supueso de no-arbiraje parece adecuado para los rendimienos de los bonos. Debido a la ala liquidez que prevalece en la mayoría de los mercados de bonos, las oporunidades de arbiraje desaparecen inmediaamene a ravés de las negociaciones enre los arbirajisas. Exise una gran variedad de modelos a nes de la esrucura emporal debido al número de facores laenes y la formulación explícia de procesos esocásicos. Sin embargo, esos modelos comparen una caracerísica común: en el caso de sólo un facor, la asa de inerés de coro plazo es el único facor de riesgo; mienras que en los casos de múliples facores, la asa de inerés de coro plazo represena múliples facores de riesgo. Las reglas de políica monearia ienen la misma esrucura, una vez que los facores de riesgo se inerprean como variables macroeconómicas. Por lo ano, la asa de inerés de coro plazo represena un puno de inersección imporane enre las perspecivas nancieras y macroeconómicas. Desde la perspeciva nanciera, la asa de inerés de coro plazo es un componene fundamenal para las asas con diferene vencimieno, ya que los rendimienos de largo plazo son promedios de asas de inerés de coro plazo esperadas en el fuuro ajusados al riesgo. Desde la perspeciva macro, la asa de inerés de coro plazo es un insrumeno clave de la políica bajo el conrol direco del banco cenral, el cual la ajusa para lograr su objeivo de políica monearia, es decir, la esabilización económica. Para explicar los movimienos en la pare cora de la curva de rendimienos, según ambas perspecivas, es imporane enender cómo los bancos cenrales cambian la asa de inerés de coro plazo (la asa de políica monearia) para responder a choques macroeconómicos. Dada la consisencia enre las asas de inerés de coro plazo y de largo plazo deerminada 7

10 por el supueso de no-arbiraje, los choques macroeconómicos ambién deberían explicar los cambios de los rendimienos de largo plazo. La combinación de ambas áreas de invesigación podría mejorar el enendimieno acerca de la dinámica de la esrucura emporal de la asa de inerés: Los modelos dinámicos de la esrucura emporal ienen res componenes básicos: 1. Un conjuno de las variables de esado. Dichas variables pueden ser laenes u observables como variables macroeconómicas. 2. Una descripción de la dinámica de las variables de esado. 3. Un mapeo de las variables de esado y la esrucura emporal de asas de inerés. El mapeo se puede consruir basado en la eoría y sin oporunidades de arbiraje o fundamenado en las consideraciones empíricas. El modelo de la esrucura emporal se consruye bajo varios supuesos; primero, el vecor de esado, que in uye la esrucura emporal de asas de inerés, incluye solamene variables macroeconómicas, así que la esrucura emporal de asas de inerés es una función de un conjuno de variables macroeconómicas: y n = F (X ; n) (13) donde y n son los rendimienos al vencimieno de un bono cupón cero de n-períodos, y X es el vecor de variables macroeconómicas. Debido a la ala liquidez que prevalece en el mercado de bonos gubernamenales de México, se asume que no exisen oporunidades de arbiraje. Se uiliza dicho supueso para desarrollar el mapeo enre las variables de esado y la esrucura emporal de asas de inerés. Primero, se deriva la relación enre la asa de políica y la esrucura emporal de asas de inerés. Segundo, se relaciona la esrucura emporal con las variables macroeconómicas. El supueso de no-arbiraje es equivalene a la exisencia de un kernel de precios o un facor de descueno esocásico que deermina los valores de odos los insrumenos de rena ja. El kernel de precios se deermina mediane las preferencias de los inversionisas por pagos dependienes del esado de la economía. Especí camene, el valor de un acivo en el iempo es igual a E [M +1 D +1 ] ; donde M +1 es el kernel de precios, y D +1 es el valor del acivo en + 1 incluyendo cualquier dividendo o cupón pagado por el acivo. El proceso de kernel de precios M +1 ja los precios para odos los insrumenos de rena ja, al que: E [M +1 R +1 ] = 1 (14) 8

11 En paricular, para un bono de n-períodos, R +1 = P n 1 +1 donde P n P n denoa el precio en el iempo de un bono cupón cero de n-períodos. Si M +1 > 0 para odo, los rendimienos resulanes cumplen con la condición de no-arbiraje (Harrison y Kreps, 1979). En el presene modelo se considerarán los bonos cupón cero, por lo ano, el pago de los bonos es simplemene su valor en el próximo período, cumpliendo así con la siguiene relación recursiva: P n = E M+1 P+1 n 1 El kernel de precios ja los precios de bonos cupón cero bajo la condición de no-arbiraje (15). P n represena el precio de un bono cupón cero de n-períodos, y el valor erminal del bono P+n 0 esá normalizado a 1. Para derivar la dinámica de la esrucura emporal se requiere la especi cación del proceso de kernel de precios. Los modelos a nes de la esrucura emporal requieren que la dinámica de variables de esado sea lineal y un proceso afín de kernel de precios exponencial con choques condicionalmene normales. Con la nalidad de que la dinámica de las variables de esado implicada por el modelo neo-keynesiano en la ecuación (12) corresponda a la clase afín de modelos, se supone que los choques ienen una disribución condicionalmene normal, con la media cero y la mariz de varianza-covarianza igual a. De acuerdo con la lieraura sobre la esrucura emporal dinámica esándar y de no-arbiraje, se asume que el kernel de precios es condicionalmene log-normal: M +1 = exp 1 i ;+1 donde son los precios de riesgo de mercado que cambian en el iempo, asociados con la fuene de inceridumbre 1;+1 en la economía. Por lo general, se supone que el precio de mercado de los parámeros de riesgo es consane en los modelos gaussianos o proporcional a las volailidades de facores. Sin embargo, esudios recienes (por ejemplo, Dai y Singleon, 2000) han desacado las venajas de una especi cación de los precios de riesgo de mercado más exible. Por lo ano, en el presene modelo se asume que la compensación que el mercado requiere para asumir los riesgos puede variar con el esado de la economía. En paricular, se suponen precios de riesgo a nes para las variables de esado: (15) (16) = X (17) donde X se de ne por (12). Los choques a las variables macro deerminan la inceridumbre en el kernel de precios de una SOE. La ecuación (17) vincula los choques a las variables macroeconómicas subyacenes con el kernel de precios y, por lo ano, deermina el impaco de los choques a las variables macroeconómicas sobre la esrucura emporal de asas de 9

12 inerés. En conrase, en un modelo micro (Bekaer, Cho y Moreno, 2005), el kernel de precios sería relacionado con las preferencias del consumidor en lugar de ser relacionado con las variables exógenas. En el presene modelo se pre ere la especi cación exógena, dado que el kernel de precios posulado en ecuación (16) es más exible ajusándose al comporamieno de la curva de rendimienos. El parámero de la prima de riesgo consane 0 es un vecor columna, mienras que el parámero de la prima de riesgo variable 1 es una mariz, es decir, se asume una mariz diagonal para reducir el número de parámeros a esimar. La dinámica de esado (12), el kernel de precios (16), y los precios de riesgo de mercado (17) forman un modelo afín de facores en iempo discreo. Ese modelo perenece al grupo afín de los modelos de la esrucura emporal, ya que los precios de bonos son funciones a nes exponenciales de las variables de esado, es decir, los precios de bonos se denoan de la siguiene forma: P n = exp A n + B 0nX Uilizando las ecuaciones (12), (16), y (17), los coe cienes A n y B n se derivan, por inducción, de las resricciones de ecuaciones cruzadas implicadas por la condición de no-arbiraje (15). Las resricciones de ecuaciones cruzadas dependen de parámeros que describen la dinámica de esado y las primas de riesgo. El modelo es afín en el vecor de esado, pero los coe cienes son funciones no lineales de los parámeros subyacenes. En paricular, A n y B n siguen las ecuaciones en diferencias: (18) A n+1 = A 1 + A n + B 0 n (c 0 ) B0 n 0 B n (19) B 0 n+1 = B 0 n ( 1 ) + B 0 1 (20) Por lo ano, los rendimienos de bonos y n y n = log P n n son funciones a nes de las variables de esado: = A n + B 0 nx (21) donde A n = An, y B n n = Bn. n La ecuación de rendimienos muesra el impaco de las variables macroeconómicas sobre la esrucura emporal de asas de inerés. Cada variable macroeconómica es un facor que describe la sección cruzada de la esrucura emporal en un puno de iempo especí co. La curva de rendimienos de cupón cero se represena como una función afín de las variables macroeconómicas. Los precios de riesgo conrolan la respuesa de los rendimienos de largo plazo relaiva a la asa de inerés de coro plazo. El vecor 0 afeca la media de los 10

13 rendimienos en el largo plazo debido a que ese vecor se encuenra en el érmino consane en la ecuación de rendimienos. La mariz 1 afeca los cambios de las primas de riesgo en el iempo, dado su efeco en los coe cienes de pendiene en la ecuación de la curva de rendimienos. Inegrando odos los rendimienos en un vecor Y ; las ecuaciones aneriores se presenan en conjuno de la siguiene manera: Y = A y + B y X (22) 4. Méodo de Esimación El modelo se esima uilizando los rendimienos mensuales de México, así como daos macroeconómicos de México y EE.UU. de julio de 2001 a junio de Las variables macroeconómicas incluyen la in ación subyacene, la in ación no subyacene, la brecha de produco, la asa de inerés nominal, el ipo de cambio real, la asa de in ación de EE.UU., la brecha de produco de EE.UU. y la asa de inerés nominal de EE.UU. Se uilizan las asas de inerés de las leras de esoro de EE.UU. (T-Bill) a un mes como el insrumeno de políica monearia en ambos países. Los daos de los rendimienos comprenden de julio de 2001 a junio de 2008, e incluyen los rendimienos cupón cero con iempo al vencimieno de 3, 6, 12, 24, 36, 60, 84 y 120 meses. Siguiendo Ang y Piazzesi (2003), en el presene rabajo el modelo se esima en dos pasos, debido a las di culades implícias en la esimación de un problema de maximización de ala dimensión. Primero, se aplica el méodo generalizado de momenos (GMM, por sus siglas en inglés) para esimar los parámeros esrucurales macro uilizando los daos de EE.UU. y México. Resulan esimaciones de parámeros que minimizan la disancia enre el primer y el segundo momeno del modelo y de los daos. 2 En el segundo paso, se jan esos parámeros y esiman los parámeros de la prima de riesgo del modelo de la esrucura emporal a ravés de la máxima verosimiliud con daos de rendimienos de México, y con daos macroeconómicos de México y de EE.UU. Dicha écnica de esimación asegura que el algorimo de esimación, al inenar adaparse a la sección cruzada de cupón cero, no disorsione los parámeros macro. El presene modelo proporciona una forma paricularmene conveniene para la dinámica conjuna de las variables macro y la esrucura emporal de asas de inerés. Sea Z = X; 0 Y 0 0, donde Y = (y 3 ; y 6 ; y 12 ; y 24 ; y 36 ; y 60 ; y 84 ; y 120 ) 0. 1 Chiquiar, Noriega y Ramos Francia (2007) encuenran que la in ación en México parece haber cambiado de un proceso no esacionario a un proceso esacionario alrededor de nales de 2000 o a principios de Sidaoui y Ramos-Francia (2008) aplican el GMM para esimar las ecuaciones Euler que caracerizan las condiciones de equilibrio de un modelo macro de pequeña escala para México uilizando muesras disinas. 11

14 En consecuencia, el modelo a esimar es el siguiene: X = c + X 1 + (23) Z = A Z + B Z X (24) donde A Z = " 0 n1 1 A y # ; B Z = " I n1 n 1 B y # donde2 n 1 es el3 número2de variables 3 de esado y A y = 6 4 A 3 A 6 A 12 A 24 A 36 A 60 A 84 ; B y = B 0 3 B6 0 B12 0 B24 0 B36 0 B60 0 B A 120 B Esimación de Máxima Verosimiliud En esa sección se describe el méodo general que se uiliza para esimar los procesos que deerminan los parámeros de la prima de riesgo en con los daos descrios aneriormene Forma Esado-Espacio Dado un conjuno de variables observables, el modelo se esima por máxima verosimiliud. Los rendimienos son funciones analíicas de las variables de esado X. Se uiliza un enfoque común en la lieraura de nanzas, donde se asume el cálculo de los rendimienos con un error para prevenir la singularidad esocásica. Adicionalmene, se asume orogonalidad enre los choques de errores de medición y los choques a las variables de esado. Uilizando X e = [X; 0 1] 0, resula: ex +1 = AX e + B +1 (25) Z = CX e + w (26) w = Dw 1 + (27) donde 12

15 A = " c 0 1n1 1 # B = " 0 1n1 # h C = B z A z i w represena los errores de medición y los elemenos de D son los parámeros que deerminan la correlación serial del error de medición. Se asume que E 0 = R, y E 0 s = 0 para odos los períodos y s. Se de ne el proceso cuasi-diferenciado Z como: Z = Z +1 DZ (28) El sisema se escribe como: ex +1 = A e X + B +1 (29) Z = C e X + CB (30) donde C = CA DC: Función Logarímica de Verosimiliud XT 1 ln L () = ln de ( ) + raza 1 u u 0 =0 El vecor incluye los parámeros a esimar. El vecor de innovaciones u y su covarianza se de nen de la siguiene manera: u = Z E hz j Z 1 ; Z 2 ; ::::; Z 0 ; X b i 0 = Z +1 E hz +1 j Z ; Z 1 ; ::::; Z 0 ; X b i 0 (31) = Z +1 DZ C b X que depende del esado pronosicado b X : h bx = E ex j Z ; Z 1 ; ::::; Z 0 ; b X 0 i = Eu u 0 = C C 0 + R + CBB 0 C 0 13

16 La siguiene ecuación presena la dinámica de las variables de esado pronosicadas: bx +1 = A b X + K u donde K y son la ganancia de Kalman y la covarianza de esado asociadas con el lro de Kalman, respecivamene: K = (BB 0 C 0 + A C 0 ) 1 +1 = A A 0 + BB 0 (BB 0 C 0 + A C 0 ) 1 C A 0 + CBB 0 Una represenación de innovaciones para el sisema es: bx +1 = A b X + K u (32) u = Z C b X (33) Para la esimación de máxima verosimiliud se jan los parámeros esrucurales macro y esiman los parámeros de esrucura emporal. 5. Resulados En la Sección 5.1. se inerprean los parámeros esimados del modelo macro- nanciero de la esrucura emporal. En la Sección 5.2. se examinan las funciones impulso-respuesa de las variables macro y de los rendimienos ane los choques macro subyacenes, a n de deerminar el efeco de inegrar facores macro en el modelo de esrucura emporal Parámeros Esimados Por lo general, los parámeros esrucurales macroeconómicos coinciden con la evidencia exisene basada en los daos (mensuales) de México. Por lo ano, el presene documeno no analiza dichos parámeros. 3 En cambio, se enfoca en los parámeros de la esrucura emporal. Los Cuadros 1 y 2 presenan los parámeros esimados de los precios de riesgo de mercado y sus errores esándar. La dinámica de la esrucura emporal de asas de inerés depende de la asa de inerés de coro plazo y de los parámeros de las primas de riesgo 0 y 1. Un vecor disino a cero 0 afeca la media de los rendimienos de largo plazo, ya que dicho parámero se encuenra en el érmino consane en la ecuación de rendimienos (21). El Cuadro 1 muesra los parámeros esimados de las primas de riesgo consanes 0 con los 3 Las esimaciones de esos parámeros se presenan en el Apéndice 2. 14

17 errores esándar en parénesis. La medida generada por los daos y la medida neural al riesgo coinciden si = 0 para odos ; lo que se denomina la Hipóesis de Expecaivas. Los modelos macro ípicamene uilizan la Hipóesis de Expecaivas para inferir la dinámica de los rendimienos en largo plazo a ravés de las asas de inerés de coro plazo. En el modelo de Vasicek (1977), 0 es disino a cero y 1 es cero, lo que resula en una pendiene posiiva de la curva de los rendimienos promedio, sin embargo, eso no permie que las primas de riesgo sean variables. Los parámeros negaivos en el vecor esimado 0 provocan que la media incondicional de la asa de inerés en coro plazo sea mayor cuando se aplica la medida neural al riesgo en lugar de la medida generada por los daos. Dado que se deerminan los precios de bonos bajo la medida neural al riesgo, los parámeros negaivos en 0 implican que los rendimienos en largo plazo son en promedio mayores que los rendimienos en coro plazo y la curva de rendimienos promedio iene una pendiene posiiva. La variación en el iempo en las primas de riesgo depende de los parámeros en 1; dado que dichos parámeros afecan los coe cienes de la pendiene en la ecuación de rendimienos (21). Los rendimienos de largo plazo muesran cifras posiivas más alas, como respuesa a los choques posiivos de facores, si los érminos en 1 muesran valores negaivos más bajos. El Cuadro 2 presena los parámeros de la prima de riesgo que cambia en el iempo, bajo la resricción que el parámero de mariz 1 sea diagonal. El Cuadro 2 muesra que odos los elemenos diagonales de 1 son esadísicamene signi caivos. Los parámeros esimados indican que las primas de riesgo cambian considerablemene a ravés del iempo. Como se observa en mercados desarrollados, los resulados de la esimación del modelo muesran primas de riesgo conracíclicas y crecienes de acuerdo con el nivel de la asa de in ación. El parámero 1x es posiivo, implicando que los choques de demanda posiivos disminuyen la prima de riesgo. Al parecer, los inversionisas esán más dispuesos a manener bonos de largo plazo durane un auge económico, mienras que durane una recesión requieren una prima más ala para manener dichos bonos. El parámero 1 c es negaivo, lo que signi ca que la prima de in ación aumena de acuerdo con el nivel de in ación. Un mayor nivel de in ación aumena el riesgo de manener bonos en el largo plazo, así como la prima que los inversionisas requieren para manener dichos bonos. 15

18 Cuadro 1 Parámeros esimados con errores esándar Parámeros Esimación Error Esándar 0; c (0.003) 0;i (0.12) 0;q 0.23 (0.003) 0;x 0.94 (0.45) 0;i USA 1.45 (0.48) 0; USA (0.84) 0; nc (0.003) 0;x USA 0.06 (0.004) Cuadro 2 Parámeros esimados con errores esándar Parámeros Esimación Error Esándar 1; c (0.008) 1;i (0.01) 1;q 0.03 (0.001) 1;x 0.08 (0.005) 1;i USA 1.24 (0.003) 1; USA (0.13) 1; nc (0.008) 1;x USA 1.92 (0.001) 5.2. Funciones Impulso-Respuesa Nuesro modelo esrucural permie generar las funciones impulso-respuesa para las variables macro y los rendimienos ane los choques macro subyacenes. En esa sección se caraceriza la dinámica implicada por el modelo de la esrucura emporal uilizando funciones impulso-respuesa esándar. Las siguienes grá cas muesran las funciones impulsorespuesa a los choques de la políica monearia, los choques de ipo cos-push y los choques de demanda. 16

19 Se muesran las respuesas de las variables macroeconómicas, así como las respuesas de los rendimienos a los choques macro subyacenes. La Grá ca 1 presena las funciones impulso-respuesa ane el choque de políica monearia, el cual re eja desplazamienos hacia la asa de inerés de coro plazo, que no se explican por la brecha de produco, ni por la brecha de in ación. Un choque conracivo de políica monearia causa una respuesa fuere de la producción cíclica y la in ación. La asa de inerés se incremena poseriormene del choque de políica monearia, pero después de algunos períodos queda por debajo de su nivel de esado esacionario, que esá relacionado con la disminución endógena de la producción cíclica y la in ación debido al choque de políica monearia. La respuesa de la curva de los rendimienos decrece de acuerdo con el vencimieno de los rendimienos. Acorde con lo esperado, el choque inicial del incremeno de la asa de inerés de coro plazo por 1 % desaparece gradualmene a lo largo de la curva de rendimienos. Por lo ano, un choque de políica monearia iende a causar un aplanamieno en la curva de rendimienos. La Grá ca 2 muesra la respuesa conemporánea de la curva de rendimienos a un choque de políica monearia. Dicho choque aumena odos los rendimienos, pero la respuesa inicial es mayor para los rendimienos de coro plazo, mienras que los rendimienos de mediano y largo plazo responden menos. Derivado de lo anerior, la pendiene de la curva de rendimienos disminuye poseriormene de un choque de políica monearia. La Grá ca 3 muesra las funciones impulso-respuesa ane el choque de ipo cos-push. Las auoridades monearias aumenan la asa de inerés de coro plazo después de un choque de ipo cos-push. La asa de inerés cambia lenamene debido al coe ciene de suavización de la asa de inerés, el cual se esimó alo en la regla de políica. La asa de inerés real disminuye inicialmene, pero después del choque se incremena por arriba de su nivel de esado esacionario por varios períodos. Al inicio, la producción aumena pero exhibe una disminución de forma de joroba después del choque por varios períodos. Un choque de ipo cos-push aumena el nivel de odos los rendimienos. El aumeno de rendimienos es mayor para los vencimienos de mediano plazo, alrededor de 2 años. Los rendimienos al vencimieno muy cercano se mueven lenamene debido al coe ciene de suavización de la asa de inerés en la regla de políica. Los choques de ipo cos-push causan un desplazamieno hacia arriba muy persisene que empina la curva de rendimienos. El raamieno conjuno de la macroeconomía y de la dinámica de la esrucura emporal iene la venaja que se puede analizar el comporamieno de las primas del riesgo. En el presene modelo la prima de riesgo cambia en el iempo y aumena o disminuye como función de las variables de esado. La prima de riesgo de los bonos nominales es una función afín de las variables de esado. Si la in ación es procíclica, por ejemplo, cuando la macroeconomía sigue una curva de Phillips esable, los bonos nominales son conracíclicos y presenan coberuras 17

20 deseables conra el riesgo del ciclo económico. Si la in ación es conracíclica, por ejemplo, cuando un choque de ipo cos-push afeca a la economía y desplaza la curva de Phillips, los rendimienos de bonos nominales son procíclicos. La Grá ca 4 muesra las funciones impulsorespuesa para las primas de riesgo variables (TVRP, por sus siglas en inglés) y para las primas de riesgo consanes (CRP, por sus siglas en inglés) ane un choque de ipo cos-push. Las primas de riesgo aumenan después de un choque de ipo cos-push, lo que signi ca que los rendimienos aumenan más si las primas de riesgo cambian en el iempo. El incremeno de la prima de rendimienos es muy imporane desde la perspeciva económica, dado el impaco signi caivo sobre la formación de las respuesas de los rendimienos, como muesra el caso de las primas de riesgo variables. La Grá ca 5 muesra la respuesa conemporánea de la curva de rendimienos a un choque de ipo cos-push para los casos de TVRP y CRP. La curva de rendimienos aumena más en el caso de TVRP, porque las primas de riesgo se incremenan poseriormene de un choque de ipo cos-push posiivo. Un mayor nivel de in ación aumena el riesgo de manener bonos en el largo plazo, así como la prima que los inversionisas requieren para manener dichos bonos. La Grá ca 6 muesra las funciones impulso-respuesa para un choque de demanda, (ambién denominado un choque de preferencia). El choque de demanda aumena la producción y la in ación, y las auoridades monearias aumenan la asa de inerés de coro plazo poseriormene del choque. Además, se incremenan odos los rendimienos después de un choque de demanda, aunque con menor efeco para los rendimienos de largo plazo. Un choque de demanda causa un incremeno y aplanamieno en la curva de rendimienos. Debido a la repuesa de políica, la curva de rendimienos aumena más en los vencimienos de coro y mediano plazo, y cambia menos en el largo plazo. Por lo ano, la curva se aplana después de un choque de demanda inesperado. La Grá ca 7 muesra la respuesa conemporánea de la curva de rendimienos ane un choque de demanda. Los choques de demanda posiivos causan un incremeno y aplanamieno de la curva de rendimienos. El aplanamieno de la curva se explica ano por la respuesa de políica monearia y su efeco en las expecaivas in acionarias, como por las primas de riesgos variables. 6. Conclusiones En el presene documeno se ha desarrollado y esimado un modelo que combina una especi cación afín de no-arbiraje de esrucura emporal con un modelo macroeconómico de una economía pequeña y abiera para analizar el efeco de disinos choques macroeconómicos en la esrucura emporal de asas de inerés en México. Las conclusiones principales son las 18

21 siguienes. Las primas de riesgo de los bonos gubernamenales de México cambian en el iempo. Los resulados del modelo muesran que las primas de riesgo son conracíclicas, y se incremenan con el nivel de in ación. Adicionalmene, nuesro modelo proporciona una fuere respuesa conemporánea de oda la esrucura emporal a diferenes choques macroeconómicos. Por ejemplo, los choques que perciben ener un efeco persisene sobre la in ación afecan el nivel de la curva de rendimienos. El efeco en los rendimienos de mediano y largo plazo es provocado por el incremeno en las expecaivas de asas de inerés fuuras de coro plazo y por las primas de riesgo. Con respeco a los choques de demanda, se encuenra que un choque posiivo provoca un incremeno y un aplanamieno en la curva de rendimienos. El aplanamieno se explica por la respuesa de la auoridad monearia y por las primas de riesgo variables. Los auores del presene documeno no ienen conocimieno de un modelo que combine las perspecivas nancieras y macroeconómicas de la esrucura emporal de asas de inerés de una economía pequeña y abiera. Los resulados muesran que la combinación de esos dos ipos de invesigación mejora el enendimieno de los deerminanes macroeconómicos de la esrucura emporal de asas de inerés. El marco de no-arbiraje proporciona una descripción complea de cómo responden los rendimienos de odos los vencimienos a los choques de las variables de esado subyacenes, y el modelo macro inroduce una esrucura a la dinámica de las variables macro. Por lo ano, permie la ideni cación del efeco de choques esrucurales sobre la economía. 19

22 7. Referencias 1. Alemán, J. y J. Treviño. (2006), Moneary Policy in Mexico: A Yield Curve Analysis Approach, mimeo, Banco de México. 2. Ang, A. y M. Piazzesi. (2003), A no-arbirage vecor auoregression of erm srucure dynamics wih macroeconomic and laen variables, Journal of Moneary Economics, 50, Ang, A., S. Dong y M. Piazzesi. (2007), No-Arbirage Taylor Rules, NBER Working paper Ang, A., M. Piazzesi y M. Wei. (2003), Wha does he Yield Curve ell us abou GDP Growh?, Próximo a publicarse en Journal of Economerics. 5. Bekaer, G., S. Cho y A. Moreno. (2003), New-Keynesian Macroeconomics and he Term Srucure, mimeo, Columbia Universiy. 6. Campbell, J. (1995), Some Lessons from he Yield Curve, The Journal of Economic Perspecives, Vol 9, No 3, Campbell, J. y R. Shiller. (1991), Yield spreads and ineres rae movemens: A bird s eye view, Review of Economic Sudies 58, Cochrane, J.H. (2001), Asse Pricing, Princeon Universiy Press. 9. Cox, J., J. Ingersoll y S. Ross. (1985), A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes, Economerica Chen, N. y A. Sco. (1993), Pricing Ineres Rae Fuures Opions wih Fuures-Syle Margining, Journal of Fuures Markes, Vol 13, No 1, Chiquiar, D., A. Noriega y M. Ramos-Francia. (2007), A Time Series Approach o Tes a Change in In aion Persisence: The Mexican Experience, Banco de México Documeno de Invesigación Próximo a publicarse en Applied Economics. 12. Corés, J., M. Ramos-Francia y A. Torres. (2008), An Empirical Analysis of he Mexican Term Srucure of Ineres Raes, Banco de México Documeno de Invesigación Corés, J., y M. Ramos-Francia (2008), An A ne Model of he Term Srucure of Ineres Raes in Mexico, Banco de México Documeno de Invesigación

23 14. Dai, Q. y K. Singleon. (2000), Speci caion Analysis of A ne Term Srucure Models, Journal of Finance, Vol. LV, No Fama, E. y R. Bliss. (1987), The informaion in long-mauriy forward raes, American Economic Review 77, pp Hordahl, P., O. Trisani, y D. Vesin (2006) ; A join economeric model of macroeconomic and erm srucure dynamics, Journal of Economerics, Vol 131, Issues 1-2, March-April 2006, Lierman, R. y J. Scheinkman. (1991), Common Facors A ecing Bond Reurns, Journal of Fixed Income 1, pp Rudebusch, G. y T. Wu, (2004) ; A Macro-Finance Model of he Term Srucure, Moneary Policy, and he Economy", Federal Reserve Bank of San Fransisco Working Paper Sidaoui, J. y M. Ramos-Francia (2008), The Moneary Transmission Mechanism in Mexico: Recen Developmens, BIS Papers No 35, Vasicek, O. (1977), An Equilibrium Characerizaion of he Term Srucure, Journal of Financial Economics, 5, pp

24 8. Apéndice 1 Grá ca 1 Funciones impulso-respuesa ane un choque de políica monearia Grá ca 1 (con.) Funciones impulso-respuesa ane un choque de políica monearia 22

25 Grá ca 2 Función impulso-respuesa conemporánea de la curva de rendimienos ane un choque de políica monearia Grá ca 3 Funciones impulso-respuesa ane un choque de ipo cos-push 23

26 Grá ca 3 (con.) Funciones impulso-respuesa ane un choque de ipo cos-push Grá ca 4 Funciones impulso-respuesa ane un choque de ipo cos-push. Primas de riesgo variables y consanes 24

27 Grá ca 5 Función impulso-respuesa conemporánea de la curva de rendimienos ane un choque de ipo cos-push Grá ca 6 Funciones impulso-respuesa ane un choque de demanda 25

28 Grá ca 6 (con.) Funciones impulso-respuesa ane un choque de demanda Grá ca 7 Función impulso-respuesa conemporánea de la curva de rendimienos ane un choque de demanda 26

29 9. Apéndice 2 En ese apéndice se presenan las esimaciones de los parámeros macroeconómicos. Las ecuaciones que caracerizan el equilibrio de una economía pequeña y abiera son las siguienes: (i) Curva de Phillips c = a 1 c 1 + a 2 E [ c +1] + a 3 x + a 4 (e + USA ) + AS (ii) Curva IS x = b 1 x 1 + b 2 E [x +1 ] + b 3 (i E +1 ) + b 4 x USA (iii) Tipo de Cambio Real q = c 1 (q 1 ) + c 2 (E [q +1 ] + (i USA (iv) Regla de Taylor i = (1 )(d 1 ( ) + d 2 x ) + i 1 + MP (v) In ación! c + (1!) nc + b 5 q + IS E USA ) (i E )) + q denoa la asa de in ación general, c la asa de in ación subyacene, nc la asa de in ación no subyacene, el objeivo de in ación, x la brecha de produco, q el ipo de cambio real, e el ipo de cambio nominal, i la asa de inerés nominal, y i USA ; USA y x USA denoan la asa de inerés nominal de EE.UU., la in ación mensual de EE.UU. y la brecha de produco de EE.UU., respecivamene. La asa de la in ación general se de ne uilizando las ponderaciones de los subíndices de precios subyacenes y no subyacenes del INPC que implica que! es igual a Los siguienes cuadros presenan los parámeros esimados. Cuadro 3 Curva de Phillips a 1 a 2 a 3 a 4 Coe ciene Error esándar (0.0007) (0.0008) (0.0000) (0.0002) Cuadro 4 Ecuación IS b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 Coe ciene Error esándar (0.067) (0.07) (0.02) (0.02) (0.2) 27

30 Cuadro 5 Ecuación de Tipo de Cambio Real c 1 c 2 Coe ciene Error esándar (0.0049) (0.003) Cuadro 6 Regla de Taylor d 1 d 2 Coe ciene Error esándar (0.25) (0.28) (0.07) 28