DETERMINANTES. DETERMINANTES DE ORDEN 1, 2 y 3. Determinantes de orden 1. Determinantes de orden 2. Determinantes de orden 3.

Transcripción

1 DETERMINNTES DETERMINNTES DE ORDEN 1, 2 y 3 El deerminane de una mariz cuadrada es un número real asociado a dicha mariz que se obiene a parir de sus elemenos. Lo denoamos como de () o. Llamamos orden del deerminane al orden de la mariz cuadrada asociada. Veamos ahora como se calculan los deerminanes de orden 1, 2 y 3 para luego enconrar un méodo general para deerminanes de orden n Deerminanes de orden 1 Coincide con el único elemeno que coniene la mariz: = a 11 Ejemplos = (3), = 3 B = ( 4), B = 4 Deerminanes de orden 2 Sea una mariz cuadrada de orden 2 enonces: æ a a ö = = a11a22 - a12a21 a21 a22 è ø + æ 4 3ö = = = 8-15 = -7 è 5 2ø Deerminanes de orden 3 Sea una mariz cuadrada de orden 3: æ a11 a12 a13 ö = a21 a22 a23 a31 a32 a è 33 ø a a a = a a a = a a a + a a a + a a a - a a a - a a a - a a a a a a Para recordar ese desarrollo se uiliza la llamada regla de Sarrus. Producos con signo posiivo Producos con signo negaivo

2 Ora forma de recordar ese desarrollo es repeir las dos primeras columnas al lado del deerminane y considerar la diagonales de izquierda a derecha con signo + y las de derecha a izquierda con signo a a a a a a a a a a a a a a a Diagonales de izquierda a derecha con signo + Diagonales de derecha a izquierda con signo æ 2 0-3ö Calcular el deerminane de = è ø ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = -50 DETERMINNTES DE ORDEN n Vamos a enconrar un méodo para calcular deerminanes de cualquier orden que nos será úil cuando ése es superior a res. nes endremos que dar algunas definiciones: Menor complemenario de a ij Sea una mariz cuadrada de orden n y a ij uno cualquiera de sus elemenos. Llamamos mariz complemenaria del elemeno a ij, a la mariz que resula de suprimir la fila i y la columna j en. La designaremos como M ij y será una mariz cuadrada de orden n 1. l deerminane de M ij lo llamamos MENOR COMPLEMENTRIO DE a ij. Consideremos el elemeno a 23 de la mariz que en ese caso vale 2: æ 3 1 4ö æ3 1 ö = ; Mariz complemenaria de a23 : M 23 = è - ø è - ø 3 1 Menor complemenario M 23 = = -6-5 = djuno del elemeno a ij Denominamos DJUNTO del elemeno a ij y lo denoamos por ij, al menor complemenario de a ij afecado del signo + o según la suma de i + j sea par o impar respecivamene: En el ejemplo anerior: ij ( ) i+ j = -1 M ij ( ) M ( ) ( ) = - 1 = =

3 Desarrollo de un deerminane por una fila o por una columna: Consideremos la expresión de un deerminane de orden 3: a = a a a = a a a + a a a + a a a - a a a - a a a - a a a a a Sacamos facor común en la expresión los elemenos, por ejemplo, de la primera fila: a a = a ( a a - a a ) + a ( a a - a a ) a ( a a a a ) ( a a a a ) - a ( a a - a a ) a ( a a a a ) 1+ 2 ( ) a a ( ) + - = = a = a a a a a a = a (- 1) = a32 a33 a31 a33 a31 a32 13 a = a + a + a Es decir, hemos obenido una expresión para el deerminane de como la suma de los elemenos de una fila muliplicados por sus adjunos correspondienes. Ese resulado se puede generalizar para cualquier fila o columna de una mariz cuadrada de cualquier orden. El deerminane de una mariz es igual a la suma de los elemenos de una fila o columna cualquiera muliplicados, cada uno de ellos, por sus adjunos correspondienes. Nos permie por ejemplo obener el deerminane de una mariz de orden 4 en función de 4 deerminanes de orden 3. Para eviar muchos cálculos conviene que la fila o la columna por la que desarrollemos enga el mayor número de ceros posibles. Veamos un ejemplo donde desarrollaremos por la ercera columna: = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = = = = -36 = a + a a Desarrollo por la fila i i1 i1 i2 i2 in in = a + a a Desarrollo por la columna j 1 j 1 j 2 j 2 j nj nj hemos aplicado la regla de Sarrus para los deerminanes de orden 3, pero podríamos haberlos calculado siguiendo con el desarrollo por filas o columnas.

4 PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES (1).- El deerminane de una mariz coincide con el de su raspuesa: = Ejemplos: = = = 2 ; = = = = = = - 26 ; = = = esa propiedad implica que odo lo que pudiéramos decir para filas sería ambién válido para columnas. En las propiedades que vienen a coninuación lo endremos en cuena. (2).- Si se muliplican odos los elemenos de una fila (o columna) por un mismo número el deerminane queda muliplicado por dicho número = = = -26 ; Muliplicamos la ercera columna por - 2 : B = = = 52 ; B = Esa propiedad nos permie sacar fuera del deerminane facores comunes, si los hay, de odos los elemenos de una fila o columna: = = = = (3).- Si cada elemeno de una fila (o columna) de una mariz se descompone en dos sumandos, el deerminane es igual a la suma de dos deerminanes que coinciden con el de parida excepo en la fila (o columna) que es suma de dos números, que aparece desdoblada en cada uno de los deerminanes: a + a ' b c a b c a ' b c d + d ' e f = d e f + d ' e f ; Ejemplo : g + g ' h i g h i g ' h i = =

5 (4).- Si en un deerminane se inercambian dos filas (o dos columnas), el deerminane cambia de signo: = = 1 ; = = (5).- Si un deerminane iene dos filas (o columnas) proporcionales, su deerminane es cero: (6).- Si una mariz iene dos filas (o columnas) iguales su deerminane es cero: Lo cual es evidene por la propiedad anerior pueso que una fila (o columna) es proporcional a sí misma F = 3 F : = = = = (7).- Si una mariz iene una fila (o columna) con odos sus elemenos cero, su deerminane es nulo: Evidene por la propiedad (5) ya que podemos considerar un facor de proporcionalidad cero con cualquier fila (o columna). demás, si desarrollamos el deerminane por esa fila (o columna) odos los adjunos se verían afecados por un facor cero. (8).- Si una fila (o columna) es combinación lineal de oras filas (o columnas) su deerminane es cero. a b c a b c a b c = k a + k d k b + k e k c + k f k a k b k c + k d k e k f = = (pdad.3) d e f d e f d e f C = 2C - C = =

6 (9).- Si a una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de oras filas (o columnas), su deerminane no varía = = = - 23 ; Efecuamos la operación: F F + 2 F - F : = = (10).- El deerminane de una mariz riangular o diagonal es igual al produco de los elemenos de la diagonal principal La forma más sencilla de obener el deerminane de una mariz riangular es aplicar el desarrollo por la primera columna o la úlima fila si es riangular superior, o úlima columna o primera fila si es riangular inferior, ya que ienen odos sus elemeos nulos salvo uno de ellos: = = = 3 2 = 3 2 (- 1 ) 1 = 3 2 (-1) (11).- Si una mariz C es produco de dos marices cuadradas y B, enonces el deerminane de C es el produco de los deerminanes de y B: Si C = B Þ C = B o B = B æ 1 2 3ö æ 0 2-1ö æ 7 2 1ö C = B = = è ø è - ø è - ø = = 15 ü ï B = = 9 ý C = B = 15 9 = 135 ï C = = 135þ plicación de las propiedades al cálculo de deerminanes Las propiedades de los deerminanes son de gran ayuda para su cálculo. Especialmene, la propiedad (9) aplicada de forma sisemáica nos permie conseguir riangular el deerminane, con lo cual su cálculo es inmediao. Esa riangulación del deerminane se conoce como méodo de Gauss: ì Inenaremos dejar el deerminane riangular superior. Para faciliar los = í îcálculos inercambiamos la primera y cuara fila (inroducimos un signo menos)

7 = - = - = + = F1 «F4 F3 F3 + 2F1 F2 «F4 F3 F3 + 4F F4 F4-2F1 F4 F4 + 2F æ 27 ö = = = 1 (-1) (-2) - = F 2 4 F4 - F3 è ø Evidenemene puede ser más prácico hacer el mayor número posible de ceros en una fila o columna y desarrollar el deerminane por adjunos de esa fila o columna: Ejemplos: = = = a3333 = 1 (-1) = F2 F2-2F = = B = = = a21 21 = -1 (- 1 ) = = -46 C2 C2 + 3C PLICCIONES DE LOS DETERMINNTES Vimos en el ema de marices como hallar el rango y la inversa de una mariz por el méodo de Gauss. Veremos ahora como podemos hacerlo mediane deerminanes. Rango de una mariz Recordemos que el rango de una mariz es el número de filas o columnas linealmene independienes. Para hallarlo por deerminanes necesiamos dar una definición previa: Menor de orden k Dada una mariz de dimensión m x n llamaremos menor de orden k ( 1 k mínimo {m, n } ) al deerminane de cualquier mariz cuadrada de orden k que se pueda formar suprimiendo m k filas y n k columnas de la mariz. æ ö = Podemos formar menores de orden 1, 2 y 3: è - - ø lgunos menores de orden 1: 1 ; 2 ; lgunos menores de orden 2: ; ; ;

8 Todos los menores de orden 3: ; ; ; El rango de una mariz será k, si coniene un menor de orden k no nulo y odo los menores de orden superior son nulos. Dicho de ora forma, el rango de una mariz es el orden del mayor menor no nulo que podamos formar en. Para calcular el rango de una mariz seguiremos los siguienes pasos: 1. Se observa si a simple visa exisen filas o columnas linealmene dependienes, en cuyo caso se suprimen. 2. Si no es la mariz nula (la única que iene rango 0), es decir, exise al menos un elemeno no nulo en la mariz, el rango es 1 y: 3. Buscamos un menor de orden 2 que conenga al elemeno no nulo del paso anerior. Si odos son cero el rango es 1. En caso conrario el rango es 2 y: 4. Buscamos los menores de orden 3 que conengan al menor de orden 2 no nulo del paso anerior, añadiendo las filas y columnas resanes (orlamos). Si odos son nulos el rango es 2. En caso conrario el rango es 3 y seguimos el proceso hasa llegar a los menores de mayor orden posible. Veamos algunos ejemplos: ( ) rg ì$ M k ¹ 0 = k Û í î " M k + 1 = 0 æ ö a) = rg( ) = 1 pueso que hay elemenos no nulos, por ejemplo el a11 = 1 ¹ è ø Consideramos el menor de orden 2 que se obiene orlando con la segunda fila y segunda columna: = - 6 ¹ 0 Þ rg( ) ³ 2. Orlamos con la 3ªfila y la 3ª columna: = = - 2 ¹ 0 Þ rg( ) ³ 3. Orlamos con la 4ªfila y 4ªcolumna: = = = 0 Þ rg( ) = F4 F4 + F ( ) 5 2-3

9 æ ö b) B - = rg( B) ³ è ø 4-1 = 4-2 = 2 ¹ 0 Þ rg( B) ³ Posibles orlados con la 2ªcolumna: = = 0 ; = = Posibles orlados con la 4ªcolumna = = 0 ; = = Por ano el rango es 2. c) Deerminar según los valores de m el rango de la mariz: æ1 m 1 ö = 1 m m ; = 4m + m - m - 4m = m - m = m( 1- m) 0 m 4m è ø ìm = 0 = 0 Þ m( 1- m) = 0 Þ í îm = 1 ìm ¹ 0 Si í îm ¹ 1 Þ rang( ) = 3 Si m = podemos enconrar un menor: = - 1 ¹ 0 Þ rang( ) = Si m = podemos enconrar un menor: = 1 ¹ 0 Þ rang( ) = d) Deermina, según los valores de a el rango de la mariz: æ a ö -1-1 = 1 - a 1 2 Consideramos el menor = ¹ 0 Þ rango( ) ³ a 1 è ø El rango como máximo es 3. Miramos los posibles orlados de ese menor para ver si enconramos un menor de orden 3 no nulo: ( ) ( ) ìa = 0 î a 1 2 = a + 1- a - 2a = a - 3a = a a - 3 ; a a - 3 = 0 Þ í a = 1 a 1

10 a = a a a = -2 a ; - 2a = 0 Þ a = 0 1 a 1 Si a = 0 Þ Todos los menores de orden 3 son nulos Þ rango = 2 Si a ¹ 0 Þ rango = 3 (En el caso de a = 3 hay un menor de orden 3 no nulo, el que acabamos de hallar) INVERS DE UN MTRIZ Dada una mariz cuadrada de orden n decimos que B es mariz inversa de si verifica que: B = B = I n Cuando una mariz iene inversa decimos que es regular (o inversible) y cuando no, decimos que es singular. La mariz inversa, si exise, es única: Supongamos que B y C son marices inversas de. Enonces: B = B = I ; C = C = I ( ) ( ) Por la propiedad asociaiva: C B = C B Þ C = B la mariz inversa de la denoamos 1 : 1 = 1 = I n Si iene inversa su deerminane iene que ser disino de cero: ì ï ¹ 0 = Þ = Þ = Þ í -1 ïî ¹ Como: I I 1 Se puede demosrar que si: ¹ 0 Þ $ - 1 Propiedades: -1 a) I = I -1 ( ) ( ) Por ano es condición necesaria y suficiene para la exisencia de la mariz inversa de que su deerminane sea disino de cero. -1 b) = c) B = B ", B marices de orden n / ¹ 0, B ¹ ( ) = ( ) d) Cálculo de la mariz inversa por deerminanes Vimos como calcular la mariz inversa por el méodo de Gauss. Con la ayuda de los deerminanes ambién podemos hallar la mariz inversa, pero anes definimos: Mariz de adjunos o mariz adjuna Llamamos mariz de adjunos o mariz adjuna de, a la mariz que se obiene susiuyendo cada elemeno de por su adjuno correspondiene. La denoamos dj.

11 Se puede demosrar que la mariz inversa se puede hallar mediane la siguiene expresión: Observamos que la mariz no iene inversa (es singular) si = 0 El proceso para calcular la mariz inversa será: Ejemplos: 1. Hallar el deerminane de. Si es cero la mariz no iene inversa 2. Hallar la mariz de adjunos 3. Trasponer la mariz - 1 = ( dj ) 4. Dividir cada elemeno de la mariz obenida ras el paso 3 por el de () æ 1 4 ö a -2-5 è ø -1 ) = ; = = 3 ¹ 0 Þ $ ; hallamos los adjunos: ( ) ( ) = -1-5 = - 5 = -1-2 = ( ) ( ) = = - 4 = = æ -5 2ö Mariz de adjunos: dj = è -4 1 ø Trasponemos la mariz de adjunos: Por úlimo dividimos por : - 1 ( dj ) æ 1 4 0ö b) = = = è ø æ -5-4 ö 3 3 = 2 1 è 3 3 ø æ -5-4ö = è 2 1 ø æ ö æ ö æ ö dj = = ; ( dj ) = è - ø è ø è ø 1 - æ 1 4 ö = è 5 5 ø

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