4º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ECUACIONES

Transcripción

1 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ECUACIONES.- ECUACIONES Una ecuación es una igualdad donde se desconoce el valor de una lera (incógnia o variable). El valor de la variable que hace que se cumpla la igualdad se llama solución de la ecuación. Si ha más de una variable esaremos hablando de sisemas. Ha muchos ipos de ecuaciones sisemas, en esa unidad veremos varios modelos, algunos conocidos oros nuevos para nosoros..- ECUACIONES POLINÓMICAS. Ecuaciones polinómicas de primer grado Poco decir sobre ellas, en ese curso es una herramiena más que un fin. Recordar que desde un puno de visa eórico son la regla de suma la regla del produco, las que nos permien uilizar las famosas epresiones de ecuaciones: ~ Todo lo que suma cambia de lado pasa resando. ~ Todo lo que resa cambia de lado pasa sumando. ~ Todo lo que muliplica cambia de lado pasa dividiendo. ~ Todo lo que divide cambia de lado pasa muliplicando. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: Ecuaciones polinómicas de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado (a resolver mediane la fórmula de la ecuación de segundo grado: Comprobación : b + c = 0), sean compleas o incompleas, se pueden b b a ac b b a ac b b a ac EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: + + = = 0 = 8 = = Comprobación: = ( ) + ( ) + = ( ) + = + = 0 = ( ) + ( ) + = () + = + = 0

2 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.. Ecuaciones polinómicas de ercer grado o superior Las ecuaciones polinómicas de ercer grado o superior se pueden denoar de la siguiene manera: A + B + C + D = 0 A + B + C + D + E = 0 Esas ecuaciones se resuelven como se procedía en la facorización de polinomios, la primera solución (raíz en polinomios) se obiene a ojo, de enre los divisores del érmino independiene, cuando se ha enconrado esa solución aplicamos Ruffini con ella, se hace lo mismo ora vez hasa lograr un polinomio de segundo grado enonces es aconsejable usar la ecuación de segundo grado o las epresiones noables. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: 0 = 0 - No ha érmino independiene, significa que =0 es una solución que se puede sacar facor común a. es decir, A 0 - Debemos resolver la ecuación resulane: ( 0) = 0, aplicando A B 0 B 0 0 Si,, probamos con los divisores de 0, {,,,,, 0}, para ver cuál da cero, P( ) = ( ) ( ) ( ) 0 = + 0 = 0, supone que = es ora solución de la ecuación aplicando Ruffini nos queda: Reso: R() = 0 Cociene: C() = 0 - Finalmene, resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obenido:.- 0= 0 = ( ) ( 0) 0 = = Si en polinomios al final dábamos una abla con las raíces los facores debía aparecer el polinomio facorizado, en ecuaciones an solo nos solician las soluciones esas son: =0, =, = = Comprobación: = = = 0 = ( ) ( ) ( ) 0 = + 0 = 0 = 0 = = 0 = ( ) ( ) ( ) 0 = = 0 En ocasiones al buscar una solución para aplicar Ruffini se encuenra, no la menor de ellas, sino ora de las que quedan, así en ese caso si en lugar de enconrar la solución =, se hubiera enconrado la solución =, el ejercicio se erminaría: Reso: R() = 0 Cociene: C() = Finalmene, resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obenido: = 0 = = = Donde vemos que las cuaro soluciones son las mismas aunque se obienen en diferene orden.

3 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.. Ecuaciones bicuadradas Una ecuación bicuadrada sigue la epresión: A + B + C = 0. Se puede resolver como una ecuación cualquiera de cuaro grado o aplicando el méodo de ecuaciones bicuadradas que eponemos en el siguiene ejemplo. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación bicuadrada: + = 0 Aplicamos el siguiene cambio de variable: + = 0 + = 0 = 00 Ahora debemos deshacer el cambio: Comprobaci ón : Comprobaci ón : (-) ( ) (-) ( ) Por ano las soluciones son: =, =, = =, se puede observar que en las ecuaciones bicuadradas las soluciones siempre vienen por parejas, un valor su opueso..- ECUACIONES RACIONALES - NO APLICADAS Ecuaciones racionales son aquellas en las que aparece la incógnia en el denominador. Se resuelven haciendo M.C.M., siendo conveniene comprobar las soluciones, pues en ocasiones alguna solución obenida no sirve. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: Hacemos el M.C.M. (comunes no comunes al maor eponene) de ( ), ( ) ( + ):.- ( ) = ( ).- ( ) = ( ) M.C.M. (,, +) = ( ) ( ) = +.- ( + ) = ( ) ( ). + = 0 = = = Tendremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) - ( ) En ese ipo de ecuación, al quiar denominadores corremos el riesgo de que alguno de los valores que anulan los denominadores (= = en ese ejercicio) aparezcan como soluciones de la ecuación serían valores que no ha que considerar, por ano, conviene que se comprueben. Comprobación: 0 0 =0: 0, por ano =0 sí es solución =:, por ano = sí es solución.

4 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- ECUACIONES RADICALES Ecuaciones radicales son aquellas en las que aparece algún radical, normalmene raíces cuadradas. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: Como regla general se debe dejar la raíz sola elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación: Esas ecuaciones se deben comprobar obligaoriamene por escrio, siempre en la original, pues al elevar al cuadrado a veces se inroducen soluciones que cumplen la ecuación ransformada pero no la original. Comprobación: =, luego = sí es solución. EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación: Al igual que en el caso anerior dejamos el radical solo elevamos ambos miembros al cuadrado: ( ) Comprobación : Comprobación : sí es solución 8 no es solución EJEMPLO_ Resuelve comprueba la siguiene ecuación:. Cuando ha dos radicales se puede opar por una de esas dos formas de acuar: ) Dejar junos los dos radicales elevamos al cuadrado ambos miembros, ha que ener cuidado con la epresión noable pues aparece el doble produco que no se puede obviar: Comprobación : ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 08 8 Comprobación : 8 no es solución sí es solución

5 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. ) Dejar un radical solo se elevan al cuadrado ambos miembros, ambién ha que aplicar la epresión noable no olvidar el doble produco: Comprobación : ( ) 8 Comprobación : 8 no es solución sí es solución.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS - NO APLICADAS Ecuaciones logarímicas son aquellas en las que aparece algún logarimo (normalmene logarimo decimal). Para resolver esas ecuaciones aplicamos la definición de logarimo, sus propiedades, el siguiene resulado: log X log Y a a X Y EJEMPLO_ Resuelve comprueba las siguienes ecuaciones logarímicas: a) log, aplicando la definición. La comprobación en esas ecuaciones consise en asegurarnos de que se pueden calcular los logarimos, pues no eisen los logarimos de número negaivos, ni el logarimo de cero. Comprobación: = log, luego = sí es solución. b) log ( ) + log ( ) = log ( ) Para aplicar las propiedades de logarimos primero debemos modificar el por un logarimo, en ese caso al ser en base 0 será, = log 0 (). log ( ) + log ( ) = log ( ) log 0 (,) log ( ) ( ) log ( ) ( ) Comprobación : log ( ) log( ) log 0 log () log() log 0 0 log log sí es solución Comprobación : 0 0 log ( ) log( ) log log( ) log( 0 )... no es solución 0

6 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- ECUACIONES EXPONENCIALES - NO APLICADAS Ecuaciones eponenciales son aquellas en las que aparece la incógnia en alguno de los eponenes. Las más sencillas se resuelven aplicando el siguiene resulado: A A Aquellas en las que aparecen producos, se pueden aplicar las propiedades de poencias. EJEMPLO_ Resuelve comprueba las siguienes ecuaciones eponenciales: a) = + = + = + = Comprobación: = = + =. =., para erminar esa comprobación o se hace el cálculo numérico o se uilizan propiedades de poencias: = = b) = 8 = 8 Comprobación: = = = 8 = = = c) + 8 = = 8 = Comprobación: = + = = d) = Como no es poencia de debemos omar logarimos log, se deja así. Ahora bien, cuando en la ecuación eponencial aparecen sumas resas, dado que no podemos aplicar las propiedades de poencias debemos recurrir al cambio de variable. Esos cambios suelen ser mu parecidos en su esrucura, modificando lógicamene la base uilizada. EJEMPLO_ Resuelve comprueba las siguienes ecuaciones eponenciales: a) = Para realizar el cambio de variable =, en primer lugar debemos modificar las epresiones, considerando: ~ - = - = = ~ + = = = Por ano, aplicando el cambio de variable nos queda: = + = 0 = 0 0 Ahora ha que deshacer el cambio: = = = = Comprobación: = = + 8 = b) + + = Para realizar el cambio de variable =, en primer lugar debemos modificar las epresiones, considerando: ~ + = = = ~ = ( ) = ( ) = Por ano, aplicando el cambio de variable nos queda: + + = + = + = 0

7 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. = ( ) 8 8 Ahora ha que deshacer el cambio: ~ = = = = Comprobación: = + + = + = + = =, sí es solución de la ecuación. ~ = 8 = 8 que permia obener un valor negaivo al elevar una base posiiva. 8.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Son sisemas de dos ecuaciones con dos incógnias con eponene uno (los que a conocemos). Los sisemas se clasifican en función del número de soluciones en: S.C.D. Sisema Compaible Deerminado S.C.I. Sisema Compaible Indeerminado S.I. Sisema Incompaible Una solución Infinias soluciones No iene solución + = = = Solución única: Infinias soluciones: + = 8 + = 0 = = + = 0 = Solución imposible Para resolverlos eisen diversos méodos: susiución (ver ANEXO I de ecuaciones), reducción (ver ANEXO I de ecuaciones), igualación (caso paricular de susiución) (ver ANEXO I de ecuaciones), gráfico (ver ANEXO I de ecuaciones), Cramer (se esudia en bachillerao, normalmene con sisemas de res ecuaciones con res incógnias), Gauss (lo aplicamos a la resolución de sisemas de res ecuaciones con res incógnias, en el puno de esa unidad). 8.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES - (SI APAREREN LOGARITMOS O EXPONENCIALES NO APLICADAS) Son sisemas donde aparecen polinomios cuadráicos, logarímicos, eponenciales. Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO_ Resuelve comprueba los siguienes sisemas: a) 8 Para resolver un sisema como ese, debemos pensar qué nos ineresa más, despejar arriba o despejar abajo, si es mejor despejar la o la. A simple visa parece que despejar la arriba es lo menos complicado, desde luego despejar abajo parece mu descabellado, solo para valienes, pues supondría rabajar desde el inicio con radicales eso siempre complica los cálculos. Veamos lo que conseguimos: = 0 = Ahora deshacemos el cambio:, no ha solución Aparece una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable:

8 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 8 Una vez obenido el valor de, que iene dos posibilidades, se obiene el valor de la para cada : : Solución 8 8 Comprobación: 8, sí es solución del sisema. ) ( ) ( 8 ) ( ) (, sí es solución del sisema. b) log log 8 Aquí conviene reducir las ecuaciones eponencial logarímica a un sisema de ecuaciones no lineales formado por una suma un produco: 0 log 0 ) log( log log 8 Lo vamos a resolver despejando en una de las ecuaciones susiuendo en la ora, en ese caso, es mejor despejar en la suma susiuir en el produco: ) ( Si hubiéramos despejado en el produco susiuido en la suma nos habría quedado una ecuación con fracción que suele raer más complicaciones en su resolución, pero las soluciones que se obienen son las mismas: ) ( Una vez obenido el valor de, que iene dos posibilidades, se obiene el valor de la para cada : : Solución - Comprobación: log 0 log log 8 8 (), sí es solución del sisema. log 0 log log 8 8 (), sí es solución del sisema.

9 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- SISTEMAS LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS - NO APLICADAS El méodo de Gauss para la resolución de sisemas de ecuaciones es un caso paricular del méodo de reducción a conocido. En ese méodo debemos seguir unos pasos consisenes en eliminar de forma sucesiva la de la segunda ecuación, después la de la ercera ecuación finalmene la de al ercera ecuación. Llegados a ese momeno despejaremos la z de la ercera ecuación, con su valor iremos a la segunda ecuación donde se cambia la z por su valor se obiene la, por úlimo se va a la primera ecuación donde susiuimos la z la por sus valores se obiene el de la. Veámoslo en un ejemplo: EJEMPLO_ Resuelve el siguiene sisema por el méodo de Gauss. z z z * E E E * *E E E z z z * * * E E E z z z Comenzamos eliminando la de la E, en ese caso, para conseguirlo (*) debemos sumar a la E la E muliplicada por menos dos (es lo mismo hacer la E menos dos veces la E ). E : z * E : z 8 z menos cuaro. Una vez conseguido, queremos quiar el de la E, para ello (**) sumamos a la E la E muliplicada por E : z ** E : z z Una vez quiadas las de la E de la E, enemos que quiar la de la E. Esa vez es más complicado, debemos (***) sumar la E muliplicada por siee con la E muliplicada por menos nueve. *** E E : : z z 8 z Así nos queda el sisema en el formao de Gauss, la z sola en la E, se despeja z, que aquí vale con ese valor de z se va a la E para obener el valor de, que será. Por úlimo, con los valores de de z, vamos a la E sacamos el valor de, en ese caso. z z z z - SOL : z Por úlimo no nos queda sino comprobar el sisema: 0 0

10 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 0.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas es una de las pares que os resula más complicada. Para mejorar en esa facea debemos pracicar además ener en cuena unas consideraciones: ~ En primer lugar, ha de leer el enunciado varias veces de una forma comprensiva, si ha palabras que no se enienden se deben buscar en el diccionario. ~ En segundo lugar, ha que raducir a lenguaje algebraico la información eraída del enunciado, lo que llamamos planear el problema. ~ En ercer lugar, ha que resolver la ecuación o sisema planeado. ~ Por úlimo, ha que comprobar la solución. Aquí ha que ener en cuena que si se comprueba sobre la ecuación planeada, puede ocurrir que la misma esé mal planeada pero bien resuela enonces la comprobación nos dirá que se ha resuelo bien esa ecuación, lo cual no implica que el problema esé correcamene resuelo. Realmene ha que comprobar la ecuación sobre el enunciado, es decir, volver a leer el enunciado susiuir los número desconocidos por las soluciones halladas, de odas formas puede ocurrir que se compruebe sobre el enunciado pero que no lo haamos inerpreado correcamene por consiguiene concluamos que es correco algo que no lo es. De odas formas, ánimo a inenarlos, solo pracicando podremos mejorar en la resolución de problemas. EJEMPLO_ Resuelve el siguiene problema: La suma de las áreas de dos cuadrados es 0 cm la suma de sus perímeros es cm. Calcula el área del maor el perímero del menor. + = 0 + = 8 + (8 ) = = 0 + = = Solución : 8 Maemáicamene obenemos dos soluciones, pero en la realidad la solución es única, el cuadrado pequeño mide cm de lado su perímero es 8 cm, el cuadrado maor mide cm de lado por ano cm de superficie. Comprobación: La comprobación no la damos por escrio, debe hacerse respeco al enunciado como sigue: La suma de las áreas de dos cuadrados es 0 cm ( = + = suman 0) la suma de sus perímeros es cm ( =8 + = suman ). Calcula el área del maor el perímero del menor. Desde un puno de visa gráfico un sisema como el resuelo en el problema anerior hace referencia al core enre una circunferencia cua ecuación es: + = 0 una reca que viene dada por la ecuación: + = 8 0

11 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NOTAS_ ECUACIONES * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es ciera de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es ciera de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es ciera en ambos senidos. _ Disino _ Infinio _ Aproimado _ Perenece _ No perenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eise _ No eise α _ Alfa β _ Bea _ Gamma * REGLA DE LA SUMA Y REGLA DEL PRODUCTO PARA ECUACIONES ~ Regla de suma: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resa un mismo número o epresión algebraica, se obiene una ecuación equivalene. ~ Regla del produco: Si a los dos miembros de una ecuación se les muliplica o divide por un mismo número o epresión algebraica disinos de cero, se obiene una ecuación equivalene. En la prácica, aplicar esas reglas al como se eponen supondría alargar demasiado la resolución de las ecuaciones pues habría que acuar del siguiene modo: Resolver la ecuación de primer grado: + + = = = (Regla de la suma) + + = 8 + (Regla de la suma) = 8 8 = (Regla del produco) = Comprobación: = + + = = 8 + = Por eso ambas reglas se reducen a la epresión: Lo que suma pasa resando, lo que resa pasa sumando, lo que muliplica pasa dividiendo lo que divide pasa muliplicando. Tener en cuena que la regla del produco es la que permie eliminar los denominadores en una ecuación (lo que realmene hacemos es muliplicar ambos miembros por el denominador) (Regla del produco) En la prácica nunca escribimos ese paso, pero lo que se hace realmene es muliplicar odo por Comprobación: =

12 º ESO ACADÉMICAS ECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. * NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación: a + b + c = 0 se iene: b b ac, puede ener dos, una o cero soluciones a dependiendo del valor del discriminane = b ac de la ecuación: ~ Si >0 b ac > 0 Dos soluciones. ~ Si =0 b ac = 0 Una solución (solución doble). ~ Si <0 b ac < 0 Ninguna solución. * ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación a + b + c = 0 se dice incomplea cuando: ~ a=0 b + c = 0, no es una ecuación de segundo grado, es una ecuación de primer grado. ~ c=0 a + b = 0, se puede resolver aplicando facor común: (a + b) = 0 el siguiene resulado: A 0 A B 0 ó B 0 Si, supone que a b 0 0 ó - b a b 0 c ~ b=0 a + c = 0, se puede resolver despejando c a ~ b=0 c=0 a = 0, se puede resolver despejando = 0 * CURIOSIDAD SOBRE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación a + b + c = 0, siempre que a= siendo sus soluciones se cumple que: ~ la suma de las dos soluciones es igual al coeficiene de la cambiado de signo: + = b ~ el produco de las dos soluciones es igual al érmino independiene: = c * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo b) (a b) = a ab + b El cuadrado de una resa es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo c) (a+b) (a b) = a b Suma por diferencia, diferencia de cuadrados d) (a+b) = a + a b + ab + b e) (a b) = a a b + ab b * LOGARITMOS: Definición: log b c a a c b Propiedades: ) log a a = ) log a = 0 ) log a (B C) = log a B + log a C ) log a ( C B ) = loga B log a C ) log a B C = C log a B