Análisis de flujos en lámina libre y su interacción con sólidos y estructuras por el método de partículas y elementos finitos (PFEM)

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1 Aálisis de flujos e lámia libre y su ieracció co sólidos y esrucuras por el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) E. Oñae B. Suárez F. Salazar R. Morá M.A. Celiguea S. Laorre Publicació CIMNE Nº-365, Sepiembre 2011

2 Aálisis de flujos e lámia libre y su ieracció co sólidos y esrucuras por el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) E. Oñae 1 B. Suárez 1 F. Salazar 1 R. Morá 1 y 2 M. A. Celiguea 1 S. Laorre 1 1 Cero Ieracioal de Méodos Numéricos e Igeiería (CIMNE) Escuela Técica Superior de Igeieros de Camios, Caales y Pueros Uiversidad Poliécica de Caaluña 2 Escuela Técica Superior de Igeieros de Camios, Caales y Pueros Uiversidad Poliécica de Madrid Publicació CIMNE Nº-365, Sepiembre 2011 Cero Ieracioal de Méodos Numéricos e Igeiería Gra Capiá s/, Barceloa, España

3 Aálisis de flujos e lámia libre y su ieracció co sólidos y esrucuras por el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) Eugeio Oñae 1, Bejamí Suárez 1, Ferado Salazar 1, Rafael Morá 1,2, Miguel A. Celiguea 1 y Salvador Laorre 1 1 Cero Ieracioal de Méodos Numéricos e Igeiería (CIMNE) Escuela Técica Superior de Igeieros de Camios, Caales y Pueros Uiversidad Poliécica de Caaluña 2 Escuela Técica Superior de Igeieros de Camios, Caales y Pueros Uiversidad Poliécica de Madrid Resume. Se describe los cocepos básicos del méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) para aálisis de flujos de fluidos e lámia libre y su ieracció co objeos sólidos y esrucuras floaes o sumergidas. Se presea diversas aplicacioes del PFEM e los ámbios de la igeiería de pueros e hidráulica y al esudio de la caída de ua avalacha sobre u embalse. 1 Iroducció Exise u ierés creciee e el desarrollo de méodos robusos, eficiees y precisos para el aálisis de problemas de igeiería e los que ieraccioa fluidos e lámia libre co esrucuras y/o sólidos sumergidos oal o parcialmee. Ejemplos de ese ipo so comues e problemas de hidrodiámica de barcos, esrucuras off-shore, aliviaderos de presas, flujos e caales, reacores de mezclas, lleado de moldes, ec. Los problemas de ieracció ere sólidos e fluidos se aaliza ormalmee co el méodo de elemeos fiios (MEF) uilizado ua formulació arbiraria Lagragiaa-Euleriaa (ALE) e la que el movimieo de las parículas del fluido esá desacoplado del de los odos de la malla. Las dificulades ípicas de la formulació ALE icluye el raamieo de los érmios covecivos y de la codició de icompresibilidad e las ecuacioes del fluido, el seguimieo de la superficie libre, la rasferecia de la iformació ere los domiios del fluido y del sólido vía las ierfases de coaco, el modelado de la roura de olas, la posibilidad de raar grades movimieos de sólidos rígidos y esrucuras deformables dero del fluido, la acualizació eficiee de las mallas de elemeos fiios para la esrucura y el fluido, ec. La mayoría de esos problemas desaparece, o dismiuye cosiderablemee, si se uiliza ua descripció Lagragiaa para las ecuacioes del fluido y del sólido. E la formulació Lagragiaa se sigue el movimieo de cada parícula de forma idividual y, cosecueemee, los odos e la malla de elemeos fiios que discreiza el domiio oal (icluyedo los sub-domiios del fluido y la esrucura) puede cosiderarse como ``parículas'' e movimieo. E ese rabajo se presea ua clase paricular de formulació Lagragiaa para raar la ieracció ere fluidos y sólidos deomiada méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) [1,2]. El PFEM cosidera los odos e la malla, ao e los sub-domiios del fluido como del sólido, como parículas que puede moverse libremee e icluso separarse del domiio del fluido reproduciedo, por ejemplo, el efeco de goas de agua. Ua malla de elemeos fiios coeca los odos que defie el domiio discreizado e dode se resuelve las ecuacioes de gobiero co el MEF [10]. La veaja de la formulació Lagragiaa es que los érmios covecivos desaparece de las ecuacioes del fluido. La dificulad, si embargo, se rasfiere al problema de mover adecuadamee (y eficieemee) los odos de la malla. E ese rabajo se uiliza u procedimieo de regeeració de la malla iovador que mezcla elemeos de diferees formas mediae u méodo de Delauay exedido [3].

4 E la formulació Lagragiaa exise odavía la ecesidad de raar adecuadamee la codició de la icompresibilidad e el fluido. Nuesro objeivo es uilizar elemeos lieales co ierpolacioes de igual orde para las variables de velocidad y presió. E uesro rabajo hemos uilizado ua écica de esabilizació basada e el méodo de cálculo fiio (FIC). E la referecia [4] se puede ecorar aplicacioes de la écica FIC para problemas de fluidos icompresibles uilizado elemeos riagulares y eraédricos lieales. La formulació Lagragiaa iee muchas veajas para seguir el movimieo de las parículas del fluido e flujos e dode exise grades desplazamieos de la superficie libre, como es el caso de olas que rompe sobre u dique. E el PFEM la iformació es odal, es decir la malla de elemeos fiios se uiliza para obeer los valores de las variables de esado (ej. las velocidades, presioes, ec.) e los odos. Aquí aparece ua dificulad e la ideificació de los cooros del domiio a parir de u cojuo de odos. El cooro puede icluir la superficie libre e el fluido y ambié las parículas del líquido que se mueve fuera del domiio del fluido. E los próximos dos aparados se presea las ideas básicas del PFEM. Tras ello se describe brevemee los procedimieos para la geeració de la malla, para la ideificació de los odos e la superficie libre y para el raamieo de la erosió del fodo e cauces. Fialmee, se muesra la eficiecia de la écica PFEM e su aplicació a u úmero de problemas e los ámbios de la igeiería de pueros e hidráulica y al esudio de la caída de ua avalacha e u embalse. 2 Cocepos básicos sobre el PFEM Cosideremos u domiio que coiee subdomiios de fluido y de sólido. Las parículas de fluido e movimieo ieraccioa co los cooros del sólido iduciedo por ao su deformació, que a su vez afeca al movimieo del fluido.por cosiguiee, el problema esá oalmee acoplado. E el PFEM, ao los domiios del fluido como del sólido se modela uilizado ua formulació Lagragiaa acualizada [10]. Se uiliza el MEF para resolver las ecuacioes de gobiero e ambos domiios. Por ao debe geerarse ua malla que discreiza esos domiios para resolver las ecuacioes de gobiero para el fluido y el sólido como es usual e el MEF. Los odos que discreiza los domiios del fluido y del sólido puede eederse como parículas de maeriales cuyo movimieo se sigue durae la solució rasioria. La calidad de la solució depede de la discreizació uilizada. Puede uilizarse écicas de refiamieo de malla para mejorar la solució e zoas dode ocurra grades movimieos del fluido o de la esrucura. La formulació Lagragiaa permie seguir el movimieo de cada parícula idividual del fluido (u odo). Eso permie modelar la separació de las parículas del líquido del domiio del fluido y para seguir su movimieo como parículas idividuales. Ua solució ípica co el PFEM ivolucra las eapas siguiees. 1. Discreizar los domiios del fluido y del sólido co ua malla de elemeos fiios. El proceso de geeració de la malla se basa e ua discreizació de Delauay exedida del domiio de aálisis uilizado ua colecció iicial de puos que se coviere e los odos de la malla [3]. 2. Ideificar los cooros exeros para los domiios del fluido y del sólido. Esa es ua eapa esecial ya que alguos cooros (como la superficie libre e los fluidos) puede haberse disorsioado durae el proceso de solució, icluyedo la separació y reerada de odos. E uesro rabajo se uiliza el méodo de Alpha Shape [E] para la defiició de los odos del cooro [1-3]. 3. Resolver las ecuacioes acopladas del movimieo Lagragiao para los domiios del fluido y del sólido. Calcular las variables de esado e ambos domiios e cada paso de iempo: las velocidades, la presió y las esioes viscosas e el fluido, y los desplazamieos, las deformacioes y las esioes e el sólido. 4. Mover los odos de la malla a ua ueva posició e fució del amaño del paso del iempo. 5. Geerar ua ueva malla. El proceso de regeeració de la malla puede eer lugar después de u úmero prescrio de pasos de iempo, o cuado la malla acual ha sufrido imporaes disorsioes debido al movimieo. 6. Volver a la eapa 2 y repeir el proceso de solució para el paso de iempo siguiee. Ese proceso se muesra esquemáicamee e la Figura 1.

5 Iiial cloud of odes C Solid ode Fluid ode Fixed boudary ode C V Flyig Sub-domais Mesh M V M Fixed boudary Domai V M +1 C Cloud +1 C x, u, v, a,.,,. +1 C +1 V +1 V +1 M Mesh +1 M Fixed boudary Domai +1 V +1 M +2 C +1 x,. +1 u, +1 v, +1 a, +1, +1, +1 Cloud +2 C ec Figura 1 Secuecia de pasos para acualizar ua ube de puos que represea u domiio que coiee u fluido y u sólido de u iempo = a u iempo =+2 3 Ecuacioes y su solució umérica La Figura 2 muesra u domiio V co sus cooros v y dode se prescribe las velocidades y las fuerzas de superficie. El domiio V esá formado por los subdomiios de fluido (V F ) y de sólido (V S ), respecivamee. Ambos subdomiios ieraccioa a lo largo de u cooro comú FS dode las variables (desplazamieos u, velocidades v y aceleració a) y las fuerzas de superficie so los mismas para ambos subdomiios. Se defie las variables S y F que defie las variables ciemáicas y los campos de esioes y deformació e los subdomiios de sólido y de fluido e el iempo, es decir S:= [ x, u, v, a,,, T ] T s s s s s s s F :=[ x, u, v, a,,, T ] T F F F F F F F Dode x es el vecor de coordeadas, εε, y σ so los vecores de deformacioes, velocidades de deformació y esioes de Cauchy y T es la emperaura. Los subídices F y S idica que las variables pereece al subdomiio de fluido o de sólido. La solució del problema de ieracció fluido-sólido se efecúa co el siguiee algorimmo alerado: 0. Se supoe que se cooce las variables e el sólido y el fluido e el iempo ( S y F ). 1. Se calcula las variables e el domiio del sólido e el iempo ( S ) bajo las fuerzas de superficie que el fluido ejerce e el cooro fluido-sólido FS. La solució se efecúa iegrado e el iempo las ecuacioes del movimieo e el sólido esádares uilizado el MEF y u algorimo de Newmark [10]. 2. Se calcula las variables e el domiio del fluido e el iempo ( F ) prescribiedo e el cooro las velocidades que el sólido ejerce sobre aquel. E el reso de cooros se prescribe las fuerzas de FS

6 superficie y las velocidades coocidas e la forma esádar. La solució se obiee iegrado e el iempo las ecuacioes de coservació de la caidad de movimieo y de balace de masa para u fluido icompresible lagragiao. E uesro rabajo se uiliza u algorimo basado e u méodo de elemeos fiios esabilizado y u esquema de iegració emporal de Euler hacia arás [5-7,10]. Se iera ere las eapas 1 y 2 hasa que se obiee la covergecia. Solid Domai Fluid Domai V F FS v v FS SF V S FS Prescribed velociies V a FS i he fluid domai Prescribed racios a SF i he solid domai FS = SF Noe. FS ad v FS are equivale Figura 2 Divisió del domiio de aálisis V e subdomiios de fluido y sólido. Variables e las ierfaces comues 4 Geeració de ua ueva malla Uo de los puos clave para el éxio de la formulació de fluidos Lagragiaos que aquí se describe es la rápida regeeració de ua malla e cada paso de iempo a parir de la posició de los odos e el domiio espacial. E uesro rabajo hemos geerado la malla uilizado la deomiada Teselació exedida de Delauay preseada e [3]. Ua vez que se ha geerado la malla e cada paso de iempo se aborda la solució umérica uilizado el algorimo descrio e el aparado previo. 5 Traamieo del coaco ere fluido y pared y ere sólidos La codició de velocidades o presioes prescrias e los cooros del domiio de aálisis puede aplicarse e el PFEM e los odos del cooro. Esos odos puede pereecer a cooros exeriores fijos, o a cooros móviles viculados a los sólidos que ieracúa co el fluido, o bie al propio fluido. El coaco ere las parículas de agua y los cooros de sólido se iee e cuea a ravés de la codició de icompresibilidad, que previee de forma aural que los odos de agua peere e los cooros de sólido. Esa forma secilla de raar el coaco ere el agua y las paredes del sólido es ora caracersica del PFEM (Figura 3a). El cooro ere dos sólidos se puede modelar iroduciedo ua capa de elemeos de coaco ere las caras de los sólidos que choca ere sí. Esa capa se crea auomáicamee durae la geeració de malla. Los elemeos que coforma la capa de coaco reproduce la codicioes de impeerabilidad y rozamieo mediae la selecció de los parámeros de su ecuació cosiuiva (Figura 3b). Ese algorimo de coaco se ha aplicado co éxio al esudio de la ieracció de cuerpos rígidos y deformables dero de líquidos e movimieo y ambié para modelar la ieracció ere úiles de core y el erreo e procesos de excavació y uelació [8].

7 (a) (b) C Coac bewee fluid ad fixed boudary Coac bewee solid boudaries V Fluid Solid Fluid domai M Solid + M +1 C Fixed boudary Air +1 V Fluid e +1 e e h b >h cri Air e h>h cri Air h < h c Solid V i i e F i Fixed boudary F i V i Coac ierface h < h c Coac elemes a he fixed boudary Coac elemes are iroduced bewee he solid-solid ierfaces durig mesh geeraio Coac forces F i = - F vi Sig(V i ) F vi = K 1 (h c -h) K 2 V i Sig(V i ) Fluid fixed boudary eleme h < h cri e Figura 3 (a) Traamieo del coaco ere el fluido y ua pared. (b) Caà de coaco ere u sólido y ua pared 6 Modelado de la erosió de lechos La erosió e el lecho de u fluido se puede modelar mediae el PFEM a ravés de ua écica similar a la uilizada para la abrasió de superficies. E esecia, el méodo cosise e calcular el rabajo que ejerce las fuerzas ageciales al fluido sobre la superficie del lecho. Cuado ese rabajo excede u valor deermiado se supoe que el domiio del lecho que rodea a u odo se ha erosioado. E ese isae las propiedades de ese domiio pasa a ser las del fluido y se marca co ua eiquea al odo erosioado que es rasporado por el fluido. El algorimo permie recuperar aguas abajo el maerial erosioado, asigado al odo erosioado uas propiedades diferees a las del líquido (ales como el peso). De esa forma, cuado el odo se aproxima de uevo al lecho cofigura u uevo domiio al que se le asiga las propiedades del lecho. La Figura 4 muesra u esquema de ese proceso. i k Bed erosio due o fluid forces m k j k l k Bed Fluid Bed domai h k K V k K 1 V V 2 2h V k 2 K V d= 0 d W 0 c 4 hk The release ode k m Fluid Eroded domai Wk k l k l i j Bed domai i j Figura 4 Modelado de la erosió de u lecho co el PFEM

8 E la Figura 5 se muesra u ejemplo esquemáico de erosió de u lecho al icidir sobre el u chorro de agua. Se aprecia que las parículas del lecho se deposia aguas abajo del chorro. La Figura 6 muesra u ejemplo de la erosió progresiva de u moículo de area por el que pasa por ecima ua corriee de agua. Fialmee e la Figura 7 se muesra resulados de u esudio de erosió y raspore de parículas por la corriee del agua e el lecho de u rio adyacee a la cimeació de ua pila de u puee. Se aprecia que la erosió del lecho deja al descubiero la cimeació. Figura 5 Erosio, raspore y sedimeació de pariculas e u lecho e las proximidades de u chorro de agua Figura 6 Erosio de ua moaña de area bajo usobre-verido de ua corriee de agua.

9 Figura 7 Esudio de la erosió y raspore de parículas por la corriee del agua e el lecho de u rio adyacee a la cimeació de ua pila de u puee. No se muesra el fluido del agua 7 Aplicacioes Se presea diversos ejemplos que muesra las posibilidades de aplicació del PFEM e Igeiería Civil. La Figura 8 muesra ejemplos del esudio del oleaje sobre dos aludes de bloques del dique de Lagoseira (A Coruña). E la Figura 9 se muesra la progresiva erosió debido al oleaje que se produce e la zoa desproegida de uo de esos aludes. Figura 8 Aplicació del PFEM al esudio del efeco de las olas rompiedo sobre diques de bloques.

10 Figura 9 Erosió de u alud desproegido de u dique por efeco del oleaje. Figura 10 Caída de u camió al mar por erosió de la base graular sobre la que circula debido al oleaje La Figura 10 muesra u ejemplo esquemáico que simula la caída al agua de u camió al desmoroarse la zoa del erreo adyacee al mar por dode rasia, debido a la erosió del erreo iducida por las olas. E la Figura 11 se muesra u ejemplo del flujo de agua que desagua por u aliviadero de ua presa y su impaco e el pie de la presa. Fialmee, e la Figura 12 se muesra resulados del esudio del deslizamieo de ua masa de erreo sobre la bahía de Liuya [9].

11 Figura 11 Aplicacioes del PFEM al esudio del verido del agua e aliviaderos e presas Figura 12 Simulació del deslizamieo ocurrido e la bahía de Liuya [9]

12 Coclusioes El PFEM es ideal para raar problemas e los que se ieracúa fluidos co superficie libre co esrucuras sumergidas o floaes. La variedad de problemas que puede aalizarse co el PFEM es grade, e icluye u amplio abaico de problemas de ieracció fluido-esrucura eiedo e cuea grades movimieos de las parículas del fluido o de la esrucura, olas, efecos de salpicaduras del agua, ec. El éxio del PFEM esriba e la solució eficiee y precisa de las ecuacioes de u fluido icompresible y de la diámica de sólidos uilizado ua formulació lagragiaa para el sólido y el fluido y u méodo de elemeos fiios esabilizado co elemeos secillos (riágulos y eraedros) co la misma ierpolació para odas las variables. Oros igrediees del PFEM so la regeeració eficiee de la malla y la ideificació de los odos del cooro co la écica Alpha Shape. Los ejemplos que se muesra evidecia las posibilidades del PFEM para resolver problemas de ierés prácico e las igeieras hidráulica, de pueros y cosas y medio-ambieal, ere oras. Agradecimieos Ese rabajo se ha realizado co el apoyo del Proyeco Cosolider SEDUREC del MICIIN y el Proyeco SAFECON del Europea Research Coucil. Se agradece el apoyo de Dragados para los esudios del oleaje sobre el dique de Lagoseira e el marco del Proyeco SAYOM. Referecias bibliográficas [1] E. Oñae, S.R. Idelsoh, F. Del Pi, R. Aubry, The paricle fiie eleme mehod. A overview, I. J. Compu. Mehods, 1(2), , 2004b. [2] S.R. Idelsoh, E. Oñae, F. Del Pi, N. Calvo, Fluid-srucure ieracio usig he paricle fiie eleme mehod, Compu. Meh. Appl. Mech. Egg., 195, , [3] S.R. Idelsoh, N. Calvo, E. Oñae, Polyhedrizaio of a arbirary poi se, Compu. Mehod Appl. Mech. Egg., 192(22-24), , 2003c. [4] E. Oñae, J. García, S.R. Idelsoh, F. Del Pi, FIC formulaios for fiie eleme aalysis of icompressible flows. Compu Mehods Appl Mech Egrg., 195, (23-24), , 2006b. [5] S.R. Idelsoh, M. Mier-Torrecilla, E. Oñae, Muli-fluid flows wih he Paricle Fiie Eleme Mehod. Compu. Meh. Appl. Mech. Egg., 198, , [6] E. Oñae, S.R. Idelsoh, M.A. Celiguea, R. Rossi, Advaces i he paricle fiie eleme mehod for he aalysis of fluid-mulibody ieracio ad bed erosio i free surface flows, Compu. Meh. Appl. Mech. Egg., 197 (19-20), , [7] E. Oñae, S.R. Idelsoh, M.A. Celiguea, R. Rossi, J. Mari, J.M. Carboell, Pavel Ryzhakov, B. Suárez, Advaces i he paricle fiie eleme mehod (PFEM) for solvig coupled problems i egieerig. E Paricle-Based Mehods. Fudameals ad Applicaios, E. Oñae ad R. Owe (eds.), Compuaioal Mehods i Applied Scieces 25, Spriger, [8] J.M. Carboell, E. Oñae, B. Suárez, Modelig of groud excavaio wih he Paricle Fiie Eleme Mehod. Joural of Egieerig Mechaics (ASCE), 136(4), , [9] F. Salazar, E. Oñae, R. Morá, Modelació umérica de deslizamieos de ladera e embalses mediae el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM). Rev. I. Mé. Num. Cálc. Dis. Ig. Acepado para publicació, [10] O.C. Ziekiewicz, e al., El Méodo de los Elemeos Fiios. Vol. 2: Mecáica de Sólidos. Vol. 3: Diámica de Fluidos, CIMNE, 2010.

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