Precálculo Quinta edición Matemáticas para el cálculo

Transcripción

1 Precálculo Quia edició Maemáicas para el cálculo Límies JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON Pag

2 . Cocepo iuiivo de ie de ua fució. Limies Esquema del capiulo E ese capiulo se esudia la idea ceral subyacee al cálculo, el cocepo de ie. El cálculo se emplea para modelar umerosos feómeos de la vida real, e paricular siuacioes relacioadas co cambio o movimieo. Para eeder la idea básica de ies cosidérese dos ejemplos fudameales. Para hallar el área de ua figura poligoal simplemee se divide e riágulos y se suma sus áreas, como se muesra e la figura que se ecuera a la a bajo. Si embargo, es mucho más difícil hallar el área de ua regió co lados curvos. Ua maera es aproimar el área iscribiedo polígoos e la regió. E la figura se ilusra cómo se hace eso para u círculo. Si A es el área de polígoo regular iscrio co lados, eoces se puede observar que cuado aumea, A se aproima cada vez más al área del círculo. Se dice que el área A del círculo es el ie de las áreas A y se escribe área A E caso de hallar u paró para las áreas A, eoces se podría deermiar el ie A de maera eaca. E ese capíulo se usa ua idea similar para hallar las áreas de regioes acoadas por gráficas de fucioes. E el capiulo se apredió cómo hallar la asa de cambio promedio de ua fució. Por ejemplo, para hallar la velocidad promedio se divide la disacia oal recorrida ere el iempo oal. Pero, Cómo se puede ecorar la velocidad isaáea ; es decir, la velocidad e u deermiado isae? No se puede dividir la disacia oal recorrida ere e iempo oal, porque e u isae la disacia oal recorrida es cero y el iempo oal empleado e el recorrido es cero! Pero se puede hallar la aza de cambio promedio e iervalos cada vez más pequeños mediae ua ampliació e el isae deseado. Por ejemplo, supoga que f proporcioa la disacia que u auomóvil ha recorrido e el iempo. Para deermiar la velocidad del auomóvil eacamee a las :00 p.m., se halla primero la velocidad promedio e u iervalo de y u poco después de, es decir, e el iervalo, h. Se sabe que la velocidad promedio e ese iervalo es f h f / h. Al deermiar esa velocidad promedio para valores cada vez más pequeños de h (permiiedo que h se acerque a cero), se realiza ua amplificació del isae deseado. Se puede escribir. f h f Velocidad isaáea ho h

3 Si se ecuera u paró para la velocidad promedio, se puede evaluar ese ie de maera eaca. Las ideas e ese capíulo iee aplicacioes de amplio alcace. El cocepo de asa de cambio isaáea se aplica a cualquier caidad variae, o sólo la velocidad. El cocepo de área bajo la gráfica de ua fució es muy versáil. De hecho, umerosos feómeos, e apariecia o relacioados co el área, se puede ierprear como el área bajo la gráfica de ua fució.. Siuacioes prácicas dode se presea el cocepo de ie. Áreas Se ha viso que los ies so ecesarios para calcular la pediee de ua reca agee o ua asa de cambio isaáea. Aquí se vera que ambié so ecesarios para hallar el área de ua regió co u ie curvo. El problema de hallar ales áreas iee cosecuecias más allá de simplemee deermiar el área Problema del área Uo de los problemas cerales e el cálculo es el problema del área: hallar el área de la regió S que yace bajo la curva y f de a a b. Eso sigifica que S, ilusrada e la figura, esá acoada por la gráfica de ua fució f (dode f 0 ), las líeas vericales a y b, y el eje. Al raar de resolver el problema del área, hay que preguarse: Cuál es el sigificado de la palabra área? Esa pregua es fácil de respoder para regioes co lados recos. Para u recágulo, el área se defie como el produco de la logiud y el acho. El área de u riágulo es la miad de la base por la alura. El área de u polígoo se ecuera dividiédolo e riágulos (como e la figura ) y sumado las áreas de los riágulos Si embargo o es fácil hallar el área de ua regió co lados curvos. Todos eemos ua idea iuiiva de lo que es el área de ua regió. Pero pare del problema del área es hacer esa idea iuiiva precisa al dar ua defiició eaca de área Recuerde que para defiir ua agee primero se aproimó la pediee de la agee mediae pediees de secaes y luego se omó el ie de esas aproimacioes. Se sigue ua idea similar para las áreas. Primero se aproima la regió S mediae recágulos, y luego se oma el ie de las áreas de esos recágulos cuado se icremea el úmero de recágulos. E el siguiee ejemplo se ilusra el procedimieo Ejemplo Esimar u área por medio de recágulos

4 Use recágulos para esimar el área bajo la parábola ilusrada e la figura y de 0 a (la regió parabólica S Solució Se observa primero que el área de S debe esar e algua pare ere 0 y porque S esá coeida e u cuadrado co logiud laeral, pero por supueso se puede hacer algo mejor que eso. Supoga que S se divide e cuaro iras S, S, S y S 4 dibujado líeas vericales, 4 y 4 como e la figura 4a). Se puede aproimar cada ira mediae u recágulo co la misma que el lado derecho de la ira (véase la figura 4b). E oras palabras, las aluras de esos de esos recágulos so los valores de la fució f e los puos fiales derechos de los iervalos 0,, 4, 4, y 4, 4 Cada recágulo iee ampliud y las aluras so 4 4, suma de las áreas de esos recágulos de aproimació, se obiee 4 5 R De la figura 4b) se puede observar que el área A de S es meor que R 4, eoces a y. Si R 4 es la

5 E lugar de usar los recágulos de la figura 4b), se podría usar los recágulos más pequeños de la figura 5 cuyas aluras so los valores de f e los puos izquierdos de los subíervalos. (El recágulo de la izquierda ha desaparecido porque su alura es cero.) La suma de las áreas de esos recágulos de aproimació es 7 L Se puede observar que el área de S es mayor que L 4, por lo ao se iee las esimacioes iferior y superior para A: a Se puede repeir ese procedimieo co u úmero grade de iras. E la figura se muesra lo que sucede cuado se divide la regió S e ocho iras de igual ampliud. Al calcular la suma de las áreas de los recágulos más pequeños L y la suma de las áreas de los recágulos 8 más grades R se obiee las esimacioes iferir y superior para A: A Así que ua respuesa posible a la pregua es decir que el área verdadera de S se ubica e algua pare ere y Se podía obeer mejores esimacioes si se icremea el úmero de iras. E la abla del marge se muesra los resulados de cálculos similares (co ua compuadora) usado recágulos cuyas aluras se ecuera co puos izquierdos L o puos derechos R. E paricular, se puede observar al usar 50 iras que el área esá ere 0.4 y Co 000 iras se esrecha aú más: A se localiza ere 0.85 y Ua buea esimació se obiee promediado esos úmeros: A 0.5 De los valores de la abla parece como si R 4 se aproima a cuado aumea. Eso se cofirma e el siguiee ejemplo.

6 Ejemplo Límie de sumas de aproimació Para la regió S del ejemplo, muesre que la suma de lasa áreas de los recágulos de aproimació iede a, es decir R Solució R es la suma de las áreas de los recágulos mosrados e la figura 7. Cada recágulo iee acho /, y las aluras so los valores de la fució f e los puos /...,/, / /. Es decir, las aluras so /... /, /, /. Así... R Aquí se ecesia la fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros eeros posiivos... Al colocar la fórmula aerior e la epresió para R, se obiee R Así, se iee R Se puede demosrar que las sumas de aproimació meores se aproima ambié a, es decir.

7 L De las figuras 8 y 9 es evidee que, cuado aumea R y L se vuelve cada vez mejores aproimacioes al área de S. Por lo ao, se defie el área A como el ie de las sumas de las áreas de los recágulos de aproimació, es decir. A R L Defiició de área Se aplicara la idea de los ejemplos y a la regió más geeral S de la figura. Se iicia subdividiedo S e iras S, S,... S de igual acho como e la figura 0. El acho del iervalo a, b es b a, así que el acho de cada de las iras es Esas iras divide el iervalo b a a, b e subíervalos,,,,,...,, 0,

8 Dode 0 a y b. Los puos derechos de los iervalos so a, a, a,.... k a k..,... Se aproimará la K-ésima ira S mediae u recágulo co acho k f, k y la alura que es el valor de f e el puo fial derecho (véase la figura ). Eoces el área del K- ésimo recágulo es f k. Lo que se cosidera e forma iuiiva como el área de S se aproima mediae la suma de las áreas de esos recágulos, la cual es. R f f... f E la figura se muesra esa aproimació para,4,8.. y.. Observe que esa aproimació parece ser mejor cada vez coforme aumea el úmero de iras, es decir, cuado. Por lo ao, se defie el área A de la regió S de la siguiee maera Defiició de área El área A de la regió S que yace bajo la gráfica de la fució coiua f es el ie de la suma de las áreas de recágulos de aproimació A R f f... f Si se usa la oació sigma, lo aerior se escribe como sigue: A K Cuado uilice esa fórmula para el área, recuerde que aproimació, ao, K f K es el puo fial derecho de K-ésimo recágulo y es el acho de u recágulo de f es su alura. Por lo Acho b a Puo fial derecho K a K

9 Alura K a f f k Al rabajar co sumas será ecesarias las siguiees propiedades de la secció.: K k K k K k k b a b a K K k a k c ca Tambié se ecesiará las siguiees fórmulas para las sumas de las poecias de los primeros úmeros aurales de la secció.5. K K K K k k K c c 4 Ejemplo Hallar el área debajo de ua curva Calcule el área de la regió que yace bajo la parábola 5,0 y Solució La regió se gráfica e la figura. Para hallar el área, primero se deermia las dimesioes de los recágulos de aproimació e la -ésima eapa. Acho: a b Puo fial derecho: k k k a k Alura: k k k f f k Ahora se susiuye esos valores e la defiició de área:

10 A k k k f k 5k 5k 5 5 k k Así, el área de la regió es 7..- Cálculo de ies por méodos algebraicos, uméricos y gráficos. Deermiació de ies e forma umérica y gráfica E esa secció se emplea ablas de valores y gráficas de fucioes para respoder la pregua, Qué sucede co los valores f de ua fució f cuado la variable se aproima a u úmero a? Defiició de ie Se comieza por ivesigar el comporamieo de la fució f defiida por f Para valores de cercaos a. E la abla siguiee se da los valores de de cercaos a pero o iguales a. f para valores

11 De la abla y la gráfica de f (ua parábola) mosrada e la figura, se puede observar que cuado esá cerca de (e cualquier lado de ), f esá cerca de 4. De hecho, parece que se puede lograr que los valores de f se aproime a 4 ao como se desee al omar suficieemee cerca de. Eso se epresa diciedo el ie de la fució f cuado se aproima a es igual a 4. La oació para eso es E geeral, se usa la siguiee oració Defiició de ie de ua oració Se escribe 4 f a Y se dice el ie de f, cuado iede a a, es igual a L Si es posible hacer que los valores de f se aproime de maera arbiraria a L (a cerca de L como se quiera) al omar suficieemee próima a a, pero o igual a a. E érmios geerales, eso dice que los valores de f se aproima más y más al úmero L cuado se acerca cada vez más al úmero a (desde cualquier lado de a ) pero a. Ora oació para a f L es f L Cuado a Lo que ormalmee se lee f iede a L cuado iede a a. Esa es la oació que se usó e la secció. e la eplicació de asíoas de fucioes racioales. Observe la fase pero a e la defiició de ie. Eso sigifica que al hallar el ie de f cuado iede a a, uca se cosidera a. De hecho, icluso f o ecesia esar defiida cuado a. Lo úico que impora es cómo f esá defiida cerca de a. E la figura se muesra las gráficas de res fucioes. Hay que observar que e el iciso c), f a o esá defiida, y e el iciso b) f a L. Pero e cada caso, si imporar lo que sucede e a f L a. L, Esimació de ies e forma umérica y gráfica E la secció. se desarrollara écicas para hallar valores eacos de ies. Por ahora, se usa ablas y gráficas para esimar ies de fucioes. Ejemplo Esimar u ie e forma umérica y gráfica Deduzca el valor de. Compruebe co ua gráfica

12 Solució. Observe que la fució / f o esá defiida cuado, pero eso o impora porque la defiició de a f dice que se cosidera valores de próimos a a pero diferees a a. Las siguiees ablas proporcioa valores de f (correcos hasa seis decimales) para valores de que se aproima a ( pero que so disios de ) Sobre la base de valores e las dos ablas, se ierfiere que 0.5 Como comprobació gráfica se usa u disposiivo de graficació para producir la figura. Se puede observar que cuado se aproima a, y se acerca a 0.5. Si se usa las caracerísicas ZOOM y TRACE para eer ua visa más amplia, como e la figura 4, se puede observar que cuado se acerca cada vez mas a, y se aproima más y más a 0.5. Eso refuerza la coclusió Ejemplo Hallar u ie a parir de ua abla 9 Ecuere 0 Solució. E la abla del marge se lisa valores de la fució para varios valores de cerca de 0. Cuado se aproima a 0, los valores de la fució al parecer iede a 0., y por lo ao, se ierfiere que 0 9 Qué sucedería e el ejemplo si se hubiera omado icluso valores cada vez más pequeños de? E la abla del marge se muesra los resulados que proporcioa ua calculadora; se puede observar que al parecer algo eraño esá sucediedo.

13 Si prueba esos cálculos e su calculadora, podría obeer valores disios, pero e algú momeo se obedría el valor 0 si se hace a suficieemee pequeña. Eso sigifica que e realidad la respuesa es 0 e lugar de? No, el valor del ie es, como se mosrará e la siguiee secció. El problema es que la calculadora dio valores falsos porque 9 es muy cercao a cuado es pequeña, (De hecho, cuado es suficieemee pequeña, u valor de calculadora para 9 es.000. hasa los dígios que la calculadora pueda llevar.) Algo similar que sucede cuado se iea graficar la fució del ejemplo e u disposiivo de graficació. Los icisos a) y b) de la figura 5 muesra gráficas basae eacas de esa fució, y cuado se usa la caracerísica TRACE, se puede esimar co facilidad que el ie esá cercao a. Pero al amplificar demasiado, como e los icisos c) y d), se obiee eoces gráficas ieacas, de uevo como resulado de problemas co la resa Limies que o eise Las fucioes o ecesariamee se aproima a u valor ifiio e odo puo. E oras palabras, es posible que u ie o eisa. E los res ejemplos siguiees se ilusra formas e las que eso puede suceder Ejemplo U ie que o eise (ua fució co u salo) La fució de Heaviside H se defie como 0... s 0 H... s 0 [Esa fució es llamada así e hoor al igeiero elécrico Oliver Heaviside (850-95) y se puede usar para describir ua corriee elécrica que se aciva e el 0 ] Su gráfica se muesra e la figura.observe el salo e la gráfica 0. Cuado iede a 0 por la izquierda, derecha, H se aproima a 0. Cuado se aproima a 0 por la H iede a. No hay u solo úmero al que se aproime H cuado se H aproima a 0. Por lo ao, a o eise. Ejemplo 4 Límie que o eise (ua fució que oscila) Ecuere se 0

14 Solució La fució f se / o esa defiida e 0. La evaluació de la fució para alguos valores pequeños de da. f se 0 f se 0 f 0. se0 0 f se 0 f se4 0 4 f 0.0 se00 0 De maera similar, 0.00 f que f Co base e esa iformació se podría iferir? se 0 0 Pero esa vez la ierferecia es erróea. Observe que auque f / se.. 0 cualquier eero, ambié es ciero que f para ua ifiidad de valores de que se aproima a 0 (Véase la gráfica de la figura 7) para Las líeas discoiuas idica que los valores de se / oscila ere y - ifiiamee cuado se aproima a 0. Pueso que los valores de f o se aproima a u úmero fijo cuado se aproima a 0, se 0 o eise E el ejemplo 4 se ilusra alguas de las dificulades para ierferir el valor de u ie. Es fácil iferir el valor erróeo si se usa iapropiados de, pero es difícil saber cuádo dejar de calcular valores. Y, como muesra la eplicació después del ejemplo, alguas veces las calculadoras y compuadoras da valores icorrecos. Si embargo, e las dos seccioes siguiees, se desarrollara méodos ifalibles para calcular ies. Ejemplo 5 U ie que o eise (ua fució co ua asíoa verical) Hallar 0 si eise Solució Cuado se aproima a 0, ambié se acerca a 0 y / se vuelve muy grade, (Véase la abla del marge). De hecho, resula evidee de la gráfica de la fució f mosrada e la figura 8 que los valores de f se puede hacer arbirariamee

15 grades al omar lo basae cerca a 0. Así, los valores de úmero, de modo que / o o eise f o se aproima a u Para idicar la clase de comporamieo ehibido e el ejemplo 5, se usa la oació 0 Eso o sigifica que se esé cosiderado a como u úmero. Tampoco sigifica que el ie eise. Simplemee epresa la forma paricular e la que el ie o eise: / se puede hacer a grade como se quiera al omar el valor de suficieemee cerca de 0. Observe que la líea 0 (el eje y) es u asíoa verical e el seido que se describió e la secció.. Deermiació algebraica de ies E la secció. se emplearo calculadoras y gráficas para iferir los valores de ies, pero se vio que ales méodos o siempre coduce a la respuesa correca. E esa secció, se usa méodos algebraicos para hallar ies de maera eaca Leyes de ies Supoga que c es ua cosae y que los siguiees ies eise: Eoces f a. f g f g a a a. f g f g a a a. cf c f a a 4. f g f g a a a f f a 5. si g 0 a g g a Y g a ie de ua suma limie de ua diferecia ie de u múliplo cosae a ie de u produco ie de u cociee Esas cico leyes se puede epresar verbalmee como sigue. El ie de ua suma es la suma de los ies.. El ie de ua diferecia es la diferecia de los ies. El ie de ua cosae por ua fució es la cosae muliplicada por el ie de la fució 4. El ie de u produco es el produco de los ies 5. El limie de u cociee es el cociee de los ies (siempre que el ie del deomiador o sea 0)

16 Es fácil pesar que esas propiedades so cieras. Por ejemplo, si g es cercaa a M, es razoable cocluir que f + f es cercaa a L y g es cercaa a L + M. Eso da ua base iuiiva para creer que la ley es ciera. Si se usa la ley 4 (ie de u produco) de maera repeida co g f, se obiee la siguiee ley para el ie de ua poecia. Ua ley similar se cumple para las raíces Leyes de ies. f f a a 7. f f a dode es u eero posiivo ie de ua poecia dode es u eero posiivo ie de ua raíz a [si es par, se supoe que f 0 a.] E palabras, esás leyes dice. El ie de ua poecia es la poecia del ie 7. El ie de ua raíz es la raíz del ie Ejemplo Uso de leyes de ies Use las leyes de ies y las gráficas de f y g e la figura para evaluar los siguiees ies, si eise. a) f 5g b) f g c) f g d) f Solució a) De las gráficas de f y g se puede observar que Por lo ao, se iee f 5g f Y g f 5g = f 5 g Límie de ua suma Límie de u múliplo cosae = 5 4 b) Se puede observar que f. Pero g izquierdo y derecho so diferees: g c) Las gráficas muesra que g o eise porque los ies

17 f. 4 Y g 0 Debido a que el ie del deomiador es 0, o se puede usar la ley 5 (ie de u cociee). El ie dado o eise porque el deomiador se aproima a 0 mieras el umerador se aproima a u úmero o cero. d) Pueso que f Aplicació de las leyes de ies, se usa la ley para obeer f f 8 Al aplicar las leyes de ies, se requiere usar cuaro ies especiales Alguas uidades especiales ) c c a ) a ) 4) a a a a a dode es u elemeo posiivo dode es u eero posiivo y a 0 y c y y lo covecerá de su validez. Los ies y 4 so casos especiales de las leyes de Los ies especiales y so iuiivamee obvios, u visazo a las gráficas de ies y 7 (ies de ua poecia y ua raíz) Ejemplo Uso de las leyes de ies Evalué los siguiees ies y jusifique cada paso. a) 4 b) 5 5 Solució a) 4= 4 5 Límies de ua diferecia y suma Límie de u múliplo cosae Límies especiales, y 9 b) Se empieza co la ley 5, pero su uso se jusifica por compleo sólo e la eapa fial cuado se ve que los ies de umerador y el deomiador eise y el ie del deomiador o es

18 5 5 Si f 4, eoces f 5 9 f 9. E el ejemplo a), se ecuera que 5. E oras palabras, se habría obeido la respuesa correca al susiuir por 5. De maera similar, la susiució direca proporcioa la respuesa correca e el iciso b). Las fucioes del ejemplo so ua fució poliomial y ua fució racioal, respecivamee, y el uso similar de leyes de ies prueba que la susiució direca fucioa siempre para ales fucioes. Ese hecho se epresa como sigue Límies por susiució direca Si f es ua fució poliomial o racioal y a esá e el domiio de f, eoces f a Las fucioes co esa propiedad de susiució direca se llama coiuas e a. Aprederá más acerca de las fucioes coiuas cuado esudie cálculo. f a Ejemplo Deermiació de ies por susiució direca Evalúe los siguiees ies a) b) 4 Solució a) La fució f 0 es u poliomio, de modo que se puede hallar el ie por susiució direca: b) La fució 5/ f es ua fució racioal y esá e su domiio (porque el deomiador o es cero para ). Así, se puede hallar el ie por susiució direca: Deermiació de ies por medio de álgebra y leyes de ies Como se pudo observar e el ejemplo, evaluar los ies por susiució direca es fácil. Pero o odos los ies puede ser evaluados de esa maera. De hecho, la mayor pare de las siuacioes e las que los ies so úiles requiere u ablado más arduo para evaluar el ie. E los res ejemplos siguiees se ilusra cómo usar el álgebra para hallar ies Ejemplo 4 Hallar ua ie mediae cacelació de u facor comú Ecuero

19 Solució Sea / f. No se puede hallar el ie susiuyedo porque f o esá defiido: e cambio, es ecesario realizar aes alguas operacioes algebraicas. Se facoriza el deomiador como ua diferecia de cuadrados El umerador y el deomiador iee u facor comú de. Al omar el ie cuado iede a, se iee y, por lo ao. 0. E cosecuecia, se puede cacelar eñ facor comú y calcular el ie como sigue:: Ese cálculo cofirma algebraicamee la respuesa obeida e forma umérica y gráfica e el ejemplo de la secció. Ejemplo 5 Hallar el ie mediae simplificació Evalúe h h 9 0 Solució No se puede usar susiució direca para evaluar ese ie porque el ie del deomiador es 0. Así que primero se simplifica algebraicamee el ie h h h h h h h h h h h Ejemplo Hallar el ie mediae racioalizació Ecuere 0 9 Solució No se puede aplicar la ley 5 (ie de u cociee) de maera imediaa, pueso que el ie del deomiador es 0. Aquí el álgebra prelimiar cosise e racioalizar el umerador Ese cálculo cofirma la ierferecia que se hizo e el ejemplo e la secció.

20 Uso de ies izquierdo y derecho. Alguos ies se calcula mejor si se deermia primero los ies izquierdo y derecho. El siguiee eorema es u recordaorio de lo que se describió e la secció.. Esablece que u ie bilaeral eise si sólo ambos ies uilaerales eise y so iguales Al calcular los ies uilaerales se emplea el hecho de que las leyes de los ies se cumple ambié para los ies uilaerales Ejemplo 7 Comparar los ies derecho e izquierdo Muesre que 0 0 Solució Recuerde que Pueso que para 0 Para 0, se obiee Por cosiguiee, se iee.. si si , así que Ejemplo 8 Comparació de los ies derecho e izquierdo Pruebe que 0 o eise Solució Pueso que para 0 y para , se iee

21 0 0 0 Pueso que los ies derecho e izquierdo eise y so diferees, se deduce que / f / se muesra e la figura y 0 o eise. La gráfica de la fució corrobora los ies que se deermiaro..4 Límies uilaerales. Límies uilaerales Se observa e el ejemplo que H iede a 0 cuado se aproima a 0 por la izquierda y H iede cuado se aproima a 0 por la derecha. Esa siuació si idica co símbolos escribiedo H y H 0 0 El símbolo 0 idica que se cosidera solo valores de que so meores que 0. De igual maera, 0 idica que se cosidera sólo valores de que so mayores que 0. 0 Defiició de u ie uilaeral Se escribe Y se lee el ie izquierdo de a f L f cuado se aproima a a [ o el ie de f cuado se aproima a a por la izquierda ] es igual a L si es posible hacer los valores de f arbirariamee cercaos a L al omar suficieemee cercaa a a y meor a a Hay que observar que esa defiició difiere de la defiició de u ie bilaeral sólo e que se requiere que sea meor que a. De maera similar, si se requiere que sea mayor que a, se obiee el ie derecho de f cuado se aproima a a es igual a L y se escribe f L Por lo ao, el símbolo ilusra e la figura 9. a a sigifica que sólo se cosidera a. Esas defiicioes se

22 Al comparar las defiicioes de ies bilaerales y uilaerales, se puede observar que la siguiee reca es ciera. Por lo ao, si los ies por la izquierda y por la derecha so diferees, el ie (bilaeral) o eise. Se usa ese hecho e los dos ejemplos siguiees Ejemplo Límies de ua gráfica La gráfica de ua fució g se muesra e la figura 0. Uilícela para epresar los valores ( si eise) de los siguiee: a) g, g, g b) g, g, g Solució a) De la gráfica se puede observar que los valores de g se aproima a cuado se aproima a por la izquierda, pero se aproima a cuado se aproima a por la derecha. Por lo ao g Y g Pueso que los ies izquierdo y derecho so diferees, se cocluye que o eise g b) La gráfica muesra ambié que g 5 Y g 5 Esa vez los ies izquierdo y derecho so los mismos y, por lo ao, se iee g 5 A pesar de ese hecho, observe que g 5

23 Ejemplo 7 Fució defiida por pares Sea f la fució defiida por f... si si.. Grafique f y emplee la gráfica para hallar lo siguiee a) f b) f c) f Solució La gráfica de f se muesra e la figura. De la gráfica se puede observar que los valores de f iede a cuado iee a por la izquierda, pero iede a cuado iede a por la derecha. Así, los ies izquierdo y derecho o so iguales. Por lo ao se iee. a) f b) f c) f o eise.5 Limies al ifiio. Límies e el ifiio; ies de sucesioes E esa secció se esudia ua clase especial de ie coocida como ie e el ifiio. Se eamia el ie de ua fució f cuado aumea el valor de. Se eamia ambié el ie de ua sucesió a cuado aumea. Los ies de sucesioes se empleará e la secció.5 como ayuda para deermiar el área bajo la gráfica de ua fució Límies e el ifiio Se ivesigara el comporamieo de la fució f defiida por f Cuado oma valores grades. E la abla de abajo se da los valores de esa fució correcos hasa seis decimales, y la gráfica de f ha sido razada mediae ua compuadora e la figura

24 Cuado oma valores cada vez más grades, se ve que los valores de f se aproime a ao como se quiera al omar suficieemee grade. Esa siuació se epresa e símbolos como E geeral, se usa la oació Para idicar que los valores de cada vez más graes Límies al ifiio f L Sea f ua fució defiida e algú iervalo a, f L Idica que los valores de valores suficieemee grades Ora oació para f L f se aproima más y más a L cuado oma valores. Eoces, f se puede hacer arbirariamee cercaos a L si oma f L Cuado El símbolo o represea u úmero. Si embargo, co frecuecia la epresió f L se lee como el limie de f, cuado se aproima al ifiio, es L Las ilusracioes geoméricas se muesra e la figura. Observe que hay muchas maeras para que la gráfica de f se aproime a la reca y L (que se llama asíoa horizoal) como se ve a la derecha

25 Refiriédose de uevo a la figura, se ve que para valores uméricamee grades de, los valores de f se aproima a. Si se permie que dismiuya por valores egaivos si coa, se puede hacer que Eso se eplica escribiedo La defiició geeral es como sigue Límie e el ifiio egaivo f se aproime a ao como se desee. Sea f ua fució defiida e algú iervalo,a. Eoces f L Sigifica que los valores de valores egaivos suficieemee grades f se puede hacer arbirariamee cercaos a L si oma De uevo, el símbolo leerse como el ie de o represea u úmero, pero la epresió f L f, cuado se aproima al ifiio egaivo, es L La defiició se ilusra e la figura. Observe que la gráfica se aproima a la reca como se ve a la izquierda suele y L

26 Asíoa horizoal La reca L y se llama asíoa horizoal de la curva f f L O f L y si Por ejemplo, la curva ilusrada e la figura iee la reca y como ua asíoa horizoal porque Como se asegura e la secció 7.4, u ejemplo de ua curva co dos asíoas horizoales es y a (véase la figura 4). De hecho a Y a y / y / / De modo que ambas recas y so asíoas horizoales. (Eso se deduce del hecho de que las líeas y so asíoas vericales de la gráfica de a) Ejemplo Límies e el ifiio Ecuere Y Solució Observe que cuado es grade, / es pequeña. Por ejemplo De hecho, si se oma u valor de basae grade, se puede hacer que / se aproime a 0 ao como se desee. Por lo ao 0 Co u razoamieo similar se ve que cuado es grade y egaiva, egaiva, por lo ao se iee ambié 0 / es pequeña y

27 Se deduce que la reca y 0 (el eje ) es ua asíoa horizoal de la curva y /. (Esa es ua hipérbola; véase la figura 5.) Las leyes de ies aalizadas e la secció. se cumple ambié para ies e el ifiio. E paricular, si se combia la ley (ie de ua poecia) co los resulados del ejemplo, se obiee la siguiee imporae regla para calcular ies Ejemplo Hallar el ie e el ifiio Evalué 5 4 Solució Para evaluar el ie de ua fució racioal e el ifiio, se divide primero umerador y deomiador ere la poecia más ala de que aparece e el deomiador. (Se podría supoer que 0 pueso que solo se iee ierés e valores grades de.) E ese caso, la poecia más ala de e el deomiador es, así que se iee

28 U cálculo similar muesra que el ie cuado es ambié. E la figura se 5 ilusra los resulados de esos cálculos mosrado cómo las gráficas de la fució racioal dada se aproima a la asíoa horizoal y 5 Ejemplo Límie e el ifiio egaivo Use méodos uméricos y gráficos para deermiar e Solució De la gráfica de la fució epoecial aural valores correspodiees, se puede observar que Se deduce que la reca 0 e 0 y (el eje ) es ua asíoa horizoal y e e la figura 7 y la abla de Ejemplo 4 Ua fució si ie e el ifiio Evalué se.. Solució De la gráfica de la figura 8 y la auraleza periódica de la fució seo, se puede observar que, cuado se icremea, los valores de se oscila ere y - de maera ifiia y, por lo ao, o se aproima a algú úmero defiido. E cosecuecias, se.. o eise.

29 Límies de sucesió E la secció. se irodujo la idea de ua sucesió de úmeros a a,,..., a Aquí se iee ierés e su comporamieo cuado oma valores grades. Por ejemplo, la sucesió defiida por a Se ilusra e la figura 9 graficado sus érmios e ua reca umérica y e la figura 0 mediae el razo de su gráfica. De la figura 9 o 0 parece que los érmios de la secuecia a / se aproima a cuado crece. Eso se idica escribiedo Defiició de ie de ua sucesió Ua sucesió a a,,... iee el ie L y se escribe, a Si el ermio -ésimo a suficieemee grade. Si L O a L cuado a de la secuecia puede hacerse arbirariamee cercao a L al omar a eise, se dice que la sucesió coverge (o es covergee). De lo corario, se dice que la sucesió diverge (o es divergee) Esa defiició se ilusra e la figura Si se compara las defiicioes de a L y f c L úica diferecia es que se requiere que sea u eero. Así, lo siguiee es ciero., se observa que la E paricular, pueso que se sabe que / 0 iee cuado k es u eero posiivo, se

30 0 Si k es u eero posiivo k Observa que las leyes de los ies dadas e la secció se cumple ambié para ies de sucesioes Ejemplo 5 Hallar el ie de ua sucesió Ecuere Solució El méodo es similar al que se empleó e el ejemplo : divida umerador y deomiador ere la poecia más ala de y después use las leyes de los ies 0 Por lo ao, la sucesió / Ejemplo Ua sucesió que diverge Deermie si la sucesió a es covergee a es covergee o divergee Solució Si se escribe los érmios de la sucesió, se obiee,,,,,,... La gráfica de esa sucesió se muesra e la figura. Pueso que los érmios oscila ere y - de maera ifiia decir, la sucesió a o se aproima a igú úmero. Así, a es divergee o eise; es Ejemplo 7 Hallar el ie de ua sucesió Ecuere el ie de la sucesió dada por 5 a Solució Aes de calcular el ie, se simplificara primero la epresió para que coiee ua : a. Debido a, se coloca u facor de debajo de cada facor e el umerador que

31 a 5 5 Ahora se puede calcular el ie a

32 Cálculo diferecial e iegral Fucioes coiuas y discoiuas WILLIAM ANTHONY GRANVILLE Pag. 7-9

33 ..- Cocepo de coiuidad. Fucioes coiuas y discoiuas 4 lim Observamos que la solució es el valor de la fució para ; es decir, el valor ie de la fució cuado iede a es igual al valor de la fució para. E ese caso decimos que la fució es coiua para. La defiició geeral es la siguiee: DEFINICION. Se dice que la fució f es coiua para a si el ie de la fució, cuado iede a a, es igual al valor de la fució para a. E símbolos, si a lim f f, a Eoces f es coiua para a. Se dice que la fució es discoiua para a si o se saisface esa codició. Llamamos la aeció de los dos casos siguiees, que se presea frecueemee. CASO. Como ejemplo secillo de ua fució que es coiua para u valor paricular de la variable, cosideremos la fució 4 f Para, f f Además, si iede a, la fució f iede a como ie (Ar. ). Luego la fució es coiua para CASO II. La defiició de fució coiua supoe que la fució esá defiida para a. Si embargo, si ese o es el caso, a veces es posible asigar a la fució al valor para a que la codició de coiuidad se saisfaga. E esos casos se aplica el siguiee eorema TEOREMA. Si f o esa defiida para a, pero lim f B, a Eoces f será coiua para a f para a el valor de B Así, por ejemplo, la fució. 4 No esá defiida para (pueso que eoces habría divisió por cero). Pero para odo oro valor de 4 Y lim 4 ;, si se oma valor de 4 Luego lim 4 Auque la fució o esa defiida para, si arbirariamee asigamos a ella para el valor de 4, se hace coiua para ese valor Se dice que ua fució f es coiua e u iervalo cuado es coiua para odos los valores de dero de ese iervalo

34 E el Cálculo diferecial e iegral, es frecuee eer que calcular el ie de ua fució de la variable v, cuado v iede a u valor a siuado e u iervalo dode la fució es coiua. E ese caso el ie de la fució es el valor de la fució para v a