i 1,2,..., m (filas) j 1,2,..., n (columnas) t

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1 MTRICES Y DETERMINNTES Cocepos básicos Deermiaes Mariz iversa CONCEPTOS BÁSICOS MTRIZ de m filas y columas: a11 a12 a1 a21 a22 a 2 am1 am2 am i1,2,..., m (filas) Se represea por a j 1,2,..., (columas) Dimesió de la mariz es el úmero m Mariz cuadrada: m Mariz recagular. m Mariz fila: m Mariz columa: Mariz raspuesa: Se cambia filas por columas. Las marices cuadradas puede ser ; Simérica: a aji isimérica: a aji Para comprobar que aii 0, dode poe j poer i: a a 2a 0 a 0 ii ii ii ii 1

2 Triagular superior: a 0 si i j. Ceros por debajo de la diagoal pricipal Triagular iferior: a 0 si i j. Ceros por ecima de la diagoal pricipal Diagoal: a 0 si i j. Sólo elemeos e la diagoal pricipal D o Escalar Los elemeos de la diagoal pricipal so iguales o Uidad: a ii 1. o Nula: a E I Dos marices co la misma dimesió so iguales si iee los mismos elemeos. La SUM de marices de la misma dimesió se hace sumado los elemeos correspodiees que ocupa la misma posició. La suma de marices iee las propiedades sociaiva ( B C) ( B) C Comuaiva B B Neuro: La mariz ula 0 mx. 0 0 Mariz Opuesa ( ) ( ) 0 Ejemplo:

3 Produco de escalar por mariz : Se muliplica odos los elemeos de la mariz por el escalar y se expresa. Ejemplo: Esa operació iee las propiedades coocidas a) Disribuiva respeco a la suma de marices: k( B) k kb b) Disribuiva respeco a la suma de escalares: ( h k) h k c) sociaiva del produco de escalares: ( hk) h( k) d) 1 :1. Co esas dos operacioes Suma de marices: B y produco de escalar por mariz : el cojuo de las marices m iee esrucura de espacio vecorial de dimesió m. El PRODUCTO de marices mx Bxp Cmxp se efecúa muliplicado las filas de la mariz por las columas de la mariz B, es decir c a b ; k 1.. ik kj odos los elemeos de cada fila por sus correspodiees de cada columa obeiedo ora mariz. Nauralmee para que sea posible realizar ese C mxp produco es ecesario que el úmero de columas coicida co el úmero de filas mx Ejemplo: de la mariz seguda x3 2x2 3x2 El produco de marices iee las propiedades sociaiva ( B C) ( B) C Disribuiva respeco a la suma ( B C) B C Mariz Uidad I I No es, e geeral, comuaivo B B Puede eer Iversa TENCIÓN o B I de la mariz primera B xp. o implica que algua de ellas sea 0 o B C o implica que B C 2 B 2 B B o E geeral B B B B B 3

4 B B B o E geeral B B B B B Propiedades de la mariz raspuesa: ; ; B B B B D D ; ; Poecia: ; RNGO de ua mariz es el úmero de filas o columas liealmee idepediees se expresa rg( ). Ejemplo Hallar el rago de la mariz El rago es rg( ) 2 pues sólo F1 y F 4 so liealmee idepediees. Operacioes co las líeas (filas o columas) de ua mariz que o afeca a su rago. Sumar líeas combiació lieal de oras Cambiar de lugar líeas. Muliplicar ua líea por u úmero o ulo. Suprimir líeas que sea combiació lieal de oras DETERMINNTE El valor de u deermiae es u úmero asociado a ua mariz cuadrada que se represea por o bie de( ). Ese úmero se cosigue sumado (co su sigo) odos los producos posibles que se obiee muliplicado u elemeo de cada fila por uo de cada columa. El sigo de cada produco será (+) si la permuació de los primeros ídices es de la misma clase que la de los segudos ídices y ( ) e caso corario. Propiedades 0 si ua líea es combiació lieal de oras l cambiar 2 líeas cambia el sigo del deermiae 1 1 de(0) 0 ; de( I) 1;de( D) a a a Casos pariculares: El cálculo de u deermiae de orde 2 y de orde 3 se puede calcular por la Regla de Sarrus. E el caso de marices de mayor orde se sigue oros 4

5 procedimieos, fudamealmee el méodo de Gauss que cosigue ua mariz escaloada. Meor de orde k ua mariz cuadrada de orde es el deermiae de la submariz cuadrada de orde k que se obiee eligiedo k filas y k columas. Ejemplo ; M Se ha elegido las 3 primeras filas y columas. Se ha suprimido la úlima fila y la úlima columa. Meor complemeario del elemeo a de la mariz es el deermiae que se obiee suprimiedo la fila i y la columa j e la que se ecuera dicho elemeo. Ejemplo M a de la mariz : ( 1) i j M. djuo del elemeo ( 1) ( 13) 13 E el ejemplo aerior Ejemplo de sigo de los adjuos de ua mariz de orde 4 Desarrollo de u deermiae por los elemeos de ua fila: De ua mariz cuadrada se puede obeer su deermiae como la suma de los elemeos de ua fila por sus adjuos respecivos. a Se deomia Mariz djua la formada por los adjuos de odos sus elemeos. La INVERS de ua mariz cuadrada se puede obeer 1 dode a es la mariz adjua de su raspuesa a 5

6 Tambié se puede obeer la mariz iversa de ua mariz dada siguiedo el méodo de Gauss-Jorda que cosise e formar ua abla co dos marices ua la dada y a su derecha la mariz uidad. Se realiza operacioes elemeales e la dada hasa rasformarla e mariz uidad y realizado las mismas operacioes aeriores e la mariz uidad ésa úlima queda rasformada e la mariz iversa de la dada. Ejemplo Hallar la iversa de la mariz 1. Mediae fórmula ; 2 1 ; 4 9 a ; 2. Mediae Gauss-Jorda a F F F ' F 2 F F ' F 4F ;

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