Tema 0: Operaciones algebraicas básicas

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1 Tema 0: Operaciones algebraicas básicas (Ese ema esá exraido delsofware libre exisene enla página de Tréveris mulimedia eninerne. El es propiedad de Ediorial Tréveris S.L.,000 que iene reservados odos los derechos) Generalidades: propiedades conmuaiva, asociaiva y disribuiva.- Simplificar: a + a? a + 7? a + a a? 7 +?? a? a? (Sol.:?a? ) Para simplificar la expresión anerior deben enerse en cuena varias reglas. Regla.- Los parénesis marcan la máxima prioridad en las operaciones algebraicas. Por ano, si es posible, debe raar de simplificarse previamene el conenido de cada parénesis. En ese problema sólo cabe simplificar el primero, a + 7? a ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer denro de ellos ninguna operación, como veremos más abajo. Simplifiquemos, pues, a + 7? a. Esa expresión es un rinomio (polinomio de res miembros). Los signos + y - separan un polinomio en monomios. El orden en que esén escrios los monomios de un polinomio es irrelevane (propiedad conmuaiva de la suma (y la resa), Regla ). Por ejemplo, el rinomio anerior ambién podía haberse escrio: 7 + a? a o?a a o 7? a + a, ec. [Esa propiedad es muy úil para eviar errores al hacer sumas de números con disino signo. Por ejemplo, si piden hacer la siguiene operación:? +, podemos darle la vuela escribiendo: +?, o, lo que es lo mismo,? (pues un signo + al principio puede suprimirse). Evidenemene,? es mucho más fácil de inerprear que? +.] [También pueden inroducirse parénesis arbirariamene en el rinomio considerado para asociar monomios, escribiendo, por ejemplo: a + 7? a o a + 7? a (propiedad asociaiva de la suma (y la resa), Regla ). Es decir, si hay que efecuar una suma con res sumandos (como es el caso), pueden sumarse primero dos cualesquiera y el resulado sumarlo al ercer sumando.] [Noa: al emplear la palabra suma nos referimos indisinamene a suma o resa; éngase en cuena que resar? es lo mismo que sumar los números y?.] Un monomio pueden consar de leras, números o números y leras. Sólo se pueden sumar (o resar) aquellos monomios en los que odas las leras sean iguales y esén elevadas a iguales poencias (Regla 4). Por ejemplo, se pueden sumar enre sí los monomios a y?a, pero no a y 7. De la misma manera, se pueden hacer las siguienes sumas: ab? ab ( 4ab); ab + ab ( ab );? a + a ( a );? a? a (? a) pero no cabría sumar ab?b ni ab + c c c ab ni? a + a ni c c? a? a. De odo lo dicho debe quedar claro que a + 7? a 4a + 7., con lo que la expresión inicial queda: a + a? 4a a a? 7 +?? a? a? Denro de los demás parénesis no se puede efecuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es quiar los parénesis. Para ello hay que seguir cieras reglas. Un parénesis con un signo + delane puede quiarse direcamene.(regla ). Es el caso del segundo parénesis. Un signo delane de un parénesis permie quiar el parénesis pero cambiando el signo de los monomios que hay denro (Regla ). Es el caso del segundo parénesis. Un número o lera delane de un parénesis muliplica (sin olvidar su signo) a odos los monomios que hay denro del parénesis (propiedad disribuiva, Regla 7). Es el caso de los parénesis ercero, cuaro y quino. Con lo dicho, la expresión queda: a + a? 4a? 7 + a + + a? 8?? 0a? a +?a? donde se han enido en cuena las reglas de la muliplicación (y división) de signos: ??? +??? + Operaciones confracciones 7Muliplicación y división

2 A veces, resolver una expresión algebraica requiere manipular fracciones. Muliplicarlas es fácil: se muliplican los numeradores enre sí y los denominadores enre sí (Regla 8). Para dividir dos fracciones se muliplican en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda (resulado que va arriba en la fracción final) y el denominador de la primera por el numerador de la segunda (lo cual va abajo) (Regla 9): a a a : 0a 9 Oro ejemplo: efecuar x? x (Tener en cuena primero que esa expresión indica la muliplicación de una canidad, x, por una fracción negaiva; es decir, no es una resa; sería una resa si no exisiera el parénesis: x? x. En segundo lugar, ener en cuena que el produco escrio se puede poner ambién como: x?x.) Es fácil ver que la solución es?x 7Simplificación El resulado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ejemplo, las siguienes pueden simplificarse dividiendo arriba y abajo por elmismovalor (Regla 0): [hemos dividido arriba y abajo por ] 0 4 a a [hemos dividido arriba y abajo por a; para dividir a enre a se dividen números enre números y leras enre leras: enre es y a enre a es (que no se escribe, porque )] 7Suma y resa Para sumar (o resar) fracciones hay que enconrar primero el mínimocomún múliplo (mcm) de sus denominadores. A su vez, para ello previamene hay que facorizar los denominadores, es decir, converir cada uno de ellos en produco de facores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por ; por ejemplo,,,,7,, y 7 son primos, pero no lo son 4,,8,9,0,, ec.) Una vez facorizados, para calcular el mcm se oman los facores comunes y no comunes elevados a los mayores exponenes (Regla ). Por ejemplo, calcular el mcm de, 7 y 00. Primero facorizamos los res números raando de dividirlos sucesivamene por números primos empezando por el y siguiendo con el,, ec. Por ejemplo, para facorizar 00 se empieza dividiendo por ; el resulado 0 se divide de nuevo por ; como no es ya divisible por probamos con el siguiene primo (); ampoco es divisible, pero sí lo es por ; enre da ; volvemos a dividir por y el resulado final es, que es donde hay que llegar. 00 queda facorizado, enonces, como: 00 ( ) Las res facorizaciones quedan así: 7 00 Todos los facores enconrados son, como se ve,, y (elevados a disinas poencias según el número facorizado). El y el son facores no comunes a las res facorizaciones: los omamos elevados a los mayores exponenes enconrados y ; el sí es común; lo omamos elevado a la mayor poencia enconrada:. El mcm se calcula, enonces, efecuando el produco 00. Vamos a aplicar eso. Supongamos la siguiene suma (o resa) de fracciones:? Para resolverla se calcula el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm 00). Luego se procede así: se escribe un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm enconrado. En el numerador irá la suma (o resa, según el signo) de cada uno de los numeradores de las res fracciones muliplicado por el resulado de dividir el mcm enre el denominador correspondiene (Regla ):? ? ? ? simplificación, dividiendo numerador y denominador por ). También pueden hacerse operaciones de ese ipo que incluyan leras: (la úlima operación ha sido una 4 a a Las facorizaciones de los denominadores son: a a y a a El mcm es, enonces: a a Enonces: 4 + b a a 4 a +b a a a a 4 a +b a a+b a En ciero momeno hemos enido que dividir a. Para ello se dividen primero los números ( enre ) y a

3 luego las leras (Regla ) (a enre a da a de la misma manera que enre da ). Efecuar las siguienes operaciones con fracciones: ? 0a (Sol.: 94?000a ? + 7 (Sol.:?a b +7 ) ab a b a b 4.- a+ b de la primera fracción, lo que da a+b + a 7 a + b (Sol.: a+0b 0 0 Ayuda: 0a se puede converir en la fracción 0a ) Ayuda: primero se resuelve el parénesis del numerador. Esa fracción se muliplica por, lo que da a + b [ener en cuena que a+b es lo mismo que a + b, por aplicación de la propiedad conmuaiva de la muliplicación-división]. Hecho eso nos enconramos con que debemos sumar la fracción compleja a+b con la fracción compleja ejemplo: una fracción compleja como la siguiene: a b a 7, que hay que empezar reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con oro se reduce a una simple muliplicando los exremos y dejando arriba el resulado (a d) y muliplicando los medios dejando abajo el resulado (b c), quedando, pues, la fracción ad bc. Hay fracciones complejas algo diferenes, como a c d o a b c. En realidad es lo mismo, eniendo en cuena sólo que la primera equivale a a y la segunda a a b c )..- Simplificar ab? a + ab + c + (Sol.: ab? a? c + ).- Simplificar a b? a b + a ab (Sol.: a b) 7.- Simplificar a? a + + a + 7 a (Sol.: a) Efecuar las siguienes operaciones y simplificar al máximo: a? 4 + a (Sol.:? 4? a) 9.- a + b + c? a + b + c (Sol.:?a+8b+c ) a a + + b? ab (Sol.: a+b+0a 0.- a+b.- a a +? a a + (Sol.: a? a? a ) ) Vamos a pracicar ahora con una exensión de la propiedad disribuiva. Para muliplicar dos parénesis que conienen al menos un binomio cada uno, se muliplica el primer monomio del primer parénesis por el primero del segundo, luego el primer monomio del primer parénesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el ercero del segundo, y así sucesivamene, y odos los resulados van sumados o resados enre sí, según su signo. Al erminar esa serie, se repie de igual modo para el segundo monomio del primer parénesis, luego para el ercero, ec. (Regla 4). Siempre hay que ener en cuena los signos de cada monomio. Si se esán muliplicando res parénesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya que el orden de los facores no alera el produco propiedad conmuaiva ) y al resulado se le muliplica el ercer parénesis. Con un ejemplo lo enenderemos mejor:?a + + 7b?a + b? 4c? a? ab + 8ac + a? a + b? 0c?? 7ab + 7b? 8bc? 7b a? 9ab + 8ac? a? b? 0c? + 7b? 8bc Ejercicios.- a + b + 7 c?? abc? a + b? c + (Sol.:? 4abc? ab + 7ac? 9a + bc).- a + 4b (Sol: 4a + ab + b ) 4.- a + b a? b (Sol: a? b ).-?a? b? c + b + 7a? ab (Sol.:? 7a? a? 7ab? 7ac? b? c? bc? b).-? a + b? c a + b +? a? b?a (Sol.: 4a? a b + 8 ab + ac? 7a + bc? b ) Facor común Sacar facor común.es, en ciero modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad disribuiva. Consise en ver qué facores son comunes a los monomios que forman un polinomio y exraer esos facores de cada monomio. Lo veremos con un ejemplo: Sacar facor común en: a + a? 7a. Aunque con un poco de prácica esa operación se llega a hacer de forma auomáica, el proceso requeriría una facorización previa en facores primos: a a + a? a a a. Puede comprobarse que lo común a los res monomios es a. Esos facores se exraen, pues, de cada monomio, muliplicando a un parénesis donde quedarán los facores no exraídos, con sus signos (Regla ): a a +? a a a a + + a

4 [Si el resulado obenido se opera, aplicando la propiedad disribuiva, llegaremos de nuevo a la expresión original, a + a? 7a ; por eso la operación de sacar facor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedad disribuiva.] Oros ejemplos: sacar facor común en las siguienes expresiones: ab + b + c (Sol.: b a + b + c ) (en el ercer monomio no se ha podido sacar nada; por ano, se deja al como esá) ab + b + a (Sol.: a b + a + b ) (en ese caso ambién podríamos haber sacado facor común b, y habría quedado b a + b + a ) A veces puede ser úil (o, simplemene, nos lo pueden exigir en un problema) sacar deerminado facor común aunque aparenemene no lo sea. Por ejemplo, sacar facor común x en la siguiene expresión: 7x + x? Sol.: x 7 + x? En esos casos hay que rabajar un poco por aneo, y siempre comprobar si lo hemos hecho bien aplicando la propiedad disribuiva al resulado para ver si nos da la expresión original (Regla ). 7.- a) Sacar facor común 7x en la siguiene expresión: 4x? 7x (Sol.: 7x x? ) b) Sacar facor común 7 en la misma expresión (Sol.: 7 x? x) 8.- Sacar facor común odo lo posible en la expresión: a b? a b? a 4 b 4 (Sol.: a b? 8a? a b ) 9.- Sacar facor común z en la siguiene expresión: z? z + 4z (Sol.: z? z + z ) Sacar facor común? en?a? b + 4c (Sol.:? a + b? c ; la comprobación de que esá bien se iene, de nuevo, al efecuar la operación inversa:? a + b? c?a? b + 4c ). Poencias y raíces La mayoría de las propiedades de las poencias y raíces se deducen enendiendo bien el concepo de poencia y dos reglas que veremos más abajo 7Muliplicación y división La regla principal a ener clara es el concepo de poencia, es decir, enender que a significa a a a y que b b b b b b. De aquí se deducen reglas como la del produco de poencia: a m a n a m+n. (Regla 7). Un ejemplo: a 4 a a 4+ a 9 porque: a 4 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 9. Debe enerse en cuena que sólo se pueden muliplicar poencias con la misma base, como en el ejemplo anerior; es decir, no cabe hacer ninguna operación en a b excepo si el exponene es el mismo; así, cabe efecuar por ejemplo: 0 [y en general: a c b c ab c (expresión en la que el parénesis es imprescindible para no confundir con ab c ; en esa úlima, el exponene sólo afeca a b)]. La división se hace de la siguiene manera: a m a m?n (Regla 8). Veamos un ejemplo: a 7 a 4. La razón a n a podemos enenderla de nuevo si aplicamos el concepo de poencia: a 7 aaaaaaa aaa a a a a a 4. [Lo que hemos hecho es lo siguiene: hemos cancelado res de los facores a de arriba con res de los de abajo; eso se puede hacer en una fracción siempre que los facores esén muliplicando a los demás, nunca si esán sumando o resando (por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+b+c a a pesar de que el facor a esá arriba y abajo. Siempre que surjan dudas con eso conviene recurrir a un ejemplo semejane en el que susiuyamos las leras por números. Por ejemplo, en la expresión aaaaaaa aaa susiuyamos cada a por un : y operemos direcamene arriba y abajo:, pero como 4 queda demosrado que aaaaaaa aaa es a 4. Ahora, susiuyamos leras por números en a+b+c a, haciendo por ejemplo la a igual a, b y c Con esas susiuciones veremos que a+b+c a no puede ser igual a b + c porque ++ no es igual a + ( ), sino a, pues + +. También cabe aplicar cancelaciones en expresiones como b bb b bbbbb bbb b. En casos como ése en que la poencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el numerador un. Para enenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión b hacemos b, es decir: 4 (la úlima operación ha sido una b 8 simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4). Pero como 8, escribir es como si 8 hubiéramos escrio, lo que confirma que b. b b 8 8 a 4

5 .- Efecuar las siguienes operaciones aplicando las reglas de muliplicación y división de poencias: a) (Sol.: ); b) (Sol.: ); a) a a (Sol.: ); c) a b a (Sol.: a 4 b ; en ese caso y oros en el 4 a que hay poencias de disina base se muliplican enre sí sólo las que ienen la misma base); d) a 4 b c ac (Sol.: a b ); e) abc (Sol.: ). 8a b c 4abc 7a? a Si al operar b b hubiéramos seguido esricamene la regla de la división de poencias dada más arriba, habríamos llegado a la expresión b?, mienras que por el méodo de ir cancelando hemos llegado a b. Por qué resulados diferenes? Porque no son diferenes. Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resulados deben ser iguales. Es decir, que b? b. Eso es imporanísimo y debe enerse muy en cuena, porque ese ipo de poencias negaivas aparece muy a menudo. En general, se puede decir que a? a, o, lo que es lo mismo: a a? (Regla 9). Dicho de oro modo: siempre que enconremos una poencia con exponene negaivo podemos ransformarla en una fracción con un en el numerador y la misma poencia pero con exponene posiivo en el denominador (y ambién vale lo inverso a eso). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse oros cambios de lugar de la poencia (y, por ano, de signo del exponene). Por ejemplo, una poencia con exponene posiivo se puede ransformar en una fracción con un en el numerador y la misma poencia con exponene negaivo en el denominador. Dicho de oro modo y generalizando: una poencia puede cambiarse de lugar en numerador y denominador con sólo cambiar el signo del exponene. Así, las expresiones siguienes:,,?, y a, pueden a b b ransformarse, respecivamene, en?, a?,?b? y ab? (nóese que en la segunda expresión el exponene? afeca ano al como al a, pues el parénesis así lo indica, pero en la ercera y cuara el exponene? sólo afeca a la b). Una expresión como a c puede ransformarse de muchas formas, como: a cb?, a, o b?. b c? b a? c? b a? c? Por supueso, cualquiera de esas ransformaciones sólo se llevan a cabo cuando conviene a la hora de simplificar la resolución de un ejercicio. Y una llamada de aención: no se pueden hacer esas ransformaciones de ese ipo: a +b en b? a (y sí en b? a b a ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a facores (que muliplican o dividen), no a monomios que suman o resan o, en general, a sumandos.. Sabiendo eso, una división de poencias siempre se puede resolver ransformándola en una muliplicación. Así por ejemplo, a 4 a a 4 a?, que, siguiendo la regla de la muliplicación, conduce a: a 4+? a, resulado idénico al que habríamos llegado aplicando la regla de la división..- Simplificar, dejando el resulado en el denominador y luego en el numerador: ab (Sol: y b d 4 8a? bc? d 8? ab?? ) 7Poencia de poencias Para resolver una poencia de poencia se muliplican los exponenes. Es decir: a m n a mn.(regla 0). Vayamos a un ejemplo: Resolver. (Sol.:, lo que podemos demosrar desarrollando las poencias:.- Efecuar y simplificar. ) a? a? (Sol.: ) 7Poencia de un produco y una suma La poencia de un produco (o cociene) de facores es el produco (o cociene) de las poencias de esos facores. Es decir: abc m a m b m c m. 4.- Efecuar 4a b?? (Sol.: b.- Efecuar a b 4 a 4 ) (Sol.: a 4 b ) La poencia de una suma (o resa) no es la suma (resa) de las poencias de los sumandos. Se puede calcular conviriéndola en un produco de la siguiene manera (por ejemplo): a + b a + b a + b a + b, que se resuelve muliplicando primero los dos parénesis y el resulado por el ercero..- Efecuar? a (Sol.: 9? a + a ) 7.- Efecuar?? a + b (Sol.:? a? a 4 + a 4 b + a b? a? a b + b? b + b? )

6 7Propiedades de las raíces La principal propiedad de una raíz ipo m a n es que se puede ransformar en a n m. (Regla ). Por ejemplo, a a a. Hecho eso la raíz se puede raar como una poencia, y esa es la manera más segura de operar con raíces complicadas. Por ejemplo, efecuar: a a (Sol.: a a a 9 a 9 ; y recordar que para muliplicar ambas poencias debe dejarse la misma base y sumar los exponenes). Hay que ener en cuena que en general no se puede sumar ni resar raíces [no cabe resolver, por ejemplo, a + a, aunque sí se podría sacar algún facor común una vez ransformadas en poencias; sólo en casos en que se rae con raíces de igual índice e igual radicando, como por ejemplo +, se puede hacer la suma ( 7 )]. Es decir, la suma de dos raíces no es la suma de las raíces de los sumandos. Pero la raíz de un produco (cociene) sí es el produco (cociene) de las raíces: abc a b c (Regla ). A veces es conveniene sacar odo lo que se pueda de una raíz. Por ejemplo, en a b se puede sacar algo, ya que a b a b a a a b a a a b (hasa aquí hemos aplicado dos veces la Regla ) y eso úlimo se puede simplificar hasa: aa a b a a b. Una raíz elevada a una poencia es la raíz del radicando elevado a esa poencia (y al revés). Por ejemplo: a a 8.- Traar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz a b 9.- Traar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz a mejor es hacerlo así: a a a a 7a ) bc (Sol.: 4ab b c (Sol.: 7a ; lo 7Racionalización Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un denominador (como en la solución del ejercicio 8) es conveniene racionalizar, es decir, eliminar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se muliplican numerador y denominador de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que se muliplique arriba y abajo por el mismo facor el valor de ésa no cambia, aunque presene formalmene oro aspeco). Ejemplo: racionalizar c (Sol.: c c c c c c c c c c ) Si la raíz es de oro grado (cúbica, cuara, ec...) se muliplica arriba y abajo por la misma raíz elevada a un grado menos. Ejemplo: racionalizar (Sol.: c c c c c c c c c c c ) Si en el denominador hay una suma, se muliplica arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por el mismo monomio pero con el signo cenral cambiado). Por ejemplo, racionalicar :?? b?+ b?? b?+ b?+ b 9?b?? b 0.- Racionalizar (Sol.: ) y? (Sol.: + ) Consejos para eviar errores ípicos 7 Cuidado con elusode los parénesis! Hay que ser rigurosos con el uso de los parénesis. Ésos se usan para indicar prioridad o para agrupar una serie de érminos indicando así que esán someidos a la misma operación. Cuando no son esricamene indispensables no se ponen (y exisen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la prácica), pero a veces, aunque no esén, en cieras opreaciones hay que enerlos en cuena. Por ejemplo, es un error común no ener en cuena que el numerador de una fracción va enre parénesis, aunque no se indique, operando (mal) como sigue (se raa de una suma de fracciones, donde aplicamos las Regla visa anes):? +a + a 0? +a+a 0?4+7a 0

7 El error esá en no haber considerado que el signo? anes de la fracción afeca a odo el numerador, pues ése es un parénesis. Teniendo eso en cuena, la forma correca de hacer la suma anerior es, pues:? +a + a 0?4?a+a 0?4?a 0 En general, siempre que emamos confundirnos podemos escribir parénesis para no olvidarnos de que esán. Por ejemplo, para eviar confusiones en la suma anerior podemos escribirla así desde el principio:? +a + a 0 7La propiedad disribuiva en la división En ocasiones, para simplificar, es úil aplicar la propiedad disribuiva en la división, que es equivalene a la de la muliplicación. Así, del mismo modo que efecuamos + a + 4a, ambién puede hacerse lo siguiene: 9?a? a (ora opción es casar facor común arriba primero y luego cancelarlo con el del denominador). 7Las fracciones admienmúliples formas Una fracción se puede escribir de muchas formas, y eso hay que enerlo en cuena. Por ejemplo, odas las formas siguienes de la fracción ab son equivalenes: ab fl ab fl a b fl ab fl ab c d fl ab ec. Del mismo modo, un signo? delane de una fracción afeca al numerador o al denominador (no a los dos al mismo iempo: si se aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al oro; normalmene se hace en el numerador). Por ejemplo, son equivalenes las siguienes expresiones:? a+b?c fl? a+b?a fl a+b??a A su vez, la segunda expresión anerior es equivalene a:?a?b, y la ercera, a: a+b.en la segunda y ercera?a?+a fracciones hemos enido que escribir parénesis porque el signo afeca a odo el numerador o denominador. En la primera no se escribe por convenio. Se pueden hacer ransformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrio:?a y??b queremos cambiar esa fracción, por moivos de operaividad, de modo que el signo vaya en medio. No puede hacer así:?a??b fl??a?b indicado (si sería correco lo siguiene:?a??b, ya que el signo menos que lleva el sólo le afeca a él, al como nos lo han? ya afeca a odo el numerador y se puede hacer la ransformación: :?a? +b fl??a +b fl??a ). Pero es fácil ver que?? b fl? + b. Ahora el signo?b Todo eso es úil en algunos casos en que enendemos mejor la operación haciendo cambios de ese ipo. Por ejemplo, una resa de fracciones la podemos ransformar en una suma:? 4a fl +?4a +?4a 0?a 7Que no vayanun signo menos y uno de muliplicación seguidos Si nos dicen: muliplicar por?a + no escribamos?a +, en primer lugar porque ello lleva a confusiones, y en segundo porque debe muliplicar a odo?a +, según se desprende del enunciado. La forma correca de escribirlo es?a +, (el puno se puede omiir), y la de efecuarlo es:?a +?9a + 7Cambiar el signo un produco y una suma Si nos dan una muliplicación de facores y nos piden cambiarle el signo, basa cambiar el signo de odo el conjuno. Por ejemplo, si nos dicen cambiar el signo de ab la solución es?ab (y no??a?b ni nada parecido. En realidad. cambiar el signo es muluplicar por?. Un produco de facores con signo? admie, por ora pare, múliples formas. Así,?a b se puede escribir, además:?a b o?a b, ec. [Obsérvese la imporancia del parénesis. Si en esa segunda expresión no lo hubiéramos escrio nos habría quedado? a b, que es un binomio (formado en ese caso por los monomios y?a b), mienras que?a b es en realidad un monomio.] Eso en cuano a la muliplicación (y división). En sumas y resas se opera de forma disina. Sea el siguiene rinomio: + a? b al que nos piden que le cambiemos el signo. Muliplicamos para ello por?, y eso implica muliplicar por? cada uno de los monomios:? + a? b?? a + b (en la prácica basa cambiar el signo de cada uno de los sumandos o monomios). En el caso siguiene: + a +? b se opera igual: se cambia el signo de cada sumando, pero hay que enender que a + es odo él un 7

8 sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues,?? a + + b y no?? a? + b [Si previamene hubiéramos converido + a +? b en 8 + a? b por resolución del parénesis y hubiéramos cambiado de signo la expresión resulane, habríamos obenido?8? a + b, lo mismo que al desarrollar?? a + + b. Eso jusifica la norma que hemos indicado.] 8