TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMS DE MTEMÁTCS Oposicioes de Secudaria TEM 63 FRECENC Y ROBBLDD. LEYES DEL ZR. ESCO ROBBLÍSTCO.. roducció. 2. robabilidad Clásica o riori. 3. robabilidad a oseriori o Frecuecial. 4. Modelos de robabilidad. 5. Couos de uos. 6. Desarrollo xiomáico de robabilidad. 7. Espacio Muesral Discreo co u Número Fiio de uos. 8. rimeras ropiedades de la Familia de sucesos S. 9. Límies e S. 0. ropiedades de la Fució de robabilidad.. ropiedades de Límie. Bibliografía Recomedada. /20

2 TEM 63 FRECENC Y ROBBLDD. LEYES DEL ZR. ESCO ROBBLÍSTCO.. NTRODCCÓN. o de los isrumeos fudameales de la Esadísica es la robabilidad, que uvo sus orígees e los uegos de azar, e el siglo XV. Los uegos de azar, como implica su ombre, icluye accioes ales como girar la rueda de ua rulea, lazar dados, irar al aire ua moeda, exraer ua cara, ec., e las cuales el resulado es iciero. Si embargo, es sabido que, au cuado el resulado de ua prueba e paricular sea iciero, exise u resulado que se puede predecir a largo plazo. E la ciecia experimeal se presea ambié u ipo similar de iceridumbre y regularidad a largo plazo. sí, por eemplo, e geéica es iciero saber si u descediee será macho o hembra, pero e u plazo largo se cooce aproximadamee el porceae de descediees que será machos y el de aquellos que será hembras. Examiaremos e primer lugar la eoría clásica de la probabilidad, o sea de la probabilidad a priori, luego expodremos la eoría frecuecial y, fialmee, desarrollaremos u modelo axiomáico. 2. ROBBLDD CLÁSC O ROR. La relació ere la probabilidad y los uegos de azar sugirió la defiició clásica. sí, por eemplo, supogamos que queremos hallar la probabilidad de obeer cara e el lazamieo de ua moeda ideal. Razoamos de la siguiee forma: pueso que sólo exise dos resulados posibles, cara y cruz, y dado que la moeda esá bie equilibrada, cabe esperar obeer cara y cruz co la misma frecuecia, aproximadamee; por ao, e u gra úmero de pruebas, es de esperar que se obedrá cara alrededor de la miad de las veces, y así, la probabilidad del suceso obeer cara esará dada por el valor ½. Esa clase de razoamieo sugirió la defiició: DEF Si u suceso puede ocurrir de maeras muuamee excluyees e igualmee verosímiles y si de ésas posee u aribuo, la probabilidad de es la fracció. La aplicació de esa defiició o siempre resula imediaa. Veamos que sigifica eso de muuamee excluyees y de igualmee verosímiles. Supogamos que deseamos calcular la probabilidad de obeer dos caras lazado ua moeda dos veces. odría razoarse que los resulados posibles so: Dos caras, dos cruces o ua cara y ua cruz. ero ese razoamieo es falso porque los res resulados o so igualmee verosímiles o probables. El úlimo de los res puede obeerse de dos formas diferees. La probabilidad buscada es, por ao, ¼ y o /3. 2/20

3 Si queremos calcular la probabilidad de obeer u s o ua espada al exraer ua cara de ua baraa española, podemos razoar que eemos 4 ases y 0 espadas, luego la probabilidad sería 4. ero ese razoamieo ampoco es correco ya que los sucesos o so muuamee excluyees, pueso que exise u s de Espadas. Observemos que la probabilidad es u úmero del iervalo [0,], La razó debe ser ua fracció propia, ya que el oal de resulados posibles o puede ser meor que el úmero de resulados co u deermiado aribuo. Si u suceso ha de ocurrir co seguridad, su probabilidad es. E cambio, si es seguro que o va a ocurrir, su probabilidad es cero. Las probabilidades deermiadas mediae la defiició clásica se deomia probabilidades a priori. Como e cualquier ora rama de las maemáicas, rabaaremos co obeos ideales: moedas equilibradas, líeas de achura cero, círculos perfecos, ec. Exise varios icoveiees e esa maera clásica de abordar el problema. Es obvio que la defiició dada de probabilidad edremos que modificarla de algua maera cuado el oal de resulados posibles sea ifiio. or eemplo, supogamos queremos calcular la probabilidad de que u úmero aural exraído al azar sea par. La respuesa iuiiva a esa cuesió es ½. ara usificar ese resulado, omaríamos los diez primeros aurales y calcularíamos la probabilidad, la cual sale ½. Luego lo haríamos co los 00 primeros, Después co los.000 primeros. l fial, lo hacemos co los 2N primeros aurales y omamos límies e N. La razó seguiría siedo ½. El argumeo aerior y su respuesa so plausibles, pero su usificació rigurosa o es algo secillo. odemos daros cuea que el razoamieo aerior se basa e la ordeació de los úmeros aurales. Si uviésemos ua ordeació diferee, o podríamos llegar a dicha respuesa. La defiició clásica de probabilidad suscia ora dificulad más grave aú que la que se presea e el caso de u úmero ifiio de resulados posibles. Supogamos que eemos ua moeda co ua disribució de su masa al que exise u sesgo a favor de las caras. Los dos resulados posibles al lazar dicha moeda o so igualmee probables. Cuál es eoces la probabilidad de obeer cara? La defiició aerior o os permie respoder la pregua. Nos ecoramos aú co ora dificulad al raar de respoder preguas ales como Cuál es la probabilidad de que u iño acido e Madrid sea varó? Cuál es la probabilidad de que ua muer muera aes de los 55 años? Cuál es la probabilidad de que ua bombilla pueda ecederse al meos 200 veces? Desearíamos que odas esas preguas uviera respuesa dero del marco de la eoría de la probabilidad. Si embargo, las cuesioes de simería, igualmee verosímiles, ec. o puede cosiderarse como lo sería e u uego de azar. or ao, edremos que alerar o exeder la defiició de probabilidad. 3/20

4 3. ROBBLDD OSTEROR O FRECENCL. Supogamos que lazamos ua moeda 00 veces, la cual omamos bie equilibrada y simérica. Los resulados so 56 veces cara y 44 veces cruz. hecho imporae e que la frecuecia relaiva de caras iede a esabilizarse e oro al valor ½. Eso sugiere que la frecuecia relaiva obeida podría uilizarse como ua aproximació de la probabilidad de obeer cara co la moeda empleada. Es razoable supoer que exise u úmero, que desigaremos co p, que es la probabilidad de obeer cara. Si la moeda parece verdaderamee bie equilibrada y simérica, podemos emplear la defiició aerior para esablecer que p es aproximadamee ½. Decir que p es igual a ½ es sólo ua aproximació, pueso que para esa moeda e paricular o podemos esar seguros de que los dos resulados sea igualmee verosímiles. ero comprobados el equilibrio y la simería de la moeda, parece razoable supoer que lo so. Tomemos ahora ua moeda desequilibrada, de al forma que después de u exame esamos compleamee seguros de que los dos sucesos, cara y cruz, o so igualmee verosímiles. u e esos casos, puede posularse la exisecia de u úmero p como probabilidad de obeer cara, pero para hallar el valor de p o podremos aplicar la defiició clásica. Tedremos que uilizar la eoría frecuecial. Cocreemos u poco más. Supogamos que podemos realizar observacioes o experimeos bao codicioes compleamee uiformes. Es decir, hecha la observació, se repie el suceso e codicioes aálogas y se hace ora observació. al repeir eso muchas veces, auque las codicioes sea siempre similares, exise ua variació icorolable que es casual o aleaoria, de forma que o es posible predecir el resulado de las observacioes idividualmee. Eso sugiere que defiamos u úmero p, llamado probabilidad del suceso, y que lo aproximemos por la frecuecia relaiva co que aparece dicho suceso e las repeidas observacioes. 4. MODELOS DE ROBBLDD. o de los obeivos de la ciecia cosise e predecir y describir sucesos del mudo e que vivimos. a maera de hacerlo es cosruir modelos maemáicos que describa adecuadamee el mudo real. E la eoría de la probabilidad hacemos lo mismo. Cosruimos u modelo probabilísico que pueda uilizarse para describir sucesos del mudo que os rodea. sí, por eemplo, puede desearse hallar ua ecuació adecuada para predecir el sexo de cada acido e ciera localidad. La ecuació sería muy complea y o se ha descubiero igua. Si embargo, puede cosruirse u modelo de probabilidad que, auque o sea muy úil para raar u suceso idividual, sirva perfecamee par ocuparse de grupos de sucesos. Cabe eoces idicar la exisecia de u úmero p que represee la probabilidad de que u acido sea varó. parir de esa probabilidad fudameal podemos respoder a preguas ales como: Cuál es la probabilidad de que de diez acidos, al meos res sea varoes? Cuál es la probabilidad de que hay res varoes cosecuivos e los próximos cico acimieos? ara coesar a ese ipo de preguas vamos a desarrollar u modelo idealizado de probabilidad. 4/20

5 Cosideraremos ua eoría de la probabilidad adecuada sólo para aquellas siuacioes que puede ser descrias por los resulados de experimeos cocepuales. Es decir, cosideraremos úicamee aquellos sucesos cuya repeició sea cocebible bao codicioes semeaes. Tambié ecesiamos que pueda eumerarse cada posible resulado de u experimeo. sociaremos probabilidades solamee co esos resulados. añadiremos, si embargo, que au cuado u resulado sea imposible puede ser icluido su probabilidad es 0. Lo fudameal es recordar que ha de icluirse cada resulado que puede ocurrir. DEF Cada resulado imagiable de u experimeo cocepual, que puede repeirse bao codicioes similares, será deomiado u puo muesral, y la oalidad de los resulados imagiables se llamará espacio muesral, siedo deoado por Ω. 5. CONJNTOS DE NTOS. Vamos a defiir cieras operacioes sobre el couo de puos que forma el espacio muesral y que so ecesarias para poseriores esudios. couo de puos, llamado a veces simplemee u couo, es ua colecció de elemeos que iee cieras propiedades específicas. Si s es u puo o u elemeo que pereece al couo Ω, escribiremos s Ω. DEF Diremos que los couos S y S 2 so iguales si cada elemeo de S es ambié u elemeo de S 2, y cada elemeo de S 2 lo es de S. Es decir si S y S 2 iee exacamee los mismos puos. DEF Diremos que S es u subcouo de Ω, y se deoa por S Ω, si cada elemeo de S es ambié u elemeo de Ω. DEF E cada aplicació de la eoría exisirá u couo uiversal, el propio espacio muesral Ω, al que odos los demás couos que iervega e el aálisis so subcouos de Ω. lguas veces puede que o se idique explíciamee el espacio muesral, pero geeralmee esará implício e el coexo de la discusió. DEF El complemeo de u ciero couo S, respeco al espacio muesral Ω, será el couo de puos que esá e Ω pero o e S. Se idicará por Ω S, o ambié por S. DEF Llamaremos Couo Nulo a u ciero couo S que o coiee puos. Se deoará por. DEF suceso esá defiido e el espacio muesral Ω como u subcouo de puos de Ω, y cuado decimos probabilidad de que ocurra queremos decir probabilidad de que aparezca cualquier puo de. 5/20

6 Si el espacio muesral coiee u coiuo de puos, o defiiremos odo subcouo como u suceso, sio sólo subcouos medibles. DEF Sea S y S 2 dos elemeos de S. Llamaremos ió de los sucesos S y S 2, y se deoa por S S 2, al suceso formado por odos los puos de S y odos los puos de S 2. DEF Sea S y S 2 dos elemeos de S. Llamaremos ersecció de los sucesos S y S 2, y se deoa por S S 2, al suceso formado por odos los elemeos comues a S y S 2. De las defiicioes aeriores se desprede los resulados siguiees, dode Ω es el espacio muesral, y S y S 2, elemeos de Ω. RO Se verifica: Ω 2 Si S y S 2 o iee puos comues eoces S S 2. 3 S Ω S 4 S Ω S 5 Ω S Ω S S 6 S S S 7 S S S DEF Diremos que u espacio muesral Ω es discreo si verifica ua de las dos codicioes siguiees: úmero fiio de puos. 2 úmero ifiio de puos que puede poerse e correspodecia biuívoca co el couo de los úmeros aurales. DEF Diremos que u espacio muesral Ω es coiuo si coiee u couo coiuo de puos. 6. DESRROLLO XOMÁTCO DE L ROBBLDD. E los aparados aeriores hemos viso los cocepos de probabilidad clásica y frecuecial que puede ayudaros a resolver imporaes problemas de la ciecia experimeal. ara coadyuvar a la solució de esos problemas vamos a desarrollar ua eoría maemáica de la probabilidad. E primer lugar, vamos a euciar los axiomas que empleamos para desarrollar la eoría. Supodremos u espacio muesral Ω cuyos elemeos queda, de momeo, ideermiados. simismo, se supodrá fiada ua familia S de subcouos del espacio Ω. S Ω 6/20

7 quí Ω es el couo de las pares de Ω, es decir, la familia formada por odos los subcouos de Ω. or ao Ω equivale a Ω Fialmee supodremos dada ua fució de domiio S que oma valores reales. DEF Diremos que la era Ω,S, es u Espacio de robabilidad e Ω, o Disribució de robabilidad e Ω, si verifica las codicioes siguiees, esado las res primeras referidas a S y las res úlimas a : S Ω S S2 S S S3 k S k S k k es u úmero real al que 0 para odo suceso de S. 2 Ω 3 Si S y S 2 so dos sucesos de S muuamee excluyees S S 2 eoces S S 2 S S 2. Esos axiomas, que usaremos para desarrollar el modelo idealizado de probabilidad, esá moivados por las defiicioes de probabilidad clásica y frecuecial. Veamos ahora alguos eoremas que so resulado direco de los axiomas aeriores. TEOREM Sea Ω u espacio muesral y ua fució de probabilidad e Ω. La probabilidad de que o ocurra el suceso es. Se escribe como Sabemos que y que Ω. plicado el axioma 2 eemos que Ω Y aplicado el axioma 3, Ω co lo que, quedado así demosrado. TEOREM Sea Ω u espacio muesral co fució de probabilidad. E al caso 0 para cualquier suceso de S. or el axioma, 0 7/20

8 Y aplicado el eorema aerior, como verificado que 0 eoces ecesariamee se debe dar que TEOREM Sea Ω u espacio muesral co ua fució de probabilidad. eoces 0. La coclusió se obiee de forma imediaa si más que eer e cuea que S 7. ESCO MESTRL DSCRETO CON N NÚMERO FNTO DE NTOS. E cieros ipos de problemas, ere los cuales los uegos de azar cosiuye eemplos oables, el espacio muesral coiee u úmero fiio,, de puos, y la probabilidad asigada a cada puo es. Es decir, e cieros problemas exise u úmero fiio de ordeacioes, y es oalmee realisa supoer que la probabilidad de cada ordeació es. E geeral, es suficiee para esos problemas la defiició clásica, y puede uilizarse los méodos combiaorios para la eumeració de las ordeacioes. DEF Sea s, s 2,..., s los puos muesrales de u espacio muesral discreo Ω. Diremos que la fució es ua fució de probabilidad de sucesos igualmee verosímiles si saisface las codicioes siguiees: s s 2...s. 2 Si es u suceso que coiee cualesquiera puos muesrales, eoces. La primera codició afirma que cada uo de los puos muesrales es igualmee verosímil y, por ao, que su probabilidad e. La seguda codició esablece que la probabilidad de u suceso que coega de los puos muesrales es. 8/20

9 Es fácil comprobar que esa defiició cumple los res axiomas aeriores y es, por ao, ua fució de probabilidad. 8. RMERS ROEDDES DE L FML DE SCESOS S. E lo que sigue supodremos dado u espacio de probabilidad cualquiera Ω, S, al cual se referirá odos los cocepos que desarrollemos. La propiedad S2 de la familia de sucesos S se expresa diciedo que S es ua familia de couos cerrada por la operació de complemeario. La propiedad S3 sigifica que S es cerrada por uioes umerables. Las res propiedades que coiee los axiomas S, S2 y S3 caraceriza las familias de couos que se llama σ-álgebras e Ω. Veamos a coiuació las primeras cosecuecias de esos axiomas. RO El couo vacío pereece a la familia S, S Como Ω, resula lo que se desea de S y S2. RO2 eoces La familia S es cerrada por uioes fiias. Es decir, si k S co k k k S. E paricular, si,b S se verifica que B S. odemos aplicar S3 dode omamos k para k>, obeiedo el resulado pedido. RO3 eoces La familia S es cerrada por ierseccioes fiias. O sea, si k S para k k k S. e paricular, si,b S se verifica que B S. Como se iee que k S, resula de la proposició aerior que S omar complemearios se obiee el resulado deseado. k k y al RO4 La familia S es cerrada por ierseccioes umerables. Es decir, si k S para k:,2,... eoces k k S. Similar a la aerior. 9/20

10 DEF Dados dos couos y B, llamamos diferecia simérica de y B, y se represea por B, al couo B B B. RO5 sea, La familia S es cerrada por diferecias ordiarias y diferecias siméricas. O S, B S B S 2 S, B S B S Como para la diferecia de dos couos se iee que B B obeemos la primera pare de la esis de la roposició 3. 2 Teiedo e cuea y la proposició 3 obeemos el resulado. Como resume de las propiedades visas e ese aparado, podemos decir que la σ- álgebra S es Cerrada por las operacioes de Complemeario, Diferecia y Diferecia simérica, así como por uioes o ierseccioes de u couo coable de sucesos. E casos pariculares, operado co couos o umerables de sucesos el resulado puede ser u suceso. DEF Diremos que ua sucesió de sucesos es Moóoa Creciee si se cumple que para odo. DEF. Diremos que ua sucesió es Moóoa Decreciee si para odo DEF Diremos que la familia { Ω: }, dode es u iervalo de la reca real, es ua familia Moóoa Creciee si, 2, co < 2 2 DEF Diremos que la familia { Ω: }, dode es u iervalo de la reca real, es ua familia Moóoa Decreciee si, 2, co < 2 2 RO6 Si { : a,b} es ua familia de sucesos moóoa creciee, para cualquier sucesió se iee x al que 2 y al que a < x < x y a< < b Lim x x S b 0/20

11 vale b > y > y a< < b Lim y y S a Es imediao ver que el segudo miembro de la igualdad esá coeido e el primero. a< < b x S Veamos la iclusió coraria, Dado ' a, b ' / x > ' ' por lo que y como es arbirario obeemos ' a< < b x' x x S De las dos iclusioes aeriores obeemos la igualdad a demosrar. 2 La demosració la vamos a realizar de forma aáloga. E primer lugar, es imediao ver que ara comprobar la iclusió coraria por lo que y por ser arbirario demosrado así la igualdad. y a< < b Dado ' a, b ' / y < ' ' ' a< < b y ' y S S y S RO7 Si { : a,b} es ua familia de sucesos moóoa decreciee, para cualquier sucesió se iee 3 x al que a < x < x y Lim x b /20

12 vale 4 y al que a< < b b > y > y x S Lim y y a< < b S a Defiiedo B, la familia {B : a,b} es moóoa creciee y se le puede aplicar el eorema aerior. l omar complemearios e las relacioes que se obiee para los sucesos B, coseguimos las igualdades a demosrar. 9. LÍMTES EN S. Dada ua sucesió de couos de Ω, podemos defiir los siguiees uevos couos. DEF Llamamos Límie ferior de la sucesió Ω al couo Lim {ω: para algú, y ω } DEF Llamamos Límie Superior de la Sucesió Ω al couo Lim {ω:ara algua sucesió de eeros < 2 < 3 <... y vale ω } odemos decir que el Límie ferior esá formado por los elemeos ω que pereece a odos los desde uo e adelae. E cambio, el Límie Superior esá formado por los elemeos que pereece a ifiios. RO Se verifica: Lim p p 2 Lim p p mediaas a parir de la defiició. DEF Diremos que exise el Límie de si los límies superior e iferior so iguales y se escribe Lim Lim Lim 2/20

13 RO El límie iferior y superior de ua sucesió de sucesos es u suceso. or ao, cuado exise el límie de ua sucesió de sucesos, dicho límie es ambié u suceso. La primera pare es cosecuecia de la fórmulas demosradas e la úlima proposició. La seguda pare es obvia. RO Se verifica las siguiees relacioes: Lim Lim 2 Lim Lim 3 Lim Lim Se obiee de forma imediaa a parir de las defiicioes. 2 y 3 se obiee a parir de los resulados de la primera proposició de ese aparado, si más que uilizar las leyes de Morga. Las sucesioes moóoas so covergees, es decir, iee límie. Comprobémoslo RO Se verifica: Si la sucesió es moóoa creciee eoces exise Lim 2 Si la sucesió es moóoa decreciee eoces exise Lim La demosració se obiee fácilmee. 0. ROEDDES DE L FNCÓN DE ROBBLDD. La fució de probabilidad es No Negaiva por el axioma 2. Y por el axioma 3 la fució es umerablemee adiiva, o ambié llamada σ-adiiva. Veamos las primeras cosecuecias de los res axiomas que saisface la fució. 3/20

14 RO El suceso vacío,, es u suceso de probabilidad cero o suceso ulo. Llamado a y aplicado 3 co para odo, obeemos igualdad que solamee es ciera si a0. a a a a... RO2 es Fiiamee diiva. Es decir, si los couos S para :,2,..., so disuos, eoces: E paricular S, B S, B B B Tomado e el axioma 3 los couos del euciado para :,2,..., y para >, el euciado de 3 se coviere e la igualdad del eorema. l ser fiiamee adiiva y umerablemee adiiva, podemos decir que es Coablemee diiva. RO3 Si S, B S, B, eoces se iee que es Susraciva. Es decir, B B 2 es Moóoa. Es decir, B demás, S 3 4 Teiedo e cuea la hipóesis B podemos deducir B B y B y de aquí obeemos y de aquí B B B B 2 Teiedo e cuea que 0 para odo suceso de S, eemos que B 0, obeiedo fácilmee la expresió a demosrar. 4/20

15 3 y 4 se deduce de las expresioes y 2 ya demosradas si más que omar B Ω. RO4 es Fiiamee Subadiiva. Es decir, para sucesos cualesquiera, co :,2,..., se verifica: E paricular S, B S B B ara poder realizar la demosració, defiimos los couos B como sigue B y B co 2 k k Los couos que acabamos de defiir verifica las siguiees propiedades: B, por la propia defiició. 2 Los B so odos ellos disuos, ya que si h<i se iee B h h y Bi i 3 B Comprobemos que, efecivamee, se verifica la ercera de las propiedades. ara ello, hemos de comprobar las dos iclusioes. La iclusió B se verifica a parir de la primera de las propiedades. ara demosrar la iclusió coraria, lo que vamos a comprobar es Si ω B, y resula evidee. ω ω B Si ω, exisirá u ciero al que ω y ω k para k<. Eoces ω B y por ao pereece a la uió de ellos, al y como queríamos ver. a vez probadas esas propiedades, podemos demosrar la proposició de la siguiee forma: B B RO5 es Numeráblemee Subadiiva. Es decir, para cualquier sucesió de sucesos se iee 5/20

16 6/20 l igual que hemos hecho e la demosració de la proposició aerior, iroducimos los couos B defiidos de la misma forma y, por ao, verificado las mismas propiedades. Eoces B B RO6 ara dos sucesos cualesquiera y B se verifica B B B odemos esablecer las cuaro relacioes siguiees B B B B B B B B las cuales os permie escribir B B y B B B De ambas expresioes, elimiado B obeemos lo que queremos demosrar. RO7 Sea, 2,..., sucesos cualesquiera. Eoces < < < K k i k i i i Vamos a realizar la demosració por iducció e el úmero de sucesos. Supogamos que eemos sucesos. ara 2 la expresió aerior se coviere e la esis de la prop6. Sea válida la expresió a demosrar, para sucesos. ara eemos

17 plicado ahora la suposició de ser ciero para sucesos compleamos la demosració por iducció. RO8 Se verifica: Si los sucesos co so sucesos ulos eoces la uió de odos ellos es u suceso ulo. 2 Si los sucesos co so sucesos casi seguros eoces la iersecció de odos ellos es u suceso casi seguro. ara la demosració, basa eer e cuea la prop4 e la que vimos que era subadiiva. 0 2 ara esa pare omamos complemearios y aplicamos el caso aerior. RO9 Se verifica: Si es ua sucesió de sucesos ulos, eoces su uió es u suceso ulo. 2 Si es ua sucesió de sucesos casi seguros, eoces su iersecció es u suceso casi seguro. La demosració es igual que la de la proposició aerior, pero uilizado el resulado obeido e la prop5.. ROEDDES DE LÍMTE. RO Se verifica: es Coiua feriormee. Es decir, dada ua sucesió moóoa creciee se verifica que Lim 2 es Coiua feriormee. Es decir, dada ua sucesió moóoa decreciee se verifica que Lim E el caso de ser la sucesió moóoa creciee podemos escribir 7/20

18 8/20 verificado los sucesos del segudo miembro que so disuos. or ao k k k k Lim Lim Lim 2 Si la sucesió es moóoa decreciee, la formada por los sucesos complemearios es moóoa creciee y eemos Lim Lim y de aquí obeemos de forma imediaa la expresió que queremos demosrar. RO2 Si es ua sucesió de sucesos cualesquiera, se verifica Lim Lim Lim Lim De las relacioes p p p p resula p p p p Si defiimos las sucesioes B y C como p B p p C p podemos comprobar que so moóoas, y aplicado la prop obeemos C Lim C Lim Lim Lim Lim B B Lim

19 RO3 es Coiua. Es decir, si es ua sucesió de sucesos covergee, iee límie, eoces exise Lim Lim La demosració es imediaa co sólo aplicar la proposició aerior. claració. E la siguiee proposició vamos a uilizar el cocepo de Límie Laeral. ara cualquier fució real f usaremos las oacioes Lim c Lim c f f c f f c ara el límie laeral por la derecha e c. ara el límie laeral por la izquierda e c Recordemos la siguiee propiedad que relacioa el límie ariméico y el límie fucioal. RO ara ua fució real f defiida al meos e a, ah so equivalees las dos codicioes siguiees: Lim f c a 2 ara cada sucesió co a < < ah y a se verifica Lim f c áloga propiedad podemos demosrar para el límie laeral por la izquierda. RO4 Sea { : a,b} ua familia de sucesos moóoa creciee. Eoces: Lim 2 Lim b < b a > a Si la familia de sucesos { : } es moóoa creciee, se iee de forma aáloga: Lim 2 Lim R R Vamos a demosrar las dos primeras, ya que la seguda pare es aáloga. La fució f: a,b defiida por f es ua fució moóoa acoada por lo que exise los límies. Si x es ua sucesió moóoa esricamee creciee co límie b resula imediaamee, por la relació ere el límie ariméico y fucioal, y el resulado de la prop6 del aparado 8 9/20

20 20/20 < b x x b Lim Lim 3 La demosració de esa expresió se realiza de forma aáloga. RO5 Sea { : a,b} ua familia de sucesos moóoa decreciee. Eoces: < b b Lim 2 > a a Lim Se puede obeer de la proposició aerior uilizado sucesos complemearios. BBLOGRFÍ RECOMENDD. Esadísica Teórica. u. J.M.Doblado y M.C. Nieo. Edi. NED roducció a la Esadísica Teórica. u.: G ráiz. Edi.: Lex Nova Esadísica Teórica y plicada. u.:. Nores. Edi.: S. Rodríguez. roducció a la robabilidad y la Medida. u.: Zoroa y N. Zoroa. Edi.: Maior DM.