El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una matriz (tensor) de tensiones.

Transcripción

1 ..- sado spacial de Tesioes l esado espacial de esioes e u puo, puede ser represeado a ravés de ua mari esor de esioes. : Tesor de Tesioes Sea, el vecor ormal a u plao ubicado e el espacio. L ˆ L,, dode L L,, : eos direcores del vecor Sea ρ, el vecor de esioes que acúa sobre el plao orieado por.,, Vecor de Tesioes * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ dode dode dode ˆ ˆ ˆ,,,,,,

2 ; ; ealiado equilibrio de Fueras e cada ua de las direccioes, se obiee: i F ii F iii F scribiedo las ecuacioes de equilibrio e forma maricial: ˆ L Calculemos la esió ormal Tagecial que se geera e el Plao defiido por el vecor ormal. ˆ La esió Tagecial puede ser calculada a parir del vecor de esioes o calculada a parir de σ. Tˆ Plao cua ormal es ˆ...- sfueros Pricipales e el sado spacial de Tesioes...- sfueros Pricipales ˆ T ˆ el plao Pricipal τ = Por defiició el vecor de esioes es: ˆ ˆ ˆ ˆ POBL D VLOS POPOS ˆ dode mari deidad de Sisema de ecuacioes de la forma X =

3 Dicho sisema para o eer la Solució Trivial X =, debe cumplirse que: De, es decir De l problema de la solució del sisema de ecuacioes mecioado, recibe el ombre de POBL D VLOS POPOS. De la Solució o Trivial se obiee res pares de vecores, coocidos como Vecores Propios so:,ˆ ;,ˆ,ˆ, ˆ, ˆ ˆ Tesioes Pricipales Direccioes Pricipales, Vecores Uiarios ormales a los plaos que acúa las esioes σ, σ σ, respecivamee. esolviedo el Problema de Valores Propios, se iee: De Desarrollado la epresió aerior, llegamos a ua ecuació cúbica, de la forma: Dode los érmios, e se deomia VTS D TSOS...- Direccioes Pricipales l Problema de Valores propios pare del sisema de ecuacioes de: ˆ dode mari deidad de esolviedo para cada esió pricipal, ecoramos sus direccioes pricipales ˆ ˆ L,, e que L ˆ ˆ L,, e que L ˆ ˆ L,, e que L

4 esumiedo, eemos u sisema spacial de esioes e u puo de u cuerpo sólido cualquiera: Calculamos las Tesioes Direccioes Pricipales: Calculamos el sfuero de Core áimo que se desarrolla: Giro de Coordeadas e el spacio Cualquier vecor de compoees,,, se puede rasformar a u sisema de coordeadas,, mediae ua ari de oació ' ' ' r' ' ' ' ' ' ' ' ' ' r ', ', ' So los águlos que forma el eje co los ejes,,, respecivamee.

5 ', ', ' epresea a las compoees del vecor uiario e la direcció de Por lo ao se debe cumplir que: ˆ ' ˆ' ' ' ' álogamee: ˆ ' ˆ' ' ' ' ˆ ' ˆ' ' ' ' llo sigifica que: T T * Por ora pare los vecores,, so orogoales ere sí, por lo ao: ˆ ' ˆ' ' ' ' ' ' ' ˆ ' ˆ' ' ' ' ' ' ' ˆ ' ˆ' ' ' ' ' ' ' jemplo: pliquemos lo aeriormee viso, al caso plao ' ' r' r T se se Sea π la mari de esioes e u sisema X,Y,Z π la mari de esioes e u sisema X,Y,Z. Sea u plao Ω cua ormal e el sisema X,Y,Z es e el sisema X,Y,Z es. Pero ' ˆ' ˆ ' ˆ pero ˆ T ˆ' ' T ˆ' ' ˆ'

6 Luego, se iee que: ' T plicado al caso Plao, se iee que: Tesor de Tesioes sado Plao de Tesioes se se ari de oació sado Plao se se se se ' T ' ' ' ' ' ' e que ' ' ' ' se se se se se se se Se comprueba que: ' ' eemplaado por las siguiees deidades Trigooméricas: se se se ' se 4 ' ' se 5 ' se 6 Las direccioes Pricipales se obiee haciedo τ = g p 7

7 jemplo: U puo de u sólido cualquiera, se ecuera soliciado por el esado esioal mosrado e la figura adjua. dode a 9 To/m Se pide deermiar: i Las Tesioes Pricipales las Direccioes Pricipales ii La Tesió de Core áima iii La Tesió ormal Tagecial al plao cua ormal correspode a,96 ;,95 ;,95. Solució:. Deermiamos el Tesor de Tesioes c/r al Sisema de Orieació OXYZ : a. esolvemos el Problema de Valores Propios: De 6 9 De Desarrollado el Deermiae Obeemos: Calculamos los variaes de Tesioes 4 8,489 4,599, 88 Tesioes Pricipales e To/m

8 . Direccioes Pricipales Tesió Pricipal aor 8,489 ˆ ˆ L,, e que L -,7 /9 7/9 /9-4,7 /9 7/9 /9-9,446 L L,,565,748 ˆ,8565 ;,4595 ;,5 Tesió Pricipal ermedia,599 ˆ ˆ L,, e que L 4,788 /9 7/9 /9,788 /9 7/9 /9 -,546 L L,,89,4896 ˆ,4776 ; -,877 ; -,7 Tesió Pricipal eor,88 ˆ ˆ L,, e que L 7,8658 /9 7/9 /9 4,8658 /9 7/9 /9,54 L L,,675 4,957 ˆ,96 ;,4 ; -,976 Se debe verificar que: ˆ ˆ ˆ ˆ iˆ,8564,4776 ˆj,4595,878 kˆ,5,4 iˆ,959 ˆ j,4 kˆ,976 ˆ,959 ;,4;,976 OK 4. Tesió de Core áima má 4,789 To/m 5. Tesió ormal Tagecial al Plao cua ormal es ˆ,96 ;,95 ;,95

9 Calcularemos el Vecor de Tesioes e el Plao defiido por la ormal ˆ L 6/ 9 / 9 7 / 9 / 9 4 / 9 / 9 7 / 9 / 9 5/ 9,96,95,95 7,,79,945 To/m Calcularemos la Tesió ormal al Plao defiido por la ormal,96 ˆ 4,688 5,775,464,95 8, To/m,95 Calcularemos la Tesió Tagecial al Plao defiido por la ormal 4,688 5,775,464 8,65 To/m 66,667 8,667,6 To/m..- Tesioes e Cáscaras de Pared Delgada...- Cáscara Cilídrica ubo de Pared Delgada someida a ua Presió era ce. Cilidro de radio r espesor <<r Tesió Logiudi al c Tesió Tagecial

10 . Calculemos la Tesió Logiudial, para lo cual eemos que: ealiar u core rasversalmee al cilidro perpedicular al eje plaeamos el equilibrio e direcció X. i F F Fp F F p * a p* p* * r r pr : Tesió Logiudi al. Calculemos la esió agecial, para lo cual debemos : ealiar u core logiudialmee al cilidro paralelo al eje plaeamos el equilibrio e direcció rasversal. i F F Fp F F p * a p* * p*r

11 Círculo de ohr de Tesioes e u Cilidro de Pared delgada pr : Tesió Tagecial...- ecipiee esaque sférico de Pared Delgada someida a ua Presió era ce. sfera de radio r espesor <<r Calculemos la esió ormal que se desarrolla e el recipiee. ealiar u core rasversal e el esaque esférico i F F Fp F F p * a p* * r p * r pr : Tesió ormal

12 .4.- srucuras de Superficie Curva Pared Delgada.4..- Caso Geeral de Cáscaras co Presió era p La Superficie Curva queda defiida por adios de Curvaura Plaeado quilibrio del lemeo diferecial de la Superficie Curva pdsds dsse d / ds se d / pero ds d ; ds d se d / d / eemplaado e la ecuació de equilibrio p d d d p jemplos:. Cilidro: ; ; p. sfera: ; ; p jemplo: Se iee u esaque cilídrico de pared delgada someida a ua presió iera Pi. Si se iee u elemeo ifiiesimal sobre el mao del cilidro girado u águlo q co respeco a la horioal. Se pide deermiar la presió iera del esaque, el águlo q e que se ecuera el elemeo girado el valor del respecivo esfuero de core. Daos: r =,5 m., = cm., s = 66 kg/cm, s = 9 kg/cm

13 Solució: ' ' 66 9 ' ' kg/cm kg/cm??? Del variae de esioes, se iee: ' ' 75 kg/cm 5 5 kg/cm kg/cm Pero: Pi * r Pi *5 5 kg/cm P i kg/cm De las cuacioes de Trasformació de Tesioes Plaas, se iee: σ σ σ σ σ ' θ τ seθ σ σ σ σ σ ' θ 66 σ σ σ θ θ θ,656 θ, 44 θ 4,94º σ La esió de core del elemeo girado e u águlo θ = 4,94º será: '' σ σ seθ 5 5 se*4,94º '' 58,69 kg/cm Dibujemos los sados Tesioales que se obiee e el puo e aálisis

14 .5.- cuacioes de quilibrio de Tesioes alicemos u paralelepípedo de dimesioes d, d, d co fueras ieras por uidad de volume f, f f: Plaeado quilibrio e la direcció X del elemeo ifiiesimal d dd ddd ddd f área área área Fuera Fueracara Fueracara Fueracara ddd por uid.vol. Volume co f álogamee para las oras direccioes: f f Las ecuacioes aeriores se puede escribir e oació Tesorial: ij, j fi i j,,,, Dode: ij,j j i j i j Por ejemplo: j i,, f f

15 .6.- Deformacioes e el sado spacial de Tesioes alicemos u paralelepípedo de dimesioes a, b, L someido a u esado riaial de esioes. a sado aial de Tesioes σ σ = σ = álogamee si: a σ σ = σ = a σ σ = σ = b b a a ;

16 b sado Plao de Tesioes σ, σ σ = Las deformacioes uiarias ormales se obiee por superposició de los casos a a. c sado spacial de Tesioes σ, σ σ Las deformacioes uiarias ormales se obiee por superposició de los casos b a..7.- Deformacioes por Core Puro alicemos u cuadrado de dimesioes L L someido a u esado biaial de esioes, que me geera u esado de core puro. 4 g

17 g 4 g g g 4 De la epresió aerior, se defie la Le de Hooke para el Ciallamieo Core como: G dode G que G se deomia ódulo de lasicidad al Core o ódulo de Cialle. Sólo dos aes defie u maerial homogéeo e isóropo, la ercera ae es depediee. Por ejemplo para el acero =, 5 /mm m=,, eoces G 8, 4 /mm..8.- esume de elacioes Deformació vs Tesió Deformacioes ormales: i ii iii T T T Disorsioes gulares: iv v vi

18 elacioes epresadas e forma aricial: mec emp D mec emp T.9.- esume de elacioes Tesió vs Deformació Tesioes ormales: i ii iii T T T Disorsioes gulares: iv v vi elacioes epresadas e forma aricial: mec emp mec emp D T..- Cambio de Volume

19 Volume icial elemeo fiiesimal Vo: V o ddd Las esioes ormales so Tesioes Pricipales Volume fial elemeo fiiesimal Vf: V f V V d d d o V f d d d d d d V f ddd Despreciado los producos de segudo orde superiores de ε, se iee: V f Vo V V e V V o l érmio e se deomia Cambio specífico de Volume o esió Cúbica. Usado las Fórmulas para el esado espacial de esioes: e..- elacioes Deformació vs Desplaamieo Def. e el Plao XY : iii i ii u u u u álogamee: v vi iv u u u u u Las ecuacioes aeriores se puede escribir e oació Tesorial: Dode: u i,j u i j ε ij u i,j u j,i i j,,,,

20 Por ejemplo: i j u u u u..- sado spacial de Deformacioes l esado espacial de Deformacioes e u puo, puede ser represeado al igual que las esioes, a ravés de ua mari esor de deformacioes :Tesor de Deformacioes Dode: ij ij co i j i j,,,, Sea, el vecor ormal a u plao ubicado e el espacio. ˆ L,, dode L,, : eos direcores del vecor L L Sea ρ ε, el vecor de deformacioes que acúa sobre el plao orieado por.

21 ,, Vecor de Deformacioes * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ * ˆ dode dode dode ˆ ˆ ˆ,,,,,, ; ; l igual que e las esioes podemos obeer el Vecor de Deformacioes como: ˆ L Calculemos la Deformació ormal Tagecial que se geera e el Plao defiido por el vecor ormal. oa: Para realiar lo aerior, se hará de igual forma como para las esioes. ˆ La disorsió agular ormal puede ser calculada a parir del vecor de deformacioes o calculada a parir de ε Tˆ...- Deformacioes Pricipales e el sado spacial de Deformacioes...- Deformacioes Pricipales el plao Pricipal =, eoces γ = Por defiició el vecor de deformacioes es: ˆ ˆ gualado epresioes, llegamos al siguiee sisema de ecuacioes: ˆ dode mari deidad de oa : precie la similiud que eise co el aálisis hecho para las esioes Sisema de ecuacioes de la forma X = Dicho sisema para o eer la Solució Trivial X =, debe cumplirse que: De, es decir De

22 l problema de la solució del sisema de ecuacioes mecioado, recibe el ombre de POBL D VLOS POPOS. De la Solució o Trivial se obiee res pares de vecores, coocidos como Vecores Propios so:, ˆ ;, ˆ,ˆ, Deformacioes Uiarias Pricipales ˆ, ˆ ˆ Vecores Uiarios ormales a los plaos que acúa las deformacioes ε, ε ε, respecivamee esolviedo el Problema de Valores Propios, se iee: De Desarrollado la epresió aerior, llegamos a ua ecuació cúbica, de la forma: Deformacioes Uiarias Pricipales Dode los érmios ε, ε e ε se deomia VTS D DFOCOS oa : Obega Ud. las epresioes de los érmios ε, ε e ε compárelos co los VTS D TSOS...- Direccioes Pricipales l Problema de Valores propios pare del sisema de ecuacioes de: ˆ dode mari deidad de esolviedo para cada deformació uiaria pricipal, ecoramos sus direccioes pricipales ˆ ˆ L,, e que L ˆ ˆ L,, e que L ˆ ˆ L,, e que L

23 jemplo: pliquemos lo aeriormee viso, al caso plao ' ' r' r Tesor de Deformacioes sado Plao ˆ se ˆ Vecor uiario de la direció Luego, se iee que: se se Pero la deformació ormal es: ˆ se se Uiliado las mismas deidades Trigooméricas que usamos e las esioes, podemos obeer: ' se De igual forma, podemos deermiar la disorsió agular quedado la siguiee epresió: se Para deermiar, la Deformació Uiaria ormal áima Pricipal, debemos derivar la ecuació e igualarla a cero: d d ' se g p l subídice p idica que el águlo defie la orieació de los plaos pricipales. eemplaado por + 9 e la ecuació, se obiee: ' se 4

24 Se comprueba que: ' ' 5 Las Deformacioes Uiarias Pricipales so:, Círculo de ohr de Deformacioes ' se ' ' se c. Paraméricas de u Círculo co águlo como parámero. levamos ambas ecuacioes al cuadrado al sumarlas se elimia el parámero; la ecuació resulaes es: ' ' ' 7 Si defiimos los siguiees érmios: med c. de u Círculo cero e coordeadas ε = ε med ε = ' med ' ' 8 ise formas de graficar el Círculo de ohr de Deformacioes:

25 Círculo de ohr de Deformacioes..- osea de Deformacioes Se puede deermiar el esado de deformació e u puo e forma eperimeal, empleado medidores de deformació lieal llamados deformímeros srai-gauge. sos isrumeos os da direcamee las deformacioes lieales e la direcció e que esá isalados. La osea de Deformacioes correspode a res deformímeros ubicados e direccioes coocidas, al como lo muesra la figura adjua. a a,, b b c c coocidos Usos de las oseas de Deformació Deermiació de los esfueros e u puo de u maerial a parir de la medició de las deformacioes. La orieació de los disposiivos puede ser arbiraria co respeco a u sisema XY. Los deformímeros mide las deformacioes uiarias e u puo e cualquier direcció agee a la superficie del cuerpo.

26 jemplo de plicació: u puo de u sólido se ecuera soliciado por ciero ivel de esfuero. l maerial del sólido es del ipo CHL Coiuo Homogéeo-sorópico Liealmee lásico se isala res deformímeros al como lo muesra la figura adjua, midiedo su ivel de deformacioes. Se pide deermiar las esioes máimas a la cual esá someido dicho puo del maerial. dicació: alice su problema como u esado plao de esioes. Daos : a,4 ;, 6 b kg/cm, c,5, Solució: Se pide deermiar los esfueros pricipales el esfuero de core máimo. ' se Sea : a c b ' 45 a c a c 9 se9 b a c se9 b a c,4 Cálculo de Tesioes: u sado Plao de Tesioes σ = = = i ii iii iv v vi De i * De ii **

27 eemplaado los daos se obiee que: kg/cm kg/cm kg/cm La Tesioes Pricipales se obiee de:, 8857, 57, kg/cm kg/cm l sfuero de Core áimo se obiee de: má má 657, kg/cm