ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma

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1 CAPÍULO RES ANÁLISIS DE FOURIER IEMPO CONINUO Iroducció La represeació de la señal de erada a u sisema (eediedo como sisema u cojuo de elemeos o bloques fucioales coecados para alcazar u objeivo deseado) de iempo coiuo lieal e ivariable e el iempo (LI), como ua iegral poderada de impulsos desplazados coduce a la iegral de covolució. Esa represeació de sisemas LI de iempo coiuo idica cómo la respuesa de ales sisemas, para ua erada arbiraria se cosruye a parir de las respuesas a los impulsos uiarios desplazados. Eoces, la iegral de covolució o sólo proporcioa ua maera coveiee de calcular la respuesa de u sisema LI, supoiedo coocida su respuesa al impulso uiario, sio que ambié idica que las caracerísicas de u sisema LI so especificadas compleamee por su respuesa al impulso uiario. A parir de ese hecho se puede aalizar e dealle muchas de las propiedades de los sisemas LI y relacioar esas propiedades co las caracerísicas equivalees de las respuesas al impulso de ales sisemas. E ese rabajo se desarrollará ua represeació alera para las señales y los sisemas LI. El puo de parida de esa discusió es el desarrollo de ua represeació de señales como sumas poderadas de u cojuo de señales básicas, las señales expoeciales complejas. Las represeacioes resulaes so coocidas como la serie y la rasformada de Fourier y, como se verá, esas represeacioes se puede emplear para cosruir diferees clases de señales. La idea ceral de la represeació es la siguiee: Dada ua secuecia de fucioes u (), u (), u 3 (), que iee, e u iervalo (a, b), la propiedad de orogoalidad: b a u ( ) u ( ) d m siempre que m(el aserisco idica el cojugado complejo), se desea expadir ua fució arbiraria f () e ua serie ifiia de la forma f ( ) C u ( ) C ( ) u ( ) C ( ) u ( ) 3 3 A primera visa, eso parece basae secillo. Para deermiar C para cualquier valor fijo de, muliplicamos ambos lados de esa ecuació por u () e iegramos e el iervalo (a, b):

2 6 b b b f ( ) u ( ) d C u ( ) u ( ) d C u ( ) u ( ) d a a a Debido a la propiedad de orogoalidad, odos los érmios e el lado derecho se aula excepo el - ésimo y se obiee b y esa relació se puede resolver para obeer C. a f ( ) u ( ) dx C u ( ) d Las señales co las cuales se rabaja ormalmee so magiudes variables e el iempo; por ejemplo, e las comuicacioes elécricas, ellas so el volaje y la corriee. La descripció de ua señal x() usualmee exise e el domiio del iempo, dode la variable idepediee es el iempo. Para muchas aplicacioes, co frecuecia es más coveiee describir las señales e el domiio de la frecuecia f, dode la variable idepediee es la frecuecia f. Así, si la señal exise físicamee e el domiio del iempo, eoces se puede decir que ella cosise de diferees compoees e el domiio de la frecuecia y esas compoees e cojuo se deomia el especro. El aálisis especral basado e la serie y la rasformada de Fourier es ua herramiea poderosa e muchas ramas de la igeiería. Como cosecuecia, la aeció e ese rabajo se cerará e la eoría de Fourier aes que e oras écicas como, por ejemplo, la rasformació de Laplace y el aálisis e el domiio del iempo. Primero, el domiio de la frecuecia es esecialmee u puo de visa de régime permaee y, para muchos propósios, es razoable resrigir uesra aeció al comporamieo e régime permaee de los sisemas bajo esudio. E realidad, eiedo e cuea la muliud de señales posibles que u sisema puede maejar, sería imposible ecorar solucioes dealladas de las respuesas rasiorias para cada ua de ellas. Segudo, el aálisis especral permie cosiderar clases compleas de señales que posee propiedades similares e el domiio de la frecuecia. Eso o sólo coduce a u coocimieo más profudo e el aálisis, sio que es de gra valor para el diseño. ercero, muchas de las compoees de u sisema se puede clasificar como disposiivos lieales e ivariables e el iempo; siedo así, se puede describir por sus caracerísicas de respuesa e frecuecia, las cuales, a su vez, facilia aú más el aálisis y el rabajo de diseño. Por lo ao, ese capíulo esá dedicado al aálisis de señales y sus respecivos especros, poiedo aeció especial a la ierpreació de las propiedades de esas señales e el domiio de las frecuecias. Se examiará los especros de líeas basados e la expasió e serie de Fourier para señales periódicas y e los especros coiuos basados e la rasformada de Fourier de señales aperiódicas. Fialmee, esos dos especros se cojugará co la ayuda del cocepo de la respuesa al impulso. Como primer paso, se debe escribir las ecuacioes que represea las señales e fució del iempo, pero si olvidar que esas ecuacioes so sólo modelos maemáicos del mudo real y, por lo geeral, so modelos imperfecos. E efeco, ua descripció compleamee fiel de la señal física más secilla sería demasiado complicada e imprácica para los propósios de la igeiería. Por lo ao, se raará de idear modelos que represee co ua complejidad míima las propiedades sigificaivas de las señales físicas. El esudio de muchos modelos diferees para las señales proporcioa la iformació ecesaria para seleccioar modelos apropiados para aplicacioes específicas. b a

3 63 3. Respuesa de Sisemas LI a Expoeciales Complejas E el esudio de sisemas LI es veajoso represear las señales como combiacioes lieales de señales básicas que posea las propiedades siguiees:. El cojuo de señales básicas se puede usar como base para cosruir ua clase de señales amplia y de mucha uilidad.. La esrucura de la respuesa de u sisema LI a cada señal básica debe ser lo suficieemee secilla como para proporcioar ua represeació coveiee de la respuesa del sisema a cualquier señal cosruida como ua combiació lieal de señales básicas. E sisemas LI de iempo coiuo, esas dos veajas so proporcioadas por el cojuo de expoeciales complejas de la forma e s, e dode s es ua variable compleja. Cosidérese, por ejemplo, u sisema LI co erada x() y cuya fució de rasferecia H(j), s = j e ese caso, se j defie de al forma que cuado x() e, la salida es igual a H( j) e j ; es decir, y() H( j) (3.) x () j x ( ) e Combiado la Ec. (3.) co el pricipio de superposició, se deduce que si x() es ua combiació lieal de señales expoeciales, digamos dode a, a,, so cosaes, eoces x( ) a e a e (3.) j j y( ) a H ( j ) e a H ( j ) e (3.3) j j y H(j ) represea la fució H(j) evaluada e, ec. Geeralizado a la señal compleja e s, la respuesa de u sisema LI a ese ipo de señal, como se verá más adelae, es la misma expoecial compleja modificada por u facor de muliplicació, es decir, e s s H s e (3.4) dode el facor complejo H(s), llamado la fució de rasferecia, será e geeral ua fució de la variable compleja s. Ua señal para la cual la respuesa del sisema es igual a la erada muliplicada por ua cosae (posiblemee compleja) se cooce como ua fució caracerísica del sisema, y el facor de ampliud se cooce como u valor caracerísico. O sea que el valor caracerísico de u s sisema LI de iempo coiuo asociado co la fució caracerísica e esá dado por H(s) cuyo valor lo deermia el valor de s a ravés de la Ec. (3.7) (más adelae). Para mosrar que las expoeciales complejas so e efeco fucioes caracerísicas de los sisemas LI, cosidérese uo cuya respuesa al impulso es h(). Para ua erada x(), se puede deermiar la s salida empleado la iegral de covolució, de maera que si x() e, se iee que

4 64 y( ) h( ) x( ) d ( ) h( ) e s d (3.5) s s e h( ) e d Eoces la respuesa a la exciació expoecial e s es de la forma y s H s e (3.6) dode H(s) es ua respuesa compleja cuyo valor depede de s y que esá relacioada co la respuesa al impulso del sisema por s H ( s) h( ) e d (3.7) Como ya se vio, si x() es ua combiació lieal de expoeciales complejas aplicada a u sisema LI, la respuesa es la suma de las respuesas a cada ua de las expoeciales por separado. E forma geeral, s s a e a H ( s ) e (3.8) Eoces, para u sisema LI, si se cooce los valores caracerísicos H(s ), la respuesa a ua combiació lieal de expoeciales complejas se puede obeer de maera direca. 3. Represeació de Señales Usado Series de Fourier 3.. Señales Periódicas y Combiacioes Lieales de Expoeciales Complejas Ua señal es periódica si para algú valor de diferee de cero la señal obedece la relació x( ) x( ), (3.9) El meor valor de > que saisface la Ec. (3.9) se deomia el período fudameal de x(),, o simplemee el período de x(). Observe que la defiició dada e (3.9) ambié puede escribirse e la forma x( ) x( m ), (3.) dode m es u eero. Esa úlima ecuació simplemee dice que desplazado la señal u úmero eero de períodos hacia la izquierda o hacia la derecha e el eje del iempo o produce cambios e la oda. Como cosecuecia, ua señal periódica se describe compleamee especificado su coduca

5 65 e cualquier período. Ua señal para la cual o exise igú valor de que saisfaga la Ec. (3.9) se deomia o-periódica o aperiódica. El valor se cooce como la frecuecia agular fudameal (e rad/s). Dos señales básicas coocidas so la siusoide y la expoecial compleja periódica (3.) x( ) cos (3.) x() j e (3.3) Esas dos señales so periódicas co frecuecia fudameal y período fudameal f, dode f es la frecuecia fudameal (e Hz). Para la fució x( ) cos y cualquier valor de, se iee que cos cos cos lo que muesra que su período fudameal es. Co la señal de la Ec. (3.3) se ecuera asociado el cojuo de fucioes expoeciales complejas relacioadas armóicamee, j j f e e,,,, (3.4) Cada ua de esas señales iee ua frecuecia fudameal que es u múliplo de y, por lo ao, cada ua de ellas es periódica co período fudameal [auque para el período fudameal de () es ua fracció de ]. Así que ua combiació lieal de expoeciales complejas relacioadas armóicamee de la forma j j f (3.5) x() c e c e es ambié periódica co período. E la Ec. (3.5), el érmio para = es u érmio cosae o CD. Los dos érmios = + y = iee ambos u período fudameal igual a y se cooce como las compoees fudameales o como las primeras compoees armóicas. Los dos érmios para = + y = so periódicos co la miad del período (o, equivaleemee, el doble de la frecuecia) de las compoees fudameales y se les cooce como las compoees de la seguda armóica. Más geeralmee, las compoees para N y = N se cooce como las compoees de la N-ésima armóica. La represeació de ua señal periódica es u especro de líeas obeido mediae ua expasió e serie de Fourier como la de la Ec. (3.5). La expasió requiere que la señal ega poecia

6 66 promedio fiia. Como la poecia promedio y oros promedios emporales so propiedades imporaes de las señales, ahora procederemos a formalizar esos cocepos. Dada cualquier fució x(), su valor promedio para odo el iempo se defie como / x( ) lím x( ) d (3.6) / La oació x() represea la operació de promediar, la cual comprede res pasos: (i) iegrar x() para obeer el área bajo la curva e el iervalo / /; (ii) dividir esa área por la duració del iervalo de iempo, y (iii) hacer que para cubrir odo el iempo. E el caso de ua señal periódica, la Ec. (3.6) se reduce al promedio durae cualquier iervalo de duració, vale decir, (3.7) x( ) x( ) d x( ) d dode es u iempo arbirario y la oació o represea ua iegració desde cualquier valor arbirario hasa +, es decir, iegració por u período compleo. Si x() es el volaje ere las ermiales de ua resisecia R, se produce la corriee i() = x()/r y se puede calcular la poecia promedio resulae, promediado la poecia isaáea x( ) i( ) x ( ) R Ri ( ). Pero o ecesariamee se sabe si ua señal dada es u volaje o ua corriee, así que se ormalizará la poecia supoiedo de aquí e adelae que R =. La defiició de la poecia promedio asociada co ua señal periódica arbiraria se coviere eoces e P x( ) x( ) d (3.8) dode se ha escrio x() e lugar de x () para permiir la posibilidad de modelos de señales complejas. E cualquier caso, el valor de P será real y o egaivo. Cuado la señal e la Ec. (3.8) exise y da como resulado que < P <, se dice que la señal x() iee ua poecia promedio bie defiida y se deomiará ua señal de poecia periódica. Casi odas las señales periódicas de ierés prácico cae e esa caegoría. El valor promedio de ua señal de poecia puede ser posiivo, egaivo o cero, pero esá acoado por x() P valor que proviee de la relació iegral x( ) d x( ) d Alguos promedios de señales puede deermiarse por ispecció, usado la ierpreació física del promedio. Como u ejemplo específico, cosidérese la siusoide para la cual x( ) Acos( )

7 67 A x( ), P La eergía disipada por la señal x () e el iervalo de iempo (/, /) esá dada por E x() d (3.9) Se dice que ua señal x() cualquiera es ua señal de eergía si y sólo si < E <, dode E lím x( ) d (3.) 3.. Series de Fourier La represeació de ua señal periódica e la forma de la Ec. (3.5) se cooce como la represeació e serie de Fourier. Específicamee, sea x() ua señal de poecia co período f. Su expasió e ua serie de Fourier expoecial es j j f (3.) x() c e c e Si x() es ua fució real, eoces x*() = x() y, por ao, x*( ) x( ) c e Reemplazado por e la sumaoria, se iee que x() c e j j la cual, al compararla co la Ec. (3.), requiere que c, o, e forma equivalee, que c c c (3.) Ahora se deermiará los coeficiees a. Muliplicado ambos lados de (3.) por j e, se obiee j j j x() e c e e (3.3) Ahora se iegra ambos lados de esa relació desde hasa = / y se obiee

8 68 j j j ( )e x d c e e d dode es el período fudameal de x(). Iercambiado el orde de la iegració y la sumaoria, da x e d a e d j o j ( ) () (3.4) Aquí se esá supoiedo que las codicioes sobre la iegració y la serie so ales que permie el iercambio. Para, j ( ) j ( ) j ( ) e d e e j( ) j( ) pueso que j ( ) e ( y so eeros). Si =, eoces d y, por ao, el lado derecho de la Ec. (3.4) se reduce a c. Por cosiguiee, j j f c x( ) e d x( ) e d (3.5) la cual es la relació buscada para deermiar los coeficiees. La iegració e (3.5) es para cualquier iervalo de logiud. A la Ec. (3.) a meudo se le refiere como la ecuació de síesis y a la Ec. (3.5) como la ecuació de aálisis. Los coeficiees {c } se cooce como los coeficiees de la serie de Fourier de x() o los coeficiees especrales de x(). Pueso que, e geeral, los coeficiees so caidades complejas, se puede expresar e la forma polar c c e jarg a Así que la Ec. (3.) expade ua señal periódica como ua suma ifiia de fasores, siedo el érmio -ésimo. c e c e e j jarg a j Obsérvese que x() e la Ec. (3.) cosise de fasores co ampliud c y águlo arg(c ) e las frecuecias =,,,. De aquí que el gráfico correspodiee e el domiio de la frecuecia sea u especro de líeas bilaeral defiido por los coeficiees de la serie. Se da u mayor éfasis a la ierpreació especral escribiedo c( ) = c

9 69 al que a represea el especro de ampliud e fució de f u y arg[c( )] represea el especro de fase. La Ec. (3.) da ua propiedad especral imporae para señales de poecia periódicas reales. Oras dos propiedades imporaes para señales de poecia periódica so:. odas las frecuecias so úmeros eeros múliplos o armóicos de la frecuecia fudameal / f. Así que las líeas especrales iee ua separació uiforme (o f ).. La compoee CD es igual al valor promedio de la señal, ya que al hacer = e la Ec. (3.5) da c x( ) d x( ) (3.6) ambié, de la Ec. (3.) se deduce que para x() real, eoces y así se obiee ua ercera propiedad: c c c e * jarga 3. arg arg c c c c (3.7) lo cual sigifica que el especro de ampliud iee simería par y el de fase simería impar. La propiedad dada por la Ec. (3.) para señales de valores reales permie reagrupar la serie expoecial e pares de cojugados complejos, excepo por a, e la forma siguiee: m jm jm m m x() c c e c e m m j j c c e c e c c e c e c Esa úlima ecuació puede escribirse como Re j j c e j c Re c cos Im c se x( ) a a cos b se (3.8) La expresió para x() e la Ec. (3.8) se cooce como la serie rigoomérica de Fourier para la señal periódica x(). Los coeficiees c y d esá dados por

10 7 a c x() d a Re c x d ( )cos (3.9) b Im c x( )se d E fució de la magiud y la fase de c, la señal de valores reales x() puede expresarse como dode y x( ) c c cos arg a cos (3.3) c A A c (3.3) arg c (3.3) La Ec. (3.3) represea ua forma alera de la serie de Fourier que es más compaca y más clara que la Ec. (3.8) y se cooce como la forma armóica de la serie de Fourier de x(). Cada érmio e la serie represea u oscilador ecesario para geerar la señal periódica x(). Los coeficiees de la serie de Fourier de ua señal se muesra e u cojuo de dos gráficas e el domiio de la frecuecia, los especros de líeas. Ua gráfica de c y arg(c ), líeas, versus o (f ) para valores posiivos y egaivos de o (f ) se deomia u especro bilaeral de ampliud o de fase. La gráfica de A y versus o (f ) para posiiva se deomia u especro uilaeral. Se debe señalar que la exisecia de ua líea e ua frecuecia egaiva o implica que la señal esé formada por compoees de frecuecias egaivas, ya que co cada compoee c exp(j ) esá asociada ua correspodiee de la forma c exp( j ). Esas señales complejas se combia para crear la compoee real a cos bse. Ejemplo. Cosidere la señal x( ) se cos cos( 4) Aquí se podría aplicar la Ec. (3.8) para obeer los coeficiees de la serie de Fourier. Si embargo, para ese caso es más secillo expadir las fucioes siusoidales como ua combiació lieal de expoeciales complejas e ideificar por ispecció los coeficiees de la serie; así eemos que j j j j j ( / 4 ) j ( / 4 ) x( ) e e e e e e j

11 7 Agrupado érmios se obiee j/ 4 j/ 4 j j x( ) e e e e e e y los coeficiees de Fourier para ese ejemplo so j j j j c c j j c j/4 4 c e ( j) j/4 4 c e ( j) c, E la Fig. 3. se grafica la magiud y la fase de c. j j c c Figura 3. Ejemplo. re de Pulsos Recagulares Cosidérese el re periódico de pulsos recagulares e la Fig. 3.. Cada pulso iee ua alura o ampliud A y ua achura o duració. Hay discoiuidades escaloadas al comiezo y al fial de cada pulso e, ec., de maera que los valores de x() o esá defiidos e esos puos de discoiuidad. Eso poe de maifieso ora posible diferecia ere ua señal física y su modelo maemáico, ya que ua señal física uca hace ua rasició escaloada perfeca. Si embargo, el modelo odavía puede ser razoable si los iempos de rasició efecivos so pequeños e comparació co la duració del pulso. Para calcular los coeficiees de Fourier, se oma como iervalo de iegració e la Ec. (3.5) el período ceral, dode A, / x(), /

12 7 x() A Figura 3. Eoces, j j c x () e d Ae d A j e A se ( ) e j j (3.33) Aes de coiuar co ese ejemplo, se derivará ua expresió que aparece repeidamee e el aálisis especral. Esa expresió es la fució sic defiida por se sic (3.34) La Fig. 3.3 muesra que la fució sic es ua fució de que iee su valor pico e = y sus cruces co cero esá e odos los oros valores eeros de, así que sic,, E érmios de la fució defiida por la Ec. (3.34), la úlima igualdad e la Ec. (3.33) se coviere e dode = f. c A sic A sicf

13 73 sic. 3 3 Figura 3.3 El especro de ampliudes para c( f) c Af sic( f ) se muesra e la Fig. 3.4a para el caso / = f = /4. c( f ) Af f 3 f (a ) arg[ c( f )] 8 3 f 8 (b) Figura 3.4. Especro del re de pulsos recagulares co fc 4. (a) Ampliud; (b) Fase. Esa gráfica se cosruye dibujado la fució coiua Af f sic como ua curva pueada, la cual se coviere e la evolvee de las líeas. Las líeas especrales e 4f, 8f, ec., o aparece, ya que ellas cae a cero precisamee e múliplos de / dode la evolvee es igual a cero. La compoee CD iee ampliud c() = A/, lo que debe recoocerse como el valor promedio de x() a parir ua ispecció de la Fig. 3.. Icidealmee, / es la relació ere el iempo cuado la oda es diferee de cero y su período, y frecueemee se desiga como el ciclo de rabajo e la elecróica de pulsos.

14 74 El especro de fase e la Fig. 3.4b se obiee observado que a es siempre real pero alguas veces egaiva. Por lo ao, arg[c(f )] oma los valores y 8, depediedo del sigo de sic(f. Se usó +8 y 8 para resalar la simería impar de la fase. Ejemplo 3. El Recificador de Media Oda U volaje siusoidal Ese se pasa por u recificador de media oda que elimia la porció egaiva de la oda, como se muesra e la Fig Ese ipo de señales puede ecorarse e problemas de diseño de recificadores. E x() Ese Figura 3.5 La represeació aalíica de x() es, cuado x () E se, cuado < < y x( + / ) = x(). Como x() = cuado / < <, de la Ec. (3.5) obeemos c E se exp j d / E exp j exp j exp j d j / E exp j exp j d E exp j j j exp exp ( ) E cos / exp j /, ( ) (3.35)

15 75 E, par ( ), impar, (3.36) Haciedo =, se obiee la compoee CD o el valor promedio de la señal periódica como c E. El resulado puede verificarse calculado el área bajo medio ciclo de ua oda seo y dividiedo por. Para deermiar los coeficiees a y a que correspode a la primera armóica, observe que o se puede susiuir = e la Ec. (3.36), pueso que ello produce ua caidad ideermiada. E su lugar usamos la Ec. (3.35) co = lo cual resula e c E E y c 4 j 4 j Los especros de líeas de x() se muesra e la Fig E/5 E/3 E/ E/ E/ E/3 c E/ (a) c (b) Figura Codicioes para la Covergecia de las Series de Fourier Hemos viso que ua señal periódica puede ser aproximada por u úmero fiio de érmios de su serie de Fourier. Pero coverge la serie ifiia a x()? Para eeder mejor la cuesió de la validez de las represeacioes mediae series de Fourier, cosidérese primero el problema de aproximar ua señal periódica x() dada, por ua combiació lieal de u úmero fiio de expoeciales complejas relacioadas armóicamee, es decir, por ua serie fiia de la forma N j (3.37) N x () c e Deoe por e N () el error de la aproximació, el cual esá dado por N

16 76 N N ( ) ( ) N ( ) ( ) j (3.38) N e x x x c e Para deermiar la bodad de cualquier aproximació e paricular, es ecesario especificar ua medida cuaiaiva del amaño del error de la aproximació. El crierio que se usará es el de la magiud oal del error al cuadrado e u período: (3.39) E e d e e d * N N ( ) N ( ) N ( ) E geeral, para cualquier señal z(), la caidad, defiida aeriormee, b E z() d a es la eergía e z() e el iervalo de iempo a b. Esa ermiología es moivada por el hecho de que si z() correspode, por ejemplo, a la corriee que fluye e u resisor de, eoces E es la eergía oal disipada e el resisor durae el iervalo de iempo a b. Co respeco a la Ec. (3.39), E N represea eoces la eergía e el error de aproximació durae u período. Ahora se procederá a demosrar que la escogecia paricular para los coeficiees c e la Ec. (3.37) miimiza la eergía e el error (error cuadráico) y da para los coeficiees: (3.4) j c x() e d Supoga que se iee la fució f() y que se desea represearla mediae u cojuo de fucioes e el iervalo fiio [, ]. Supoga ambié que esas fucioes (), (),, () so orogoales e el iervalo [, ], es decir,, i j i ( ) j ( ) d i, i j (3.4) La represeació de f() e [, ] es ua combiació lieal de las fucioes i (), i,,,, es decir, f ( ) c ( ) c ( ) c ( ) (3.4) E la Ec. (3.4) o aparece el sigo de igualdad debido a que, e geeral, la represeació i cii () (3.43) coiee algú error. Se desea que la represeació o aproximació esé cerca de f(). Uo de los crierios más uilizados para elegir ua aproximació es el de miimizar el error cuadráico ere el valor real de f() y la aproximació (3.43). Es decir, las c i, i =,,,, se elige para miimizar la caidad

17 77 EC f ( ) cii ( ) d (3.44) i Evideemee, el iegrado de (3.44) es el error cuadráico. La iegral da el error cuadráico e el iervalo [, ]. La Ec. (3.44) se puede escribir como EC f ( ) c ( ) c ( ) c( ) d f ( ) c ( ) c ( ) c ( ) c ( ) f ( ) c ( ) f ( ) c ( ) d (3.45) ( ) d c c c c c f c dode i, i =,,,, se defie como Ahora se complea el cuadrado de cada uo de los érmios c, es decir, i i i f ( ) i ( ) d (3.46) c, sumado y resado i i i i i ci i ci i ci i i i (3.47) i y la expresió dada por (3.44) se puede escribir como i () i i i i (3.48) i i i EC f d c Segú la Ec. (3.44), es evidee que el EC es siempre mayor o igual a cero; es decir, EC. E la Ec. (3.48), se observa que la relació para el EC oma su meor valor cuado Es decir, los coeficiees c i se debe elegir como i ci i, i,,, i c i i i f ( ) ( ) d * i ( ) i ( ) i d (3.49)

18 78 j Para el caso de la expasió de Fourier, las fucioes i () correspodería a las expoeciales e (cambiado i por ), el iervalo [, ] correspodería al período y c i correspodería a c. Comparado la Ec. (3.4) co la Ec. (3.5), vemos que la primera es idéica a la expresió usada para deermiar los coeficiees de la serie de Fourier. Eoces, si x() iee ua represeació e serie de Fourier, la mejor aproximació usado sólo u úmero fiio de expoeciales complejas relacioadas armóicamee se obiee rucado la serie de Fourier e el úmero deseado de érmios. Coforme N aumea, se añade uevos érmios pero los aeriores permaece ialerados y E N dismiuye. Si, efecivamee, x() iee ua represeació e serie de Fourier, eoces el límie de E N coforme N es cero. Pogamos aeció ahora al problema de la validez de la represeació mediae series de Fourier de señales periódicas. Para cualquiera de esas señales se puede iear obeer u cojuo de coeficiees de Fourier mediae el uso de la Ec. (3.5). Si embargo, e alguos casos la iegral e la Ec. (3.5) puede divergir; es decir, el valor de las c puede ser ifiio. Aú más, si odos los coeficiees de la Ec. (3.5) so fiios, cuado esos coeficiees se susiuye e la ecuació de síesis (3.), la serie ifiia resulae puede o coverger hacia la señal origial x(). Si embargo, sucede que o hay dificulades de covergecia si x() es coiua. Es decir, oda señal periódica coiua iee ua represeació e serie de Fourier al que la eergía E N e el error de aproximació iede a cero coforme N. Eso ambié es válido para muchas señales discoiuas. Pueso que será de mucha uilidad usar señales discoiuas, ales como la oda cuadrada del Ejemplo, es imporae cosiderar co más dealle el problema de la covergecia. Se discuirá dos codicioes algo diferees que debe cumplir ua señal periódica para garaizar que pueda ser represeada por ua serie de Fourier. E muchos problemas prácicos se os da la fució x() y la usamos para cosruir ua serie de Fourier. Por cosiguiee, esaremos ieresados e eoremas que os diga algo bueo sobre la expasió e serie de x, co al que x a su vez sea buea e algú seido. U eorema ípico de esa clase es el siguiee: Si x() iegrable e el iervalo (, ), su serie de Fourier covergerá a x() e cualquier puo ( < < ) dode x() sea difereciable. Observe que el eorema o dice ada sobre qué sucede e los puos exremos. odo lo que dice es que si < < y si x'( ) exise cuado =, eoces la serie coverge cuado = y su suma es x( ). Ua clase de fucioes periódicas represeable mediae series de Fourier es aquella que icluye señales cuyo cuadrado es iegrable sobre u período. Es decir, cualquier señal x() e esa clase iee eergía fiia e u solo período: x() d (3.5) Cuado se cumple esa codició, se garaiza que los coeficiees a obeidos a parir de la Ec. (3.4) so fiios. Adicioalmee, sea x N () la aproximació a x() usado esos coeficiees para N, es decir, N j (3.5) N x () c e N Eoces, se cumple que lím E, dode E N se defie e la Ec. (3.39). Es decir, si defiimos N N

19 79 se obiee que j (3.5) e( ) x( ) c e e( ) d (3.53) Como se verá e u ejemplo más adelae, la Ec. (3.53) o implica que la señal x() y su represeació e serie de Fourier j ce (3.54) sea iguales para odo valor de. Lo que ella dice es que su diferecia o coiee eergía. U cojuo alero de codicioes, desarrolladas por Dirichle, y ambié cumplidas por esecialmee odas las señales que os ieresa, garaiza que x() será efecivamee igual a su expasió, excepo e valores aislados para los cuales x() es discoiua. E esos valores de, la serie ifiia de (3.54) coverge al valor promedio de la discoiuidad; es decir, si x () iee ua discoiuidad e, la serie coverge al valor dado por x( ) x( ) lím Las codicioes de Dirichle para la expasió e serie de Fourier so: Si ua fució periódica x() es acoada, iee u úmero fiio de máximos, míimos y discoiuidades por período, y si x() es absoluamee iegrable e cualquier período, es decir, x() d (3.55) eoces la serie de Fourier exise y coverge uiformemee dodequiera que x() sea coiua. Dicho de ora forma, si ua fució periódica x() es coiua por ramos, eoces es iegrable e el seido dado por la Ec. (3.55) e cualquier iervalo de logiud fiia y, e especial, e uo de logiud, y coverge a x() dodequiera que la fució sea coiua y a x x e odo puo dode posea ambas derivadas por la derecha y por la izquierda. Véase eorema más adelae. Ahora bie, si la señal x() es absoluamee iegrable o cuadrado iegrable, la serie exhibe ua coduca coocida como el feómeo de Gibbs e los puos de discoiuidad. La Fig. 3.7 ilusra esa coduca para ua discoiuidad de ipo escaló e =. La suma parcial x N () coverge al puo medio de la discoiuidad, lo cual parece muy razoable. Si embargo, a cada lado de la discoiuidad, x N () iee sobrepasos oscilaorios co período /N y valor pico de aproximadamee 8% de la alura del escaló e idepediee de N. Así que, coforme N, las oscilacioes colapsa formado picos deomiados lóbulos de Gibbs por ecima y por debajo de la discoiuidad. Pueso que ua señal real debe ser coiua, el feómeo de Gibbs o ocurre y eemos jusificació para raar a x() y su represeació e serie de Fourier como idéicas; pero modelos de señales

20 8 idealizadas como, por ejemplo, el re de pulsos recagulares, sí iee discoiuidades. Por lo ao, se debe eer cuidado co la covergecia cuado se rabaja co esos modelos. x N().9A A /N A/ Figura 3.7 Feómeo de Gibbs e ua discoiuidad de ipo escaló. Las codicioes para la covergecia de ua serie de Fourier se resume e el eorema que se dará a coiuació, si demosració, pero aes se defiirá alguos érmios que se ecesia para su exposició. Se dice que la fució x() es suave e el iervalo [a, b] si posee ua derivada coiua e a, b. E leguaje geomérico, eso sigifica que la direcció de la agee cambia coiuamee, si salos, coforme se mueve a lo largo de la curva y = x(). La fució x() es suave por ramos e el iervalo [a, b] si x() y su derivada so ambas coiuas e [a, b], o ellas iee u úmero fiio de discoiuidades de salos e [a, b]. Se dice que ua fució x() coiua o discoiua defiida e odo el eje es suave por ramos si es suave por ramos e odo iervalo de logiud fiia. E paricular, ese cocepo es aplicable a fucioes periódicas. oda fució x() suave por ramos (bie sea coiua o discoiua) esá acoada y iee ua derivada acoada e odas pares, excepo e sus salos y puos de discoiuidad [e odos esos puos, x'() o exise]. EOREMA Si x() es ua fució absoluamee iegrable de período y es suave (posee derivada coiua por ramos) por ramos e el iervalo [a, b], eoces para odo e a < < b, la serie de Fourier de x() coverge a x() e los puos de coiuidad y al valor x( ) x( ) e los puos de discoiuidades (la covergecia puede fallar e = a y = b).

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