REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002

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1 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 22 MATRICES ESCALONADAS Y METODOS PRIMAL DUAL DE PUNTO INTERIOR Alibei Kakes Cruz, Deparameo de Maemáica Aplicada, Faculad de Maemáica y Compuació, Uiversidad de La Habaa Dares Vilariño Ayala, Deparameo de Compuació, Faculad de Maemáica y Compuació, Uiversidad de La Habaa RESUMEN Se paricioa las filas de la mariz A de u modelo geeral de Programació Lieal e dos subcojuos, B 1 y B 2, de maera que al aplicar u algorimo primal-dual de puo ierior, o se uilice A al y como es dada por daos. La ecuació ormal, usual e ese ipo de méodos, oma la forma 2 B1 D B1x = b. La mariz B 2 es uilizada para obeer D 2. El objeivo úlimo del rabajo es aplicar el resulado aerior a ua clase paricular de marices escaloadas. Palabras clave: Programació Lieal, Méodos de Puo Ierior, algorimos. ABSTRACT Give a geeral liear programmig model, he se of rows of he marix A is pariioed i wo subses, B 1 ad B 2, which allows a ierior poi primal dual algorihm o deal wih marices of lower order. The 2 ormal equaio associaed wih hese mehods akes he form B1 D B1x = b. Marix B 2 is used i he calculaio of D 2. The ulimaed purpose of he paper is he applicaio of his resul o a paricular class of saircase marices. Key words: Liear Programmig, Ierior Poi Mehods, algorihms. MSC: 9C5 1. INTRODUCCION Los méodos Primal Dual de Puo Ierior resuelve los problemas primal y dual (Bazaraa-Sherali, Shey (1993), Dazig (1963), Moeiro-Adler (1996) a Moeiro- Adler (1996b)) de la Programació Lieal dados por (1) (6). Los resuelve de ua vez, aplicado variaes del méodo de Newo a las res igualdades (7) (9) y modificado las direccioes de búsqueda y amaño de paso, de maera que la resricció (1) se saisfaga esricamee e cada ieració. Esa codició, x >, s >, dio orige al érmio algorimo de puo ierior. s.a mi c T x (1) Ax = b, (2) x, (3) s.a max b T λ (4) A T λ +s = c, (5) s, (6) A T λ + s = c (7) Ax = b (8) x i s i = (9) (x, s) (1) 14

2 Las expresioes (7) - (1) defie ua codició ecesaria y suficiee de opimalidad (Bazaraa-Sherali- Shey (1993), Dazig (1963)), de x y (λ,s) de los problemas Primal y Dual dados por (1)-(3) y (4) (6), respecivamee (Dazig. (1963), Luemberger. (1973)). Esquema geeral de los Méodos Primal Dual de Puo Ierior Ifacible Dados ( x, λ, s ), x >, s > Para k =,1, 2,... Resolver A S A T I X x λ s k k k = k - X S k rc rb k k e + σ µ e dode σ k [,1] y µ k = k ) T (x s k / ; hacer (x k+1, λ k+1, s k+1 ) (x k, λ k, s k ) + α k ( x k, λ k, s k ), eligiedo α k de forma que (x k+1, s k+1 ) >. Fi. Como se observa, lo aerior es sólo u esquema, pues o coempla, por ejemplo, crierio de parada. Los parámeros σ k y µ k so los parámeros de cerado y de medida de la brecha de dualidad, respecivamee. c x b λ, Ese esquema geeral colleva a la aplicació de u méodo de Newo perurbado, dode X = diag (x 1, x 2,..., x ), S = diag (s 1, s 2,..., s ), e = (1,1,...,1) T. r b = Ax b, r c = A T λ+ s c. De ese esquema geeral de algorimo se obiee las siguiees ecuacioes: A x = r b A λ + s = r S x + X s = XSe + σµ e dode r b y r c so los residuos correspodiees. Por despejes y susiucioes adecuadas se llega a las siguiees expresioes: AD 2 A T λ = -r b + A( S -1 X r c + x - σµs -1 e), (11) s = -r c - A T λ, x = -x + σµs -1 e - S -1 X s dode D 2 = (S X 1 ) -1 (12) c 15

3 A la ecuació (11) se le cooce como ecuació ormal (Gozaga (1996), Moeiro-Adler (1996a), Moeiro-Adler (1996b)). De (12) y (11) se ifiere que el cálculo de λ maipula dos marices iversas, D 2 para cosruir AD 2 A T, y luego la iversa de esa úlima mariz. E el caso de u modelo lieal co variables acoadas, se iee: sa mi c x Ax = b, x x v (13) El modelo dual asociado al aerior se defie así; sa Max b λ - v w A T λ - Iw +s = c w, s Las codicioes de KKT para ese problema queda expresadas como: Ax = b x + z = v A T λ - w +s = c XSe = µe ZWe = µe (x,s,w,z) X, Z, S y W so marices diagoales co x j, z j, s j, w j, e la diagoal. s y z variables de holguras e P y D respecivamee. La fórmula de Newo produce u sisema de ecuacioes que fialmee da las expresioes que sigue para D 2 y la ecuació ormal: λ = (AD A ) 1 ( Z X ) e] 2 2 [ rb AD (rc + (W S)e µ D 2 = (Z W + X S) (14) A Las resriccioes de acoació dadas por (13) pudiera ser esadarizadas y cosiderar A =. Ese I raamieo aumea la dimesió de la mariz a cosiderar e la ecuació ormal. E uesro caso, preferimos rabajar co la mariz origial, o aumeado la dimesió de la mariz a cosiderar e (14). Las resriccioes ipo (13) esá implíciamee ivolucradas e (15), como se verá a coiuació. 2. ECUACION NORMAL COMPACTADA Se cosidera el siguiee modelo lieal, P: s.a mi c x Ax = b Bx d (15) x 16

4 y su dual, D s.a max b λ -d ω A λ - B ω c ω Las marices A y B so de orde (k ) y (p ) respecivamee. Esadarizado ambos problemas se iee las codicioes de KKT. Ax = b Bx + Iz = d A λ- B ω + s = c XSe = µe ZWe = µe p x, z, w, s X, S, Z, W marices diagoales asociadas a los vecores x, s, z, w, respecivamee. Se defie, Ax b Bx + Iz d F(x,z, λ, ω,s) = A λ B ω + s c = XSe µ e ZWe µ ep Aplicado la fórmula de Newo; dode A B S I W A B Z x r b z rd I λ = rc X ω XSe + τµ e s ZWe + τµ e p ; (16) r r r b d c = Ax b; = Bx + z d; = A λ B w + s c X, Z, S y W so marices diagoales asociadas a los vecores x,z,s, y w respecivamee. De (16) se obiee: A x = - r b (17) B x + x = - r d (18) A λ - B ω + s = - r c (19) 17

5 S x + X s = - XSe + τµ e (2) W z + Z ω = - WZe + τµ e p (21) Despejado s e (2) y Susiuyedo (22) y (23) e (19): A ω e (21): s = -Se - τµ X -1 e - X -1 S x (22) ω = -We + τµ Z -1 e- Z -1 W z (23) λ - B [-We + τµ Z -1 e - Z -1 W z ] -Se - τµ X -1 e - X -1 S x = -r c (24) Despejado z e (18), susiuyedo e (24) y agrupado x : (X -1 S + B Z -1 WB) x = r c + B We - τµ B Z -1 e- B Z -1 Wr d - Se - τµ X -1 e +A λ Defiamos D 2 = (X -1 S + B Z -1 WB ) -1 (25) Fialmee, despejado 2 x y susiuyedo e (17) se obiee la ecuació ormal. AD A λ = r b AD 2 ( r + B We B ZWr τµ B Z e + τµ X e Se ) c El resulado muesra que es posible resolver la ecuació ormal o rabajado co la mariz rabajado primero co B y luego co A. d A ; sio B 2.1. Ecuació ormal e ua clase paricular de modelos escaloados Los modelos que cosideramos a coiuació so frecuees e la ecoomía y e la idusria, Fourer (1982), Glassey (197), Izuo-Masuzawa (1989), Propoi (1988). s.a mi J(u) = a(t)x(t) G()x() + D()µ() f() x( + 1) = A()x() + B() µ() x() µ() dado x() =,1,...,T-1 Las marices G(); D(); A() y B() y los vecores f (), x() y a(t) iee dimesioes m ; m r; ; r; m; ; y respecivamee. Tales modelos iee u sabor diámico, basa cosiderar las desigualdades como las resriccioes del problema, y las oras resriccioes, como las ecuacioes de ligadura. Luego de esadarizar el modelo aerior, la mariz del sisema edría dimesió (m + ) T ( + r + m)t. Pero o se esadariza. Se paricioa las filas de esa mariz, si esadarizar, de maera que ua pare de ella sea omada como A e la ecuació ormal y la ora forme pare de D 2. Presearemos a coiuació dos posibles filosofías de parició: 18

6 Parició I Si desarrollamos primero las ecuacioes de ligadura y luego las resaes, se obiee: A()X()-B()u() + I x(1) = - A(1)x(1)-B(1)u(1) + I x(2) = A(2)x(2)-B(2)u(2) + I x(3) = G()x()+D()u() f() G(1)x(1)+D(1)u(1) f(1) G(2)x(2)+D(2)u(2) f(2) Los coeficiees de las ecuacioes de ligadura formará la mariz A asociada a la ecuació ormal. La mariz B esará formada por los coeficiees de las desigualdades. La imporacia de esa parició reside e B () = G() : D(). que B resula ua mariz diagoal por bloques, co bloques [ ] La mariz X -1 S + B Z -1 WB ambié resula diagoal por bloques, pudiédose escribir X -1 S() + B () Z -1 W()B(), para =,..,T-1. La mariz X -1 S se paricioa segú las columas de A y la mariz Z -1 W segú las filas de B(), eso es, se pare de u puo esricamee facible u() >, x() >, s() >. Co esos puos se forma la mariz diagoal deoada por U() X(1) X 1 S = U(1) X(2) U(2) U(4) Observe que la diagoal de esa mariz es solo ua oació pues cada ua de esas pares icluye valores de u(), s(), y x(). Fialmee: 2 D () = [ X S() + B ()Z W()B() ] ; =,...,T 1 Esa parició permie el cálculo de AD 2 A, iviriedo primero, simuláeamee, T marices del ipo D 2 (); luego se resuelve la ecuació ormal de orde T T. Ora forma de paricioar la mariz del sisema, superior a uesro juicio, es la siguiee. 19

7 2.1.2 Parició II Defiamos ahora ua ueva parició de la mariz del sisema de esudio: G() A() D() B() I m () I (1) G(1) A(1) A(1) D(1) B(1) B(1) G(2) A(2) I (2) I (2) D(2) B(2) I m (2) I (3) G(3) A(3) A(3) D(3) B(3) B(3) I (4) I (4) G(4) A(4) D(4) B(4) Im(4) I (5) Observar que e la primera parició odas las ecuacioes de ligadura forma la primera clase de la parició, esado la seguda clase formada por las resriccioes propias del problema. E esa parició se omaro los primeros momeos e la primera clase quedado los úlimos para la seguda. Cada momeo iee resriccioes de igualdad y desigualdad, por ello para ser cosecuee co (15) se uvo la ecesidad de esadarizar e las primeras ecuacioes y desdoblar e dos desigualdades la seguda clase de la parició. Se defie: G() A() = A() D()Im ; B()I =,2,4... G() B() = A() A() D() B()I ; = 1,3,5... B() I A() A = B(1) A(2) B(3) A(4) O O Observado la disposició que iee las variables, os damos cuea que las úicas que o iee columas asociadas e las marices bloques de la seguda pare de la mariz del sisema so las variables µ () ; =,2,... Esa observació será uilizada e breve. Sabemos que : D 2 = ( X -1 S + B Z -1 WB ) -1 Esudiemos la mariz X -1 S + B Z -1 WB para ver si esa ueva parició de las filas de la mariz del sisema, favorece su esrucura. 11

8 La mariz X -1 S se paricioa segú la mariz del problema que se resuelve. Llamemos U() y X () a las pares de X -1 S formadas co los vecores u() y x () respecivamee. Podemos eoces escribir: U() X(1) X 1 S = U(1) X(2) U(2) O U(4) O Defiamos ahora: X 1 S() = U(); =,2,4... X() X 1 S() = U() ; = 1,3... X( + 1) Ejemplifiquemos co T = 5, lo que ocurre. Para que sea compaible la suma X -1 S + B Z -1 WB; expresemos B de la siguiee maera: B = B(1) B(3) Los bloques de cero correspode a las marices que esá e A () pero o e B (). Z W se paricioa segú las columas de B. Se iee fialmee que X -1 S + B Z -1 WB es igual a: X S() X B (1) S(1) + O 1 X S(4) Z B (3) W(1) Z W(3) B(1) B(3) X = S() X S(1) + B (1)Z W(1)B(1) X S(2) X S(3) + B (3)Z W(3)B(3) X S(4) De la mariz diagoal por bloques aerior; cocluimos que: 111

9 2 D () = XS (); =,2,... 2 D () = K (); = 1,3,... dode K() = X S() + B ()Z W()B() 3. CONCLUSIONES 1) Co ambas paricioes se logra cosruir la ecuació ormal si iverir la mariz del sisema origial. Pare de ella se uiliza para el cálculo de la mariz D 2, y ésa, juo a la pare resae da lugar a la propia ecuació ormal AD 2 A. 2) Dos veajas so evidees e la seguda parició Pare de D 2 () resula imediaamee calculable ( =,2,...) Las iversas K -1 () para impar, puede ser calculadas simuláeamee, es decir, e paralelo. 3) Como la mariz AD 2 A resula ridiagoal por bloques, [9], la ecuació ormal aprovecha esa codició. REFERENCIAS BAZARAA, M.S.; H.D.SHERALI ad C.M. SHETTY (1993): Noliear Programmig, Joh Wiley & Sos, Ic. New York DANTZING, G.B. (1963): Liear Programmig ad Exesios, Priceo Uiversiy Press, New Jersey. FOURER, R. (1982): "Solvig saircase liear programs by he simplex mehod, 1: iversió. 2: Priacig", Mahemaical Programmig 23, FUJISAWA, K. (1997): "Exploiig Sparsiy i primal dual ierior algorihm for liear programmig", Mahemaical Programmig 61, 79. GLASSEY, C.R. (197): "Dyamic Liear Programmig for Producio Schedulig", Operaios Research 18(1). GONDZIO, J. ad J.P. VIAL (1967): "Usig a ierior poi mehods for he maser problem i a descomposiio approach", Europea Joural of Operaioal Research 11. GONZAGA, C.C. (1996): "Complexiy of Predicor Correcor algorihms", Techical Repor. Deparme of Mahemaics Uiversiy of Geeva. JI, J.; F. POTRA, R.A: TAPIA ad Y. ZHANG (1991): "A ierior Mehod wih Polyomial Complexiy ad Superliear Covergece for Liear Complemeariy Problems", Deparme of Mahemaical of Scieces, Rice Uiversiy. KAKES, A. (2): Tesis de Docorado. Uiversidad de La Habaa, Deparameo de Maemáicas Aplicadas. LUEMBERGER, D.G.. (1973): Iroducio o liear ad oliear programmig. Addiso- Wesley Publishig Compay, Ic., New York. MIZUNO, S. ad K. MASUZAWA (1989): "Polyomial ime ierior poi algorihms for rasporaio problems", Joural of he Operaio Research Sociey of Japa, 32,

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