Matemáticas II Bachillerato de Ciencias y Tecnología 2º Curso MATRICES Definición. Notaciones Tipos de matrices...

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1 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Uidad MTRICES...- Defiició. Noacioes Tipos de marices Operacioes co marices Igualdad de marices Suma de marices Produco de ua mariz por u úmero real (escalar) Produco de marices Trasposició de marices. Mariz simérica y aisimérica Mariz iversa Ecuacioes mariciales Rago de ua mariz Depedecia e idepedecia lieal Marices escaloadas y depedecia e idepedecia lieal Rago de ua mariz Rago e fució de parámeros Marices e la vida real exo I.- Demosracioes exo II.- EJERCICIOS Ejercicios Propuesos: siguiees: Los icluidos e el exo II y además del libro de exo, págia 28 y 2 abcd, 3, 5, 6 bc, 3 acef, Ágel Luis Tapial Romo - - Uidad - Marices

2 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso..- Defiició. Noacioes. Iuiivamee se puede describir ua mariz como u cojuo de úmero ordeados e forma de cuadro o abla. Defiició: Se llama mariz de dimesió m a u cojuo de úmeros reales dispuesos e m filas y columas de la forma: a a a a a a a a a a a a a a a a m m2 m3 m o bie de la forma ( a ij ) dode u elemeo geérico de la mariz se desiga por siedo: i, 2,..., m j, 2,..., a ij, idicado el subídice i el úmero de la fila y el subídice j el úmero de la columa a las que pereece el elemeo. Noació: Las marices se deoa usualmee co leras mayúsculas, y sus elemeos co miúsculas. l cojuo de marices de dimesió m se le deoa por M m. veces la dimesió de la mariz se idica juo a la lera usada para desigarla, así por ejemplo, se podría escribir m M m. Observació: Cuado el úmero de filas es igual al de columas ( m mariz es cuadrada. El cojuo de marices cuadradas de dimesió deoa por M. Úicamee e las marices de ese cojuo se puede defiir: Defiicioes : ), se dice que la, o de orde se o Diagoal pricipal: formada por los elemeos de la forma a ii. o Diagoal secudaria: formada por los elemeos de la forma a ij, ales que i + j Tipos de marices. Ver libro págia 9. Ver gráficos e el libro de exo págia 8. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

3 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso.3.- Operacioes co marices Igualdad de marices. Dos marices so iguales si iee la misma dimesió y si los elemeos que ocupa lugares similares e cada ua de ellas so iguales, es decir:, B M B a mx i, 2,..., m ij bij, j, 2,..., Suma de marices. Ver defiició e libro de exo págia 2. Esquemáicamee se puede represear de la siguiee forma: si, B M m x ( aij ) ( bij ) + B ( a + b ) M B PROPIEDDES: Si, B, C M m x, se cumple:. sociaiva: + ( B + C) ( + B) + C 2. Elemeo euro: 0 m x Elemeo opueso: si ( a ij ) se defie ( a ij ) 4. Comuaiva: + B B + ij ij m x Produco de ua mariz por u úmero real (escalar). Ver defiició e libro de exo págia 0. Esquemáicamee se puede represear de la siguiee forma: si ( aij ) lo es, ya que: m x m x m x m x m x y cumple: + ( ) ( ) + 0 k ( k aij ) M k R PROPIEDDES: Si, B M m x y k, l R, se cumple:. Disribuiva I: k ( + B) k + k B 2. Disribuiva II: ( k + l) k + l 3. sociaiva mixa: k ( l ) ( k l) 4. Elemeo uidad: siedo R M m x y k R m x Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

4 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Produco de marices. TENCIÓN: Esa es la seguda operació que vemos ese curso ere elemeos maemáicos que NO cumple la propiedad comuaiva Cuál era la primera?. Ver defiició e libro de exo págia 2. Hay que desacar que para poder efecuar esa operació, el úmero de columas del primer facor debe ser igual al úmero de filas del segudo. Usado ua oació ligeramee disia a la del libro de exo, se puede represear esquemáicamee de la siguiee forma: si B M Mm x p B p x M Tambié se puede decir que: m x además ( a ) p ik B ( cij ) siedo cij aik bkj k ( kj ) B b el elemeo ij de la mariz produco es el obeido mediae el produco escalar de la fila i del Ver ejemplos e el libro. primer facor por la columa j del segudo facor. Propiedades del produco de marices cuadradras: Si, B, C M se cumple:. sociaiva: ( B C) ( B) C 2. Elemeo euro: I 0 M 0 3. Disribuiva respeco de la suma: E cambio o se cumple: lo es, ya que: I I ( B + C) B + C ( B + C) B + C Comuaiva: e geeral B B. Si para alguas marices pariculares se cumple que B B, se dice que, B M comua. Elemeo iverso: Dada ua mariz cuadrada que I M, o siempre exise ora mariz B M al B B Si exise dicha mariz B, se dice que es la mariz iversa de y se represea por. Cosecuecias de las propiedades y NO propiedades: debemos eer e cuea que propiedades que usamos e el cojuo de los úmeros reales NO se cumple. Por ejemplo, si, B, C M : B 0 o implica ecesariamee que 0 ó que B 0. B C o implica ecesariamee que B C. + B + 2B + B Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

5 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso.4.- Trasposició de marices. Mariz simérica y aisimérica. Ver defiició y ejemplos e libro de exo págia 4. Esquemáicamee se puede represear de la siguiee forma: si M M m x x m a a2 a3 a a a2 a3 am a2 a22 a23 a 2 a2 a22 a32 a m2 a3 a32 a33 a 3 a3 a23 a33 a m3 a a a a a a a a m m2 m3 m 2 3 m es decir escribir las filas de como las columas de PROPIEDDES: Si, B M m x y k R se cumple:.. ( ) 2. + B + B 3. k ( k ) 4. B B e ese caso so M m x y B M x p parir de la rasposició de marices se puede defiir dos ipos uevos de marices cuadradas: Defiició: MTRIZ SIMÉTRIC: Se puede defiir de dos formas: o o Se llama simérica a oda mariz cuadrada al que Se llama simérica a oda mariz cuadrada al que. a i, 2,..., ij a ji j, 2,...,, lo cual quiere decir que los elemeos siméricos respeco a la diagoal pricipal so iguales. Defiició: MTRIZ NTISIMÉTRIC (o hemisimérica): Se puede defiir de dos formas: o o Se llama aisimérica a oda mariz cuadrada al que Se llama aisimérica a oda mariz cuadrada al que a. i, 2,..., ij a ji j, 2,...,, lo cual quiere decir que los elemeos siméricos respeco a la diagoal pricipal so opuesos. demás como e paricular, 2,..., aii 0 i, 2,..., a a, ecesariamee ii ii i, es decir, los elemeos de la diagoal pricipal so ulos. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

6 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso.5.- Mariz iversa. ÚNICMENTE SE PUEDE CLCULR DE MTRICES CUDRDS Y NO DE TODS! Ver defiició y ejemplos e libro de exo págia 6 y 7. Esquemáicamee se puede represear de la siguiee forma: Si M, eoces, (si exise) su iversa se deoa M y verifica: I Las marices que iee iversa se llama marices iveribles o regulares y las que o iee iversa se llama marices o iveribles o sigulares. CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS: Para calcular la mariz iversa de ua mariz regular se puede usar varios procedimieos, ahora vemos dos de ellos, pero e la uidad siguiee se verá oro muy uilizado. Mediae la defiició: Ver ejemplo e el libro, págia 6. E defiiiva, es resolver u sisema de m x ecuacioes. Méodo de Gauss-Jorda: Para hallar la iversa de ( I ) x 2 M, se rasforma la mariz M mediae operacioes elemeales por filas e la mariz M. I x 2 Ver ejemplo e el libro, págia 7. Es más acosejable que el aerior, por su posibilidad de aplicació a cualquier orde. OPERCIONES ELEMENTLES POR FILS: Se puede usar para hallar la iversa y calcular el rago de ua mariz, esá relacioadas co las rasformacioes del méodo de Gauss para resolució de sisemas de ecuacioes. So: Iercambiar las filas i y j ere sí, la deoaremos: Fi Fj. Muliplicar la fila i por el úmero k 0 y susiuirla por el resulado, la deoaremos: F k F i i Sumar a la fila i, la fila j muliplicada por el úmero k 0 y susiuirla por el resulado, la F F + k F deoaremos: i i j Igualmee se puede efecuar operacioes elemeales por columas, sería las equivalees a las aeriores, pero es más frecuee operar exclusivamee co filas. Observació imporae: La úlima de las operacioes elemeales es diferee a la del libro de exo, eso se jusifica por la posibilidad de uificar lo más posible el ipo de operacioes elemeales que usaremos e marices, deermiaes y sisemas. Se hace co el fi de eviar errores por la aplicació de operacioes muy parecidas pero co efecos disios e cada uo de los objeos mecioados. Se puede observar que e las acividades resuelas de la págia 7, las operacioes elemeales por filas usadas so úicamee las res aeriores, o siedo ecesario e igú caso usar la ercera de las euciadas e el libro de exo. Tambié se puede cosiderar ua operació elemeal cualquier combiació de las aeriores, auque la calificació de elemeal o parece eoces muy apropiada. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

7 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso PROPIEDDES DE L MTRIZ INVERS: Si, B M se cumple:. B B ( ) ( ) 4. Si B B I B.6.- Ecuacioes mariciales. Para resolver ecuacioes y sisemas e los que las icógias y los coeficiees so marices, podemos emplear dos méodos: Resolver el sisema de ecuacioes obeido al susiuir cada elemeo de la mariz descoocida por ua variable, hacer operacioes y aplicar la defiició de igualdad de marices. Geeralmee eso lleva a u sisema de ecuacioes co aas icógias y ecuacioes como dimesió iee la mariz. Suele ser preferible, Despejar la mariz (o marices) icógia previamee, como si de ua ecuació o sisema co úmeros reales se raase, pero eiedo e cuea que o podemos pasar de u miembro a oro ua mariz que esé muliplicado. E ese caso debemos elimiar la mariz sobrae muliplicado adecuadamee (a derecha o izquierda) los dos miembros de la ecuació por su iversa. es de hacer igua operació co los elemeos de las marices, debemos eer despejada la mariz icógia. EJEMPLOS: Si, B, C, X, Y M resolver el sisema y ecuacioes siguiees: 3X + Y X + Y B 2Y 3B X B Y 3 B Y + Y X B Y 3B Y 2 3B X B 2 3B 3Y + Y X B Y 3B Y 2 2B 3B + X 2 2Y 3B X B Y Y 3 B 2 X B 2 ( ) ( ) X B + I Muliplicado a la derecha por obeemos: X ( B I ) plicado la propiedad asociaiva: + X B + I X I B + I Y por la defiició de iversa: X B + I Co lo cual, fialmee: Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

8 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso X + B C Cambiamos B de miembro y queda: X C B Muliplicado a la izquierda por X C B obeemos: plicado la propiedad asociaiva: ( ) X ( C B) Fialmee: X ( C B) X + B X C Sacado facor comú 2 a X obeemos: + B X C Muliplicado a la izquierda por ( + B) queda: plicado la propiedad asociaiva: Fialmee: X B X C 2C X + B C + B + B X + B C + B + B X + B C Comprobar que de forma aáloga se obiee: X 2C ( B C ) Oros ejemplos se puede ecorar e las págias 7 y 27 del libro de exo..7.- Rago de ua mariz Depedecia e idepedecia lieal. Las siguiees defiicioes se hace ahora e el coexo de marices, pero so fudamealmee aplicables al cocepo de vecores dero de u espacio vecorial cualquiera 4. Noació: Dada ua mariz de dimesió m : a a am a m Se deoará a sus columas: a a C C M a m a m m x y a sus filas: F ( a a ) F ( a a ) M y si fuera m m m x ecesario se deoaría por L L k (líeas) a las filas o columas idisiamee. 2 Equivale a aplicar la propiedad disribuiva euciada e.3.4.3, pero eiedo e cuea el lado por el que muliplica el facor comú. 3 Ese aparado difiere basae del correspodiee e el libro de exo. 4 Recordar el cocepo de vecor e el plao viso el curso aerior. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

9 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Defiició: Dadas F,, F m c F filas de ua mariz m M m se llama combiació lieal de ellas a la expresió: + + c F M c c R, so úmeros reales o odos ulos que se llama coeficiees. Defiició: Dadas F,, F m m m x dode,, m filas de ua mariz m M m se dice que so liealmee depediees (l.d.) si algua de ellas es combiació lieal de las demás. (Observació: dos filas so liealmee depediees si so proporcioales). Defiició: Dadas F,, F m filas de ua mariz m M m se dice que so liealmee idepediees (l.i.) si o so liealmee depediees, es decir si igua de ellas es combiació lieal de las demás. (Observació: dos filas so liealmee idepediees si o so proporcioales). Propiedad: F,, F m filas de ua mariz m m y solo si exise c,, cm R o odos ulos al que cf + + c F 0 La demosració es secilla, puede hacerse como ejercicio. M so liealmee depediees si Propiedad: F,, F m filas de ua mariz m m si y solo si cf + + c F 0 c c 0 R. m m x m La demosració es secilla, puede hacerse como ejercicio Marices escaloadas 5 y depedecia e idepedecia lieal.. m m x M so liealmee idepediees La depedecia e idepedecia lieal e marices escaloadas es especialmee secilla eiedo e cuea lo siguiee: Defiició: Ua mariz se llama escaloada si el primer elemeo o ulo (de izquierda a derecha) de cada fila esá siuado más a la derecha que el primer elemeo o ulo de la fila imediaamee superior. Por ao, si la mariz iee algua fila de ceros, esará siuada e la pare iferior de la mariz. So escaloadas: No so escaloadas: Propiedad: E ua mariz escaloada odas las filas o ulas so liealmee idepediees. Demosració: Ver el NEXO II (úicamee para el caso 3 ). Observació: Mediae las operacioes elemeales por filas usadas para calcular la iversa de ua mariz por el méodo de Gauss-Jorda, se puede rasformar cualquier mariz e ora escaloada. 5 uque aquí sólo se raará las marices escaloadas por filas, se podría igualmee cosiderar escaloadas por columas. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

10 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Rago de ua mariz. Defiició: Dada ua mariz M m se llama rago o caracerísica de y se represea por rg al máximo úmero de filas (o columas) liealmee idepediees. Observacioes: o o E cualquier mariz el úmero de filas liealmee idepediees coicide co el úmero de columas liealmee idepediees, auque e alguos exos se defie el rago por filas y el rago por columas para luego demosrar que so iguales. El valor máximo que puede eer el rago de ua mariz es el meor de los úmeros correspodiees al úmero de filas y columas, es decir si M eoces { m } rg mi,. m o E ua mariz escaloada el rago es igual al úmero de filas o ulas, ya que esas so l.i. de forma evidee. Proposició: Las operacioes elemeales euciadas e.5, es decir: Fi Fj F i k Fi Fi Fi k Fj + o alera el rago de ua mariz. o Demosració: Ver el NEXO II (úicamee para el caso 3 ). M m mediae las operacioes elemeales por filas se rasforma la mariz e ora ' Mm escaloada de la misma dimesió. El rago de Cálculo prácico 6 : Dada ua mariz ambas es el úmero de filas o ulas de '. Ejemplos: Ver las págias 8 y 9 del libro de exo. demás, aquí se puede ver e la < m es porque algua fila o columa es l.d. de las acividad 2 que si el rg mi {, } demás, auque o sea evidee Rago e fució de parámeros. Para calcular el rago de ua mariz e fució de uo o más parámeros que se ecuere ere los elemeos de la misma se procede como e el caso geeral, pero aquí puede ser ecesario uilizar ambié operacioes elemeales por columas, más propiedades que coserva el rago como elimiar filas o columas que sea combiació lieal de las resaes o ulas y e cieros casos será mejor usar el cálculo del rago usado deermiaes. EJEMPLOS: Págia 9 del libro de exo. Hallar el rago de la mariz a 4 e fució de los valores del parámero a : 6 E el ema siguiee se verá oro méodo para calcular el rago usado deermiaes. Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

11 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Como C4 C, se puede elimiar ya que rg rg 2 3 y eoces 4 a 4 4 a F2 F2 2F C2 C3 F3 F3 F de F3 F3 4F 4 a 0 a a 0 0 a + lo que se puede deducir que: EJERCICIO: a) Si a + 0 es decir a b) Si a + 0 es decir a rg 2, `pues e ese caso F y F 2 so l.i. rg 3, `pues e ese caso F, F2 y F 3 so l.i. Hallar el rago de la mariz siguiee e fució de los valores del parámero a : 2 a a Solució: a 3 rg 2 a 3 rg Marices e la vida real. Ver las págias 20 y 2 del libro de exo. Tambié se puede ecorar iformació ao sobre marices e geeral como sobre su relació co aspecos de la vida real e las siguiees direccioes de iere: hp:// (fascículos 9, 20, 2, 22 y 23) E esos fascículos podemos ecorar marices e relació co grafos 7, cuadrados mágicos 8, rasformacioes geoméricas e el plao y el espacio, úmeros complejos, sisemas de ecuacioes, ec. hp://descares.cice.mecd.es/lgebra/calculo_maricial_d3/index.htm hp://hales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed /idex.hml 7 E maemáicas y e ciecias de la compuació, u grafo es el objeo absraco básico de esudio e eoría de los grafos. Iformalmee, u grafo se cocibe y se represea como u cojuo de objeos llamados vérices o odos uidos por elaces llamados arisas. Las arisas puede eer direcció (grafo dirigido). Ver ejemplo e la acividad resuela 3 de la págia U cuadrado mágico es la disposició de ua serie de úmeros eeros e u cuadrado o mariz de forma al que la suma de los úmeros por columas, filas y diagoales sea la misma, la cosae mágica. Usualmee los úmeros empleados para rellear las casillas so cosecuivos, de a ², siedo el úmero de columas y filas del cuadrado mágico. Ver hp://es.wikipedia.org/wiki/cuadrado_mágico Ágel Luis Tapial Romo - - Uidad - Marices

12 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso exo I.- Demosracioes Propiedad: E ua mariz escaloada odas las filas o ulas so liealmee idepediees. DEMOSTRCIÓN: (por reducció al absurdo) Para simplificar veremos el caso de 3 y mariz riagular superior, pero el razoamieo sería el mismo para el caso geeral. E la mariz a a a a a 0 0 a y además que a i, 2, 3 cero. Eso es: c, c2, c3 operado quedaría: ii 33 las filas so: ( 0 ) ( 0 0 a ) F a a a 2 3 F a a F 3 33 supogamos que so l.d., 0 eoces, exise ua combiació lieal suya o rivial igual a o odos ulos a la vez al que c F + c F + c F ca + c20 + c30 0 ca 0 c 0 ca 2 + c2a22 + c a2 + c2a22 0 c2a22 0 c2 0 c 0 a3 + c2a23 + c3a33 0 a3 + 0 a23 + c3a33 0 c3a33 0 c3 0 lo cual coradice la hipóesis de que las filas so l.d Proposició: Las operacioes elemeales por filas o alera el rago de ua mariz. F i j F Fi k Fi Fi Fi + k Fj DEMOSTRCIÓN: Para simplificar veremos el caso de 3, pero el razoamieo sería el mismo para el caso geeral. E la mariz F F i j a a a a a a a a a las filas so: F a a a 2 3 F a a a F a a a por la defiició de depedecia e idepedecia lieal es evidee que el orde de las filas o afeca a su codició de depedecia o idepedecia. F k F supogamos que F, F2, 3 i i ejemplo: kf, F2, F3 k F so liealmee idepediees. Eoces, por R ambié. Ya que si F, F, F l.i. ck F + c2f2 + c3f3 0x 3 y por ser 2 3 c kf + c F + c F x3 c k c c y como k 0 ck 0 c 0, co lo que c c2 c3 0 y por ao kf, F2, 3, liealmee idepediees. F so Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

13 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Fi Fi + k Fj supogamos que F, F2, 3 F + k F, F, F k R ambié lo será. por ejemplo: Ya que si F so liealmee idepediees. Eoces, c F + kf + c F + c F 0 c F + c kf + c F + c F x x3 cf + ck + c2 F2 + c3f3 0x 3 y por ser, 2, 3 como 0 F F F l.i. c ck + c2 c3 0 y c ck + c2 0 c2 0, co lo que c c2 c3 0 y por ao F + k F, F, F, so liealmee idepediees Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

14 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso exo II.- EJERCICIOS. ) Efecua las siguiees sumas de marices: a) ( 0 3 4) + ( ) b) c) ) Calcula las siguiees diferecias de marices: a) ( 2 0 4) ( ) b) d) d) c) ) Halla las marices resulaes de los siguiees producos: a) 0 ( ) b) c) ) Realiza las siguiees muliplicacioes de marices: a) b) 2 ( 2 3) c) d) e) f) d) g) h) ) Dadas las marices a) + B + C + I b) + B C c) 4 ( B + C I ) d) + 2B C+ 3I B 0 C 0 0 I 2 e) ( B C) f) ( B) + I g) B + C I h) B C 0 0 efecúa las operacioes: i) ( B+ 2C) j) I 6) Escribe la mariz de dimesió 3x 3, cuyos elemeos verifique: a ij j i i j si si i i > j j Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

15 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso 7) Deermia los valores de las variables e las siguiees igualdades: x 2 a) y ) Deermia los valores de a y b, para que se verifique 9) Halla x, y, z, w, para que se saisfaga la igualdad: 0) Deermia los valores de x, y, z, para que se verifique la igualdad: ) Calcula y, siedo: x x y 3 b) + y , siedo: 2) Comprueba la propiedad B B para las marices: 2 a b x y x 2 3 y x 2 + z w 3w z + w 4 3) Cosruye marices de dimesió 3 x 3 co rago 0, rago, rago 2, y rago 3. 4) Calcula el rago de la siguiee mariz, e fució de los valores de a : 5) Calcula el rago de las siguiees marices: 6) Resuelve la ecuació maricial siguiee: X B + C, dode B 2 C y y 5 0 x z y z y B a B ) Halla la iversa de las siguiees marices por el méodo de Gauss: 8) Halla la mariz X e cada uo de los casos siguiees: a) X 0 0 b) X B c) X + 3 I ) Hallar la mariz X al que verifique la ecuació: B X B, siedo Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

16 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso SOLUCIONES: ) Efecuar las siguiees sumas de marices: a) ( 3 3 ) b) c) 7 4 d) 2) Calcular las siguiees diferecias : a) ( 2 ) 5 b) c) d) ) Halla las marices resulaes : a) ( ) b) c) d) ) Realiza las siguiees muliplicacioes : M a) ( 4) x 2 3 b) c) d) e) f) g) h) ) Dadas las marices operacioes: 6 a) 2 4 b) c) d) e) 2 5 f) g) 0 5 h) 0 5 i) 2 2 j) ) ) Deermia los valores de a) x 3 y 8 b) x 0 y 8) a 2 b 9) x y z 3 w 4 Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices

17 Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso 0) Se obiee dos solucioes que se resume e el cuadro siguiee: ª solució 2ª solució x y z ) ) ( B) B 6 5 3) Múliples solucioes. a 4) a rg 2 rg 3 rg 2 rg 4 5) ( B) ) X ) B o exise pues obeemos por Gauss ) Hallar la mariz X.casos siguiees: 0 5 a) X 0 0 b) X c) X ) X Ágel Luis Tapial Romo Uidad - Marices