Modelos no lineales. Contenidos. Econometría II. Grado en Economía Universidad de Granada 17:19:57 17:19:57. Econometría II Modelos no lineales 2 / 47

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1 Modelos no lineales Economería II Grado en Economía Universidad de Granada Economería II Modelos no lineales 1 / 47 Conenidos MCNL y MV MCNL y MV Economería II Modelos no lineales 2 / 47

2 MCNL y MV lineal al modelo no lineal Economería II Modelos no lineales 3 / 47 Especificaciones MCNL y MV Hasa ahora, el efeco sobre Y de un cambio uniario en X no dependía del valor de X. Qué ocurre si el efeco sobre Y de un cambio en X depende del valor de una o más de las variables independienes?. En ese caso, la función de regresión es no lineal.unafunciónnolinealesunafunciónconunapendienequenoes consane. Hay disinos ipos de especificaciones 1. Modelos inrínsecamene lineales se pueden esimar por los méodos conocidos hasa ahora haciendo un simple cambio de variable y/o ransformación: y i = β 1 +β 2 x 2 i +ǫ i, y i 1 = β 1 +β 2 +ǫ i, x i y i = β 1 x β 2 i e ǫ i. 2. Modelos inrínsecamene no lineales no se pueden esimar por los méodos conocidos hasa ahora debido a la no linealidad exisene en los : y i = β 1 +x β 2 i +ǫ i, y i = β 1 x β 2 i +ǫ i, β 1 y i = 1+e β +ǫ 2+β 3 x i. i Economería II Modelos no lineales 4 / 47

3 Ejemplo MCNL y MV Supongamos la siguiene información acerca de precios, P, y canidades, Q, demandadas: Q P lnq lnp A coninuación se puede obervar que la relación enre P y Q no es lineal Figura 1, sin embargo, haciendo una ransformación sencilla aplicando logarimos se puede obener dicho ipo de relación Figura 2. Economería II Modelos no lineales 5 / 47 Ejemplo 10 MCNL y MV P Q Figura 1: Relación no lineal Economería II Modelos no lineales 6 / 47

4 Ejemplo 2.5 MCNL y MV ln P ln Q Figura 2: Relación lineal Economería II Modelos no lineales 7 / 47 El modelo Box-Cox MCNL y MV La ransformación de Box-Cox permien corregir la no linealidad en la relación enre variables ambién pueden ser usadas para solucionar problemas de normalidad y heerocedasicidad. A parir de la ransformación de Box-Cox: { y λ 1 1 y λ1 = λ 1 0 λ 1 lny λ 1 = 0 x λ 2 = { x λ 2 1 λ 2 λ 2 0 lnx λ 2 = 0 modelos en principios no lineales podrán expresarse linealmene como sigue: y λ 1 = α+βx λ 2 +ǫ. A coninuación se analizan los casos pariculares siguienes: λ 1 = λ 2 = 1. λ 1 = λ 2 = 0. λ 1 = 0 y λ 2 = 1. λ 1 = 1 y λ 2 = 0. λ 1 = 1 y λ 2 = 1. Economería II Modelos no lineales 8 / 47

5 El modelo Box-Cox: casos pariculares MCNL y MV Modelo lineal: λ 1 = λ 2 = 1. En ese modelo, β represena el efeco marginal, es decir, una variación uniaria en la variable x provoca un cambio en la variable y igual a β: β = y x y = β x. Modelo muliplicaivo o doblemene logarímico: λ 1 = λ 2 = 0. En ese caso, Box Cox coincide con el modelo no lineal: y = Ax β e ǫ. Aquí, β represena la elasicidad de y respeco de x es decir, qué incremeno porcenual de y se endrá si se produce un incremeno porcenual de x: y x = Aβxβ 1 = Aβx β x 1 = βyx 1 = β y x β = y x x y. Modelo semilogarímico o log lineal: λ 1 = 0;λ 2 = 1. En ese caso, Box Cox coincide con el modelo no lineal: y = e α+βx+ǫ. Aquí, β represena la asa proporcional consane de crecimieno β > 0 o de decrecimieno β < 0 debido a un cambio uniario en x: y x = βeα+βx = βy β = y 1 x y = y 1 y x. Economería II Modelos no lineales 9 / 47 El modelo Box-Cox: casos pariculares MCNL y MV Modelo semilogarímico en: λ 1 = 1;λ 2 = 0. En ese caso, Box Cox coincide con el modelo no lineal: y = α + βlnx + ǫ. Aquí, la variación que se produce en y provocada por una variación en x es inversamene proporcional al valor de x: y x = β1 x. Modelo recíproco o hipérbola: λ 1 = 1,λ 2 = 1. En ese caso, Box Cox coincide con el modelo no lineal: y = α+β 1 +ǫ. Aquí, la x variación que se produce eny provocada por una variación enxes inversamene proporcional al cuadrado de x: y x = β 1 x 2. Economería II Modelos no lineales 10 / 47

6 El modelo Box-Cox: ejemplos gráficos MCNL y MV a b c d Figura 3: Modelo doblemene logarímico con a β = 0.6, b β = 0.6, c β = 1 y c β = 2. Economería II Modelos no lineales 11 / 47 El modelo Box-Cox: ejemplos gráficos MCNL y MV a b Figura 4: Modelo semilogarímico en y con a β = 0.6 y b β = 0.6. c d Figura 5: Modelo semilogarímico en x con c β = 0.6 y d β = 0.6. Economería II Modelos no lineales 12 / 47

7 El modelo Box-Cox: ejemplos gráficos MCNL y MV a b Figura 6: Modelo recíproco o hiperbólico con a β = 0.6 y b β = c d Figura 7: Modelo recíproco-logarímico con c β = 0.6 y d β = 0.6. Economería II Modelos no lineales 13 / 47 El modelo Box-Cox: ejemplo MCNL y MV Dados los siguienes daos ajusar un modelo doblemene logarímico: x y El modelo doblemene logarímico responde a la expresión y = Ax β e ǫ, el cual se puede linealizar sin más que considerar logarimos: lny = lna+βlnx+ǫlne y = A +βx +ǫ, donde y = lny y x = lnx. Por ano, se ha llegado a un modelo lineal que se puede esimar por el méodo de Mínimos Cuadrados Ordinarios: Â = Â = e = β = R 2 = x y Por ano, el modelo esimado quedaría ŷ = x Adviérase que las propiedades verificadas porâ al ser obenido por MCO no ienen por que exenderse a Â. Ajusar un modelo del ipo y = Aβ x e ǫ y decidir cuál es el mejor. Economería II Modelos no lineales 14 / 47

8 El modelo Box-Cox: ejemplo MCNL y MV y y con respeco a x con ajuse mínimo cuadráico Y = 1.21e X x Figura 8: Represenación gráfica de los daos originales. Economería II Modelos no lineales 15 / 47 El modelo Box-Cox: ejemplo Y = X l y con respeco a l x con ajuse mínimo cuadráico MCNL y MV l y l x Figura 9: Represenación gráfica de los daos ransformados. Economería II Modelos no lineales 16 / 47

9 MCNL y MV Aproximación lineal de Economería II Modelos no lineales 17 / 47 MCNL y MV Supongamos que preendemos esimar una relación de carácer económico enre una magniud y y un conjuno de variables explicaivas recogidas en el vecor de variables independienes X. Represenaremos al relación mediane el modelo economérico: y = fx,β+ǫ, = 1,2,...,T, donde f represena una función no lineal cualquiera. Podemos omar una aproximación lineal de la función en un enorno de un puno cualquiera, pudiendo elegir inicialmene el valor ˆβ 0. El modelo quedaría: y = fx, ˆβ fx,β 0 + β ˆβ 0 +ǫ, = 1,2,...,T. β=ˆβ 0 Operando: y fx, ˆβ fx,β fx,β 0 + ˆβ0 = β +ǫ, β=ˆβ 0 β=ˆβ 0 fx,β con = 1,2,...,T y siendo el érmino el gradiene de la función β=ˆβ 0 fx,β evaluado en el vecor de considerado β = ˆβ 0. Economería II Modelos no lineales 18 / 47

10 MCNL y MV Si denoamos y = y fx, ˆβ fx,β 0 + β=ˆβ 0 ˆβ0, el modelo puede reescribirse como y fx,β = β +ǫ, = 1,2,...,T. β=ˆβ 0 El modelo así ransformado es un modelo lineal general, donde la nueva variable dependiene es y fx,β, y el vecor de variables explicaivas,, son las β=ˆβ 0 componenes del vecor gradiene de la función evaluadas en la esimación inicial de los. Aplicando Mínimos Cuadrados Ordinarios: ˆβ =[ fx,β fx,β β=ˆβ 0 β=ˆβ 0 ] 1 fx,β β=ˆβ 0 y. Adviérase que esa esimación dará buenos resulados si los valores iniciales ˆβ 0 son próximos a los verdaderos valores de los a esimar, lo cual normalmene no es conocido. Economería II Modelos no lineales 19 / 47 MCNL y MV La expresión anerior puede expresarse equivalenemene, ˆβ = β +[ fx,β fx,β β=ˆβ 0 β=ˆβ 0 ] 1 fx,β β=ˆβ 0 ˆǫ, dondeˆǫ = y fx, ˆβ 0 es el residuo obenido en la esimación realizada. Si suponemos que Eˆǫ = 0 y varˆǫ = σ 2 I, enonces ˆβ será insesgado y: [ fx varˆβ = σ 2,β fx,β ] 1. β=ˆβ 0 β=ˆβ 0 Una esimación insesgada de la varianza del érmino de perurbación se obiene: ˆσ 2 = y fx,β y fx,β. T k Si además las perurbaciones se disribuyen normalmene, el esimador de mínimos cuadrados ordinarios, obenido con esa aproximación lineal, ambién será normalmene disribuido: ˆβ N β,σ 2 [ fx,β fx,β β=ˆβ 0 β=ˆβ 0 ] 1, siempre y cuando la úlima mariz inversa exisa. Economería II Modelos no lineales 20 / 47

11 : ejemplo MCNL y MV Dado el modelo y = β 1 e β 2x + ǫ vamos a obener una aproximación lineal del mismo. Pueso que fx,β = β 1 e β 2x depende de β 1 y β 2 en ese caso se verifica que: fx,β 1 e β 2x 1 e β2x = = e β 2x β 1 x e β 2x. 1 2 Por ano, dado un valor inicial ˆβ, se iene: y = fx, ˆβ+ fx,β β ˆβ+ǫ β=ˆβ e β = β1 e β 2x + 2x β1 x e β 2x β 1 β1 β 2 β2 +ǫ = β1 e β 2x +e β 2x β 1 β1 + β1 x e β 2x β 2 β2 +ǫ. Operando de forma conveniene: y β1 e β 2x +e β 2x β1 + β1 x e β 2x β2 = e β 2x β 1 + β1 x e β 2x β 2 +ǫ. Como se puede observar esa expresión es inrínsecamene lineal, es decir, haciendo un cambio de variable puede esimarse por MCO. Economería II Modelos no lineales 21 / 47 : ejemplo MCNL y MV En efeco, llamando y = y β1 e β 2x +e β 2x β1 + β1 x e β 2x β2, x 1 = e β 2x, x 2 = β1 x e β 2x, se obendría la aproximación lineal y = x 1 β 1 +x 2 β 2 +ǫ. Por ejemplo, para el valor inicial β1 = y y β2 = 0 se obendría el modelo linealizado: y = β 1 +x β 2 +ǫ, donde y = y y x = y x. Así por ejemplo: ŷ = x R 2 = y x x = y x Economería II Modelos no lineales 22 / 47

12 MCNL y MV Mínimos cuadrados no lineales Esimación por máxima verosimiliud Mínimos Cuadrados no lineales y esimación por Máxima Verosimiliud Economería II Modelos no lineales 23 / 47 Mínimos cuadrados no lineales MCNL y MV Mínimos cuadrados no lineales Esimación por máxima verosimiliud Denro de ese aparado, esudiaremos explíciamene las siuaciones en las cuales no es posible ransformar el modelo de manera que pueda esimarse con las écnicas de esimación correspondienes al modelo lineal general. El primer méodo que pasamos a abordar para esimar relaciones de ipo no lineal es el de mínimos cuadrados no lineales, que no es más que una generalización del procedimieno del méodo de mínimos cuadrados ordinarios. Recordemos, que la idea de parida del méodo de mínimo-cuadráico no exige en ningún momeno la linealidad del modelo, si bien, la resolución analíica del mismo se complica basane cuando el modelo no es lineal. Supongamos que preendemos esimar un modelo cuya especificación genérica es: y = fx,β+ǫ, = 1,2,...,T, donde X es el vecor de variables independienes, β es el vecor de del modelo a esimar y f es una función no lineal de las componenes de los vecores X y β, y cuya primera derivada vamos a suponer que es no lineal en β. El méodo de mínimos cuadrados no lineales, al igual que su homólogo lineal, raa de minimizar la suma de los residuos al cuadrado, es decir, minimizar la siguiene expresión: SRCβ = e 2 = y fx,β 2. Economería II Modelos no lineales 24 / 47

13 Mínimos cuadrados no lineales Mínimos cuadrados no lineales Ejemplo Esimación por máxima verosimiliud Derivando la expresión anerior obenemos las condiciones de primer y segundo orden necesarias y suficienes para la obención del mínimo. Así, derivando una primera vez se obiene: SRCβ = 2 y fx,β fx,β, e igualando a cero dicha derivada parcial se obienen las ecuaciones normales del modelo: y fx,β fx,β = 0,. Economería II Modelos no lineales 25/ 47 Mínimos cuadrados ejemplo Mínimos cuadrados no lineales Ejemplo Esimación por máxima verosimiliud Obenerelsisemadeecuacionesnormalesdelmodelo y = β 1 +x β 2 +ǫ. El objeivo es minimizar la suma de cuadrados de los residuos, eso es, SRCβ = y β 1 x β 2 2,donde β = β1 β 2. Por ano, habrá que derivar la expresión anerior usando que si fx = a x enonces f x = a x lnaconrespecoacadaunodeloselemenosde β: SRCβ 1 = 2 SRCβ 2 = 2 y β 1 x β 2, y β 1 x β 2 β x 2 lnx. E igualando a cero dichas derivadas se obendrá el sisema de ecuaciones normales buscado: y β 1 x β 2 = 0, y β 1 x β 2 β x 2 lnx = 0. Economería II Modelos no lineales 26/ 47

14 Mínimos cuadrados ejemplo Mínimos cuadrados no lineales Ejemplo Esimación por máxima verosimiliud Un ejemplo de ese ipo de especificaciones, en Economía, es la función de consumo agregado: C = β 1 +β 2 Y β 3 +ǫ. Los esimadores mínimo cuadráicos de β 1,β 2 y β 3 deben de cumplir las condiciones necesarias: ê 2 1 ê 2 2 ê 2 3 = 0 = 0 = 0 C β 1 β 2 Y β 3 = 0, C β 1 β 2 Y β 3 Y β 3 = 0, C β 1 β 2 Y β 3 β 2 Y β 3 lny = 0. Esa ecuaciones son no lineales, por lo que no pueden ser resuelas de manera direca con procedimienos algebraicos sino con méodos numéricos. Es decir, para resolver las ecuaciones normales es necesario un méodo ieraivo para obener los valores de los. Economería II Modelos no lineales 27/ 47 Esimación por máxima verosimiliud Mínimos cuadrados no lineales Ejemplo Esimación por máxima verosimiliud Sabemos que la función de verosimiliud del modelo viene dada por la expresión: Lβ,σ 2 y,x = y aplicando logarimos neperianos: y = fx,β+ǫ, ǫ N0,σ 2 I T, { 1 2πσ 2 T/2 exp 1 2σ 2 y fx,β y fx,β lnlβ,σ 2 y,x = T 2 ln2π T 2 lnσ2 1 2σ 2SCRβ. Los posibles esimadores máximo verosímiles serán obenidos ras derivar la expresiónaneriorconrespecoaβy σ 2 eigualandoelresuladoacero. Enelprimercaso,seobieneladerivada: lnlβ,σ 2 y,x que igualada a cero queda: = 1 2σ 2SCRβ = 1 σ 2 y fx,β fx,β } y fx,β fx,β, = 0,., Economería II Modelos no lineales 28/ 47

15 Esimación por máxima verosimiliud Mínimos cuadrados no lineales Ejemplo Esimación por máxima verosimiliud Adviérase que los resulados obenidos coinciden con el esimador por mínimos cuadrados no lineales, por ano, no es posible dar una solución analíica para las soluciones de ese sisema de ecuaciones y una vez más se hace necesario un méodo ieraivo para obener los valores de los. Sin embargo, sí que es posible dar una expresión para la varianza de las perurbaciones. Derivando parcialmene con respeco a σ 2 e igualando a 0, obenemos: T 2 1 ˆσ ˆσ 2 2SCRβ = 0. Despejando: ˆσ 2 = SCRβ. T Susiuyendo ese valor en la función de verosimiliud lnlβ,σ 2 y,x, obenemos la función de verosimiliud concenrada: lnl c β,ˆσ 2 y,x = T 2 ln2π T 2 ln SCRβ T T 2. El esimador máximo verosimil correspondiene a esa úlima función de verosimiliud concenrada sería el mismo que el esimador de mínimos cuadrados no lineales correspondiene a la minimización de SCRβ. Esa equivalencia enre losesimadoresmvymcnlsoloesválidaenelcasoenque ǫ N0,σ 2 I T. Economería II Modelos no lineales 29/ 47 Algorimos de Economería II Modelos no lineales 30/ 47

16 Algorimos de búsqueda Algorimos de En la presene sección veremos los procedimienos numéricos que serán uilizados para resolver las ecuaciones normales obenidas que no pueden ser resuelas de forma direca mediane procedimienos algebraicos. Dado el modelo y = fx,β+ǫ, lasumadecuadradosdelosresiduosvendrádadaporlaexpresión: SCRβ = y fx,β 2, siendo la condición necesaria de mínimo para esa función la dada por la ecuación normal y fx,β fx,β = 0. Veremos a coninuación dos méodos para resolver ese ipo de ecuaciones. Economería II Modelos no lineales 31/ 47 Algorimo de Newon-Raphson Algorimos de Ese algorimo se basa en minimizar la suma de cuadrados de los residuos. En primer lugar se oma como aproximación a dicha suma el desarrollo del polinomiodedesegundoordenenunenornodelvalorinicial β0 : SCRβ SCRβ SCR β0 + Derivando respeco β: SCRβ SCRβ Igualando a cero la primera derivada: SCRβ y despejando β: β = β β β0 2 SCRβ β= β 0 + β= β SCRβ 1 2 SCRβ β= β 0 2 SCRβ β= β 0 β β0 β= β 0 β β0, β= β 0 β β0. β= β 0 β β0 = 0, SCRβ β= β 0. Economería II Modelos no lineales 32/ 47

17 Algorimo de Newon-Raphson Algorimos de Siempre que exisa dicha inversa, a parir de la expresión anerior se puede planear el siguiene procedimieno ieraivo: 1 β 2 SCRβ SCRβ n+1 = βn β= β n β= β n. Eseprocedimienoserepiehasaqueconverja,esdecir,hasaqueexisa h alque βh+1 = βh.enalcasoseendríaenoncesque SCRβ = 0, β= β h dedondesededuceque βh minimizaascrβ. Economería II Modelos no lineales 33/ 47 Algorimo de Newon-Raphson: Ejemplo Algorimos de Dado el modelo y = x β + ǫ, = 1,...,T, obener la esimación ieraiva proporcionada por el algorimo de Newon Raphson. Enesecaso SCRβ = y x β 2,porloque: SCRβ 2 SCRβ 2 = = 2 = = y x β x β lnx, Dondesehausadoque xβ = xβ lnx. y x β x β lnx y x β lnx +2 y x β lnx 2 +4 x 2β lnx x 2β lnx 2. Economería II Modelos no lineales 34/ 47

18 Algorimo de Newon-Raphson: Ejemplo Algorimos de Por ano: β n+1 = β n + y x β n lnx y x β n lnx 2 2 x 2β n lnx x 2β n lnx 2 Paraelvalorinicial β 0 = 0,laprimeraieracióncorrespondea: β 1 = = y lnx y lnx 2 2 y 1lnx y 2lnx 2. lnx lnx 2. Economería II Modelos no lineales 35/ 47 Algorimo de Newon-Raphson: Ejemplo Algorimos de Dado el modelo y = β 1 e β 2x + ǫ, = 1,...,T, obener la primera ieración proporcionadaporelalgorimodenewon Raphsonparalosvaloresiniciales β 1 = y y β 2 = 0. = Pueso que SCRβ = SCRβ 2 = y β 1 e β 2x 2donde β = β 1 β 2 seieneque: SCRβ 1 SCRβ SCRβ = e 2β 2 x = 2 2 y β 1 e β 2x e β 2 x y β 1 e β 2x x e β 2x β 1 2 SCRβ SCRβ y x eβ2x + 4β 1 T x e2β2x 2β 1 T 2 SCRβ SCRβ 2 2 y x eβ2x + 4β 1 T, x e 2β 2 x y x 2 eβ 2 x + 4β1 2 x 2 e2β 2 x. Economería II Modelos no lineales 36/ 47

19 Algorimo de Newon-Raphson: Ejemplo Por ano, la primera ieración quedaría: y β = 0 2T y 2y y y 2y y 2yx 2 1 y y y yx. Algorimos de Economería II Modelos no lineales 37/ 47 Algorimo de Gauss-Newon Algorimos de Pariendo de la aproximación lineal del desarrollo en serie de para la función nolineal f enunenornodelpuno ˆβ 0 seobiene: fx,β fx,β = fx, ˆβ 0 + β ˆβ 0. β=ˆβ 0 La expresión ieraiva correspondiene al algorimo de Gauss-Newon es: ˆβ n+1 = ˆβ n + T fx,β fx,β 1 β=ˆβ n fx,β β=ˆβ n ˆǫ, dondeˆǫ = y fx, ˆβ n eselresiduoobenidoenlaesimaciónrealizada. Esa expresión es similar al de algorimo de Newon-Raphson, con la venaja añadida que la mariz a inverir es simérica y definida posiiva. Economería II Modelos no lineales 38/ 47

20 Algorimo de Gauss-Newon: Ejemplo Algorimos de Dadoelmodelonolineal y = x β +ǫ seieneque: Enalcasoesclaroque: fx,β = x β fx,β ˆβ n+1 = ˆβ n + = x β lnx. x β n lnx y x β n x 2β n lnx 2 Para el valor inicial ˆβ0 = 0, la primera ieración del algorimo de corresponde a: ˆβ 1 = y 1lnx lnx 2.. Economería II Modelos no lineales 39/ 47 Algorimo de Gauss-Newon: Ejemplo Algorimos de Dadoelmodelonolineal y = β 1 e β 2x + ǫ vamosaobenerlaexpresiónieraiva correpondiene al algorimo de Gauss-Newon. Puesoque fx,β = β 1 e β 2x seieneque: fx,β de donde: fx,β fx,β Yenalcaso: ˆβ n+1 = ˆβ n + e 2β 2 x β 1 x e 2β 2 x = e β 2x β1 x e β 2x, = = β 1 x e 2β 2 x β 2 1 x2 e2β 2 x e β 2x β 1 x e β 2x e β 2 x β1 x e β 2x, e 2β 2x β 1 x e 2β 2x β 1 x e 2β 2x β1 2x2 e2β 2x 1 β=ˆβn e β 2 x ˆǫ. β 1 x e β 2 x ˆǫ β=ˆβn, dondeˆǫ = y fx, ˆβ n. Economería II Modelos no lineales 40/ 47

21 Algorimo de Gauss-Newon: Ejemplo Considerandolosvaloresiniciales β 1 = yyβ 2 = 0,laprimeraieraciónsería: y ˆβ = 0 + y T x y x y 2 x 2 1 y y y x y y. Algorimos de Economería II Modelos no lineales 41/ 47 Crierios de finalización del algorimo Algorimos de Esos méodos ieraivos no siempre son esacionarios, es decir, no son convergenes. Por ello, se requiere esablecer a priori unos crierios que permian finalizar el proceso ieraivo cuando no se alcanza dicha convergencia. Esos crierios son: 1. Los valores de los se esabilizan. 2. El valor de la función objeivo se esabiliza. 3. El vecor gradiene esá próximo a cero. 4. Se alcanzó el número máximo de ieraciones. 5. Sealcanzóellímiemáximodeiempodecálculo. Economería II Modelos no lineales 42/ 47

22 Economería II Modelos no lineales 43/ 47 Supongamos que queremos planear cualquier hipóesis que implique una combinación de los párámeros del modelo de regresión. El sisema de resricciones se puede expresar como: R q k β = r q 1, q k. El modelo sobre el que se imponen las resricciones se denomina modelo resringido y el modelo sobre el que no se imponen las resricciones se llama modelo sin resricciones. Conrase F: F = e re r e e/q e e/n k F q,n k, donde e re r es la SCR del modelo resringido; e e es la SCR del modelo sin resringir y q es el número de resricciones. razón de verosimiliudes: 2lnL R lnl = nln ˆσ 2 ˆσ 2 R χ 2 q, donde L R y L son la funciones de verosimiliud evaluadas para el esimador resringido y no resringido, respecivamene, y ˆσ 2 R y ˆσ2 son las varianzas esimadas de las perurbaciones para ambos modelos. Economería II Modelos no lineales 44/ 47

23 Wald: [ W = Rβ r Rˆβ ˆσ 2 X X 1 Rˆβ ˆβ ˆβ ] 1 Rβ r χ 2 q. Esa expresión no requiere esimar el modelo con y sin resricciones. Economería II Modelos no lineales 45/ 47 Economería II Modelos no lineales 46/ 47

24 Dada una función fx, su aproximación lineal mediane el desarrollo de en unpuno arespondealaexpresión: fx fa+f ax a+ f a x a 2 + f a x a ! 3! = fa+ + i=1 f i a x ai. i! Economería II Modelos no lineales 47/ 47