ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

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1 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 15 1 Andalucía, junio 15 Sean los punos A(, 1, 1), B(, 1, ), C( 1,, ) y D(, 1, m) a) [,75 punos] Calcula m para que A, B, C y D esén en el mismo plano b) [,75 punos] Deermina la ecuación del plano respeco del cual A y B son siméricos c) [1 puno] Calcula el área del riángulo de vérices A, B y C a) Los punos A, B, C y D esán en el mismo plano cuando los vecores AB, AC y AD sean linealmene dependienes, lo que implica que el deerminane asociado valdrá AB = (, 1, ) (, 1, 1) = (,, ); AC = ( 1,, ) (, 1, 1) = ( 1, 1, 1); AD = (, 1, m) (, 1, 1) = (,, m 1) El deerminane asociado es: = ( m 1) 4 = m= m 1 Los cuaro punos dados esarán en el mismo plano cuando m = b) Es el plano mediador: el que pasa por el puno medio de A y B y iene como vecor caracerísico a AB El puno medio de A y B es: P,, P( 1,1, ) Como AB = (,, ), el plano pedido es: π x 1 + y 1 + z = π x+ z 6= π x+ z = ( ) ( ) ( ) 1 c) El área del riángulo de vérices A, B y C viene dada por S = AB AC Como AB = (,, ) y AC = ( 1, 1, 1) se iene que: u1 u u AB AC = = (,, ) AB AC = 4+ 4 = 8 = Luego, la superficie del riángulo será: S = = Andalucía, junio 15 Sea el plano π x+ y z+ 8= a) [1,5 punos] Calcula el puno P, simérico del puno P(, 1, 5) respeco del plano π x y+ 1 z 5 b) [1 puno] Calcula la reca r, simérica de la reca r = = respeco del 1 plano π a) Ambos punos, P y P esarán en la reca s, perpendicular a π por P Además, si M es el puno de core de la reca y el plano, M debe ser el puno medio enre P y P

2 GEOMETRÍA (Selecividad 15) x= + La reca perpendicular al plano π desde P es: s y = 1+ z = 5 Core de s con π: Se susiuyen las ecuaciones de s en la del plano π = 6+ 6= = 1 M(,, 6) ( ) ( ) ( ) Sea P = (x, y, z ) el simérico de P respeco de π Puno medio de P y P : x +, y +, z Como M(,, 6) = x +, y +, z + x 1+ y 5 + z = x = ; = y = ; 6 = z = 7 Por ano, P = (,, 7) b) La reca r coniene al puno P Por ano, su simérica respeco a π queda definida por el puno P y por el puno de core de r con π Core de r con π x= h r y = 1+ h Se susiuye en π: z = 5 + h π ( h) + ( 1+ h) ( 5+ h) + 8= h = Luego N = ( 4, 8, 8) Además, el vecor NP = (,, 7) ( 4, 8, 8) = (, 11, 1) La reca simérica queda definida por N y P Su ecuación es: x= 4+ r y = 8 11 z = 8 Aragón, junio 15 ( punos) a) (1 puno) Deermina, como inersección de dos planos, la ecuación de la reca paralela a la reca: 5x y+ z = 1 r : x + y z = 4 que pasa por el puno (,, 4) b) (1 puno) Deermina la disancia del puno P = (1, 1, ) a la reca r anerior a) Los planos que deerminen a la paralela buscada deben ser paralelos a los que deerminan a r pero pasando por el puno (,, 4) 5x y+ z = d Esos planos serán: r : x+ y z = e 6 8= d 5x y+ z = 14 Susiuyendo el puno: (,, 4) d = 14; e= 14 r : = e x+ y z = 14

3 GEOMETRÍA (Selecividad 15) b) La ecuación de la disancia de un puno P a una reca r es: AP vr d( P, r) =, siendo A r v r El puno A y el vecor v r se obienen expresando la reca r en paraméricas 5x y+ z = 1 r : x + y z = 4 x = 1/ 5x y = 1 z 5x y = 1 z r: y = x+ y = 4+ z E+ E1 6x= z = 7/4 + / Luego: A = ( 1/,, 7/4), P = (1, 1, ), AP = (/, 1, 7/4), v r = (, 1, /) El produco vecorial vale: AP v u1 u u 1 9 r = / 1 7/4 =,, / El módulo de v 9 1 r : v r = 1+ = AP v r = + + = Luego dpr 86 / 4 (, ) = 1 / = 4 Asurias, sepiembre 15 Los punos A(1,, ) y B(,, 1) son los vérices que forman el lado desigual de un riángulo y = isósceles Se sabe que el ercer vérice perenece a la reca r : z = 1 a) Halla las coordenadas del ercer vérice (1,5 punos) b) Encuenra el área del riángulo (1 puno) a) Si el vérice C perenece a la reca dada, sus coordenadas serán: C(,,1) Si los vérices A y B deerminan el lado desigual, para que el riángulo ABC sea isósceles es necesario que los lados AC y BC sean iguales, luego: (, ) ( 1 ) ( 1) ( ) ( 1 1 ) (, ) d AC = + + = + + = d BC = = 85 = 8 ( ) Por ano, el ercer vérice debe ser C(8, 1) b) El área del riángulo de vérices A, B y C viene dada por 1 S = AB AC En ese caso: AB = (,, 1) (1,, ) = ( 1,, 1); AC = (8,, 1) (1,, ) = (7,, 1) Como:

4 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 4 u1 u u AB AC = 1 1 =, 17, ( ) Luego, la superficie del riángulo será: 885 S = AB AC = = Baleares, junio 15 Esudia la posición relaiva de las recas: x= 1 x y r: = = z, s: y = 5 z = 5 y, en caso de que se coren, encuenra el puno de inersección x= h Ecuaciones paraméricas de r: r: y = + 5h z = h h= 1 Si las recas se coran, debe ser compaible el sisema: + 5h = (se han igualado las h = 5 respecivas componenes de una y ora reca) Efecivamene es compaible, con solución h = 5 y = 14 Por ano, el puno de core será P( 1, 8, 5) 6 Canabria, junio 15 Sean A, B y C los punos de coordenadas A = (, 1, ), B = (1,, ), C = (, 4, ) y sea r la y z = reca r x + z = a) Calcula las ecuaciones de la reca que pasas por el puno A y por el puno medio del segmeno BC b) Calcula el área del riángulo ABC c) Calcula la disancia del puno C a la reca r a) El puno medio del segmeno BC es M =,, = ( /,, / ) El vecor de dirección de la reca es AM = (/,, /) (, 1, ) = ( 1/,, 7/) x= / x= h La reca pedida es: s y = 1+ s y = 1+ 6h z 7 / = z = 7h 1 b) El área del riángulo de vérices A, B y C viene dada por: S = AB AC En ese caso: AB = (1,, ) (, 1, ) = ( 1, 1, ); AC = (, 4, ) (, 1, ) = (, 5, 5)

5 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 5 Como: u1 u u AB AC = 1 1 = 5, 5, ( ) Luego, la superficie del riángulo será: 5 S = AB AC = = 5 c) La disancia de C a la reca r es iguala a la disancia enre el puno C y el puno de core del plano π, perpendicular a r por C x= La reca r en paraméricas es: r y = v r = (, 1, ) z = El plano π, perpendiculara a r por C, es: π: ( x ) + ( y 4) + ( z+ ) = π: x+ y+ z+ 6 = Core de π con r: ( ) = = / P +,, P,, CP 4 ( ) 4 8 =,,, 4, =,, Luego, (, ) d( C, P) d C r = = + + = = Casilla La Mancha, junio 15 x+ y+ z = a) Calcula la disancia del puno P( 1,, ) a la reca r y+ z = 1 b) Calcula el puno simérico de P respeco de r (1,5 punos) a) La ecuación de la disancia de un puno P a una reca r es: AP vr d( P, r) =, siendo A r v r El puno A y el vecor v r se obienen expresando la reca r en paraméricas x= 1+ x+ y+ z = x= y+ z r r r y = 1 y+ z = 1 y = 1 z z = Luego: A = (1, 1, ), P = ( 1,, )), AP = (, 1, ), v r = (1, 1, 1) El produco vecorial vale: AP v u1 u u r = 1 = ( 1,, 1) AP v r = = (1,5 punos)

6 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 6 Como v = =, se iene que r 6 dpr (, ) = = b) Si Q es el simérico de P respeco la reca, se cumplen dos cosas: Su puno medio R debe ser de la reca El vecor PR debe ser perpendicular al vecor v r de dirección de la reca Eso es, debe cumplirse que v r PR = Sea R un puno genérico de la reca: R = (1 +, 1, ) Por ano: PR = (1 +, 1, ) ( 1,, ) = ( +, 1, ) v r PR = (1, 1, 1) ( +, 1, ) = = + = = 1 Susiuyendo en la reca se obiene R = (,, 1) 1+ a b+ c Si Q = (a, b, c), el puno medio enre P y Q es: R =,, Igualando las coordenadas de ambos R se iene: 1+ a b + c = a = 1; = b = ; = 1 c = El puno el puno simérico de P respeco de r es: Q = (1,, ) 8 Casilla y León, junio 15 a) Calcular la reca que cora perpendicularmene al eje OZ y que pasa por el puno P = (1,, ) (1,5 punos) x = b) Esudiar, en función del parámero a, la posición relaiva de la reca r y el plano y = π x + y + az = 1 (1,5 punos) a) La reca pedida debe esar en el plano z = d, perpendicular al eje OZ Como debe pasar por el puno P(1,, ) d = Luego, el plano es z = Como la reca cora al eje, debe pasar por el puno de core del plano con el eje, que es Q(,, ) Por ano, el vecor direcor de la reca será: PQ = (,, ) (1,, ) = ( 1,, ) x= 1 La reca pedida es: r y = z = b) Si se susiuyen las ecuaciones de la reca en la del plano se obiene: 1 az =, que es una ecuación compaible siempre que a Por ano, la reca r y el plano π se corarán siempre que a ; no lo harán cuando a =

7 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 7 9 Casilla y León, junio 15 a) Puede haber dos vecores u y v de R ales que uv=, u = 1 y v =? (1 puno) b) Hallar el valor de a para que exisa una reca que pase por el puno P ( 1 a,1 aa, ) = +, core a x+ y = x+ z = la reca r y sea paralela a la reca s (1,5 punos) z = 1 y = a) La definición del produco escalar de dos vecores u y v es: u v = u v cos( u, v) En ese caso, debe cumplirse que: = 1 cos( uv, ) cos( uv, ) = 1,5, que no puede ser x= h x= b) Las ecuaciones paraméricas de ambas recas son: r y = h; s y = z = 1 z = x= 1+ a+ La reca que pasa por el puno P= ( 1 + a,1 aa, ) y es paralela a s es: s y = 1 a z = a Para que las recas se coren, sus coordenadas deben ser iguales en algún puno Eso exige que debe ser compaible el sisema: h= 1+ a+ h= 1+ a+ 1+ a= 1+ a+ 1 a a = 1 h= 1 a h= 1+ a 1 a = = 1 a (Se han igualado las respecivas componenes de una y ora reca, despejado h y en la ª y ª ecuación, y se ha deerminado a, que es único) Luego, el sisema es compaible, con solución: a = 1, h = y = x= + Por ano, la reca paralela a s es: s y = z = 1 El puno de core de las recas r y s es Q(,, 1) 1 Caaluña, junio 15 a) El vecor de dirección de la reca dada es v r = (, 1, 1) Ese vecor es el caracerísico de odos los planos perpendiculares a la reca

8 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 8 Por ano, la ecuación del plano pedido será: π x y+ z+ d = Como se quiere que pase por el puno P(6,, 1), enonces: π ( 1) + d = d = 11 Luego, la ecuación d el plano pedido es: π x y+ z 11 = b) El plano buscado esará deerminado por el puno P(6,, 1) y los vecores v r = (, 1, 1) y PR, donde R es un puno de la reca r Si R(1,, ), PR = (1,, ) (6,, 1) = ( 5,, 1) x= 6+ 5h Las ecuaciones paraméricas del plano son: π y = h z = 1+ + h 11 Caaluña, junio 15 a) La posición relaiva de dos planos se deermina esudiando la solución del sisema asociado Si es compaible indeerminado se coran (rango ) o son coincidenes (rango 1); si es incompaible, los planos son paralelos 1 1 Como las marices asociadas son: A= = M ; y el rango de ambas es, el 1 sisema es indeerminado Luego, los planos se coran y deermina una reca Aunque no se pide, las ecuaciones de la reca que deerminan es: x+ y+ z = 1 1 (Resando ecuaciones) 4y = y = x y + z = Susiuyendo: x+ 1+ z = 1 x= z x= Si se hace z =, se pueden escribir las ecuaciones de la reca así: y = 1/ z = b) Los punos genéricos P de la reca r son: P xyz,, = 4 + λ,,1 λ ( ) ( ) La disancia de P al plano π 1 es: d( P, ) 4 + λ+ ( ) + (1 λ ) π 1 = = 1 + +

9 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 9 La disancia de P al plano π es: d( P, ) 4 + λ ( ) + (1 λ ) + 5 π = = 1 + ( ) + 1 Comunidad Valenciana, junio 15 Obener razonadamene, escribiendo odos los pasos del razonamieno uilizado: a) La ecuación del plano π que pasa por el puno P(,, 1) y es perpendicular a la reca x+ y = r : z = b) Las coordenadas del puno Q siuado en la inersección de la reca r y del plano π c) La disancia del puno P a la reca r, y jusificar razonadamene que la disancia del puno P a un puno cualquiera de la reca r es mayor o igual que 5 5 a) El vecor caracerísico del plano buscado es el de dirección de la reca x= x+ y = x= y r : r: r: y = z = z = z = v r = (, 1, ) = v π Luego: π: x+ y+ d = coniene a P 4 + d = d = 4 Por ano: π: x+ y+ 4= b) El puno Q se obiene resolviendo el sisema reca/plano Susiuyendo las ecuaciones de la reca en la del plano se obiene: 4 ( ) + 4 = = Luego Q,, 5 5 c) La disancia de P a r es la que hay enre P y Q dpr (, ) = dpq (, ) = = Cualquier oro puno S de r deermina con P y Q un riángulo recángulo, siendo PS la 5 hipoenusa Por ano dps (, r) 5 1 Exremadura, junio 15 x = En R, considere el plano π : ax + by + cz = d, la reca r :, y el puno P = (1,, 1) y = a) (1 puno) Obenga cómo deben ser los números reales a, b, c, d para que el plano π conenga a la reca r

10 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 1 b) (1,5 punos) Suponiendo que π coniene a r, pruebe que la disancia del puno P a π es d P, π 1 menor o igual a 1: ( ) a) Para que la reca esé conenida en el plano es necesario que dos punos de la reca perenezcan al plano (Esos punos deberán cumplir la ecuación del plano) El puno (,, ) es de la reca a + b + c = d d = π : ax + by + cz = El puno (,, 1) es de la reca π : a + b + c 1 = c= π : ax + by = Por ano, los números reales a, b, c, d son: a y b cualesquiera, no ceros a la vez; c = ; d = b) La disancia de P al plano π es: a 1 + b a a d ( P( 1,,1 ), π : ax + by = ) = = = 1 a + b a + b a 14 Exremadura, junio 15 Dados en R los planos π 1 : x+ y z = 1 y π : x y + z = 1, obenga el conjuno H de los punos de R que disan igual de dichos planos El conjuno pedido es el plano bisecor, cuya ecuación viene dada por d P, π = d P, π, siendo P( xyz,, ) un puno genérico de H En consecuencia: x+ y z 1 x y+ z 1 d( P, π 1) = = = d( P, π) ( 1) 1 + ( 1) + 1 x+ y z 1 x y+ z 1 = x+ y z 1=± x y+ z 1 ( ) Se obiene dos planos: H1 x+ y z 1= x y+ z 1 H1 y z = H x+ y z 1= x+ y z+ 1 H x= 1 ( ) ( ) 1 15 Galicia, junio 15 x = +λ x 4 y z 5 Dadas las recas r: y = 1 ; s : = = 1 4 z = 4 + λ a) Esudia su posición relaiva Calcula la ecuación implícia o general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a r y a s b) Calcula las ecuaciones paraméricas de la reca que cora perpendicularmene a r y a s a) Hay que esudiar la dependencia lineal de los vecores: v r = (1,, ), v s = (, 1, 4) y RS = (4,, 5) (, 1, 4) = (1, 4, 1) siendo R un puno de r y S un puno de s

11 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 11 Como = , los vecores son linealmene independienes En consecuencia, las recas r y s se cruzan b) Perpendicular común 1) Se oman punos genéricos de r y s: R = ( + λ, 1, 4 + λ), S = (4 +,, 5 + 4) El vecor SR = ( 1 + λ, 4 +, 1 + λ 4), que indica la dirección de la reca perpendicular común a r y s, debe ser perpendicular a los de dirección de r y s: v r = (1,, ) y v s = (, 1, 4) ) Se muliplica escalarmene (SR v r =, SR v s = ), y se obiene el sisema: 5λ 11 = λ = 5; = 11λ 6 = Con eso: R = (8, 1, 14), S = (1, 1, 1) y RS = (,, 1) ) La reca perpendicular común, que pasa por R y lleva la dirección de RS es: x= 8+ p: y = 1 + z = La Rioja, junio 15 x= 5 + ( punos) Consideremos el puno P(6, 1, 5) y la reca r: y =, R z = 1 i) Halla la ecuación del plano π, perpendicular a r que coniene a P ii) Deermina el puno Q donde la reca r cora al plano π iii) Deermina el puno S simérico de P respeco a la reca r i) El vecor normal al plano debe ser el de dirección de la reca: v π = v = (1, 1, ) r Como debe conener al puno P(6, 1, 5), la ecuación del plano será: π x 6 y+ 1 z 5 = π x y z+ = ( ) ( ) ( ) ii) Susiuyendo las ecuaciones de la reca en la del plano: π ( 5+ ) ( ) 1 ( ) + = 6+ 6= = 1 El puno Q es el de coordenadas (4, 1, ) iii) El puno S, simérico de P respeco a la reca r, es al que el puno medio de P y S es el puno Q hallado aneriormene Por ano, si S(a, b, c), el puno medio enre P y S es: a+ 6 b 1 c+ 5 Q =,,

12 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 1 Igualando las coordenadas de ambos Q se iene: a + 6 b = 4 1 c + 5 a = ; = 1 b = ; = c = 1 El puno el puno simérico de P respeco de r es: S(,, 1) 17 Madrid, junio 15 a) (1 puno) Dados los vecores u = (,, 4), v = ( 1, 1, 1) y w = ( 1, λ, 5), enconrar los valores de λ que hacen que el paralelepípedo P generado por u, v y w enga volumen 6 b) (1 puno) Obener la ecuación de la reca incluida en el plano z =, con dirección perpendicular a u = (, 1, 4) y que pasa por el puno (1, 1, ) a) El volumen del paralelepípedo deerminado por los vecores u = (,, 4), v = ( 1, 1, 1) y w = ( 1, λ, 5) vale: 4 = ( ) ( ) VP = [ uvw,, ] = 5+λ 1 + λ 1 = +λ 1 λ 5 Si se desea que ese volumen sea 6 u λ = 9 b) Si la reca esá en el plano z =, su vecor direcor es de la forma v r = (a, b, ) Como se desea que sea perpendicular a u = (, 1, 4), debe cumplirse que u v r = u v r = (, 1, 4) (a, b, ) = a b= b= a Por ano: v x= 1+ r = (a, a, ) = (1,, ); y r y = 1+ z = 18 Madrid, junio 15 Dados el plano π x y+ z+ 1= y la superficie esférica ( x 1) + ( y 1) + ( z ) = 9 Hallar los planos angenes a la esfera que son paralelos al plano π Los punos de angencia son los de core de la esfera con la reca s, que pasa por el cenro de la esfera y es perpendicular al plano dado El cenro de la esfera es el puno C(1, 1, ); el su vecor normal al plano es v π = (1,, ) x= 1+ Las ecuaciones de la reca son: s: y = 1 z = + El puno de core de reca con la esfera se obiene susiuyendo los valores de las componenes la reca en la ecuación de la esfera x 1 = Como s: y 1 = z =

13 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 1 ( x ) ( y ) ( z ) = 9 ( ) + ( ) + ( ) = 9 = ± 1 Para = 1: P 1 ( x ) ( y ) ( z ) Para = 1: P 1 π x ( y ) + z = = (, 1, 4) π = π1 x y+ z 1 = = (,, ) π x y+ z+ 6= 19 Madrid, sepiembre 15 La reca r pasa por P(, 1, ) y iene vecor direcor (1, λ, ); la reca s pasa por Q(1,, 1) y iene vecor direcor (, 4, ) 9 a) ( punos) Calcular λ > para que la disancia enre r y s sea 59 b) (1 puno) Calcular λ para que r sea perpendicular a la reca que pasa por P y Q a) La disancia mínima ene dos recas que se cruzan viene dada por la fórmula vr, vs, PQ drs (,) = vr vs En ese caso: v r = (1, λ, ); v s = (, 4, ); PQ = (1,, 1) (, 1,) = ( 1, 1, 1) Luego, 1 λ u 1 u u vr, vs, PQ = 4 = 18 ; vr vs = 1 λ = ( λ+ 8, 6, 4 λ) vr vs = ( λ+ 8) + ( 6) + ( 4 λ ) = 8λ + 16λ+ 116 = λ + 4λ+ 9 9 Como se desea que la disancia enre r y s sea, debe cumplirse que: λ= 5 = λ + 4λ+ 9 = 59 λ + 4λ = λ + 4λ λ= b) Para que la reca r sea perpendicular a la reca que pasa por P y Q es necesario que sus vecores de dirección sean perpendiculares Como v r = (1, λ, ) y PQ = ( 1, 1, 1), debe cumplirse que: v r PQ = (1, λ, ) ( 1, 1, 1) = 1 + λ + = λ = 1 Madrid, sepiembre 15 Dados los punos P( 1, 1, 1), Q(1,, ) y los planos π1 x z =, π my 6z =, π x + y mz = se pide: a) (1 puno) Calcular los valores de m para los que los res planos se coran en una reca b) (1 puno) Para m =, hallar la ecuación del plano que coniene al puno P y es perpendicular a la reca de inersección de los planos π 1 y π c) (1 puno) Hallar la disancia enre los punos Q y P, siendo P el puno simérico de P respeco al plano π1

14 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 14 x z = a) El sisema asociado a los planos dados es my 6z = x + y mz = Los res planos deerminan una reca (forman pare del mismo haz) cuando el rango de la mariz de coeficienes valga (en ese caso el sisema es compaible indeerminado, con un grado de indeerminación) Por ano: 1 1 m 6 = m + 6+ m= m + m+ 6= m = o m = 1 1 m x z = x= Para m =, la reca que deerminan es: r y 6z = r y = x y z + = z = x z = x= h Para m =, la reca que deerminan es: s y 6z = r y = h x y z + + = z = h x= b) Para m =, la reca que deerminan los planos π 1 y π es r y = z = El vecor normal del plano perpendicular a r es el de dirección de la reca: v π = v = (1,, 1) r Como además debe conener al puno P( 1, 1, 1), la ecuación del plano será: π x+ 1 + y+ 1 + z 1 = π x+ y+ z+ = ( ) ( ) ( ) c) Puede observarse que ni P ni Q perenecen al plano π 1, en cuyo caso la solución sería inmediaa El puno P, simérico de P respeco del plano π1, cumple dos condiciones: Debe esar en la reca que pasa por P y sea perpendicular al plano El puno medio de P y P es el puno de core de la reca y el plano x= 1+ La reca perpendicular es p y = 1 z = 1 (Pasa por P y su vecor direcor es v π 1 = (1,, 1) El core de esa reca con el plano se obiene susiuyendo las ecuaciones de la reca en la del plano ( π 1 x z = ): π1 ( 1+ ) ( 1 ) = + = = 1 Por ano, M = (, 1, ) Si P (a, b, c), el puno medio enre P y P será: a 1 b 1 c+ 1 M =,,

15 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 15 Igualando las coordenadas de ambos M se iene: a = 1; b = 1; c = 1 el puno simérico de P respeco de π 1 es: P (1, 1, 1) Por úlimo, la disancia pedida es d( QP, ) = 1 + = 1 1 Murcia, junio 15 Tres de los cuaro vérices de un eraedro son los punos A = (, 1, ), B = (, 4, ) y C = (5, 1, ) El cuaro vérice D esá en la reca r que pasa por el puno (1,, ) y iene como vecor direcor el vecor ( 1, 1, 1) a) (,75 punos) Deermine las ecuaciones paraméricas de la reca r b) (1,75 punos) Calcule las coordenadas del vérice D para que el volumen del eraedro sea 9 Observación: Hay dos soluciones disinas; basa con calcular una de ellas x= 1 a) r y = + z = + 1 b) El volumen de ese eraedro viene dado por [ AB, AC, AD] 6 AB = (, 4, ) (, 1, ) = (1,, ) AC = (5, 1, ) (, 1, ) = (,, ) 1, +, + (,1,) = 1,1 +,+ AD = ( ) ( ), siendo: VT = = 9 ( + ) = = + = 6 = 9 Por ano, el puno D puede ser: D(, 5, 6), si = ; o D(1, 7, 6), si = 9 Navarra, junio 15 Encuenra la ecuación coninua de la reca que pasa por el puno P(1,, ) y cora perpendicularmene a la reca x+ y+ z 4= r x+ y z = La reca pedida debe esar en el plano perpendicular a r que pasa por P; además debe conener al puno Q, de core del plano con la reca El vecor direcor de la reca se obiene muliplicando vecorialmene los vecores normales de los planos que deerminan r u1 u u v = = 4, 6, (,, 1) r 1 ( )

16 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 16 El vecor caracerísico del plano π será: v π = v = r (,, 1) Por pasar por P(1,, ) su ecuación es: π x 1 + y+ 1 z = π x+ y z+ 11 = ( ) ( ) ( ) El puno Q, de core de la reca y el plano, es la solución del sisema: x+ y+ z 4= x+ y+ z = 4 r x+ y z = x+ y z = (Gauss) x y z 11 π + + = x + y z = 11 x+ y+ z = 4 x+ y+ z = 4 x= E E1 y 6z = 1 y 6z = 1 y = 1 E + E1 5y z 6E E 8y 8 + = + = z = El puno solución es Q(, 1, ) Un vecor direcor de la reca perpendicular pedida es PQ = (, 1, ) ( 1,,) = (,1, 1) Por ano, su ecuación coninua puede ser: x 1 y+ z = = 1 1 Navarra, julio 15 Dados los punos P(1,, 1), Q(, 1, 1) y R(, 1, ), encuenra odos los posibles punos S ales que P, Q, R y S son vérices de un paralelogramo Se pueden obener res soluciones, como puede observarse en el dibujo siguiene A las disinas soluciones se puede llegar desde P, sumando o resando los vecores PQ y PR, como sigue: OS1 = OP + PQ + PR ; OS = OP + PR PQ ; OS = OP + PQ PR Como: OP = (1,, 1); PQ = (, 1, 1) (1,, 1) = (1,, ); PR = (, 1, ) (1,, 1) = (, 1, ) se endrá: OS1 = OP + PQ + PR = (1,, 1) + (1,, ) + (, 1, ) = (4,, 4) S1 = (4,, 4) OS = OP + PR PQ = (1,, 1) + (, 1, ) (1,, ) = (, 4, ) S = (, 4, ) OS = OP + PQ PR = (1,, 1) + (1,, ) (, 1, ) = (,, ) S = (,, )

17 GEOMETRÍA (Selecividad 15) 17 4 País Vasco, junio 15 a) Hallar la ecuación del plano que pasa por el puno P( 1,, ) y es paralelo a los vecores a ( 1,, ) y b (1,, 5) b) Calcular el valor de m para que el plano calculado en el aparado anerior y el plano mx y + 5z = 8 sean paralelos a) El plano pedido es: x= 1 + h x y = + h y = x y+ z+ = z = + 5h z 5 b) Si los planos son perpendiculares deben serlo sus vecores caracerísicos, que son (1,, 1) y (m, 1, 5) Para ello, su produco escalar debe ser (1,, 1) (m, 1, 5) = m = m = 7