Métodos Numéricos - Cap. 7. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias PVI 1/8

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1 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 8 cuacioes Diereciales Ordiarias DO Ua cuació Dierecial es aquella ecuació que coiee diereciales o derivadas de ua o más ucioes Ua cuació Dierecial Ordiaria DO s aquella ecuació dierecial que coiee derivadas de ua o mas ucioes co respeco a ua sola variable idepediee Permie modelar procesos diámicos como: vaciado de recipiees reacores químicos movimieos amoriuados desarrollos poblacioales; siuacioes esáicas como: delexió de vias problemas eoméricos A veces o a ua solució aalíica por lo que se ecesia aproximacioes uméricas Solució umérica de problemas de valor iicial PVI Dada ua ecuació dierecial d d mediae écicas de cálculo de primiivas se puede obeer la ució C ej: d d x x x C Los méodos uméricos permiirá obeer valores aproximados de la solució φ e puos iualmee espaciados φ La curva eleida de la amilia C se esablece a parir del valor de la ució e el valor iicial de la variable idepediee - φ φ φ φ Méodo de uler o de la reca aee d m m caidad de puos a cosiderar d Se cooce: φ φ φ Se obiee u valor aproximado de φ moviédose a lo laro de ua reca aee desde acia - φ - φ eeral si - - Gráicamee 8 8 Ulima acualizació 7

2 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 8 d e d φ φ jemplo La solució exaca es: e e φ e e 8 Si 9 φ φ φ φ φ φ φ φ φ l error se reduce aprox a la miad rror e la órmula de uler Ora orma de deducir la órmula del méodo de uler para ecorar ua aproximació de la solució del PVI co solució úica es usado el desarrollo e serie de Talor alrededor del puo φ φ φ L φ φ ξ φ Form uler rror acumulado φ! rror local e O! {! m m T T e φ ξ mφ ξ mφ ξ m T φ ξ C O Si se reduce a la miad el error se reducirá a la miad C ξ Méodo de uler mejorado o méodo Heu Méodo uler Aproximado por la media ariméica de sus valores e los exremos del iervalo [ ] No se cooce Como la icóia aparece como uo de los arumeos e el seudo miembro de la ecuació e ese caso el méodo se dice implício se reemplaza por el valor que se obuvo usado la órmula de uler secilla el méodo se coviere e explício obeiedo: [ ] Por uler Ulima acualizació 7

3 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI Graicamee rror e el méodo Heu d d Ora orma de deducir la órmula de Heu Para obeer podemos ierar e [ ] Aplicado rapecios para calcular la ieral co - d error ξ O M b a e Mpasos T ξ ξ O Precisió: el exremo ial del iervalo b C Si se oma la miad del paso b C Si se reduce a la miad se espera que el error se reduzca a la cuara pare jemplo φ φ [ ] [ 788 ] [ ] 778 [ ] φ Co uler φ φ d e d 778 φ Méodo de la Serie de Talor Si φ es la solució exaca del PVI co solució úica φ iee al meos las res primeras derivadas coiuas e el iervalo de ierés φ φ φ φ φ φ!! φ φ φ φ φ Reemplazado φ φ φ por sus valores aproximados respecivamee co error ξ { ξ φ ξ Ulima acualizació 7

4 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 8 jemplo e e 788 d e d e e e e Méodo de Rue-ua l méodo de Rue-ua se udamea e el méodo de la serie de Talor buscado la exaciud de ese méodo pero si eer que calcular derivadas parciales de orde superior de la ució xise méodos de Rue-ua de dierees ordees el orde lo deie el orde de la derivada e el érmio de la serie de Talor dode ésa se core R- de seudo orde La órmula de los res primeros érmios de la serie de Talor es Por Talor si [ ] La siuiee órmula se cooce como la Fórmula eeral de Rue-ua de seudo orde [ ] a b co α β Se debe ecorar los valores a b α β ales que la órmula ea la exaciud del méodo de los res primeros érmios de la serie de Talor si eer que calcular derivadas de orde superior de la ució φ Para ab αβ es la órmula de Heu o uler mejorado Ulima acualizació 7

5 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 8 Ulima acualizació 7 R- de cuaro orde La órmula de Rue-ua que más se uiliza es equivalee a la órmula de los cico primeros érmios de la serie de Talor o sea u méodo de Rue-ua de orde cuaro co Co error local de orde O error oal de orde O siempre cuado la solució ea las primeras cico derivadas coiuas Graicamee jemplo e d d rror Cálculo de amaño del iervalo j: para el méodo R C el exremo ial del iervalo b C Si se oma la miad del paso b C Si se reduce a la miad se espera que el error se reduzca e Se podría esimar u adecuado para maeer u error meor que u ε dado l valor C será depediee del problema Cosiderado el error local C que co la miad de se ecesia evaluar puos para evaluar C - C - C C [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Cosiderado C C C ε ε φ φ

6 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 8 Méodo R--Feldber x ε x s z 9 x 8 ε oleracia x s paso ópimo x x z Sisemas de DOs de primer orde Movimieo verical de los resores acoplados Corriees e ua red elécrica Modelo predador-presa Pédulo doble Sisemas de DOs de primer orde dx x x d d x d x x X X jemplo: Se aplica alú méodo preeriblemee Rue-ua de orde cuaro a cada ua de las ecuacioes del sisema co X dx x x d x d x x d X x X x X x x x x x x x 8 x x 9 88 x x x x x x Ulima acualizació 7

7 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 78 Ulima acualizació 7 DOs de orde N Si la ecuació es de orde se rasorma la ecuació e u sisema de DOs de primer orde jemplo: l l Se rasorma el PVI e u sisema de DOs de primer orde Se despeja el dierecial de maor orde Se reemplaza las ucioes por oras equivalees de maera de elimiar las diereciales de orde superior l l l M Comados Malab [ T S ] comado F spa opcioes p p comado: Ode: Compara resulados de Rue-ua de orde Dormad-Price Ode: Compara resulados de Rue-ua de orde Boaci ad Sampie Ode: Mulipaso Adams-Basor-Moulo Los comados Odexxs Odexx Odexxb : Compara resulados de Rue-ua co disios iveles de oleracia

8 Méodos Numéricos - Cap 7 cuacioes Diereciales Ordiarias PVI 88 Comados Malab co Parámeros de erada: F : ució coeiedo dd o vecor columa de ucioes d i d spa:vecor coeiedo el iervalo de ieració [ ial] ó puos a evaluar [ ial] ó [::ial] : vecor de codicioes iiciales opcioes:creadas co odese p p p : opcioes pasadas a la ucióes Parámeros de salida: T: vecor de puos : mariz solució cada ila correspode a cada valor cada columa a i S: esadísicas de los cálculos Ulima acualizació 7