IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES FINITOS E INFINITOS EN EL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL

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1 IMPORTANCIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES FINITOS E INFINITOS EN EL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL Diego Alejadro Espiia Villalobos Docor Albero Campos Direcor Profersor Hoorario de la Uiversidad Nacioal de Colombia Oscar Eduardo Gómez Rojas Co Direcor Maemáico de la Fudació Uivesiaria Korad Lorez Fudació Uiversiaria Korad Lorez RESUMEN: El propósio del presee escrio es ubicar al lecor hisóricamee e el desarrollo del aálisis fucioal y e el arículo de Erika Luciao preseado e la Revue d hisorie des mahémaiques iulado A he origis of fucioal aalysis: G. Peao ad M. Gramega o ordiary differeial equaios. Se hace ua lecura críica del arículo, desacado los puos claramee desarrollados e ése, y se iea expoer los que parece requerir esclarecimieo. 1

2 1. HISTORIA DEL DESARROLLO DEL ANALISIS FUNCIONAL SEGÚN FERNANDO BOMBAL 1 Como muchas eorías maemáicas, el aálisis fucioal surgió de la ecesidad de ecorar uevas écicas para resolver alguos problemas que co los méodos radicioales o se podía resolver. Desde los comiezos del cálculo diferecial los maemáicos ha viso la ecesidad de cosruir cojuos cuyos elemeos o fuese puos, como e la geomería euclidiaa, sio fucioes, como e las ecuacioes difereciales dode la solució de u problema coduce a esudiar el cojuo de fucioes solució de dicho problema y al esudio de sus propiedades. El aálisis fucioal es el esudio de los espacios fucioales, los cuales so cojuos formados por fucioes, doados de deermiadas propiedades que permie realizar e ellos gra pare de las operacioes habiuales del aálisis como límies de sucesioes, coiuidad de fucioes sobre ellos, ec. E 175 Daiel Beroulli eució el pricipio de superposició que afirma que la forma más geeral que puede omar ua cuerda homogéea de logiud π, maeida e esió y someida a vibració e u plao, puede obeerse como superposició de las formas más secillas que puede adopar (es decir, como superposició de las fucioes seo y coseo a disias ampliudes y períodos). Para pequeñas vibracioes la posició u ( x, ) e la abscisa x e el isae viee dada por la solució geeral de la ecuació diferecial: u u = x u x co u ( x,) = ϕ ( x) y (,) = φ ( x ) (1) dode ϕ ( x) y ( x) parículas e la cuerda. φ represea la posició y velocidad iiciales de cada ua de las 1 [3], [4] y [7].

3 El pricipio de superposició eucia que la solució geeral de (1) se puede escribir de la forma, i= 1 ( ) = ( ) ( ) u x a se x cos b para adecuadas eleccioes de a y b. Más adelae, co el descubrimieo por D Alember de la ecuació diferecial que rige el movimieo y co el desarrollo de las écicas aalíicas, se relegó el méodo de Beroulli a u segudo plao. Si embargo, la idea de Beroulli de pasar de u sisema fiio de ecuacioes a uo ifiio siguió siedo uilizada, pricipalmee por Fourier, para obeer las ecuacioes difereciales que corola los feómeos de rasmisió del calor y para la obeció cocrea de solucioes. Es Fourier quie ecuera que para resolver alguas ecuacioes difereciales por el méodo de superposició se debe uilizar la elimiació de parámeros que cosise e derivar ua serie érmio a érmio e igualar y a, lo que coduce a u sisema de ifiias ecuacioes co ifiias icógias. Para solucioar ese problema, Fourier propoe rucar hasa solo las primeras ecuacioes co icógias y luego hacer eder a ifiio. Si embargo ese méodo o es écicamee correco y el propio Fourier aclara sobre ese proceder Como esos resulados parece desviarse de las cosecuecias ordiarias del cálculo, es ecesario examiarlas co cuidado e ierprearlas e su verdadero seido. Por ejemplo, al cosiderar el sisema 3

4 x + x + x x +... = x + x x +... = x x +... = 1 las solucioes del sisema rucado so ( ) resulado claramee falso.,,...,1 que coverge a x = para odo i, i Después de Fourier los sisemas de ifiias ecuacioes lieales o fuero esudiados por más de 5 años. Los rabajos de Fourier uviero gra ifluecia e el raamieo poserior de las ecuacioes difereciales; por ejemplo, cuado se esudia las solucioes de la ecuació diferecial de la forma u x u y + = empleado el méodo de separació de variables y haciedo u ( x, y) v( x) w( y) cuado se reemplaza e la ecuació, se obiee =, ( ) ( ) ( ) ( ) v '' x w'' y = v x w y Como el primer miembro depede sólo de x y el segudo de y, sólo puede ser iguales si ambos so ua cosae λ, lo cual colleva al esudio de la ecuació diferecial de segudo orde: ( ) ' λ y q x y + y = 4

5 dode λ es u parámero complejo, q ( x) es real y la fució icógia y es de orde e u iervalo [ a, b ]. Ch. Surm y J. Liouville desarrollaro ua eoría geeral para abordar ese ipo de problemas. Surm demosró que el problema plaeado solo iee solució para ua sucesió esricamee creciee de valores reales del parámero λ, es decir, de los auovalores del problema, co lo que seó las bases para la eoría especral. Liouville demosró que la serie au, dode a = uu u covergee. u so las auofucioes y, coverge si la serie de Fourier de u (cualquier fució coiua) es Por úlimo, para la demosració de que la fució U = au coicide co u se b debe probar que si ( U u) u = para odo, eoces U = u, lo cual Liouville a hace bajo hipóesis resricivas. Esa es la primera vez que aparece la propiedad de compleiud de u sisema oroormal. El cálculo de variacioes ambié aporó para el desarrollo del aálisis fucioal. E ese cálculo se iea maximizar o miimizar ua fució del ipo b ( ϕ ) = F( ϕ( x),ϕ'( x) ) J,... dx a dode F es ua fució regular, y las variables ϕ u cojuo de curvas regulares paramerizadas e [a,b]. Es e ese coexo, e dode aparece la idea de campo fucioal como cojuo de fucioes admisibles, y la de disacia ere fucioes. 5

6 Uo de los primeros problemas plaeados co el programa de rigorizació del aálisis, fue esudiar bajo qué codicioes el límie puual de ua sucesió de fucioes coserva las propiedades de las fucioes de la sucesió, ales como coiuidad, derivabilidad, iegrabilidad, ec. Uo de los primeros ieos para aacar ese problema fue impoer cieras codicioes sobre la maera de coverger de las sucesioes. De esa maera aparece el cocepo de covergecia uiforme. Por oro lado, los maemáicos ialiaos Dii, Arzelá y Ascoli o modificaro la oció de covergecia sio que diero ua codició geeral sobre el cojuo formado por la sucesió de fucioes. Tal codició es la equicoiuidad. Esa codició garaiza que el límie puual sea coiuo. Aquí aparece uo de los apores de los arículos de Giuseppe Peao, quie rabajó e ecuacioes difereciales y e sisemas de ecuacioes difereciales lieales homogéeas. E esos rabajos Peao siea las bases para la eoría de operadores (eoría decisiva e cieros rabajos de D. Hilber y fudameal para el desarrollo del aálisis fucioal). Peao rabaja co las formas más simples de operadores lieales (a saber, las marices), desarrolla alguas propiedades básicas de esos ales como igualdad, suma y produco de u operador co respeco a u elemeo, además esablece la oció de módulo o orma de u operador. Ora de las ramas que hizo surgir el aálisis fucioal, fue las ecuacioes iegrales. E esa rama aparece problemas ales como ecorar ua fució σ ( x) que verifique la siguiee ecuació Sea ( X, τ ) u espacio opológico, (, ) Y d u espacio mérico y x u puo e X. U cojuo H de fucioes de X e Y se dice equicoiuo e x si y solamee si para odo r >, A vecidad de x al que f H, f ( A) B ( f ( x ), r). 6

7 b + σ ( x) k( x y) ( y) dy = f ( x) σ, a siedo k u úcleo simérico 3 y coiuo. Esa es ua ecuació iegral de segudo ipo (e ermiología de Hilber) dado que la fució icógia aparece ao dero como fuera de la iegral. Si se cosidera la iegral como u operador sobre u ciero espacio fucioal, la aerior ecuació oma la forma cuya solució formal es ( I + K ) σ = f si la serie coverge. σ = 1 3 ( I + K ) f = f Kf + K f K f () Los primeros resulados geerales para ecuacioes iegrales fuero obeidos por J.M. Le Roux y V. Volerra quiees esableciero eoremas de exisecia y uicidad para ecuacioes del ipo f x +, ( x) k( x ) f ( ) d = g( x) a Auque los resulados de esos dos maemáicos fuero similares, el rabajo de Volerra uvo ua mayor ifluecia poserior al resalar las propiedades de los operadores. Después de eso, Volerra hace oar la semejaza que iee la ecuació iegral co u sisema de ecuacioes lieales co mariz de coeficiees riagular. =. 3 Es decir, k ( x, y) k ( y, x) 4 Recuérdese la serie geomérica ( ) 1 3 como ua geeralizació de ésa serie. 1 x = 1 x + x x +..., por lo ao, se puede omar a σ 7

8 E ese momeo aparece el apore del rabajo de Maria Gramega, ya que e su esis de grado ella rabaja co sisemas ifiios de ecuacioes difereciales lieales homogéeos e ifiias icógias. E ese rabajo ambié uiliza el cocepo de operador, como su maesro Peao, pero esa vez lo hace como ua mariz ifiia, e dode ambié desarrolla las propiedades de igualdad, suma y produco además de la orma del operador. Tambié rabaja las ecuacioes iegro-difereciales llegado a ecorar la solució a problemas ales como la ecuació de Abel ( x) = k( x y) f ( y) k C( [,1] ), f C( [,1] ) y x [,1] ( ) (, x) f = 1 k, o la ecuació dode k C [,1], h C( [,1] ) y C( [,1] ) (, x, y) f (, y) dy + h(, s) f. 1 g, dy dode Tal solució la ecuera uilizado el méodo llamado iegracioes sucesivas, méodo ambié uilizado por su maesro, Peao, e la demosració de sus eoremas sobre la exisecia de ua solució para las ecuacioes difereciales y para los sisemas de ecuacioes difereciales lieales homogéeas. Gramega o se ieresó más por el ema de las ecuacioes difereciales e iegrodifereciales, aludiedo a que Volerra ya lo había esudiado más profudamee, por lo cual (sumado a que el arículo de Gramega o había circulado) muchos de los maemáicos igoraro los méodos que ella uilizó e el esudio de ese ipo de ecuacioes, lo que collevó a que, e los esudios sobre esos problemas, se refereciara úicamee a Arzelá, Ascoli y Volerra. 8

9 Fue ua observació hecha por Volerra la que ifluyó decisivamee e el rabajo de I. Fredholm cuya ieció era dar u uevo méodo de solució del problema de Dirichle 5. Para ello, Fredholm uiliza los resulados de Volerra e ecuacioes iegrales y alguos de los razoamieos uilizados por ése e sus demosracioes. De esa maera deduce que el problema de Dirichle iee solució úica para odo domiio Ω acoado del plao co superficie suficieemee regular. Al presear esos resulados e el Aca Maemáica e 193, Fredholm muesra la aalogía que supoe el esudio de las ecuacioes iegrales co los sisemas de ecuacioes lieales. La poecia de esos resulados y la elegacia de las demosracioes de Fredholm, colocaro las ecuacioes iegrales e el cero de ierés de los maemáicos de la época. Además, supoe el puo de parida de la eoría especral, el cual es u puo esecial para el poserior desarrollo del aálisis fucioal. D. Hilber ambié se ieresó vivamee e el ema. Ere 194 y 191 publicó seis arículos sobre ecuacioes iegrales e el Göige Nachriche. E esos aparece uevas ideas y direcrices que poseriormee, e maos de Riesz y Schmid, se coverirá e fudameos del aálisis fucioal. E uo de los arículos, Hilber, rabaja co la ecuació iegral f b ( x) + k( x, ) f ( ) d = g( x) λ (3) a 5 El problema de Dirichle cosisía e ecorar ua fució armóica u e u domiio Ω que oma valores prefijados e la froera Γ de Ω. 9

10 dode λ es u parámero complejo y el úcleo es simérico. Trabajado co esas ecuacioes, Hilber obiee los mismos resulados a los que Fredholm había llegado aes; si embargo, Hilber llegó aú más lejos. El esudio de las ecuacioes iegrales le lleva a iroducir las formas cuadráicas Q ( x) = K( xi, x j ) i= 1 j= 1 x x i j Luego demuesra que el paso al ifiio ( ) permie obeer al meos u auovalor de la ecuació iegral. Tambié ieó geeralizar esos resulados para úcleos meos regulares, pero la solució a ese problema o la alcazó. Hilber demosró ambié que oda fució de la forma b ( x) = k( x y) f ( y) g, a dy co f coiua eía u desarrollo e serie de auofucioes g = =1 ( x) ( g, ψ ) ψ ( x) absolua y uiformemee covergee, dode las ψ forma u sisema oroormal, lo que permiió abordar la solució de (3) de la siguiee maera b b ( x, y) f ( x) h( y) dxdy = ( f, ψ )( h, ψ ) k = a a dode ( f ψ ) = f ( s) ψ ( s) b, ds. a λ

11 E oro de los arículos que Hilber presea, abadoa odo el marco de las ecuacioes iegrales para cocerarse e raar de crear ua eoría geeral de formas bilieales y cuadráicas de ifiias variables que se aplique e paricular al esudio de las ecuacioes iegrales. Hilber iroduce la oció de sisema orogoal compleo de fucioes como ua sucesió ( ψ ) de fucioes coiuas e [ b] compleiud a, que cumpla la siguiee relació de ( f, g) = ( f,ψ )( g, ψ ) =1 para odo par de fucioes f y g. Luego, esablece que ua forma cuadráica es compleamee coiua si lim Q uiformemee para odos los ( ) x ( x) = Q( x) x = ales que = 1 x 1 y dode Q ( x) = p= 1 q= 1 k pq x p x q. Esa codició permie asegurar el éxio del méodo de rucamieo de Fourier, siempre y cuado las solucioes parciales obeidas ega ormas e L uiformemee acoadas. Más adelae, Hilber iroduce e L la disacia 11

12 d = = ( x, y) ( ) 1 x y y exiede las ocioes de coiuidad, límies, ec., para fucioes escalares sobre L. Muy proo aparece el hecho crucial de que o se cumple el aálogo del eorema de Bolzao-Weiersrass, lo que lleva a Hilber a cosiderar el equivalee a la oció acual de opología débil e L y prueba su pricipio de elecció que permie exraer de cada sucesió acoada e L ua subsucesio covergee débilmee. 1 E el rabajo de Hilber ambié aparece ya alguas clases imporaes de operadores ales como los hoy llamados de Hilber-Schimd, uclear, ec., auque e érmios de formas cuadráicas. E 196, Fréche iroduce la oció absraca de disacia e u cojuo, lo que permie exeder las ocioes habiuales de límies, coiuidad, ec., e cojuos absracos. Tambié irodujo las ocioes de compacidad, compleiud y separabilidad y mosró la imporacia de las mismas. E 198, Schmid publicó u ariculo e dode defie el espacio de dimesió ifiia L, co las ocioes acuales de produco escalar, orma, orogoalizacio, ec. Es e la búsqueda de resulados aálogos al pricipio de elecció de Hilber e disios espacios ormados e la que coforma la idea de opología débil y las écicas de dualidad. E 197, los maemáicos E. Fischer y F. Riesz descubriero idepedieemee el llamado eorema de Fischer-Riesz que esablece que si se fija u sisema oroormal compleo de fucioes ( ψ ), la aplicació (( f, )) = f ψ es u isomorfismo 1 1

13 hilberiao ere el espacio L ([ a, b] ) Lebesgue sobre [ a, b] y el espacio de Hilber L. de las fucioes iegrables e el seido de Ese mismo año, Riesz y Fréche obuviero la represeació de cualquier forma lieal coiua T sobre el espacio L e la forma para algua g del mismo espacio. ( f ) ( f g) = f ( x) g( x) T =, dx E 199, Riesz prueba que cualquier fucioal lieal coiua T sobre el espacio ([ a b] ) C,, puede escribirse como la iegral de Sieljes b ( f ) = f ( x) d ( x) T α dode α ( x) es ua fució de variació acoada. a E 191, Riesz iroduce los espacios L p, 1 < p <, como ua geeralizació de L e iea resolver u sisema de ifiias ecuacioes del ipo b f i ( x) g( x) dx = ci co i I a dode las f i y los escalares c i so coocidos y se debe ecorar la fució g. Para eso, uiliza los rabajos de Hilber, Schmid y Fischer y esudia la clase de fucioes f ales que p p f es iegrable e el seido de Lebesgue (clase [ ] q muesra que la solució g debe buscarse e la clase [ ] 1 1 L, siedo + = 1. p q L y Luego prueba el pricipio de elecció e ([ a b] ) oció de covergecia débil de la siguiee forma L p,, lo que lleva a iroducir la 13

14 x w ( f ) f f ( ) d f ( ) d x [ a, b] De ese modo, Riesz esablece la dualidad ere a x a L p y L q y prueba que oda sucesió e L p acoada e orma, posee ua subsucesio débilmee covergee a algua fució de L q. E 1913, Riesz, publicó su libro Les sysèmes d Équaios Liéaires à ua Ifiié d Icoues, dode esudia los sisemas de ifiias ecuacioes co ifiias icógias de la forma dode ( ) =1 a x = c i ai = ai Lp y la solució se busca e L q, co q cojugado de p. i Se observa de ese modo que Riesz esablece alguas ocioes básicas para el aálisis fucioal ales como las ocioes de orma, espacio dual, covergecia débil, ec. E 1918, Riesz presea su eoría de los operadores compacos, que es ua visió lieal de muchas de las ocioes iroducidas por Hilber e sus arículos sobre ecuacioes iegrales, auque si uilizar las ideas de orogoalidad y geomería del espacio de Hilber. E 19, S. Baach presea su esis (publicada dos años más arde) dode expoe ua serie de resulados válidos e disios campos fucioales, por lo cual desarrolla u cojuo de eoremas muy geerales que por especializació da lugar a los disios resulados buscados. E ese rabajo él uiliza las coribucioes hechas hasa el momeo y presea ua defiició axiomáica de lo que so los espacios vecoriales reales, ormados y compleos, presea lo que llama el pricipio de coracció uiforme y da la forma geeral del pricipio de coracció e espacios méricos compleos. 14

15 E 19, P. Levy publica el libro Lecos d aalyse focioelle dode aparece por primera vez el ombre de aálisis fucioal. Co ese ombramieo oficial se puede cosiderar que hasa aquí ha llegado el proceso fudacioal y surge ua ueva rama de la maemáica llamada aálisis fucioal.. PRESENTACIÓN DEL ARTÍCULO El arículo aalizado A he Origis of Fucioal Aalysis: G. Peao y M. Gramega o Ordiary Differeial Equaios ([6]) presea ua ieresae perspeciva acerca del desarrollo del aálisis fucioal, lo mismo que sobre los desarrollos hechos por los maemáicos ialiaos de fiales del siglo XIX. Luego de comear alguos resulados imporaes e la búsqueda del aálisis fucioal la auora presea y desarrolla primero el eorema de la exisecia de las solucioes de u sisema de ecuacioes difereciales lieales homogéeo e icógias. Ese eorema fue plaeado y demosrado por Peao de ua maera absoluamee maravillosa, debido al uso que hace de su simbología y del uso que hace ambié de las herramieas del cálculo vecorial. Además de demosrar la exisecia de la solució para dicho sisema de ecuacioes difereciales, muesra alguas propiedades que iee las solucioes debido al méodo que él uiliza llamado aproximacioes sucesivas. 15

16 Auque la demosració de ese eorema llevada a cabo por Giuseppe Peao fue asombrosa, o gozó de gra lecura ere sus colegas debido a varias razoes: El haber publicado sus resulados e el Proceedigs de la academia de Turí o permiió que se difudiera ampliamee, debido a que esa revisa úicamee era publicada e esa ciudad. Por lo ao muchos de los maemáicos de su época o coociero esos resulados sio hasa cuado se los preseaba e los cogresos. Tambié, los arículos cieíficos debía ser preseados pricipalmee e alemá o fracés, el ialiao o era a cieífico. Esos errores fuero corregidos cuado apareció e el Mahemaische Aale de Alemaia la raducció al fracés de su arículo. Si embargo, oros errores 6 o fuero corregidos e esa publicació: Los cocepos uilizados por Peao ales como orma o rasformació o era diesramee uilizados e esa época por lo cual muchos de los lecores de sus resulados o comprediero el desarrollo de la demosració. Y, por úlimo, el más grade de esos llamados errores fue el publicar sus resulados uilizado lo que él había desarrollado y llamado Lógica Maemáica la cual le rajo muchos problemas, o solo e la lecura de sus resulados sio ambié e su vida profesioal, debido a que, como esa lógica la había desarrollado y publicado e el Proceedigs de la Academia de Turí, o fue, uevamee, ampliamee coocida i ampoco el proyeco formulario que esaba llevado a cabo, dode desarrollaba co su lógica las bases de la ariméica, el algebra, la geomería y 6 Persoalmee esos úlimos llamados errores o so ales, ya que Peao sabía cuales herramieas de oras ramas eía dispoible y como uilizarlas, ales como la oació maricial y la lógica simbólica. 16

17 el aálisis demosrado que esa herramiea desarrollada por él resulaba muy úil e alguas demosracioes. Si bie eía veajas ese uso de su lógica ambié poseía la desveaja de ser difícil de maejar dado que su simbología, aú e ua empraa eapa, o era lo suficieemee iuiiva para uilizarla, y había que hacer u esudio previo basae exhausivo de cómo se debía operar co esos uevos símbolos. Después de eso, Erika Luciao señala como Maria Gramega geeralizó el eorema demosrado por Peao, demosrádolo para = por sugerecia de su maesro y direcor de esis. Aquí se puede ver el ivel de maejo que poseía Peao de su Lógica Maemáica y del uso de los operadores lieales, fudameales e ese rabajo. Al fial de su esis Maria Gramega muesra la solució para el sisema de ifiias ecuacioes difereciales lieales homogéeas co ifiias icógias uilizado ua oació parecida a la uilizada por Peao e su demosració previa. Muesra que esa solució saisface las propiedades que había mosrado Peao y lo demuesra. Por úlimo, rabaja co ecuacioes Iegro-Difereciales del ipo ( ) (, ) 1 f x = k x y f y dy + (,, ) (, ) h(, x) dode k C [,1], h C ([,1] ) y f C ([,1] ). Maria Gramega muesra que esa ecuació puede escribirse e forma absraca Df = sk f + h y usado la oació iroducida por ella, deduce que la solució esá dada por: f E sk;, f E sk;, h d ( ) ( ) = + E esa úlima pare del arículo, ella o da pruebas de sus afirmacioes aludiedo a que es suficiee repeir el mismo razoamieo y además escribe que o va más allá e ese ema debido a que fue esudiado por Volerra quie publicó sus resulados e esa misma época, Febrero de

18 Es e ese puo e dode los rabajos de Maria Gramega y E. H. Moore se cruza e el seido de que ambos maemáicos, esaba covecidos de que debería exisir ua eoría maemáica más absraca que icluyera la eoría de las ecuacioes difereciales lieales e espacios fiio dimesioales, la eoría de las ecuacioes difereciales lieales e espacios ifiio dimesioales y la eoría de las ecuacioes iegrales. Auque el méodo uilizado por los dos fue disio para esa aproximació: Maria Gramega se ceró úicamee e alguos casos especiales de espacios fucioales iroduciedo la oció apropiada de covergecia. Moore, e cambio, se acercó a esa eoría de ua maera más absraca. Desarrolló ua eoría cuyos elemeos era miembros de u cojuo M de fucioes de valor real x(s) para s que pereece a u cojuo absraco S. Luego, iroduce la oció de covergecia relaiva y muesra que la covergecia co la cual rabajaba Gramega es u caso paricular de la covergecia mosrada por él. Moore ambié escribía sus rabajos co la lógica simbólica de Peao así que su recepció fue ambié algo problemáica y Berkopf aoa que: Sus rabajos era difíciles de eeder por el uso de los símbolos. Se seía que su Aálisis Geeral o aporaba ada uevo y o solucioaba uevos problemas. Quizás, esaba cocepualmee algo adelaado a su época. El rabajo de Gramega fue proamee exalado por los discípulos de la escuela de Peao, quiees escribiero que el rabajo de Gramega era ua muesra de lo que la lógica simbólica de Peao podía llegar a hacer, ella muesra la imporacia del uso de los operadores y el uso de la eoría de las marices ifiias y deermiaes ifiios 18

19 para resolver el problema de los sisemas ifiios de ecuacioes difereciales lieales. Si embargo, ese rabajo o fue ampliamee leído, de uevo, debido al uso de la simbología a la cual muchos odavía o le dedicaba la debida aeció; por lo ao, el rabajo de Gramega o fue lo suficieemee ciado durae la primera miad del siglo XX e aálisis fucioal. Si embargo, sí lo hiciero Helliger y Toepliz e el presigioso Ecyclopädie der Mahemaische Wissechfe y Vivai y Volerra se refiere a él e ua bibliografía geeral sobre ecuacioes iegro-difereciales. Ese rabajo realizado por Maria Gramega fue ambié la causa de que la vida académica de Peao ermiara. Giuseppe Peao preseó el rabajo de Maria Gramega a la Academia de Ciecias de Turí iulado Serie di equazioi differeziali lieari ed equazioi iegrodifereziali el 13 de Marzo de 191. E esa sesió esaba presees el presidee de la academia Erico D Ovidio, Segre, Peao, Somigliaa, Jadaza, Naccari, Guareschi, Guido, Mairolo, Fusari y Paroa. Cuaro dias después, u ecuero de faculados omo lugar e Turí al cual asisiero el Decao Corrado Segre, el secreario Gio Fao y los profesores de iempo compleo D Ovidio, Somigliaa Boggie, Jadaza, Nacxari, Guareschi, Paroa, Spezia y Mairolo. E esa reuió, Segre, luego de recoocer los mérios de Giuseppe Peao e lógica, cálculo ifiiesimal y e fudameos de la maemáica, criicó el modo e el que el profesor Peao esaba desarrollado los cursos de cálculo ifiiesimal y de aálisis avazado debido a que ése eía como exo pricipal el Formulaire de Mahémaiques, por lo cual dedicaba mayor iempo e esudiar los símbolos que 19

20 había desarrollado gracias a su lógica maemáica que e esudiar los emas propios de la maeria. Segre ambié decía que el exo preseaba emas discoexos y arbirariamee elegidos, dejado de lado aspecos imporaes para u curso de aálisis avazado. Argumeaba que de ésa maera los esudiaes brillaes o podía avazar i liderar ivesigacioes e maemáicas avazadas. Co esos méodos, ellos apredía úicamee el acercamieo críico, más o el cosrucivo de esa disciplia. D Ovidio efaizó e que o se debería cofudir la eseñaza de la escuela del magiserio, que educaba a los esudiaes para eseñar e la escuela secudaria, co los cursos de Aálisis Avazado, dode se preseaba uevas eorías, preguas, herramieas y direccioes de búsqueda a los esudiaes. Oro puo del profesor D Ovidio fue, que e cada eoría maemáica, la fase iveiva o cosruciva precede a la fase criica y que además igú profesor debería egar la iuició a favor del rigor. Por úlimo, Somigliaa expresó serias dudas e la habilidad del profesor Peao para desarrollar alguos capíulos fudameales de aálisis avazado ales como la eoría de las ecuacioes difereciales y la eoría de las fucioes elípicas. Peao se defedió de esas críicas argumeado que e sus clases iroducía emas basae reciees y que además esimulaba a sus esudiaes e la coducció de búsquedas origiales, dode alguos de los resulados de esas ivesigacioes había sido publicados o esaba e proceso. Tambié, que omaba co especial aeció aquellos emas que podría ser úiles para los esudiaes que quisiera eseñar e escuelas secudarias y que además preedía defeder el rigor de la maemáica haciédola libre de errores (Véase [5]).

21 A parir de esa reuió, Peao fue despedido de los cursos de aálisis avazado y de cálculo ifiiesimal, al o acepar omar oros exos como pricipales y dejar el Formulaire como exo auxiliar. Tambié, le fue deegada ua propuesa para realizar u curso libre dode iba a mosrar el poder que eía su lógica maemáica y los resulados a los que, co ésa, había llegado. Después de eso, Peao se dedicó a su uevo proyeco: El proyeco ierligua o laí si iflexioes, el cual preedía ser u idioma co el cual oda la comuidad maemáica preseara sus escrios abadoado el proyeco de ua ueva edició del Formulaire de Mahémaiques y de su Rivisa de maemaica. Ese fue el fial de la vida académica de Giuseppe Peao. 3. DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE GIUSEPPE PEANO Y MARIA GRAMEGNA Auque sobre lo que quiere hacer éfasis la auora es e la imporacia de los arículos publicados por Peao y Gramega e el desarrollo del aálisis fucioal, esa imporacia o es resalada de maera apropiada dero del arículo. Lo que la auora desarrolla primero de forma exhausiva e el arículo es la demosració de los eoremas preseados por G. Peao y por M. Gramega e Iegrazioe per serie delle equazioi differeziali lieari de 1887 y e Serie di equazioi differeziali lieari ed equazioi iegro-differeziali de 191 respecivamee. Por lo proo preedo desarrollar alguos pasajes complicados del arículo de Erika Luciao preseado e la Revue d hisorie des mahémaiques iulado A he origis of Fucioal Aalyisis: G. Peao ad M. Gramega o ordiary differeial equaios. 1

22 El eorema demosrado por Giuseppe Peao preseado e Iegrazioe per serie delle equazioi differeziali lieari de 1887, es el siguiee: Sea ecuacioes difereciales lieales homogéeas e fucioes x1, x,..., x de ua variable real, dode los coeficiees α ij so fucioes de, coiuas e u iervalo cerrado y acoado [ p, q ] expresado así: dx1 d dx d M dx d = α x + α x α x = α x + α x α x 1 1 = α x + α x α x 1 1 Susiuyedo cosaes arbirarias a1, a,..., a e el lado derecho de las ecuacioes, e lugar de x1, x,..., x e iegrado desde o hasa, obeemos fucioes de deoadas por ' ' ' a1, a,..., a. Ahora, susiuyedo ' ' ' a1, a,..., a de uevo e el lado derecho de las ecuacioes por x1, x,..., x e iegrado desde o hasa, obeemos uevas fucioes de deoadas por proceso se iee a, a,..., a. Repiiedo ese '' '' '' 1 a + a + a +... ' '' a + a + a +... M ' '' a + a + a +... ' '' Esas series so covergees e el iervalo ( p, q ). Sus sumas que idicaremos por x1, x,..., x so fucioes de que saisface el sisema dado. Más aú, para =, ellos asume los valores arbirariamee escogidos a1, a,..., a.

23 Para demosrar ese eorema Peao se valió de la oació de marices y vecores y usó la eoría de las rasformacioes y complejos, eedidos como -uplas, así como el uevo méodo de aproximacioes sucesivas esbozado por J. Caqué y L. Fuchs, lo cual codujo a Peao a ua prueba de la exisecia de ua solució para u sisema de ecuacioes difereciales lieales. Demosració: U úmero complejo de orde es ua -upla de úmeros reales [,,..., ] a = a1 a a y la orma o módulo de ése se defie por a = a + a + + a Ua rasformació u operador lieal 7 ( αij ) M ( ) α =. i, j= 1,.., e esa represeado por la mariz Las propiedades elemeales ales como igualdad, suma y produco so defiidas del modo como se uiliza e las marices. El modulo de ua rasformació α es el operador orma e L L( ) la siguiee maera: = defiido de α L = sup x α x x 7 Ua fució A de X e Y (dode X e Y so espacios lieales) es llamada operador lieal si se cumple que A( x1 + x ) = A( x1 ) + A( x ) = Ax1 + Ax, para odo x1, x X y ( ) ( ) A α x = α A x = α Ax, para odo α y para odo x X, [8] y [1]. 3

24 Co esas herramieas y escribiedo el sisema aes preseado como la ecuació vecorial dx d = α x dode represeado el operador lieal α L( ) siguiee maera. x y α es la mariz de los coeficiees por el cual es, Peao demuesra el eorema de la Sea a ua -upla cosae arbirariamee escogida. Sea a ' = αad, a '' = αa ' d, a ''' = αa '' d, ec. Los compoees de a, a ', a '', a ''',... so precisamee los úmeros iroducidos e el eorema. Para demosrar que a + a ' + a '' + a ''' +... coverge, se debe demosrar que a + a ' + a '' + a ''' +... coverge. Siedo a ' = α ad αa d coiuas y acoadas e ( p, q ) eoces ( p, q ), y si L α a d M = max α se iee eoces que: Por lo ao a ' M ( ) a. 8 y como las fucioes ( α ij ) so α es ambié coiua y acoada e L ( ) α a d M a d = dm a = M a Del mismo modo se iee 8 La mayoració α ad αa d se da, ya que αa y a (, o ). Véase [1] p. 631, [] p. 41 y [9]. 4 α so iegrables e el iervalo

25 ( ) a '' = αa ' d αa ' d α a ' d MM a d ( ) MM ( ) a d = ( ) dm a = M a! Por lo ao ( ) a '' M a.! Ahora, a + a ' + a '' + a ''' +... es meor o igual que ( ) M a + M ( ) a + a +...! ( ) M 1 + M ( ) a! que coverge para cualquier ( p, q) = e. ( ) M a Como la serie de los módulos coverge eoces a + a ' + a '' + a ''' +... coverge Si se hace x = a + a ' + a '' + a ''' +... veamos que es la solució pedida. x = a + a ' + a '' + a ''' +... = a + αd a + αd αd a +... Difereciado érmio a érmio se iee que dx = αa + αa ' + αa '' + αa ''' +... d dx = α [ a + a ' + a '' + a ''' +...] d dx = α x d 5

26 Lo que se quería demosrar. Luego, e la raducció al fracés de ese arículo, Peao iroduce la siguiee oació para represear la solució del sisema dado: x = a + αd a + αd αd a +... = E a El eorema de Maria Gramega preseado e Serie di equazioi differeziali lieari ed equazioi iegro-differeziali de 191, es el siguiee: Cosidérese u sisema ifiio de Ecuacioes Difereciales e u úmero ifiio de icógias: dx1 d dx d... = u x + u x u x = u x + u x u x dode cada urs es cosae co respeco al iempo. Sea A la susiució represeada por la mariz de los rs u y su <, sea x la secuecia (,,...) x1 x y x su valor iicial. Podemos escribir el sisema de ecuacioes difereciales dadas como ua úica A ecuació Dx = Ax, y la iegral es dada por x = e x. Primero Erika Luciao presea ua prueba simple desarrollada por Gramega. De Dx = Ax, Maria Gramega ifiere que Dx Ax D e x A Por lo ao ( ) = y A A e x = x, luego x = e x. A = y que e ( Dx Ax ) =. Demosració: 6

27 U complejo ifiio es ua secuecia = ( ) a a y ( ) a ( a j ) : sup a l = l = = j 1 j <. La igualdad, suma y produco escalar los j 1 defie exediedo la exposició hecha por Peao. El modulo de u complejo ifiio es a = a = sup a. µ j 1 j Ua susiució u homografía para complejos ifiios es u operador defiido e l del modo siguiee: A: l l x Ax que saisface las siguiees propiedades x 1 ( ) ( ) ( ) x, y l A x + y = A x + A y = Ax + Ay x l sup Ax < El espacio de los operadores defiidos sobre l l. día se deoa por el cojuo L( ) es deoado por Subs C que hoy e El módulo de ua subsiució es el operador orma e L( l ) A L = sup x Ax x Que saisface las siguiees propiedades 7

28 ( l ) ( l ) ( l ) x l A L Ax A x A, B L A + B A + B A, B L A B A B El kerel de ua susiució acoada 9 es la mariz u u u u u u u M M = ( rs ) =, 1,..., 1... r s= al que dode A L( ) u : ( ) ( ) ( ) s, r u s, r = Ais = urs l, s e (,,...,,1,,... ) r i s = l y el r-compoee de la secuecia Ais l es deoado por ( Ais ) r = u. rs Gramega deoa por su el operador lieal sobre (,,...) ( ) ( ) ( ) sux = su x = sux sux dode 1 ( ) ( ) M sux = u x + u x sux = u x + u x l represeado por la mariz u y Ua vez desarrollados adecuadamee los aeriores cocepos, Maria Gramega procede a demosrar el eorema como sigue El sisema de ecuacioes difereciales 9 Ua susiució se dice acoada si exise u c R al que Ax c x para odo 8 x l.

29 dx1 d dx d... = u x + u x u x = u x + u x u x dode los u rs so fucioes coiuas de, se puede escribir de la siguiee maera: Dx = A x dode A L( l ). Supogamos x se iee: l, eoces aplicado el méodo de las aproximacioes sucesivas Dx x = A x 1 x M = = 1 A x d A x d Eoces la serie x + x1 + x + x coverge si y solo si x + x1 + x + x coverge.. Se iee que x1 = A xd A x d A x d Si sup{ A } = m es u úmero fiio, eoces A x d m x d = d m x = m x 9

30 Por lo ao x1 m x Del mismo modo se iee que x = A x1d A x1 d A x1 d m mm x d d m x x!. = = Por lo ao x m x.! Ahora, la serie x + x1 + x + x es meor o igual o esá mayorada por m m m m x m x x x m x e x! 3!! 3! m = = que coverge para cualquier, por lo ao la serie x + x1 + x + x coverge. x = x + x + x + x +... = x + A x d + A d A x d + A d A d A x d +..., Sea 1 3 la serie de las derivadas es: A x A A x d A A d A x d... A = x + A x d + A d A x d +... = A x Luego, la serie de las derivadas es la derivada de la serie, es decir, Dx = A x, por lo ao x saisface el sisema. Al igual que su maesro Peao, Gramega iroduce la oació ( ;, ) expresar la solució del sisema dado: E A para 3

31 ( ) x = x + A x d + A d A x d + A d A d A x d +... = E A;, x Ua vez demosrados esos eoremas Maria Gramega dedica uas págias al esudio de ecuacioes iegro-difereciales, previamee esudiados por Fredholm y Volerra. E esas págias ella iroduce las ocioes de complejo ifiio, susiució coiua, módulo de ua susiució coiua, produco fucioal de dos susiucioes coiuas y la expoecial de ua susiució. 4. CONCLUSIONES Auque la primera fialidad del arículo es la de mosrar la imporacia de los arículos de Peao y de Gramega, esa imporacia o es muy clara dero del rabajo, la auora muesra como se demosraro esos eoremas y muesra las herramieas uilizadas por Peao y Gramega e sus rabajos, más o hace explicia la razó por la que esos rabajos so imporaes e el desarrollo del aálisis fucioal. La imporacia de esos arículos y los eoremas aeriormee demosrados e el desarrollo del aálisis fucioal radica e la moderidad de las écicas usadas y e el maejo de uevas eorías ales como la eoría de los operadores lieales y de cocepos o muy diesramee maejados e esa época ales como orma de ua rasformació. Esos cocepos fuero lo suficieemee esudiados y desarrollados por Giuseppe Peao y Maria Gramega como para expresarlos e leguaje absraco (si empleo de marices). 31

32 El aseamieo de la eoría de operadores desarrollada por Peao, es de vial imporacia e el aálisis fucioal debido a que permie maejar cojuos de fucioes y pasar de u espacio fucioal a oro si la ecesidad de uilizar marices como rasformacioes lieales, además elimia la resricció de úicamee poder ir de u espacio de dimesió fiia a oro (o al mismo) espacio de dimesió fiia al permiir pasar de espacios de dimesió fiia o ifiia a oro espacio (o al mismo) de dimesió fiia o ifiia. Esa posibilidad de rabajar co espacios fiio o ifiio dimesioales es alamee imporae e el esudio de los espacios de Hilber y los espacios de Baach, cocepos fudameales e el aálisis fucioal. Erika Luciao plaea dos puos fudameales a desarrollar e su rabajo; el primero, es precisamee el que muesra e el íulo de su arículo, por que fuero imporaes los rabajos preseados por Giuseppe Peao sobre la exisecia de ua solució de ua ecuació diferecial y la exisecia de ua solució para u sisema de ecuacioes difereciales co icógias y el rabajo preseado por Maria Gramega e el cual geeraliza el rabajo de Peao y muesra la exisecia de ua solució para u sisema de ifiias ecuacioes difereciales co ifiias icógias e el desarrollo del aálisis fucioal, lo cual acabo de expoer. El segudo puo que la auora plaea es el del mal recibimieo del rabajo de la señoria Gramega por pare de la Academia de Ciecias de Turí debido al uso que ella iee de la lógica simbólica desarrollada por su maesro Peao que, si bie eía mucho poecial, su complicada simbología hacía los rabajos preseados de esa maera poco fáciles de eeder. La lógica maemáica y el simbolismo creado por Giuseppe Peao so imporaes para el poserior desarrollo de Russell sobre la lógica simbólica. E el cogreso de 19 e Roma, Peao comeó sus ideas sobre ese ema co Berrad Russell quie 3

33 logró adverir el gra poecial que esa rama edría e la fuura maemáica. Las ideas de Peao o uviero ua buea acogida por la mayoría de sus colegas debido a que su simbología era difícil de eeder. La lógica maemáica desarrollada por Russell, e cambio, uvo u bue recibimieo ya que el desarrollo y suseo que Russell hace de esa lógica es al que o da lugar a dudas. Sobre el recibimieo por pare de los miembros de la Academia de Ciecias de Turí del rabajo de grado de la señoria Maria Gramega (rabajo dirigido por Giuseppe Peao) esá, e mi puo de visa, muy bie explicado, ya que aquí la auora arra ordeadamee y paso a paso los hechos fudameales ocurridos e las reuioes de los miembro de la Academia, de la cual quiero hacer u pequeño resume aquí. El rabajo de la señoria Gramega llamado Serie di equazioi differeziali lieari ed equazioi iegro-differeziali es preseado por su maesro y direcor Giuseppe Peao a los miembros de la Academia de Ciecias de Turí, los cuales al ver el modo de proceder y la simbología uilizada por la auora de la esis y coociedo quie la dirigió, aacaro si cosideració algua a Peao mosrado su icoformidad free los siguiees aspecos: 1. La lógica simbólica a complicada de eeder usada por Gramega para expoer afirmacioes y el coeido mismo de las demosracioes mosradas e su rabajo. Los miembros del cosejo sabía que esa idea había llegado de Peao quie la había desarrollado y ahora la esaba impariedo e su curso de aálisis avazado.. Peao, quie había rabajado por basae iempo co la lógica simbólica, escribió u exo oalmee co esa simbología acerca del desarrollo de odos los emas que para él era imporae desarrollar e u curso de aálisis avazado, ales como la geomería, la ariméica, el álgebra, ec. Peao había 33

34 adopado ese libro llamado Formulario Maemáico como exo pricipal para imparir sus cursos, cosa co la cual o esaba de acuerdo los miembros del cosejo: el uso de ese libro o permiía a los esudiaes brillaes progresar e ivesigació avazada e aálisis avazado, además, ellos apredería úicamee el acercamieo críico [ ] pero o el cosrucivo, esecial para esa disciplia. Debido a esas críicas Peao fue obligado a imparir el curso de aálisis avazado co los libros clásicos y dejado el Formulario como exo auxiliar. Peao o acepa esa codició y propoe desarrollar u curso libre, peició que ampoco es acepada por el cosejo. Luego de eso Peao presea su reucia la cual es acepada y deja los cursos que por ao iempo imparió (calculo ifiiesimal) y el recieemee ombrado profesor de aálisis avazado. Si embargo a pesar que esos era los emas pricipales sobre los cuales la auora quería abordar, ambié, se puede ecorar ora referecia que es diga de abordar e ese documeo. Erika Luciao muesra res modos disios del proceder de los maemáicos de fiales de los años 18 y pricipios de los años 19 que fialmee coverge hacia el aálisis fucioal. Ua rama de esos desarrollos fue rabajada por D. Hilber e I. Fredholm quiees ivesigaro las ecuacioes iegrales e 19. Poseriormee, esas ivesigacioes fuero coiuadas por Schimd, Riesz, Helliger y Toepliz quiees ecoraro y demosraro muchos eoremas fudameales sobre la eoría de los operadores absracos, auque fuero expresados e érmios mariciales. 34

35 Es e esas ivesigacioes dode aparece formalmee el cocepo de espacio fucioal, cocepo que ya había rabajado Hilber e sus esudios previos de Ecuacioes Iegrales si mecioarlo explíciamee. Ora rama de esos avaces fue desarrollada e Ialia dode por u lado Ascoli, Arzelá y Volerra rabajaro co cojuos de fucioes, e especial, co fucioes coiuas cuyo domiio es u cojuo de fucioes coiuas, y quiees desarrollaro la eoría de fucioales, [7]. Por oro lado, Peao y Picherlé fuero líderes e el esudio de fucioales y las operacioes disribuivas aprovechado los esudios de Grassma y Laguerre e esa maeria. Fuero precisamee esos rabajos los que ispiraro a Hadamard y a Fréche quie le añadió ua esrucura geomérica adicioal al cocepo de espacio iroduciedo la oció de espacio mérico absraco lo cual proveyó ua ueva forma de abordar los espacios fucioales. Si embargo, los rabajos de Peao y Picherlé o fuero ampliamee difudidos ere los maemáicos de ese iempo, por lo ao esos resulados o fuero coocidos i aprovechados de modo que muchos maemáicos siguiero pesado e érmios mariciales y quedaro por uos años e el olvido hasa que E.H. Moore los redescubrió e 191 y Maria Gramega los uilizara para su rabajo de grado BIBLIOGRAFIA [1] Aposol, Tom Calculus Volume 1. Cálculo co fucioes de ua variable co ua iroducció al álgebra lieal. Ediorial Reveré. Seguda Edició. 813 pp. 35

36 [] Aposol Tom Calculus Volume. Cálculo co fucioes de varias variables y álgebra lieal, co aplicacioes a las ecuacioes difereciales y a las probabilidades. Ediorial Reveré. Seguda Edició. 813 pp. [3] Bombal, Ferado Los orígees del aálisis fucioal. Real Academia de Ciecias de Madrid. pp [4] Bombal Ferado.. Los espacios absracos y el aálisis fucioal. Ediorial Nivola,. [5] Chiea, Carlos. hp://persoales.ya.com/casachi/ref/peao1.hm. Cosulado 14 de mayo de 8 [6] Luciao, Erika. 6. A he origis of fucioal aalysis: G. Peao ad M. Gramega o ordiary differeial equaios. Revue d hisorie des mahémaiques. pp [7] Peerse Be. 4. Fucioal Aalysis Hisory. hp://oregosae.edu/~peerseb/mh614/docs/-fuc-aalysis-hisory.pdf Cosulado 4 de marzo de 8. [8] Saxe, Kare. 1. Begiig Fucioal Aalysis. Ediorial Spriger, Primera Edició. 1 pp. [9] Srag, Gilber Liear Algebra ad is Aplicaios. Thomso Learig, Tercera Edició. 516 pp. [1] Taylor, Agus Iroducio o Fucioal Aalysis. Krieger Pub Co, Seguda Edició. 43 pp. 36