ACELERACIÓN UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAS DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA DPTO. DISEÑO MECÁNICO Y AUTOMATIZACIÓN

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1 FCULTS DE INGENIERÍ

2 PÁGIN: 5-1 de 16 INTRODUCCIÓN El esudio de las aceleracioes e los mecaismos ariculados coplaares se puede abordar ya sea por méodos aalíicos o por méodos gráficos. Ese capíulo se deermiará las aceleracioes para cualquier puo de u mecaismo haciedo uso del méodo gráfico de los Polígoos de celeració. Para su compresió y desarrollo es ecesario el coocimieo y domiio de los polígoos de velocidades. La complejidad de ese ema se debe pricipalmee a la icorporació de uevos cocepos, como la aceleració de Coriolis, y la ecesidad de rabajar co sisemas de ecuació vecoriales más complejas que las uilizadas e los polígoos de velocidades. Ese úlimo aspeco se deriva del requerimieo de desglosar los vecores de aceleració e dos compoees para cada puo (ormal y agecial). diferecia del aálisis gráfico de velocidad, los ceros isaáeos de aceleració o será raados e ese maual por su poca icidecia e los esudios ciemáicos de los mecaismos.

3 PÁGIN: 5-2 de 16 ÍNDICE Polígoo de celeració celeració Relaiva / Diferecia de celeració celeració Relaiva / celeració de Coriolis Polígoo de celeracioes. Ejercicio REFERENCIS... 13

4 PÁGIN: 5-3 de 16 Lisa de figuras Figura..1 celeració ormal y agecial... 4 Figura..2 celeració Relaiva... 5 Figura..3 Perfil de celeracioes... 5 Figura..4 celeració de Coriolis... 6 Figura..5 Direcció de la celeració de Coriolis. Corredera curva... 8 Figura..6 Polígoo de aceleracioes. Corredera curva... 8 Figura..7 Direcció de la celeració de Coriolis. Corredera reca Figura..8 Polígoo de aceleracioes. Corredera reca Figura..9 Mecaismo equivalee al porador curvo Figura..10 Polígoo de velocidades del mecaismos de 6 barras Figura..11 Polígoo de aceleracioes e el puo del mecaismos de 6 barras Figura..12 Perfil de aceleracioes e la barra 4 del mecaismos de 6 barras Figura..13 Polígoo de aceleracioes de la barra 5 del mecaismos de 6 barras... 14

5 PÁGIN: 5-4 de 16 E el esudio de los mecaismos la aceleració represea u parámero básico para la evaluació de las fuerzas de iercia. l igual que e la velocidad, la aceleració puede deermiarse a parir de méodos aalíicos y por méodos gráficos. Si bie los méodos gráficos iee sus limiacioes, su esudio es de gra imporacia para la compresió ciemáica de los mecaismos y sirve como herramiea para la verificació de resulados obeidos a parir de ecuacioes. La aceleració se defie como la razó de cambio de velocidad respeco del iempo de u puo o parícula que pereece a u cuerpo. La aceleració, como la velocidad, es ua caidad vecorial; y se defie como la derivada de la velocidad respeco del iempo. La aceleració agular se represea como α y la aceleració lieal como, dode: dω α = d dv = (ec.a. 1) d diferecia de la velocidad, la aceleració de ua parícula que roa respeco a u puo iee dos compoees; la aceleració ormal o radial y la aceleració agecial o rasversal. Ver figura.1. = (ec.a. 2) Figura..1. celeració ormal y agecial La aceleració ormal se presea debido a la direcció cambiae del vecor de velocidad cuado u puo roa. La direcció es siempre radial y su seido va desde el puo que se ecuera e movimieo hacia el cero de roació de referecia. La magiud de la aceleració ormal depede de la velocidad de la paricula y del radio de roació y viee dada por las siguiees ecuacioes: 2 = ω R V = R 2 R = U caso especial de la aceleració ormal es cuado la barra se ecuera e raslació pura. Cuado u cuerpo se raslada el radio de roació iede a ifiio y la aceleració ormal es igual a cero (R= =0). La aceleració agecial se defie como la razó del cambio de la aceleració agular. La direcció es agecial a la rayecoria (90º de la ) y el seido esá dado por la aceleració agular. La magiud de la aceleració agecial depede de la aceleració agular y del radio de roació y viee dada por la siguiee ecuació: = α R (ec.a. 4) V R 2 = V R 2 (ec.a. 3)

6 PÁGIN: 5-5 de 16.1 Polígoo de celeració diferecia de la velocidad, para la aceleració sólo se puede emplear el polígoo de aceleracioes como méodo gráfico para resolver problemas. Para la aplicació del polígoo de aceleracioes se requiere la compresió del movimieo relaivo ere dos parículas..1.1 celeració Relaiva / Diferecia de celeració Cuado la aceleració esá referida a la ierra (sisema de referecia) se deomia aceleració absolua. E cambio, cuado la aceleració esa referida a u observador que pudiera esar e movimieo se deomia aceleració relaiva. La diferecia de aceleració esá referida al movimieo relaivo ere dos parículas que pereece a u cuerpo rígido (barra). Ver figura.2. = aceleració absolua del puo observado desde la referecia B = aceleració absolua del puo B observado desde la referecia B/ = aceleració relaiva del puo B observado desde el puo Por defiició se iee que: B = B/ (ec.a. 5) Figura..2. celeració Relaiva La ecuació de diferecia de aceleració se puede expresar de la siguiee forma 0 B B = B/ B/ (ec.a. 6) Perfil de celeracioes (P..) Como las parículas que pereece a ua barra iee la misma velocidad y aceleració agular cuado ésas esá roado, las dos compoees de la aceleració ( y ) so direcamee proporcioales al radio de roació. Como se observa e la figura.3, la direcció del vecor de aceleració siempre maiee la misma icliació respeco al radio y su seido correspode al de la aceleració agular. Figura..3. Perfil de celeracioes Se defie perfil de aceleracioes como el lugar geomérico dode se represea odas las magiudes de los vecores de aceleració que pereece a ua misma barra. E los perfiles de aceleració los vecores iee la misma direcció y seido.

7 PÁGIN: 5-6 de celeració Relaiva / celeració de Coriolis U caso especial es el movimieo relaivo ere dos puos coicidees e barras disias. E ese caso se va a cosiderar el movimieo deslizae ere dos eslaboes. La aceleració relaiva esá compuesa por res vecores: La aceleració ormal, la aceleració deslizae (equivalee a la agecial) y la aceleració de Coriolis. Ver figura.4.a. a) Corredera curva b) Corredera reca Figura..4. celeració de Coriolis celeració ormal: Esa aceleració o represea la compoee usual de dos puos e el mismo cuerpo. El módulo de la aceleració ormal se puede calcular a parir de la siguiee ecuació V 2 S = (ec.a. 7) R Dode V S es el módulo de la velocidad deslizae (velocidad relaiva ere dos puos coicidees) y R es el radio de curvaura isaáeo de la rayecoria de la corredera respeco al porador. U caso paricular es el mosrado e la figura.4.b, dode el movimieo ere las dos superficies es lieal, es decir el porador se represea co ua barra reca; e ese caso R = = 0. La direcció y seido de la aceleració ormal de dos puos coicidees (deslizaes) va desde el puo e movimieo C hacia su cero relaivo de roació X. celeració Deslizae: Ese compoee represea la derivada de la velocidad deslizae y su direcció coicide co la de la velocidad deslizae (agee a la superficie deslizae o perpedicular a la compoee ormal). La magiud y seido de la compoee deslizae se obiee de la resolució gráfica del polígoo de aceleració. celeració de Coriolis: Esa aceleració se produce cuado u puo esá girado y simuláeamee cambiado su radio de roació respeco a u puo de referecia. El módulo de la aceleració de Coriolis se deermia a parir de la siguiee ecuació: Coriolis c = 2 ωporador S = V (ec.a. 8) Como se puede observar la aceleració se presea cuado simuláeamee la parícula esá roado (ω Porador ) y esá cambiado la disacia del cero de roació V S. Si alguo de los dos compoees es igual a cero la aceleració de Coriolis desaparece ( c = 0). La direcció y seido de la aceleració de Coriolis se esablece de acuerdo al siguiee euciado: La aceleració de Coriolis esá 90 de la velocidad deslizae e seido de la velocidad agular del Porador.

8 PÁGIN: 5-7 de 16 Polígoo de celeracioes / celeració de Coriolis co Porador curvo E el mecaismo de cuaro barras que se muesra a coiuació se aprecia como se puede desarrollar la ecuació y el polígoo de aceleració cuado hay presee ua corredera que geera u deslizamieo o lieal respeco al porador. El aálisis cosidera como variables coocidas la velocidad y aceleració agular del porador. La ecuació iee como premisa que el polígoo de velocidades se ha desarrollado co aelació y se procede a deermiar la aceleració agular de la corredera (compoee de aceleració agecial). Corredera = Porador Corredera / Porador C = P (ec.a. 9) Como el porador presea ua curvaura de radio coocido es ecesario icorporar a la aceleració relaiva la compoee ormal; e adició a las compoees deslizae y de Coriolis. C C P P s = c (ec.a. 10) Para desarrollar la ecuació vecorial del polígoo de aceleracioes se debe aalizar separadamee los módulos y las direccioes como si se raara de dos ecuacioes. Si el aálisis arroja dos icógias, ya sea módulos o direccioes, la ecuació iee resolució vecorial. Para el aálisis suele ser coveiee expresar la aceleració agular e fució de vecores de velocidad coocidos de las barras, e lugar de la velocidad agular. V C C = P P s c M V 2 C CQ? = V 2 P PR α PR P? V 2 PX 2 ω S P V D C Q CQ = P R PR PX ( // V s ) ( ) // PX P X V s E el polígoo de aceleració se desarrolla la suma vecorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comezado por los vecores coocidos (módulo y direcció) y dejado para el fial de cada sumaoria los vecores descoocidos. Para la figura.5, el lado derecho de la ecuació se iicia co el vecor de aceleració ormal del puo C y fializa co la direcció de la compoee agecial del mismo puo. Para el lado derecho se iicio la suma vecorial co las compoees agecial y ormal del puo P, seguido de la compoee ormal y de Coriolis de la aceleració relaiva y al fial se idicó la direcció de la compoee deslizae de la aceleració relaiva (C/P). El seido de la aceleració agecia P correspode al seido de la aceleració agular del porador.

9 PÁGIN: 5-8 de 16 Como se observa e la figura.5, el seido de la aceleració de Coriolis se deermia girado el vecor de la velocidad deslizae 90º e seido de la velocidad agular del Porador. Figura..5. Direcció de la celeració de Coriolis. Corredera curva El orde de la sumaoria de vecores e el polígoo de aceleracioes de la figura.6 se puede alerar e caso que se desee eviar la superposició de los vecores; si embargo, lo más adecuado es maeer la secuecia idicada e la ecuació vecorial. Figura..6. Polígoo de aceleracioes. Corredera curva Como se puede observar e el polígoo de aceleració de la figura.6, la solució al sisema de ecuacioes se obiee cuado ambos lados sisema se iguala. La solució correspode a la iercepció de la direcció de la aceleració deslizae (lado derecho de la igualdad) co la direcció de la aceleració agecial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Ua vez ideificados odos los vecores se puede obeer gráficamee las magiudes de las aceleracioes. parir de la aceleració agecial C se obiee la aceleració agular α C. α = C C CQ

10 PÁGIN: 5-9 de 16 Polígoo de celeracioes / celeració de Coriolis co Porador reco E el mecaismo de cuaro barras que se muesra a coiuació se puede apreciar como se desarrolla la ecuació y el polígoo de aceleració cuado el porador es reco (radio ifiio). El aálisis cosidera como variables coocidas la velocidad y aceleració agular del porador. La ecuació iee como premisa que el polígoo de velocidades se ha desarrollado co aelació (Velocidad Relaiva V.3.2) y se procede a deermiar el compoee de aceleració agecial de la corredera. l ser reco el porador, el radio de curvaura de la rayecoria es ifiio y la compoee ormal igual a cero. De lo aerior se obiee como compoees de la aceleració relaiva la aceleració deslizae y la aceleració de Coriolis. C Corredera = Porador C P C = P P Corredera / Porador Para desarrollar la ecuació vecorial del polígoo de aceleracioes se debe aalizar separadamee los módulos y las direccioes como si se raara de dos ecuacioes. Si el aálisis arroja dos icógias, ya sea módulos o direccioes, la ecuació iee resolució vecorial. Para el aálisis suele ser coveiee expresar la aceleració agular e fució de vecores de velocidad coocidos de las barras, e lugar de la velocidad agular. s 0 = c V C C = P P s c M D V 2 C CQ? = V 2 P P PR PR C Q CQ = P R PR α? S 2 ω P V s // V PR E el polígoo de aceleració se desarrolla la suma vecorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comezado por los vecores coocidos (módulo y direcció) y dejado para el fial de cada sumaoria los vecores descoocidos. Para la figura.6, el lado derecho de la ecuació se iicia co el vecor de aceleració ormal del puo C y fializa co la direcció de la compoee agecial del mismo puo. Para el lado derecho se iició la suma vecorial co las compoees agecial y ormal del puo P, seguido de la aceleració de Coriolis y al fial se idicó la direcció de la compoee deslizae de la aceleració relaiva. El seido de la aceleració agecia P correspode al seido de la aceleració agular del porador.

11 PÁGIN: 5-10 de 16 Como se observa e la figura.7, el seido de la aceleració de Coriolis se deermia girado el vecor de la velocidad deslizae 90º e seido de la velocidad agular del Porador. Figura..7. Direcció de la celeració de Coriolis. Corredera reca. El orde de la sumaoria de vecores e el polígoo de aceleracioes de la figura.8 se puede alerar e caso que se desee eviar la superposició de los vecores; si embargo, lo más adecuado es maeer la secuecia idicada e la ecuació vecorial. Figura..8. Polígoo de aceleracioes. Corredera reca Como se puede observar e el polígoo de aceleració, la solució al sisema de ecuacioes se obiee cuado ambos lados de la igualdad se iguala. La solució correspode a la iercepció de la direcció de la aceleració deslizae (lado derecho de la igualdad) co la direcció de la aceleració agecial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Del polígoo se puede obeer gráficamee las magiudes de las aceleracioes aes señaladas. parir de la C se obiee la α C. α = C C CQ

12 PÁGIN: 5-11 de 16 Mecaismo de cuaro barras equivalee al porador curvo. Para mecaismos dode esá presees correderas co ceros de curvaura coocidas se puede emplear mecaismos equivalees que permie esudiar el comporamieo ciemáico. Como se puede ver e la figura.9, esos mecaismos se obiee reemplazado el porador y la corredera por dos barras biarias. El porador es susiuido por ua barra que va desde su puo de pivoe hasa el cero de curvaura de la superficie del porador. El par ciemáico de deslizamieo se reemplaza por ua barra biaria que va desde el acople de la corredera hasa el cero de curvaura del porador. E caso de que la curvaura sea variable se debe uilizar el cero isaáeo de velocidad de la corredera respeco al porador. Figura..9. Mecaismo equivalee al porador curvo

13 PÁGIN: 5-12 de 16.2 Polígoo de celeracioes. Ejercicio. coiuació se presea ua secuecia para deermiar la aceleració del puo B del mecaismo idicado e la figura.10, a parir de la velocidad coocida del puo 2. El polígoo de velocidad ya desarrollado se muesra e el lado derecho del mecaismo (Polígoo de velocidades V.3.3). Se debe desacar que cuado o se hace referecia a la aceleració agular de la barra moriz barra 2 se ifiere que la velocidad agular es cosae y por ede la aceleració agular es igual a cero. Figura..10. Polígoo de velocidades del mecaismos de 6 barras 1. El primer paso cosise e deermiar odas las aceleracioes ormales y de Coriolis presees e el mecaismo. La direcció y seido de los compoees ormales va desde el puo de esudio hacia el cero de roació respecivo. Todos los módulos so coocidos si se ha compleado co aelació los polígoos de velocidades, ya que esos esá e fució de la velocidad y del radio. 2. Para la barra 2 barra moriz o de erada la aceleració agecial es cero debido que la aceleració agular de la barra es igual a cero (velocidad agular cosae). 3. Para deermiar la aceleració del puo B se debe primero deermiar la aceleració del puo 4 (porador) a parir de la aceleració coocida el puo 2 (corredera). La ecuació vecorial se debe desarrollar plaeado la aceleració relaiva e fució de la deslizae: corredera respeco al porador. l aplicar la ecuació de aceleració relaiva e las correderas se debe presar aeció que ésa se correspoda co la velocidad deslizae de la figura.9 (relació corredera/porador). = / 4 ( V 2 / 4 2 / 4 ) 0 0 s 0 c /4 2/4 2/4 = 4. Como el porador es reco, la magiud de la aceleració relaiva ormal e la corredera es cero.

14 PÁGIN: 5-13 de l desglosar la ecuació e módulo y direcció (dos ecuacioes) se puede observar que el sisema se puede resolver ya que sólo exise dos icógias; que correspode a los módulos de la compoee agecial del puo 4 y de la aceleració deslizae 2/4. V 2 = 4 4 s c M V 2 2 P = V 2 4 Q?? S ω 4 V2/4 2 V4 2 V Q S 2/4 D P = Q Q s V2/4 // // Q Q 6. La solució vecorial se observa e la figura.11, dode primero se represearo los vecores coocidos desde el polo (paso 1) y poseriormee se represearo las direccioes de los vecores descoocidos (paso 2). La iersecció de las dos direccioes represeas la solució del sisema; siedo los segmeos los módulos de los vecores de aceleració de la compoee agecial del puo 4 y de la aceleració deslizae 2/4 ( S ). Figura..11. Polígoo de aceleracioes e el puo del mecaismos de 6 barras 7. Para deermiar el vecor de aceleració del puo 4 se procede sumar vecorialmee sus compoees ormal y agecial como se idica e el paso 3 de la figura.109.

15 PÁGIN: 5-14 de El siguiee paso cosise e deermiar la aceleració del puo C, para ello se desarrolla u perfil de aceleració (P..) e la barra 4 como se muesra e la figura.12 (pasos 4, 5 y 6). Figura..12. Perfil de aceleracioes e la barra 4 del mecaismos de 6 barras 9. Co la aceleració del puo C se procede a deermiar la aceleració del puo B. Como se observa e la ecuació, se puede obeer vecorialmee la aceleració de B juo co la compoee agecial de la aceleració relaiva a parir de la aceleració de C. V B = C B/ C B / C M? = V 2 / C B? BC D // Sup. = B C BC 10. E la figura.13 se observa la solució vecorial del sisema de ecuacioes plaeado el cual da como resulado el módulo, la direcció y el seido del vecor de aceleració de B (pasos 7, 8 y 9). Figura..13. Polígoo de aceleracioes

16 PÁGIN: 5-15 de 16 NOTS: I. Se recomieda, e caso de o eer el valor de K, deermiar odas las aceleracioes ormales y de Coriolis requeridas para resolver el problema. II. Se debe esablecer la relació ere el módulo de la aceleració y la celeració Real Ka = disacia de papel (K ) omado e cuea los valores de aceleració Disacia Papel calculados. Cada polo de aceleració iee asociado u valor de K. III. l aplicar la ecuació de aceleració relaiva e las correderas se debe presar aeció que ésa se correspoda co la velocidad deslizae (relació corredera/porador). IV. Si la barra es reca, la magiud de la aceleració ormal e la corredera es cero. V. Todas las magiudes, direcció y seido de los vecores de aceleració ormal y de Coriolis so coocidos. VI. Para faciliar el desarrollo de los polígoos de aceleració es imporae desarrollar los sisemas de ecuacioes. Esos os permie verificar que se iee suficiee iformació para resolver el sisema de ecuacioes (dos ecuacioes M y D y dos icógias? ) VII. Las ecuacioes de las aceleracioes ormales y de Coriolis se puede desarrollar para ser calculadas a parir de los módulos de los vecores y o de las velocidades agulares. VIII. Se debe eer presee que las ecuacioes de aceleració esá expresada e fució de valores reales. Para la icorporació de magiudes de papel de debe omar e cuea los facores K S, K V y K. IX. Las aceleracioes de las parículas de ua barra se puede obeer empleado perfiles de aceleracioes cuado el cero de roació es cosae e el iempo roació a parir de u par ciemáico de roació y esé referido a la ierra u ora barra. X. Cuado dos puos pereece a ua misma barra y su cero de roació o es cosae se debe resolver a ravés del polígoo de aceleracioes para diferecia de aceleracioes. XI. Cuado el porador es la barra de referecia (ierra) o hay Coriolis, ya que la velocidad agular del porador es cero (ω 1 =0). XII. Se debe eer presee que los CIV o puede ser empleados para resolver problemas de aceleracioes, ya que esos o represea a los Ceros Isaáeos de celeració.

17 PÁGIN: 5-16 de 16 REFERENCIS La revisió aalíica de la derivació del vecor de velocidad para obeer los vecores de aceleració se puede realizar e la guía de Ojeda (6); si embargo, e ése el aálisis sólo coempla las correderas recas. Se debe desacar que aú cuado odos los libros de mecaismos so idóeos para abordar y profudizar el coeido de ese capíulo, a coiuació se reseña alguas recomedacioes. E los apues de Torrealba (1), e el Erdma (2) y e el Mabie (5) el desarrollo del ema se ajusa más al efoque adopado por el maual (suma vecorial como sisema de ecuacioes). El esudio de la aceleració de Coriolis omado e correderas o recas (curvas) sólo es abordado por los apues de Torrealba (1), el Shigley (4) y el Mabie (5), siedo ese úlimo el que hace referecia a los mecaismo de cuaro barras equivalee al porador curvo. Por oro lado, e el maual se adopó el érmio deslizae empleado e el Noro (3) para referiros al compoee agecial de la aceleració relaiva ere puos coicidees.

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