RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 A.4. TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTUO RESOUCIÓN DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE Cáedra de Teoría de Circuio I Edició 03

2 RESOUCION DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE.. Iroducció El cálculo de eioe y corriee e ua red reiiva a la cual e aplica ua ciera exciació e u procedimieo muy ecillo. Ya o lo e ao e rede que ambié coiee elemeo almaceadore de eergía, como C y, cuya caraceríica volampere eá defiida mediae derivada (v di/d, i C dv/d). a ecuacioe reulae o iegrodifereciale, y u olució requiere u efuerzo mayor, pudiédoe reolverla por el deomiado méodo cláico, o por aplicació de la raformada de aplace, cuya uilizació e má imple. E ee capíulo veremo la raformació de aplace y u aplicació a la reolució de circuio co elemeo R, y C. a aplicació de la raformada de aplace o permiirá ambié geeralizar la exciació de lo circuio, y hallar propiedade que o muy úile para la olució de umeroo problema de igeiería. Veremo que la raformació de aplace e ua geeralizació del cocepo de faor: el faor A e el úmero complejo aociado a la eoide A co (ω ϕa), miera que la raformada de aplace aocia ua fució compleja de la variable, llamada F(), co ua fució dada del iempo, f(), defiida e el iervalo [0, }. a raformada de aplace juega u papel muy imporae relacioado el comporamieo emporal co el comporamieo frecuecial de lo circuio lieale ivariae e el iempo.. a raformada de aplace a variable v() e i() o "variable emporale', e decir, e mide e el domiio emporal, e u iae de iempo paricular, uado volímero y amperímero, o puede viualizare e u ocilocopio. Podemo aí obeer iformació obre la mima a parir de u rabajo experimeal. Por lo ao, idepedieemee del méodo que uemo para reolver u problema, veremo o ierprearemo mejor el reulado fial e fució de lo que ocurra e el domiio emporal. Para llegar a la olució podremo, i embargo, dejar el domiio emporal por u iempo, y reorar luego a él para ierprear lo reulado. a raformada de aplace de la fució f() defiida e [0, ) ea dada por: 0 { } F() f () f() e d () Debido a que lo límie de iegració o 0 y, la raformada de f() o e ua fució del iempo io de, la cual e iroduce a ravé del facor e. a variable e deomia variable frecuecia compleja. a fució raformada, F(), e ua fució e el domiio de la frecuecia compleja, o, má brevemee, e el domiio frecuecial. Deigaremo la fucioe e el domiio emporal co miúcula, f y e el domiio frecuecial co mayúcula F.

3 Siedo que e ua variable compleja, u pare real e imagiaria e deigará co σ y ω, repecivamee, de dode: σ j ω σ real y ω real Podemo viualizar como u puo e el plao complejo, iedo σ la abcia y ω la ordeada. E la iegral de (), e la variable de iegració, y e omó como límie iferior 0 de forma que, i f() icluye u impulo e el orige, quede dero del iervalo de iegració. E el cao de que f() fuera ua fució de variable compleja (por ejemplo, e ( α j β ) ), por Euler puede reducire a ua combiació de fucioe de variable real. Tambié e obreeiede que σ e lo uficieemee grade y poiivo como para que e σ decaiga rápidamee y la iegral coverja, e decir, para que el área bajo la curva f() e σ ea fiia. Para que ea raformable, ua fució debe er eccioalmee coiua y de orde expoecial. Si f() coiee olo u úmero fiio de dicoiuidade fiia ailada, e eccioalmee coiua. Si, para M coae poiiva y γ o real, f() < M e γ cuado, f() e de orde expoecial. Si bie la mayoría de la fucioe aociada co lo circuio reale o raformable, podemo i embargo, geerar ua fució que o lo ea. E efeco, f() e o puede raformare porque o e expoecial, dado que o exie M y γ ale que f() < M e γ cuado. uego de la raformació, la do variable elécrica v() e i() e vuelve V() e I(), y eá dada por: V () e v() d I() e 0 0 i() d co lo cual reula fucioe de, y o podemo viualizarla e u ocilocopio. Si embargo, podemo rabajar co ella e el domiio frecuecia, y apreder a uarla y au relacioar u propiedade e el domiio frecuecial co la del domiio emporal. Ua fució exciació muy frecuee e e. Si σ e real, egú u igo repreeará u decaimieo expoecial (σ <0), ua coae (σ 0) o u crecimieo (σ >0). Fig.

4 3 Supoiedo que la exciació e σ v( ) e μ ( ), podrá repreeare como igue: (a) (b) (c) Fig. Si acepamo que ea u o complejo, e poible geerar eoide amoriguada expoecialmee, eoide pura, o eoide creciee expoecialmee: a) e j j b) e j c) e j la cuale e grafica e la fig. 3: (α jβ) α jβ ) e j β e j e j ( α jβ) jβ ( α jβ ) e e β e α α e β e β Fig. 3 a raformada de aplace de la fució exciació e obiee por aplicació de la ec. ().

5 4 e k ( k ) k ( k ) e e e d d k 0 0 El expoee (k) e complejo. Si embargo, pedimo que Re{k} ea < 0. Como reulado, e 0 () e (k) 0 cuado. E el límie iferior: e (k) /k / k por lo que la ecuació () e implifica a: k [ e ] (3) k Si k 0, la ecuació (3) e reduce a: [ ] (4) reulado imporae y muy uado, dado que repreea la raformada de aplace de la fució ecaló uiario de la fig. b, la cual, al como vimo e el capíulo 6, repreea la aplicació a u circuio de ua eió coiua de Vol o de ua corriee coiua de A e u iempo 0. Coideremo la ecuació (). Si vemo ambo miembro como fucioe de k, podemo derivarla repeco a k para obeer uceivamee: k [ e ] ( k ) [ e k ] 3 ( k ) Por iducció e puede demorar que, para cualquier eero poiivo e:! [ e k ] ( k ) Ora fució ampliamee uada e la eoide. Dado que podemo exprear ao el eo como el coeo e fució de expoeciale, reula: ω [e ω] ω [ co ω] ω Oro ejemplo que podemo ver e el de la fució f() δ() (impulo e el orige) de la cual

6 5 queremo hallar la raformada. Aproximamo el impulo por el pulo recagular de área uiaria: p Δ Δ ( ) 0 0 Δ e cualquier oro puo Uado p Δ () e la defiició de raformada, obeemo: Δ Δ p ( ) e d e d Δ e 0 Δ Δ Δ 0 0 e Ahora hacemo Δ 0, eoce p Δ () δ() y {p Δ ()} {δ()}: {δ()} lim Δ 0 ( e Δ )/ Δ lim Δ 0 ( Δ Δ...)/ Δ Ora forma de verlo e mediae la aplicació de la defiició: Δ 0 0 ( 0 ) F () δ ( ) e d δ ( ) e d e 0 (5).3 Propiedade y regla operacioale. Al uar la raformació defiida por la ecuació podemo dearrollar cico regla operaiva ecearia para obeer la olució e el domiio frecuecial de ecuacioe difereciale lieale a coeficiee coae. Se upoe que la fució e eudio e raformable. Propiedad : Uicidad a raformada eablece ua correpodecia uo a uo ere la fució emporal f() defiida e el iervalo [0, ) y u raformada F(). Eo e u eorema imporae de Aálii Maemáico, el cual o probaremo, pero que e exremadamee úil, ya que o permie raformar u problema e el domiio emporal e uo e el domiio frecuecial, reolverlo e el domiio frecuecial y volver al emporal. a uicidad garaiza que el procedimieo coduce a la olució del problema origial. Regla : Si f () y f () o fucioe del iempo, luego: {f () f ()} F () F () E decir, la raformada de la uma de do fucioe e igual a la uma de la

7 6 raformada de cada ua de ella. Regla : Si a o e ua fució de, eoce: {a f()} a {f()} a F() a regla y o permie euciar la iguiee propiedad: Propiedad : iealidad {c f () c f ()} c {f } c {f ()} c F () c F () co c, c coae reale o compleja cualequiera. Su demoració e baa e la propiedade de liealidad de la iegral. Regla 3: d f() F() f( 0 ) d upueo que d f()/ d e raformable, y, e forma implícia, que f() e derivable. E paricular, i f() poee ua dicoiuidad e 0, o poee derivada e 0. Si embargo, podemo uar la ecuació 6 i e oma la derivada por izquierda: e cuyo cao f(0) e oma como f(0 ). d f ( d ) 0 Si o hay codicioe iiciale, f(0 ) 0, eoce la ecuació 6 e reduce a: d f ( ) F ( ) d co lo que la derivació repeco de e el domiio emporal igifica muliplicar por e el domiio frecuecial. (6) (7) Regla 4: d f ( ) F( ) f ( 0 ) f ( 0 ) d (8) dode f'(0 ) e la derivada de f() repeco a evaluada e 0. Ee reulado upoe que d f()/d e raformable, y e obiee fácilmee aplicado la ecuació (6) a f (). Regla 5: f( τ ) dτ F() (9) 0 E decir, la iegració repeco a e el domiio emporal e raduce e ua diviió por e el domiio frecuecial. Ejercicio: Demorar que:

8 7 d f() a) F() f(0) d b) f( τ ) dτ F() 0.4 Traformació de ecuacioe difereciale Coideremo la ecuació diferecial de º orde lieal a coeficiee coae: d f() df() a a ao f() g() (0) d d o facore a y g () o coocido, y el problema coie e hallar la olució de la ecuació, o ea f(). Supoemo que g() y f() o raformable, co G() y F() u raformada. Mediae la regla dada aeriormee, raformaremo la ecuació aerior: d f() df() { a ()} {g()} a aof d d d f() df() { a } { a } { aof ()} {g()} d d () d f() df() a { } a { } ao {f()} {g()} d d a [ F() f(0) f (0)] a [ F() f(0)] ao F() G() uego, la ecuació diferecial 0 e ha raformado e la ecuació algebraica (), que puede reolvere para la raformada de la olució deeada. G() a [f(0) f (0)] a F() a a ao f(0) () Si oda la codicioe iiciale o ula, o ea f(0) f' (0) 0, eoce la ecuació e reduce a: G() F() a a a0 que e la olució e el domiio frecuecial de la ecuació diferecial co codicioe iiciale ula. Para volver al domiio emporal debemo hallar la raformada ivera de F(), o ea: f() {F()} G() { } a a a0 Por el momeo, o limiaremo a obeer la raformada de la olució deeada, y poeriormee veremo cómo obeer la raformada ivera. Ejercicio de aplicació:

9 8 ) Hallar la Traformada de aplace de la iguiee fucioe: a) f a () (3.e e ).μ() b) f b () ( 3 ). μ() c) f c () [.e 4.e.co(3)].μ() d) f d () (8.e e 000. ).μ() e) f e () coh().μ() Ra: a) 3 ( S) S S F a b) c) 4( S ) F c ( S) d) S S e) Fe ( S) S S ( S ) 9 6 F b ( S) 4 3 S S S S F d ( S) S S ) Hallar la raformada de aplace de la iguiee ecuacioe difereciale: a) d 3 v( ) 3v( ) e μ( ) ; v(0) d b) d d 5 v( ) 3 v( ) v( ) e(6). μ( ) ; v(0) ; v(0) & 3 d d c) y de la iguiee fució: f ( ).[ μ( ) μ( )] Ra: a) ( 3/ 4) V ( S) b) ( 3).( 3/ ) F( S) e e S S V(S). c) 5 ( 36)( 0,4)( ).5 Traformació de la leye de Kirchhoff y relacioe volampere. E el domiio emporal, la leye de Kirchhoff de eió y de corriee o: Σ i() 0 Σ v() 0 e cada uo de lo udo del circuio para cada camio cerrado del circuio E el domiio raformado reula: Σ I() 0 Σ V() 0 Si aalizamo lo elemeo imple, R, y C, vemo que: e ua reiecia, la ley de Ohm e el domiio emporal e: v() R i()

10 9 y e el domiio : V() R I() e u capacior, e: i() C dv()/d ó v() γ i( τ) dτ C dode γ repreea la codició iicial de eió, o ea γ v(0). Traformado, reula: 0 I() C[ V() v(0 ) ] I() C[ V() γ ] γ (3) ó V() I() C (4) a ecuacioe (3) y (4) o equivalee. E paricular, i v(0) 0, eoce la ecuació (4) e reduce a: V() I() (5) C expreió de la eió e u capacior co codicioe iiciale ula, iedo del capacior e el domiio raformado. la reacacia C e ua iducacia erá: di v() d Traformado obedremo: i v( τ) dτ i(0) (6) 0 i(0) V() I() i(0) I() V() (7) Si i(0) 0, eoce: I() V() V() I() (8) iedo la reacacia del iducor e el domiio raformado. E forma geérica, la impedacia e imboliza co Z() y la admiacia co Y(), iedo: Y ( ) de dode: V() I() Z() I() V() Y() Z( ) I() V() Z ó Y Fig. 4 Vemo aí que e ecearia ua ola ecuació, V() I() Z() ó I() V() Y() para decribir

11 0 la propiedade e bore de ua reiecia, iducacia o capacidad, y e ea geeralidad la que hace a úil el cocepo de impedacia (o admiacia), a lo cual e agrega el hecho de que oda la relacioe e el domiio frecuecial o algebraica, o eceiádoe i iegrale i derivada e la expreioe. Tal como hicimo la repreeació gráfica de la codicioe iiciale e el domiio emporal, podemo hacer dicha repreeacó e el domiio frecuecial, co lo que eemo: v c0 v c0 v c0 /C C vc0 C i o i o i o / emporal Fig. 5 frecuecial.6 Traformació de ecuacioe de rede Para ver cómo e aplica el méodo a la reolució de circuio, coideremo la red de la fig. 6a. Vo() Vo() Vi() i () C i () R Vi() i () /C i () R (a) (b) Fig. 6 Por implicidad, la codicioe iiciale o ula, y queremo hallar V o (). Aplicaremo el méodo de malla, y ecribiedo la ecuacioe por ipecció llegamo a: d i d C 0 C 0 i( τ ) d τ C i( τ ) d τ R i ( ) C 0 i ( τ ) d τ vi 0 i ( τ ) d τ 0 (9) Traformado, y recordado que v(0) 0, i (0) 0, erá:

12 I ( ) I ( ) I ( ) V i ( ) C C I ( ) R I ( ) I ( ) 0 C C dode V i () e la raformada de v i (). Ordeado, erá: ( ) I ( ) I ( ) V i ( ) C C I ( ) (R ) I ( ) 0 C C (0) la cuale pudiero haber ido ecria direcamee por ipecció del circuio raformado de la figura 5b. El deermiae de (0) e: C C R Δ ( ) () RC C R C C Vemo que odo lo érmio o poiivo, el cual e iempre el cao e que la fuee o oda idepediee. V i ( ) ( ) Δ C I Δ R ( ) R C C R C V i ( ) ( ) R C C Para hallar V o () debemo hallar primero I (). Como V o () I () R eemo: ( ) C V o V i ( ) () ( ) R C C Si lo hubiéemo reuelo por udo, hubiera ido: V o ( ) [ C ] V i ( ) R 0 A parir de la cual, depejado V o (), llegamo a la ecuació ().

13 Comeario: Supogamo eer u circuio erie RC, co codicioe iiciale ula, alimeado co ua exciació e() Im (E e jω ). E ea codicioe, edremo: ecuació faorial: ecuació raformada: I & [ R j ( ω I ( ) [ R C ω C ] E& ] E ( ) Vemo que amba ecuacioe iee exacamee la mima forma, excepo que jω ha ido reemplazado por. Si embargo, amba poee igificado diferee. a ecuació faorial relacioa el faor aociado a la exciació E co el faor I que repreea la repuea e régime permaee eoidal del circuio. a ecuació raformada vicula la raformada de la fució exciació E() co la fució I(), la cual repreea la raformada de la repuea co codicioe iiciale ula de la erada e(), co lo cual e oa la geeralidad, ya que e() puede er cualquier fució raformable..7 Impedacia y admiacia Hemo vio que la impedacia de u reior e R, y u admiacia G / R; e u iducor Z(), Y() /, y e u capacior Z() /C, Y() C. Geeralizaremo ahora eo reulado, defiiedo la impedacia raformada. Para ello, coideraremo ua red de do ermiale que coiee reiecia, iducacia y capacidade coecada de cualquier maera, pero que o coiee fuee de igú ipo, i u elemeo poee codicioe iiciale. I() V(S) R C Fig. 7 a variable erá deigada V() e I(). Aí, la impedacia y la admiacia e el domiio raformado e defie como: V ( ) Z ( ) I ( ) Y ( ) I ( ) V ( ) Y dado que amba variable o fució de, la impedacia y la admiacia o fucioe de la variable. NOTA: Ya ea que la impedacia o la admiacia de erada a u circuio e calcule de forma

14 aalíica o a ravé de la aplicació de ua eió (o corriee) y la medició de la corriee (o eió) reulae para luego proceder a efecuar u cociee, e deberá cuidar que la red eé oalmee paivada. 3.8 Coexió erie y paralelo de impedacia. E la figura 8a vemo do impedacia Z y Z coecada e erie. a corriee que circula por amba e la mima, por lo que la eió e bore de la combiació Z Z erá: V V V I Z I Z I (Z Z ) I Z eq Z eq Z Z E decir, la impedacia equivalee erá la uma de la do impedacia. Aí, para el cao morado e la figura 8b, la impedacia ere y e: Z eq Z Z ( ) eq V I Z Z V V I Z eq Z Z Z eq V (a) (b) C C C.C (c) C C Fig. 8 y e la figura 8c, la impedacia equivalee ere y e: Z eq C C C C C C C co lo cual ere lo bore () y () vemo ua capacidad equivalee C eq C C /C C. Si e coeca e erie impedacia, la impedacia equivalee erá: eq Z eq Z Z... Z o ea, la uma de la impedacia idividuale. E la figura 9a, Z y Z eá coecada e paralelo, omeida amba a igual d.d.p. a corriee por la combiació Z Z e paralelo e:

15 4 I I V Y V Y V (Y Y ) V Y eq Y eq Y Y (3) Dado que la admiacia e la ivera de la impedacia, la ecuació (3) puede ecribire como: Y Z Z Z Z Z Z eq Z eq Z Z Z Z Z Z Z.Z Z Z Z eq (a). C C C (b) Fig. 9 C (c) E el cao de coecar do iducacia e paralelo (figura 9b), erá: Y eq Y Y /( ) miera que al coecar do capaciore e paralelo (figura 9c) edremo: eq Si e coeca admiacia e paralelo, erá: Y eq C C (C C ) C eq o ea, la uma de la admiacia idividuale. Y eq Y Y... Y Tal como hemo vio e ora oporuidade, i bie e idiio hablar de la Z o de la Y de u elemeo, cuado eá coecado e erie e ma imple rabajar co Z, miera que i eá e paralelo coviee rabajar co Y..9 Traformació de fuee. Sabemo que ua fuee de eió e erie co ua impedacia puede coverire e ua fuee de corriee e paralelo co la mima impedacia, y vicevera. Ea equivalecia de dipolo e válida ambié e el domiio frecuecial al como veremo a coiuació. Ejemplo:

16 5 Coverir la fuee de eió de la figura e fuee de corriee: C V (a) VC /C (b) Fig. 0 a corriee de corocircuio de la fuee morada e: I c () V(). Y() V(). C por lo que la fuee de corriee equivalee erá la de la fig 0 b..0 Divior de eió Divior de corriee. E forma geérica, erá: Divior de eió: o plaeamo e la figura a: Ii Z Ii Ii C Vi Z V Vi Vi V C V Fig. (a) V Z ( ) V i ( ) Z Z V i( ) Y Y Y Divior de corriee: lo plaeamo e la figura b : Ii Ii I I I I Ii I I Vi Z Z Vi Vi C C Fig. b I i () I () I () V i () I () Z () I () Z () I() Z eq ()

17 6 por lo que: ( ) ( ) ( ) ) ) ( ) Z Z I Z I i I ( ) I i Z ( ) Z ( ) ( ) ( ) I ( ) Z I i Z ( ) Z ( ) ( ) Z Z ( ) ( ) Z ( ) a exeió al domiio raformado de lo diio eorema coocido para la reolució de circuio (uperpoició, Thévei, Noro), aí como de lo diio méodo de reolució, e puramee formal. Ejercicio de aplicació: ) Hallar la impedacia de la rede morada e la iguiee figura: a) Ω b) H H Ω F Ω Ra: a) z( ) b) z() ) Para la rede morada e la figura, obeer la eioe o corriee icógia (marcada co u igo de ierrogació), upoiedo codicioe iiciale ula. a) b) A F A Ω Ω v()? F H F v()? Ra: a) v() 0,5.e 0,5. μ() b) v() e().μ(). Fució raferecia. Cuado rabajamo co dipolo, uilizamo el cocepo de impedacia para relacioar corriee y eioe. Al raar co rede co ma pare de emiale, uaremo el cocepo de fució raferecia, el cual o permiirá relacioar la eió y la corriee e u par de ermiale co la eió y la corriee e oro par. E la figura e muera ua red co re pare de ermiale, alimeada co ua fuee de eió (fig. a) o co ua fuee de corriee (fig. b). a red N e oalmee paiva.

18 7 V i N 3 V 0 I i N 3 V 0 I 0 I 0 (a) Fig. Defiiremo fució raferecia T() como: 3 alida () T() erada () repuea () exciacio() (b) 3 E la figura (a) la erada (o exciació) e ua fuee de eió y e coidera do alida (o repuea), por lo que hay do fucioe raferecia, ua para cada ua de ella, que o: V o ( ) T () V i ( ) T ( relacio de raformacio de eio I o ( ) ) raadmiacia V i ( ) E la figura (b) la erada e ua fuee de corriee, y la correpodiee fucioe raferecia o: V o ( ) T () ra impedacia I i ( ) V o() T () I i() relacio de raferecia de corriee Vemo aí que hay cuaro poible combiacioe de variable: V0 () I0 () V0 () I0 () V ( ) V ( ) I ( ) I ( ) i i Si e la red hay má de ua fuee, uamo el pricipio de uperpoició, y cada erada coribuye a la alida co u propia fució raferecia. Veamo, por ejemplo, la figura 3 dode upoemo que e la red N o hay fuee y que odo lo elemeo paivo dero de la mima poee codicioe iiciale ula: i i

19 8 V N V 0 N V 0 N (a) (b) (c) Fig. 3 I E 3 (b) erá: E 3 (c) erá: Por uperpoició: V o () T v V() V o () T i I() V o () V o () V o () T v V() T i I(). Nauraleza de la repuea. Si obervamo la forma de la olucioe e el domiio frecuecial de la rede via, vemo que la repuea R() e el cociee de do poliomio: N ( ) R ( ) D ( ) am b m a b m m... a a... b b 0 0 Ea ecuació e ciera para cualquier red RC exciada co fuee idepediee geérica cuya raformada de aplace o de la forma (c o c c...) / (d o d d...) pudiedo ambié coeer fuee corolada lieale. E geeral, el grado del poliomio umerador m e meor que el grado del deomiador,. Si m e mayor o igual que, eoce R() e divide haa llegar a obeer que el grado del umerador ea meor que el grado del deomiador. E ee cao, obedremo el poliomio cociee q() y el poliomio reo r(): N() q() D() r() co grado de r() < grado de D() luego: R() q() r() / D()

20 .3 Polo Frecueemee e eceario facorear el poliomio deomiador, u proceo que puede llevare a cabo haciedo cero el mimo: D() b b... b b 0 0 y hallado la raíce de la ecuació reulae, la cuale e deomia polo de R() y e deiga co el ímbolo p i (i,,..). uego, la ecuació aerior puede ecribire como: R ( ) D() b ( p )( p )...( p ) m m am am... a a b ( p ) ( p )... ( p ) Si el poliomio deomiador e de º o º grado, lo polo puede deermiare fácilmee. Si e de grado 3 o mayor, excepo para cao facoreable por ipecció e recurrirá a méodo umérico. U polo puede er real o complejo. Si o complejo, aparece e pare cojugado, o ea c j d y c j d. Si ee e el cao, lo coeficiee b podrá o er odo úmero reale. E la figura 4 e repreea lo polo e el plao complejo (o plao ): la abcia erá Re() y la ordeada j Im (). o polo podrá ear ubicado e el emiplao uperior, o e el emiplao iferior repeco al eje real, pudiédoe ecorar aimimo e el emiplao derecho o el emiplao izquierdo repeco del eje imagiario. j Im () 0 9 f d c e a Re () f d c Fig. 4 El polo a ea e el orige, b e real poiivo, c y c' o complejo cojugado co pare real poiiva, d y d' o cojugado imagiario puro, e e real egaivo, y f y f' o complejo cojugado co pare real egaiva. Coocido lo polo, podremo hallar D(). Ejercicio de aplicació: ) Para el circuio equivalee e pequeña eñal del amplificador a raiore morado, obeer la fució raferecia H() V ()/V ().

21 0 R Cμ v () r v() Cη g m.v() R v () Ra: V ( ) S. C g R V r μ m ; co g ( ) C C RS ( C C C gr C gmr ) S g RS R μ η η μ μ μ S ) Cuado e aplica a ua red RC erie u ecaló uiario, queremo que la eió de alida ea v 0 ().e.e. Dieñar la red. Ra: Propoiedo C 0,5 F reula H y R Ω. 3) Hallar la expreió de v C () 0, i: a) e() e.μ() y v C ( 0 ) V. b) e() e(3).μ() y v C ( 0 ) 0 V. Ω e() Ω F v C () Ra: a) v C () (e e ).μ() b) v C () [ 0,773.co(3 33,69º) 0,307.e ].μ() 4) Cuado a u circuio co codicioe iiciale ula e le aplica ua eió v e () 30.μ(), la repuea e v 0 () 60.e 600..μ(). Deermiar la expreió de v 0 () i e aplica ua eñal de erada: v e () 0.co(60).μ(). Ra: v 0 () [,99.co(60 84,8º) 9,8.e 600. ].μ()..4 Traformació ivera por dearrollo e fraccioe parciale. El aálii de u circuio por raformació de aplace coduce a la obeció de la raformada de la variable de alida. El próximo pao, al como comeamo e la iroducció, coie e obeer uevamee la fució emporal. Preearemo ahora u méodo para coverir la olucioe e el domiio frecuecial a olucioe e el domiio emporal. Ea coverió e deomia raformació ivera, y e idica co el ímbolo. uego, { F()} f() El primer pao e el proceo de raformació ivera e ecribir el deomiador de F() e

22 forma facoreada, e decir: F ( ) b ( p N ( )( p ) )...( p ) dode p i o lo polo de F(). Nóee que lo polo o lo valore de que hace que F() ea ifiia. El próximo pao e llevar F() a la uma de érmio má ecillo. Tal decompoició e obiee cuado F() e dearrolla e fraccioe parciale. Polo imple Supogamo que el grado del deomiador de F() e mayor que el grado del umerador, y que lo polo o imple, o ea, o hay polo iguale. uego, el dearrollo e fraccioe parciale de F() eá dado por: k k k F ( )... p p p Ahora coideraremo u érmio ípico del dearrollo: k i p i (4) Supoiedo que k i e implemee ua coae, vemo que la ecuació aerior e la airaformada de k i e pi. uego: k i pi ki e (5) pi Dado que F() e ua uma de érmio como lo idicado por la ec. 4, luego f() erá la uma de érmio como lo de la ec. 5. Coecueemee: k k F ( ) p p f ( ) K e p k e p k... p... k Ee reulado e muy imporae, ya que plaea que i el grado del umerador de F() e meor que el grado del deomiador y i odo lo polo o imple, fuego f() e la uma de expoeciale, ua para cada polo de F(), iedo lo polo lo expoee de cada érmio. uego, la forma de oda de f() ea deermiada por la ubicació de lo polo, lo cuale podrá er reale, imagiario o complejo, apareciedo, e ee úlimo cao, como pare complejo cojugado. Si volvemo a la expreió de F(), vemo que iee la forma: e p F ( N ( ) ) D ( ) ( p )( N ( ) p )...( p ) α kα p α para p α

23 o ea, ambo miembro de la úlima igualdad de la ecuació aerior o iguale para odo lo p α, α,,... El úmero k α e llama reiduo de F() e el polo p α. Si lo valore de o muy próximo a p α, p α e muy pequeño y coecueemee, F() e grade. Obeció de la coae Polo imple Para obeer k, mulipliquemo ambo miembro por ( p ), co lo que obedremo: ( p ) N ( ) kα ( p ) F ( ) k ( p ) ( p )( p )...( p ) p α Ahora hagamo eder a p, co lo que la umaoria iede a cero, por lo que: α k lim ( p p ) F ( ) ( p p N ( p ) )...( p p ) y e geeral, para α,,...: k α lim ( p p α ) F ( ) ( p α p N ( p )...( α ) p α p ) falado, e el deomiador, el érmio (p α p α ). Polo múliple. Supogamo que la fució racioal F() iee u polo doble e p y polo imple e p, p 3,...p m lo cual e lo mimo que decir que D() iee u cero doble e p y cero imple e p,p 3,..p. Bajo ea circuacia, abemo que exie coae ale que: F ( ) N ( ) D ( ) k ( p k ) p α kα p lo cual, egú vimo al pricipio del capiulo, o coduce a ua evolució emporal de la forma: f ( ) p { } p pα F ( ) ( ) u ( ) k e k Para obeer la coae k, k, ec., procederemo de la iguiee forma: a) Para obeer k muliplicamo F() por ( p ), y luego hacemo eder a p : N ( p ) k lim ( p ) F ( ) p ( p p )( p p )...( p p ) e k 3 α e α

24 3 b) Para obeer k, derivamo repeco a la expreió ( p ) F() y hacemo p : k lim p d [ ( d c) o k α reae, correpodiee a polo imple, e obiee como e vio aeriormee. p ) F ( ) ] Comeario: Vemo aí que e eablece ua relació ere la ubicacioe de lo polo de F() e el plao co el comporamieo expoecial e el iempo de lo érmio correpodiee de f(), relació muy imporae e la igeiería de dieño. Ejercicio de aplicació: ) Uado dearrollo e fraccioe parciale, hallar la airaformada de: Ra: 6 8 T a) Fa ( ) e b) 4 3 a) f a () δ( T) [0,5.e 3( T),5.e ].μ(t) b) f b () (0,4.e 0,6.co 0,.e ).μ() ) Calcular la airaformada de la iguiee fució racioal: F b ( ) 3 00( 50) F ( ) y hallar el valor fial de la fució emporal direcamee de la raformada..5 Relació ere la raformació de aplace y el méodo faorial. E imporae remarcar que, e u circuio co codicioe iiciale ula, la regla para maipular faore y para raformar o la mima, excepo por la uiució de j ω por. o veremo uado como ejemplo u circuio paralelo RC, que e muera e la figura: I C I I R i C S R a euació diferecial que plaeamo, egú vimo e el capíulo correpodiee, e: & i ( ) & i ( ) ω o i ( ) ω i ( ) o a) Méodo faorial: Supueo que i o () Re{I e j ω } y que queremo hallar la repuea de régime permaee eoidal decripa por el faor I, el méodo imbólico,o coduce a: o, lo que e equivalee: [ ( ω o ω ) α j ω ] & I ωo & I

25 4 o & ω I & I ( ω ω ) α j ω o b) Por raformada de aplace: Co codicioe iiciale ula, raformado la ecuació llegamo a: ( α ω ωo ) I ( ) ωo I ( ) o ea: I ( ) ωo α ω Si comparamo amba expreioe, vemo que la oació faorial y la ecuació raformada por aplace iee exacamee la mima forma, excepo que jω ha ido reemplazado por, lo cual e ua coecuecia de que oda la codicioe iiciale o cero. Ea do ecuacioe iee diferee igificado: a ecuació faorial relacioa el faor dado I co el faor I, el cual repreea la repuea de régime permaee eoidal del circuio. a ecuació raformada por aplace relacioa la raformada de la fució dao I () co la fució I (), la cual repreea la raformada de aplace de la repuea del circuio co codicioe iiciale ula a la erada i (). Debemo oar, auralmee, que la fució i () puede er cualquier fució raformable. o I ( ).6 Teorema úile: ) Tralació e el domiio emporal: a ralació e el domiio emporal correpode a la muliplicació por ua expoecial e el domiio frecuecial. Aí: a { f ( a) u ( a ) } e F ( ) a > 0 Por ejemplo, abiedo que: { } podemo ecribir direcamee la raformada de aplace de ( a) u ( a): a e {( a ) u ( a ) } a demoració urge de la aplicació direca de la iegral de defiició. ) Tralació e el domiio frecuecial a ralació e el domiio frecuecial correpode a la muliplicació por ua expoecial e

26 5 el domiio emporal: { a f ( )} e F ( a ) la cual e deduce de la iegral de defiició. Ea relació o e úil para defiir uevo pare de raformada, ya que abiedo que: podemo deducir que: { co } ω ω a { ω } e co ( a a ) ω 3) Cambio de ecala a propiedad de cambio de ecala eablece la relació ere f() y F() cuado la variable emporal eá muliplicada por ua coae poiiva: cuya obeció queda propuea como ejercicio. a a { f ( a )} F a > 0 Ea propiedad e paricularmee úil e imulació, epecialmee dode e realiza cambio de ecala para faciliar la corucció del modelo de u iema. Ua aplicació imediaa e la formulació de uevo pare de raformada. Aí, abiedo que: { co } deducimo que, co u cambio de ecala: / ω { co ω } ω ( / ω ) ω 4) Teorema del valor iicial y del valor fial o eorema del valor iicial y del valor fial o úile porque o permie deermiar el comporamieo de r() e 0 y e a parir de F(). De ea forma podemo chequear lo valore iicial y fial de f() ae de hallar la raformada ivera de F(). El eorema del valor iicial plaea que: y el eorema del valor fial dice que: lim f ( ) lim F ( ) 0

27 6 lim f ( ) lim F ( ) El eorema del valor iicial e baa e la upoició de que f() o poee impulo, y para el eorema del valor fial debemo eablecer la rericció de que el eorema e válido olo i lo polo de F(), excepo el cao de u polo imple e el orige, ega pare real egaiva, co lo cual queda aegurada la exiecia de u valor fiio de f( ). 0 EJERCICIOS PROPUESTOS ) Eado el circuio e régime permaee, e 0 la llave comua de la poició a la. Hallar lo valore de R,, C y E que hace que i ().e 3 [co(4) 5.e(4)].μ() i() R E 6 Ω C Ra: E V; 0,6 H; C 0,533 F; R,37 Ω. ) Ua fuee y u ierrupor eá coecado e erie co 0,30 mh, C 0,00 μf y R 75 Ω. El ierrupor e cierra e 0. No hay carga iicial e el capacior. a fuee e de V de coiua. a) Hallar la corriee e el circuio e fució del iempo, repreeádoe 3 ó 4 ciclo. b) Trazar lo polo y cero de Y() e el plao complejo, i R varía adopado ademá lo iguiee valore: 500Ω, 000Ω y 000Ω. Ra: v() 0,00.e 5000.e(, ).μ() 3) E 0 el circuio e ecuera e régime permaee, co S e la poició A y S abiero. E ee momeo la llave S comua a la poició B y S e cierra. Hallar i(). i() F 8 A S V B 6 Ω 6 Ω S 6 H Ra: i() (0,5.e 0,667.,5.e. ).μ()

28 7 4) Eado el circuio de la figura e régime permaee, e 0 e cierra el ierrupor. Reducir el circuio a ua ola malla y deermiar la evolució emporal de v C (). 0 Ω 0,5 H 0 Ω 60 V 0 Ω F 8 v c () Ra: v C () [30 3,33.e 8 3,333.e ].μ() 5) a llave euvo e la poició A durae u largo iempo. E 0 comua a la poició B. Hallar la evolució de v 0 () para 0. Ra: v 0 () 60.(0 4 ).e 0000.μ() A 6) Hallar i () i la llave e cierra e 0. 0,5 H i () i () H H V Ω Ω Ra: i ().( e 4/3 ).μ() 7) Demorar que, ajuado lo valore de lo elemeo, e poible hacer que la repuea al ecaló de amba rede ea idéica. R C C C v e () v () v e () R R v ()

29 8 Ra: RRCC R C RC RC RC 8) a llave comua a la poició e 0, luego de haber permaecido e la poició durae u iempo uficiee como para que e alcazara el régime permaee. Calcular v() para 0, i v F () 6.e 3. v F () 0 0 V 4 Ω 6 Ω H F 4 v() Ra: v() [4,667.e. 0,333. e 5. 9.e 3. ].μ() V. 9) E el circuio de la figura, deermiar v () 0, iedo v C (0) v (0) 0. Uilizar lo iguiee dao: a) R 0 Ω, b) R 4Ω, c) R Ω. 0 H 0,5 μf v () 0 V R Ra : a) v () (0,46e 0,. 0,46 e 4,79.. ).μ() b) v () 0().e.μ() c) v () 0.e 0,5.(co 0, 75 0,577.e 0, 75 ).μ() 0) El ierrupor e el circuio de la figura euvo mucho iempo cerrado y e abre e 0. Calcular la corriee por la bobia de ahí e adelae. 5 Ω 0,5 H 60 V 0 7 Ω Ra: i() (5 7.e 4 ).μ() ) E el iguiee circuio, la llave ha eado e la poició A por u largo iempo. E 0

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