ANÁLISIS TEMPORAL DE SISTEMAS LINEALES Y AUTÓNOMOS.

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1 UNIDAD Nº 3 ANÁLISIS TEMPORAL DE SISTEMAS LINEALES Y AUTÓNOMOS. 3.- Iroducció. Como se vio e los emas aeriores, el primer paso para aalizar u sisema de corol es obeer el modelo maemáico del mismo. Ua vez obeido al modelo, exise varios méodos para el aálisis del comporamieo del sisema. Ya que el iempo es la variable idepediee empleada e la mayoría de los sisemas de corol, es usualmee de ierés, evaluar o aalizar la salida co respeco al iempo, o simplemee, la respuesa e el iempo. E el problema de aálisis, ua señal de erada de referecia se aplica al sisema, y el desempeño del sisema se evalúa al esudiar la respuesa del sisema e el domiio del iempo. Por ejemplo, si el objeivo de corol, es hacer que la variable de salida siga a la señal de erada, a parir de algú iempo iicial y alguas codicioes iiciales, es ecesario comparar la erada y la respuesa a la salida como fucioes del iempo. Por ao, e la mayoría de los sisemas de corol, la evaluació fial del desempeño de u sisema se basa e las respuesas e el iempo. E geeral, los bueos diseños de la mayoría de los sisemas de corol, se basa e los siguiees pasos: a. Esudio prelimiar del problema de diseño, y exame de las especificacioes de diseño. b. Represeació maemáica de las pares fijas del sisema. c. Esudio del modelo de las pares fijas. d. Diseño de los elemeos y circuios de compesació, a fi de que el sisema cumpla los requisios de diseño. e. Cosrucció y prueba de u prooipo del sisema. E ese capiulo se aalizara las caracerísicas de respuesa e el iempo de compoees y sisemas El comporamieo poserior o fuuro de u sisema o compoee puede ser evaluado esudiado su respuesa diámica c( para perurbació de erada r( las cuales so iroducidas deliberadamee. La erada de u sisema de corol r(, es e muchas aplicacioes es aleaoria, y por lo ao o se cooce y o puede expresarse aalíicamee. Si embargo, es ecesario eer ua base de comparació del desempeño de disios sisemas de corol. Esa base se cofigura, especificado señales de erada de prueba pariculares o ípicas, y comparado la respuesa de varios sisemas a esas señales de erada. El uso de señales de prueba se jusifica, porque exise ua correlació ere las caracerísicas de la respuesa de u sisema a ua señal de erada de prueba, y las caracerísicas de la respuesa free a señales de erada reales Señales de Prueba Típicas. Las eradas a alguos sisemas de corol prácicos, o se cooce co aicipació. E muchos casos, las eradas de u sisema de corol puede variar e forma aleaoria co respeco al iempo. Por ejemplo, e u sisema de rasreo por radar de misiles aiaéreos, la posició y la velocidad del blaco a rasrear puede variar e forma impredecible, por lo que o se puede predeermiar. Eso provoca u problema para el diseñador, ya que es difícil diseñar u sisema de corol que ega u desempeño saisfacorio para odas las formas posibles de señales de erada. Para propósios de aálisis y diseño, es ecesario supoer alguos ipos básicos de eradas de prueba para evaluar el desempeño de u sisema. Mediae la selecció adecuada de esas señales de prueba básicas, o sólo se sisemaiza el raamieo maemáico del problema,

2 sio que la respuesa a ese ipo de eradas permie la predicció del desempeño del sisema co oras eradas más complejas. E el problema de diseño, los crierios de desempeño se puede especificar co respeco a esas señales de prueba, e al forma que el sisema se pueda diseñar para cumplir co dichos crierios. Ese efoque es paricularmee úil para sisemas lieales, ya que la respuesa a señales complejas se puede deermiar al sobrepoer las respuesas, debido a señales de pruebas simples. Cuado la respuesa de u sisema lieal e ivariae co el iempo se aaliza e el domiio de la frecuecia, se emplea ua erada seoidal co frecuecia variable. Cuado la frecuecia de erada se barre desde cero hasa el valor sigificaivo de las caracerísicas del sisema, las curvas e érmios de la relació de ampliudes y fases ere la erada y la salida se dibuja como fucioes de la frecuecia. Es posible predecir el comporamieo del sisema e el domiio del iempo a parir de sus caracerísicas e el domiio de la frecuecia. Para faciliar el aálisis e el domiio del iempo, se uiliza las señales de prueba deermiísicas: escaló, rampa, aceleració, seoidal e impulso. Esas señales permie realizar aálisis experimeales y maemáicos co facilidad ya que so fucioes muy simples del iempo, fáciles de represear maemáicamee y experimealmee..5 II w r(rsew( r( r( dela( r( (iempo (iempo (d (e Figura 3-: Señales básicas de prueba e el domiio del iempo para sisemas de corol. (a Fució escaló. (b Fució Rampa (c Fució parábola. (d Fució seoidal (e Fució Impulso.

3 Erada fució escaló: La erada fució escaló represea u cambio isaáeo e la erada de referecia. Por ejemplo, si la erada es ua posició agular de u eje mecáico, ua erada escaló represea ua roació súbia del eje. La represeació maemáica de ua fució escaló de magiud R es: R( R 0 0 <0 e dode R es ua cosae real. O bie : R( Ru s ( e dode u s ( es la fució escaló uiario. La fució escaló como fució del iempo se muesra e la Fig. (a. La fució escaló es muy úil como señal de prueba, ya que su salo isaáeo iicial de ampliud, da mucha iformació acerca de la velocidad de respuesa del sisema, revela qué a rápido respode u sisema a eradas co cambios abrupos. Además, como la fució escaló coiee, e pricipio, u especro co ua bada acha de frecuecias debido a la discoiuidad del salo, es equivalee como señal de prueba, a la aplicació de umerosas señales seoidales co u amplio rago de frecuecias. Erada fució rampa: La fució rampa es ua señal que cambia cosaemee e el iempo. Maemáicamee, ua fució rampa se represea mediae: R( Ru s ( e dode R es ua cosae real. La fució rampa se muesra e la Fig. (b. Si la variable de erada represea el desplazamieo agular de u eje, la erada rampa deoa la velocidad de roació cosae del eje. La fució rampa iee la habilidad de probar cómo respode el sisema a señales que varie liealmee co el iempo. Erada fució parabólica. La fució parabólica represea ua señal que iee u orde más rápido que la fució rampa. Maemáicamee, se represea como: R R( us ( e dode R es ua cosae real y el facor / se añade por coveiecia maemáica, ya que la rasformada de Laplace de r( es simplemee R/ s 3. La represeació gráfica de la fució parabólica se muesra e la Fig.(c. Esas señales iee la caracerísica comú de que so simples de describir e forma maemáica. De la fució escaló a la fució parabólica las señales se vuelve progresivamee más rápidas co respeco al iempo. E eoría se puede defiir señales co velocidades aú más rápidas, como 3, que se deomia fució iró, y así sucesivamee. E la prácica, pocas veces se requiere, ua señal más rápida que la parabólica, eso es porque, como se verá más adelae, se ecesia u sisema de orde elevado para seguir ua señal ambié de orde elevado, lo cual podría ocasioar problemas de esabilidad. La forma de la erada a la que el sisema esá sujeo co mayor frecuecia, deermia cuál de las señales de erada ípicas se debe usar, para aalizar las caracerísicas del sisema. Si las eradas para u sisema de corol so fucioes del iempo que cambia e forma gradual, ua fució rampa sería la señal de prueba más apropiada. Si u sisema esá sujeo a perurbacioes repeias, ua fució escaló sería ua buea señal de prueba. Para u sisema, sujeo a ua erada de choque, ua 3

4 fució impulso sería la mejor. Ua vez diseñado u sisema de corol, e base a las señales de prueba, el desempeño del sisema e respuesa a las eradas reales, por lo geeral es saisfacorio Respuesa del Sisema. Ua vez que se ha obeido el modelo del sisema, resulado de aplicar las leyes que lo gobiera, el paso a seguir es esudiarlo para defiir su comporamieo. Ua maera de realizar eso, es supoer cieras eradas ípicas, comparado la forma de su respuesa. Geeralmee la presecia e iercias y rozamieos, hace que la respuesa de los sisemas físicos o pueda seguir isaáeamee, los cambios que puede experimear la señal de erada o exciació, apareciedo e rasiorio, aes de alcazar su valor fial o de esado permaee. Se puede decir, que el rasiorio es la pare de la respuesa, que va desde el esado iicial al esado fial. La respuesa permaee, es la respuesa del sisema ua vez acabado el rasiorio. De esa maera, la respuesa de u sisema a ua señal se puede cosiderar como la suma de su respuesa rasioria y su respuesa permaee. C( C ( C ( E dode: C ( idica la respuesa e esado esable o esacioario (respuesa permaee. C ( idica la respuesa rasioria. Respuesa Trasioria: Se defie como la pare de la respuesa e el iempo que iede a cero cuado el iempo va a ifiio. Es la pare de la respuesa que va del esado iicial al esado fial. limc ( 0 Respuesa e Esado Esable: La respuesa e esado esable es la pare de la respuesa oal que permaece después que la respuesa rasioria ha desaparecido. Todos los sisemas de corol esables reales presea u feómeo rasiorio aes de alcazar la respuesa e esado esable. Como la masa, la iercia y la iducacia so ieviables e los sisemas físicos, las respuesas de u sisema de corol ípico o puede seguir cambios súbios e la erada e forma isaáea, y ormalmee se observa rasiorios. E cosecuecia, la respuesa rasioria de u sisema de corol es ecesariamee imporae, ya que es ua pare sigificaiva del comporamieo diámico del sisema; y la desviació ere la respuesa de la salida y la erada o respuesa deseada se debe corolar cuidadosamee aes de alcazar el esado esable. La respuesa e esado esable de u sisema de corol es ambié muy imporae, ya - que idica e dóde ermia la salida del sisema cuado el iempo se hace grade. Para u sisema de corol de posició, la respuesa e esado esable cuado se compara co la posició de referecia deseada, da ua idicació de la exaciud fial del sisema. E geeral, si la respuesa e esado esable de la salida o cocuerda exacamee co la referecia deseada, se dice que el sisema iee u error e esado esable. El esudio de u sisema de corol e el domiio del iempo, ivolucra ao la evaluació de la respuesa rasioria como la evaluació de la respuesa e esado esable del sisema. E el problema de diseño, las especificacioes se proporcioa ormalmee e érmios del desempeño rasiorio y e esado esable, y los coroladores se diseña para que odas esas especificacioes sea cumplidas por el sisema diseñado. El esudio de la respuesa emporal de u sisema, permie esclarecer dos caracerísicas muy imporaes de su comporamieo: Esabilidad y Exaciud. 4

5 Esabilidad: U sisema es esable, si al esar e equilibrio y verse someido a ua exciació, respode si oscilacioes violeas y si que su salida diverja si limie de su erada. Si se ve someido a ua perurbació, regresaría a su esado de equilibrio al desaparecer esa y si la erada se maiee, raaría de seguir los cambios que esa experimea. La esabilidad absolua, idica si u sisema es Esable o Iesable. Hay que señalar que hay sisemas esables, que au cuado alcaza su esado de equilibrio, la forma y el iempo de su rasiorio lo hace iúiles, pues o llega a saisfacer cieros requisios de fucioalidad. Lo aerior impoe u uevo cocepo: La esabilidad relaiva: que idica cua esable se puede cosiderar u sisema. Exaciud: Puede cosiderarse como ua medida de la fidelidad, co la que la salida del sisema sigue los cambios que experimea la erada. Si la salida e esado esable o coicide exacamee co la erada, se dice que el sisema iee u error de esado esable. Dado que u sisema físico implica u almaceamieo de eergía, la salida de u sisema, o sucede a la erada de imediao, sio que exhibe ua respuesa rasioria aes de alcazar el esado esable. Las iercias y rozamieos de los sisemas físicos además de origiar ese rasiorio, hace que la salida de los sisemas o coicida exacamee co el valor de erada. Ese error, idica la exaciud de u sisema. La esabilidad y la exaciud, so dos caracerísicas coradicorias de los sisemas, pues cuao mayor esabilidad se cosigue, se iee meor exaciud y viceversa. Tao la exaciud absolua como la exaciud de u sisema, será esudiadas y valoradas mediae el aálisis emporal. La fució respuesa c( puede ser obeida, por resolució de la ecuació diferecial que gobiera cada sisema e paricular. Sea por ejemplo la siguiee Fució de Trasferecia de u sisema ípico de segudo orde: c( k Dode k, k y k represea parámeros cosaes r( k D kd y Dd/d Puede ser muliplicado e cruz para dar kd c( kdc( c( kr( o d c( dc( k k c( kr( d d Que es la ecuació diferecial lieal del sisema. Si ua erada paricular r( es susiuida e la ecuació, la solució puede ser obeida para la respuesa c(. Las solucioes evuelve la cosideració de las codicioes iiciales de las variables c( y r(. Es comú e la prácica, e igeiería de corol cosiderar solamee los cambios de esas variables desde sus valores iiciales de esado esacioario. Ese cocepo úil y simplificaivo permiirá ierprear a c( como el cambio e la variable respuesa que provoca la fució exciadora r( aplicada e iempo 0. La respuesa de u sisema a ua fució exciadora especificada será ecorada usado 3 méodos: -Solució clásica de la ecuació del sisema. - Solució por el méodo de la rasformada de Laplace de la ecuació del sisema 3- Solució por compuadora. 5

6 3..3- Coclusioes: Ua vez que se ha obeido el modelo del sisema, resulado de aplicar las leyes que lo gobiera, el paso siguiee es esudiarlo para defiir su comporamieo. Ua maera de realizar eso, es supoer cieras eradas ípicas, el uso de señales de prueba permie comparar el desempeño de la respuesa de odos los sisemas de corol sobre la misma base. Geeralmee la presecia e iercias y rozamieos, hace que la respuesa de los sisemas físicos o pueda seguir isaáeamee, los cambios que puede experimear la señal de erada o exciació, apareciedo u rasiorio, aes de alcazar su valor fial o de esado permaee. Se puede decir, que el rasiorio es la pare de la respuesa, que va desde el esado iicial al esado fial. La respuesa permaee, es la respuesa del sisema ua vez acabado el rasiorio. De esa maera, la respuesa de u sisema a ua señal se puede cosiderar como la suma de su respuesa rasioria y su respuesa permaee. La caracerísica más imporae de u sisema de corol es la esabilidad absolua, es decir si el sisema es esable o iesable. La esabilidad absolua se evalúa aalizado la respuesa rasioria, si el rasiorio se exigue coforme el iempo iede a, se dice que la respuesa del sisema es esable, pues iede a u valor úil de esado esacioario. La respuesa rasioria de u sisema corol es imporae, pueso que forma pare del comporamieo diámico del sisema. La desviació ere la salida y la erada debe vigilarse cuidadosamee aes de alcazar el régime permaee. Si la salida de u sisema esable o coicide co la erada, se dice que el sisema iee u error de esado esable. Ese error idica la precisió del sisema. Al aalizar u sisema de corol, se debe examiar el comporamieo de la respuesa rasioria y el comporamieo e esado esable. 3.- Solució Clásica de las ecuacioes del sisema Iroducció: Como se sabe, la solució de ua ecuació diferecial cosa de dos compoees disios: la solució paricular o solució de esado esacioario, y la solució homogéea o solució de esado rasiorio - Solució Paricular : C ( La solució paricular c (, es ua solució de la misma forma que la perurbació de erada (escaló, rampa, aceleració, seoidal, ec.. Esa pare de la solució oal de la ecuació del sisema persise e el iempo, mieras persisa la exciació de erada. La solució de esado esacioario, es muchas veces clara o evidee por ispecció de la ecuació del sisema y la exciació de erada. La abla 3., muesra la forma de esa solució para eradas escaló, rampa y seoidal. Las cosaes arbirarias a y b, debe ser evaluadas para cada siuació e paricular e el aálisis. ENTRADA FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR r ( H (escalo C ( a r ( H(rampa C ( a b r( Hseω(seoidal C ( a cosω bseω Tabla 3.-Forma de la solució paricular para eradas escaló, rampa y seoidal. - Solució Complemearia: Es la solució de la ecuació homogéea obeida haciedo r(0 e la ecuació diferecial del sisema. Por ejemplo, la ecuació homogéea para el ejemplo previo es: 6

7 k D C( DC( C( 0 La cual puede ser puesa e forma operacioal coocida como la ecuació caracerísica del sisema, dividiedo por C(: D D 0 Ecuació caracerísica del sisema La ecuació caracerísica del sisema se deomia así, porque es precisamee es ua caracerísica propia del sisema (pues y depede exclusivamee de los parámeros del sisema, y al hacer r(0 es oalmee idepediee de la erada del mismo. Como se puede observar, el deomiador de la fució de rasferecia, igualado a cero, es la ecuació caracerísica. Llamado G a la fució de rasferecia del camio direco de u lazo de realimeació egaiva y H a la del camio de realimeació, la Fució de Trasferecia de Lazo Cerrado es F.T LC G/(G.H. El deomiador de la F.T.L.C es GH 0 Será la ecuació caracerísica del sisema realimeado. E geeral, la ecuació caracerísica de u sisema de orde es : D D 3D... D 0 El cual puede ser facoreado e raíces para dar: ( D α ( D α...( D α 0 Dode α,, α ec, so las raíces de la ecuació que so fucioes de,, ec. Si e lugar de rabajar co el operador D, se rabaja co el operador S de la rasformada de Laplace. La ecuació caracerísica será: ( S α ( S α...( S α 0 Los valores de los α i puede ser, reales, imagiarios, complejos, repeidos o cero. Es a meudo difícil exraer las raíces de ua ecuació de elevado orde. Si se supoe que: : so las raices reales r i (-γ i jωi :so las raices complejas (-γ i - jωi C La solució geeral complemearia de la ecuació caracerísica es de la forma: p m ri γ i ( Bie Ai e se( ω i i i ω i : so las pares imagiaria Dode : r i : so las raices rales de la ecuacio caracerisica - : so las pares reales de las raices complejas de la ecuacio caracerisica γ i ω i de las raices complejas de la ecuacio caracerisica 7

8 Los coeficiees A i y Bi so fució de los parámeros del sisema y cosaes de erada, y so evaluados usado las codicioes iiciales e la fució respuesa oal del sisema C(. La solució oal de las ecuacioes del sisema es la suma de las solucioes pariculares y complemearias: C ( C( C ( O simplemee: C C C ( Requerimieo para ua respuesa esable Si se supoe que la perurbació de erada es ua fució escaló: r(h, la solució oal, o sea, la respuesa de salida será segú 3..: C p m ri γ i ( a Bie Ai e se( ωi i i ωi Es claro que e la ecuació, odos los érmios que aparece bajo el símbolo, represea la respuesa rasioria o solució complemearia, y que el primer ermio ( a es la respuesa de esado cosae o solució paricular. Además, la respuesa rasioria se caraceriza pricipalmee por los érmios expoeciales, los seoides amoriguados por expoeciales o ambos. Es u hecho imporae que la localizació de las raíces de la ecuació caracerísica, defie úicamee el ipo de la respuesa rasioria. Las raíces reales ri y las pares reales de las raíces complejas i (3. γ ; aparece como expoees y, por lo ao, corola la amoriguació de la respuesa e el iempo, es decir corola la velocidad de crecimieo o decaimieo de la respuesa. Las pares imagiarias de las raíces aparece como la frecuecia de oscilacioes seoidales de la respuesa Localizació de las Raíces de la Ecuació Caracerísica. Las formas de las raíces de la ecuació caracerísicas puede ser represeadas e el plao complejo, el cual se deomia plao D o plao S segú que se rabaje co el operador D o S de la rasformada de Laplace respecivamee. Es evidee que si cualquiera de las raíces reales es posiiva, es decir, las que se ecuera e la miad derecha del plao D (o S, su ermio expoecial correspodiee e la respuesa rasioria aumeara mooóicamee co el iempo, y se dice que el sisema es iesable. E forma semejae, u par de raíces complejas cojugadas, co pares reales posiivas, correspoderá a ua oscilació seoidal de ampliud creciee. Por lo ao, se puede llegar a la coclusió de que para obeer ua respuesa esable, las raíces de la ecuació caracerísica o debe ecorarse e la miad derecha del plao D(o S, sio que debe ubicarse e el semiplao izquierdo del mismo semiplao. Las raíces que se ecuera e el eje imagiario correspode a sisemas co oscilacioes seoidales puras de ampliud cosae. La figura 3- muesra el efeco e la forma de las respuesas rasiorias de varias localizacioes de las raíces e el plao S. 8

9 3 C(.5.5 σ3. e 0.5 -σ. e e -σ C( 0.4 -γ. e sew C(.5 Bsew B C(.5 e γ. sew De la figura 3- puede verse que las respuesas esables que correspode a raíces Figura 3-: Formas de respuesas rasiorias C( segú las disias ubicacioes de las raíces de la ecuació caracerísica del sisema. 9

10 De la figura 3. puede verse que las respuesas esables que correspode a raíces próximas al eje imagiario se exigue más leamee que las correspodiees a raíces que esá más alejadas de ese mismo eje. El iempo requerido para la decadecia de la respuesa rasioria, se mide por la disacia horizoal de la raíz al eje imagiario. Mieras más pequeña sea la disacia, más leamee se exiguirá el rasiorio. Las raíces que esá próximas al eje imagiario se deomia raíces domiaes de la ecuació caracerísica; porque odos los demás polos del sisema que se ecuere más alejados, hará que los rasiorios se exiga más rápidamee. Ordiariamee, e los sisemas de corol auomáicos, las raíces domiaes ocurre e pares complejos cojugados. Ejemplo 3.: Ivesigar la codició de esabilidad del sisema cuya fució de rasferecia es c( r( 3D 4D Solució: La solució caracerísica del sisema es: D 3 4D 0 o (3D (D 0 Los valores de las raíces so: D / 3 y D - Ambas raíces so egaivas y por lo ao el sisema es esable. Como o hay raíces complejas la c ( será para sisemas de ese ipo. ri r r c ( Bie Be Be i es igual a c ( B e / 3 B e Luego B y B debe ser evaluados usado c(0 e la solució oal de la ecuació del sisema, usado las codicioes iiciales de la respuesa del sisema. 3D c( 4Dc( c( r( Ejemplo 3.: Averiguar la codició de esabilidad del sisema cuya fució de rasferecia es: c( r( D D 4 Solució: La ecuació caracerísica es: D D 4 0 Las raíces de esa ecuació so: (4 6 D / / j3 0

11 D (4 6 / / j3 Ambas raíces iee pare real egaiva por lo ao el sisema es esable e su respuesa a perurbacioes de erada, por cuao la pare rasioria de la respuesa iede a cero, coforme el iempo iede a. Ejemplo 3.3: U sisema iee la fució de rasferecia c( s r( s s 3 3s ( 4 s Averiguar si el sisema es esable o o. Solució: La ecuació caracerísica es: s 3s 4s 3 0 Como odo poliomio puede facorearse e fució de sus raíces, la ecuació caracerísica queda de la siguiee forma: (s(s-(s30 Las raíces so: s ; s ; s3 3 La raíz posiiva e s, idica imediaamee que el sisema es iesable. Eso es, porque u érmio de la solució complemearia, compoe de la respuesa del sisema, es de la forma B e, el cual se icremea coiuamee co el iempo, lo que implica que la respuesa rasioria C(, uca se exiguirá y la respuesa del sisema, uca alcazará el valor fial de esado esacioario. E geeral, solamee compoees y sisemas esables será cosiderados e ese capiulo, y por lo ao los érmios de la solució complemearia decae a cero al icremear el iempo Resume La solució complemearia es coocida como el ermio rasiorio de la fució respuesa C(. E u sisema esable, el ermio rasiorio decae a cero coforme el iempo aumea, la respuesa iede al valor de la solució paricular. Por esa razó, la solució paricular es coocida como el ermio de esado esacioario de la fució respuesa. E resume, ua fució de respuesa C( coiee:. U érmio de esado esacioario C( de la misma forma que la erada, ese érmio persise mieras la erada esa aplicada.. U ermio rasiorio C( que es idepediee de la forma de erada y cuya solució depede de las raíces de la ecuació caracerísica. U sisema es esable si solamee odas las raíces de la ecuació caracerísica so úmeros reales egaivos o complejos co pare real egaiva. Es decir esá ubicadas e el semiplao izquierdo del plao S o del plao D, debido a que de esa forma, las expoeciales de las cuales depede la pare rasioria de la respuesa oal, cae a cero coforme el iempo aumea, y la respuesa alcaza el valor fial de esado esacioario Respuesa de u compoee simple de primer orde

12 Se cosidera la fució de rasferecia de u sisema de primer orde co codicioes iiciales ulas, físicamee puede esar represeado por u circuio RC, u sisema érmico o algú sisema similar: c( r ( TD Haciedo el produco e cruz, se puede obeer la ecuació diferecial: TDc( c( r( (3.3 Dode T es la cosae de iempo del sisema y es la Gaacia esáica de lazo cerrado. Se aalizará la respuesa del sisema a eradas ales como: la fució escaló, la fució rampa, la fució seoidal Respuesa a ua erada escaló: Si r( H (ua cosae Dado que la erada es ua cosae, la respuesa e esado esacioario será de la misma forma que r(, ambié ua cosae. Por ispecció la solució paricular es H, o sea: c ( H. La ecuació homogéea o ecuació caracerísica, es obeida haciedo r(0, e 3.3 es : TDc ( c( 0 o TD 0 o (D 0 T La raíz de la ecuació caracerísica se ubica e D -/T La solució de la misma es: / T c ( Be La cual decae a cero e el iempo pues T debe ser u úmero posiivo para ua siuació física real. La solució oal es: / T c( c ( c ( H Be Usado la codició iicial que la respuesa C(0 para 0 da: B-H. El coeficiee B es fució de las codicioes iiciales, la gaacia del sisema y la gaacia de la fució de erada. Por lo ao, la respuesa oal es: / T / T c( H He H ( e (3.4 Los dos compoees de la solució C(, C(, so ilusrados e la figura 3.3. Esas solucioes puede ser sumadas gráficamee para dar la solució oal C( que ambié es mosrada simuláeamee co la erada r( H e la misma gráfica de la figura 3.3.

13 C( H. H 0 C( H. -/T C( C(C( H..e R( H C( - H..e -/T - H. Figura 3.3 Solució Paricular C(, Solució Complemearia C( y Solució Toal C( de la respuesa de u sisema de primer orde a ua erada escaló r( H. La respuesa C(, es asióica a la solució paricular de esado esacioario H, deduciedo que ella se aproxima pero uca alcazara esa codició, o sea, / T C( H( e H para (3.5 Mieras eso es maemáicamee exaco se cosiderara que C( alcaza ese valor C(H e u periodo relaivamee coro. La fució respuesa (3.4 iee varias caracerísicas prácicas (figura 3.4 C( H H H. C(C(C( 0 T 4T Figura 3.4: Caracerísicas de la Respuesa de u sisema de primer orde ae ua erada escaló R( H. Cuado T, c( H( e 0. 63H, la respuesa c( alcazará el 63% de su valor fial de esado esacioario e T seg. dc ( / T / T dc( Como ( HL / T e, e 0; e y H / T, es la pediee de la d d curva respuesa e 0 3

14 Cuado 4T, la respuesa alcazará el 98% de su valor fial de esado esacioario e 4Tseg. 4 C( H( e 0. 98H Cuado la gaacia esáica es igual a (la uidad, el valor de esado esacioario de la fució respuesa es igual al valor del escaló de erada como se muesra e la figura 4.5. Fialmee, la respuesa del sisema puede ser colocada de ua forma geeral adimesioal aplicable a odo compoee o sisema simple de primer orde de la siguiee maera: C( T e (3.6 H. La cual se aproxima a la uidad para como se muesra e la figura C( H , T 9,98 seg [seg] Figura 3.5: Respuesa de u sisema de primer orde expresada e forma adimesioal Respuesa a ua erada rampa: r( H. dode H es ua cosae. Luego la ecuació 3.3 queda: T.D.C( C( H.. (3.7 La solució de esado esacioario (la solució paricular, edrá la misma forma que la perurbació de erada, por lo ao se asume ua líea reca geérica como solució: C( a. b, dode a es la pediee de la reca y b es la ordeada al orige. Es ecesario obeer a y b e fució de las cosaes H, y T. Para ello reemplazamos el valor de C( e 3.7, quedado: T.D(a b (a. b H.. Como TDa T.a y TDb 0 (derivada de ua cosae es igual a cero, la igualdad queda: Ta a. b H.. ordeado los érmios a. T.a b H.. Al ser ua igualdad, el coeficiee que acompaña a la variable idepediee e el segudo miembro de la igualdad, debe ser igual al coeficiee que acompaña a la variable e el primer miembro, es decir: a H. Del mismo modo, el érmio idepediee del primer miembro deberá ser igual al érmio idepediee del segudo, como el segudo miembro o iee érmio idepediee, eoces: 4

15 T.a b 0 T.a -b b - T.a -T.H. Reemplazado e la reca de la solució paricular, se obiee: C( H. H..T La solució homogéea, obeida haciedo R( 0 e 3.7, es la misma que la obeida para la erada escaló, es decir la solució de esado rasiorio o solució homogéea es idepediee del ipo de erada. TDc ( c( 0 o TD 0 o (D 0 T La raíz de la ecuació caracerísica se ubica e D -/T La solució de la misma es: / T c ( Be La solució oal será: C( C( C( C( (H.. H..T B.e -/T Los coeficiees Bi se deermia a parir de las codicioes iiciales, siedo esas: 0 para 0, quedado: C( 0 - H..T B B H..T Se ve que los coeficiees B i depede de las codicioes iiciales, de la cosae de erada (H y de los parámeros del sisema (T cosae de iempo Reemplazado queda: C( ( H. k. H.. T H.. T. e T T C( H.. T ( e T Para u caso paricular, e el cual, H y T so cosaes coocidas, la fució respuesa puede ser graficada e fució del iempo. El coeficiee B de la solució complemearia iee ua forma diferee al obeido para la erada escaló, auque las ecuacioes caracerísicas sea las mismas. Eso ilusra el hecho fudameal de que ales coeficiees so evaluados solamee co las codicioes iiciales e la ecuació de la respuesa oal. 5

16 4 C( y C( 3 Solució paricular C( Hk(-T HT 0-0 T Solució homogéea o rasioria C(HT e -/T -HT Figura 3.6 : Solució rasioria y esacioaria de la respuesa de u sisema de primer orde para ua erada rampa 4 C(,r( 3 Erada rampa r( T Solució paricular C( Hk(-T HT 0-0 Respusa oal C(C( H.T Solució homogéea o rasioria C(HT e -/T T cosae de iempo de araso -HT Figura 3.7: Solució geeral de u sisema de primer orde obeida sumado las dos compoees rasioria y esacioaria, para la erada r(h La figura 3.6 muesra las dos compoees de la fució respuesa. La figura 3.7 muesra la solució geeral obeida sumado los dos compoees, para la erada r(h E ambos casos la respuesa alcaza ua codició de esado esacioario paralela a la erada. El error ere la erada y la respuesa para cualquier iempo esa dado por : 6

17 e r( c( H HT ( e / T T e HT ( e / T H( Para, y la expresió se aproxima al valor cosae eht. Ese es el valor del error de esado esacioario mosrado e la figura 3.7, evaluado e el esado fial, cuado c( alcaza a poerse paralelo a r( debido a la decadecia e el iempo del / T érmio rasiorio c ( HTe. La cosae de iempo de araso T, correspodiee, ere la respuesa y la erada es coocida como el araso de esado esacioario Respuesa a ua erada seoidal r( H.sew Dode H es la ampliud cosae y w la frecuecia agular cosae de la erada. La ecuació del sisema (3.3 queda : TDc( c( Hseω (3.8 La solució paricular se ecuera asumiedo ua solució geeralizada de la misma forma que la erada, quedado: c ( a cosω bseω Dode a y b so coeficiees arbirarios. Ua forma coseoidal es similar a ua forma seoidal. La adició de las formas seoidales de la misma frecuecia, da ora forma seoidal idepediee de la relació de fase y ampliud Susiuyedo c( por c( e la ecuació 3.8 da : TD ( a cos ω bse ω ( a cos ω bse ω Hse ω Ta ωse ω Tb ω cos ω a cos ω bse ω Hse ω ( b Ta ω se ω ( a Tb ω cos ω Hse ω igualado y desde H b ω T susiuye do como La c ( los ( b Ta ω H esas resulado H c ( ω T expresio coeficie ecuacioes esos H ( ω T : puede H ωt se ω - ω T ; ; valores c ( bse ω a cos ω / ser es de ermios : modificada ( ω T ( a Tb ω 0 porque H ωt a ω T e la solució cos ω / similares sacado de esado facor ωt se ω - ( ω T a ambos paricular comú / miembros el érmio cos ω asumida de la igualdad o hay cos eo e el segudo c (, os.h ( ω T da / : miembro : 7

18 Usado ahora la coocida relació: a cos x bsex ( a b / se( x φ H HωT siedo b ; a ω T ω T H a a b ωt w T b Se obiee: H c ( se( ω φ / ( ω T - dode φ -a ω dode φ a ( a / b Para ecorar la solució rasioria o de esado homogéeo, se procede de la misma forma que e los casos aeriores. La ecuació caracerísica obeida haciedo r(0 e la ecuació del sisema da : TDc ( c( 0 o (D 0 T / T La solució complemearia es ora vez de la misma forma c ( Be. La solució oal de la ecuació TDc( c( Hseω es c ( c( c ( H / T c( se( ω φ Be / ( ω T Usado la codició iicial c(0 para 0 para deermiar el coeficiee B; H H se( φ B 0 B se( φ / / ( ω T ( ω T a wt Como φ g wt. y se( φ seφ se(a wt / a b ( w T HwT HwT / T De la cual; B y c ( e w T ω T La fució de respuesa oal será : H wt c( se( w φ / ( ω T ( ω T / e / T (3.9 La figura 3.8 muesra la solució de esado rasiorio C(, e la siguiee figura la solució de esado rasiorio o paricular C( y fialmee la solució oal c ( c( c (. La solució oal, ora vez cosise e u ermio de esado rasiorio C(, más u ermio de esado esacioario C(.Observar que la solució de esado rasiorio C( cae a cero cuado el iempo iede a, mieras la solució de esado permaee C(, persise odo el iempo que la erada seoidal es aplicada. Noar que la respuesa de u sisema de primer orde ae ua erada escaló ecuació (3.9, o es ua seoide amoriguada, si o ua seoide que su ampliud varía mieras esá presee el rasiorio formado por la expoecial y cuado dicho rasiorio se exigue la seoide alcaza el esado esacioario co ua ampliud cosae. 8

19 0.5 C( Solució de esado rasiorio -/T C( H..w.T. e w T Figura 3.8 a 0.8 C( Solució de esado paricular C( H..se(w-O (w T /.pi/w Figura 3.8 b C( Respuesa oal de u sisema de primer orde a ua erada seoidal C(C(C( Figura 3.8: asolució de esado rasiorio. bsolució de esado permaee y crespuesa oal de u sisema de primer orde ae ua erada de ipo seoidal. 9

20 3.5-Respuesa de u sisema de Típico de segudo orde Se cosiderara la fució de rasferecia de segudo orde: c( (3.0 r( D D Como sisema ípico de segudo orde, se eiede u sisema e el cual el orde mayor de derivació del deomiador de la Fució de Trasferecia es de orde dos, y el umerador de dicha fució de rasferecia o coiee diámica, es decir o iee ceros. La 3.0 se pude poer: D c Dc( c( r( (3. ( Esa ecuació será resuela para disios valores de la fució erada. Para ecorar la solució oal debe ecorarse las dos solucioes: la solució paricular y la solució homogéea Solució paricular La solució paricular se puede ecorar de la misma forma que se hizo para el sisema de primer orde, buscado ua solució C(, segú el ipo de erada e la abla 3., y luego reemplazado e la ecuació 3. el valor de la erada y el de la solució paricular. a para r(h ( erada escaló, C(a Como la derivada de ua cosae es igual a cero, al reemplazar C( a, y r(h Se obiee que: c ( H b para r(h (erada rampa, de la abla 3. se obiee: c ( a b, D ( a b D( a b a b H. 0 a a b H a b a H Igualado érmios del primer miembro co el segudo se obiee: ah b H por lo ao c ( H H H( a para r( Hse w, (erada seoidal, c ( acosw bsew Reemplazado C ( y r( e (3. se obiee: d d ( a cos w bsew ( a cos w bsew ( a cos w bsew Hsew d d Como d d d se w wcos w; se w ( wcos w w se w d d d d d d cos w wse w; cos w ( wse w w cos w d d d queda : aw cos w bw se w awse w bwcos w a cos w bse w Hse w Igualado los coeficiees, habiedo sacado facor comú aes sew y cosw 0

21 ( a bw aw cos w ( b bw aw se w Hse w ( ( De ( b reepmlazado e (: a (3 aw a w ( aw a w a H w w de la cual : 4 reemplazado e (3: b aw w H w Hw a w w w ( w w w H w - ( a w ( w w (4 (5 Por lo ao la solució paricular de la ecuació 4.9, para r(h se w es : c ( a cos w bsew dode a y b esá dados por (4 y (5 como : a cos w bsew ( a dode : φ a ( a / b w doe : φ a ( w Solució complemearia : b / H w ( w c( ( w w se( w φ se( w φ La solució complemearia, se ecuera como se sabe resolviedo la ecuació homogéea asociada co el sisema, es decir haciedo cero la erada e la ecuació 3.0. Es decir que la solució de la ecuació homogéea es idepediee de las eradas del sisema. Dc ( Dc ( c ( 0 D D 0 (3. La ecuació (3. recibe el ombre de ecuació caracerísica del sisema porque solo es fució de los parámeros del sisema. La solució cómo se vio aeriormee iee la forma: i c ( Bie λ (3.3 i

22 Dode es el orde de la ecuació, e ese caso, y es el úmero de raíces de la ecuació caracerísica del sisema. λ y λ so los valores de las raíces de la ecuació caracerísica. λ λ C ( Be Be B y B so evaluados usado las codicioes iiciales de c( e la ecuació oal de la respuesa c( c c ( ( Las raíces de ua ecuació diferecial de segudo orde ( ad bdc0se ecuera b ± b 4. a. c usado la coocida fórmula λ, λ.. a Para D D 0 las raíces so: λ y λ ( 4 / ( 4 / ( ( 4 / 4 / Asumiedo que y so úmeros posiivos, las raíces puede ser de cuaro ipo: a úmeros reales y diferees si > 4 b úmeros reales iguales si 4 c u par de úmeros complejos si < 4 d u par de úmeros imagiarios si 0 Si llamamos ( - 4 a y b La solució complemearia puede escribirse de la siguiee forma / c ( B e ( ab B e ( a b E geeral, los coeficiees B y B se evalúa co las codicioes iiciales y se compoe de las cosaes del sisema y de la fució exciadora. Caso a: Raíces Reales y Posiivas Para > 4 a y b so reales y posiivos, pues y so posiivos, y la ecuació 3.3 oma la forma: λ c ( B e λ B e Dode λ ( a b y λ ( a b Ambas raíces so reales y egaivas, pues a es mayor que b porque es:

23 b / 4 ( 4 4 a Lo que implica que a > b. Además a siempre será posiiva pues y so posiivos. Esa expresió decae a cero para, como se ve e la figura C( /.5 BB > Figura 3.9 Respuesa rasioria de u sisema ípico de segudo orde para raíces reales y disias Caso b: Raíces reales y coicidees: Como 4 λ λ a Para ese caso especial de raíces repeidas, la solució de la ecuació homogéea es: a a c( B3 e Be 4 (B3 Be 4 Dode a es el umero real posiivo, y las raíces so reales coicidees y egaivas. De uevo, esa es la expresió de u simple expoecial que cae a cero para, como se ve e la figura 3.0 a 3 C(.5 B Figura 3.0 Respuesa rasioria de u sisema ípico de segudo orde para raíces reales y coicidees 3

24 Caso c: Raíces Complejas y Cojugadas. / ( - 4 a y b Como < 4 se iviere los érmios del radicado de b y se muliplica por -, luego / (4 - se saca afuera del radicado la como j y se llama a wd, siedo de esa forma a y wd valores reales y posiivos. Así las raíces complejas cojugadas queda expresadas de la siguiee forma: λ a jwd, λ a jwd i Reemplazado las raíces e la solució homogéea geeral c ( Bie λ se obiee: a jwd a jwd a jwd c ( B' e e B' ' e e e (B' e Usado la fórmula de Euler: c ( e a (B'cos wd ± e jx cos x ± jb'se wd jsex B''cos wd - B' ' i -jwd a c ( e [(B' B''cos wd j(b' B''se wd] Usado la relació de rigoomería: / a cos x bsex ( a b se( x φ a φ a b a c ( B5e se( wd φ (3.4 Dode B 5 y φ so ambos fucioes de B y B Se ve que es la expresió de ua seoide de frecuecia wd que esá siedo amoriguada por ua expoecial que iede a cero para, como muesra la figura 3. wd es la llamada frecuecia aural co amoriguació del sisema. Esá expresada e rad/seg. A pesar que los máximos y míimos de la seoide, se repie a iervalos iguales, la ampliud o se maiee, sio que esá siedo amoriguada e el iempo, por lo que dicha seoide o es ua fució periódica, por eso a veces a wd se la defie como frecuecia codicioal. 4k k wd e rad/seg k e jb''se wd Wd es la pare imagiaria de los polos complejos y la frecuecia de oscilació del rasiorio C( Tπ / wd Tπ / wd < Figura 3.: Rpa rasioria de u sisema ípico de segudo orde para raíces complejas 4

25 Caso d Raíces Imagiarias puras. Como 0 ; la ecuació caracerísica queda: D 0 La solució homogéea cómo se vio aeriormee iee la forma: i c ( Bie λ ( Be Be i λ λ c λ y λ so las raíces de la ecuació caracerísica que so del ipo imagiarias puras, al o eer el érmio lieal la ecuació caracerísica. ( 4 λ, λ Se defie a w ( 4 λ, λ / / w es u úmero posiivo y real. c ( ± ± ± ± jw B' e B ' ' ± ± j ± j ± jw Por lo ao Para ese caso especial de raíces imagiarias puras, los coeficiees B y B so iguales y: jw jw B B B c ( B ( e e ± Aplicado la fórmula de Euler: e jx cos x ± jsex, se llega a: c ( B cos w B0 cos w (3.5 Nuevamee el coeficiee B 0 es evaluado co las codicioes iiciales y depede de la fució de erada usada. Se ve claramee que la solució complemearia es ua seoide pura, que oscila coiuamee si ser amoriguada por igua expoecial como lo muesra la figura 3.. w es llamada ``frecuecia aural si amoriguamieo del sisema. Es propiamee dicha ua frecuecia agular y esá expresada e rad/seg. Cosiuye físicamee la frecuecia a la cual oscila e forma idefiida el rasiorio del sisema cuado el mismo iee raíces imagiarias puras. C( e jw, Bo Tπ ω 0 w -/ -Bo Figura 3. Respuesa rasioria de u sis.ípico de do orde co raíces imagiarias puras 5

26 W, e rad/seg es la pare imagiaria de los polos imagiarios puros y físicamee es la frecuecia a la cual oscila idefiidamee el rasiorio de u sisema cuado iee polos imagiarios puros La respuesa de ese sisema recibe el ombre de oscilaoria pura, porque oscila idefiidamee alrededor del valor fial. Ese ipo de respuesa rasioria oscilaoria pura, es el caso críico ere la respuesa esable (decayedo para e iesable (aumeado para. Solució Toal Para cada erada e paricular, se obiee sumado la solució paricular y la solució de esado rasiorio c ( c( c ( Los parámeros B y φ so esablecidos usado la codició iicial c(0, e 0, e la fució de respuesa oal c ( c( c (. A coiuació se muesra u resúme de las solucioes ecoradas. Solució Paricular. Para u salo escaló de erada r ( H c ( H, Para ua fució rampa de erada r ( H c ( H(, Para ua erada seoidal - w r( Hsew, dode φ a ( w H w ( w c ( c ( se( w φ, ( w w Solucío Trasioria ( ab ( a b c ( Be Be, para > a / c ( (B3 B4e, para c ( B5e se( wd φ, para < c B cos w, para 0 ( 0 / a / Dode ( - 4 (4 - / / a, b, wd, w / Uso de los parámeros δ, w y wd Para sisemas ípicos de segudo orde, co fució de rasferecia e fució del iempo (operador D o e el domiio de Laplace ( e fució de Sde la siguiee forma: C( C( S o R( D D R( S S S co su correspodiee ecuació caracerisica : D D 0 o S S 0 6

27 7 Además de las frecuecias w y 4 k k wd visas e la secció aerior, se defie ua ueva especificació llamada δ coeficiee de amoriguamieo del sisema. Al coeficiee de amoriguamieo δ, se lo defie coveieemee como: (3.7 (3.6 / w Como δ w δ (3.8 De (3.7 ϖ δ y de (3.6 w Reemplazado los valores de y e fució de wd w y, δ e la Fució de Trasferecia de u Sisema Típico de Segudo orde e fució de D o S queda: (3.0 ( ( (3.9 R( C( w S w S w S w S w S S S R S C w D w D w D w D w D D δ δ δ δ La ecuació caracerísica queda de la forma: 0 w S w S δ (3. El sisema queda represeado por el siguiee diagrama de bloque: Figura 3.3: Sisema de Corol prooipo de segudo orde e fució de δ, w 0 ( Δ S S S ω δω Las raíces de la ecuació caracerísica queda expresadas e fució de δ y w como: W S(Sδ.w R(S C(S - ( ( S S S R S C ω δω ω

28 λ y λ. w ± δ jwd La respuesa c( oal de u sisema a ua erada escaló uiaria, co u coeficiee de amoriguamieo relaivo ere 0<δ<, queda expresada e fució de δ y w como: δ. w δ. w e δ e δ C( se( w δ. a se( wd. a (3. δ δ δ δ Siedo el produco δ.w la pare real de las raíces complejas cojugadas y wd la pare imagiaria. A coiuació se da u resume de los cocepos referidos a w, wd y δ. a- Frecuecia aural si amoriguació w Defiida como: w expresada e rad/seg. Físicamee w es la frecuecia a la cual oscilaría e forma soseida la respuesa del sisema si el amoriguamieo dismiuyera a cero (δ0. Si el sisema oscila co u ciero grado de amoriguamieo ere 0<δ<, o se puede observar la frecuecia aural o amoriguada, sio que experimealmee solo se apreciar la frecuecia aural co amoriguamieo wd. Maemáicamee w es la frecuecia asociada co la solució de la ecuació caracerísica de u sisema ípico de segudo orde cuado 0, es decir cuado sus raíces so imagiarias puras. La solució oal muesra que la respuesa al escaló uiario es puramee ua seoide periódica (es decir que la fució se repie a iervalos iguales maeiedo idefiidamee su ampliud e el iempo. D 0 / λ, λ ± j j λ, ± jw ± λ Es decir que w es la pare imagiaria pura de las raíces de la ecuació caracerísica cuado el coeficiee que acompaña el érmio lieal es cero. b- Frecuecia aural co amoriguamieo wd Defiida como wd 4k k expresada ambié e rad/seg. Físicamee es la frecuecia a la cual oscilaría la respuesa del sisema, si el grado de amoriguamieo varía ere 0<δ<. Maemáicamee wd es la frecuecia asociada a la solució de la ecuació caracerísica de u sisema ípico de segudo orde D D 0, cuado sus raíces so complejas cojugadas, es decir cuado < 4 o lo que es lo misma cuado 0<δ<. / (4 - λ, λ ± j -δ w ± jwd Es decir que wd es la pare imagiaria de las raíces de la ecuació caracerísica cuado el coeficiee de amoriguamieo esá ere 0<δ<. Como la respuesa oal del sisema o es ua fució periódica porque la seoide amoriguada o maiee su ampliud e el iempo, a wd muchas veces se la defie como frecuecia codicioal o frecuecia de amoriguamieo Como w y δ w,reemplazado e 4k k wd se obiee que: 8

29 wd w δ (3.3 Esa ecuació os dice que wd es fució de δ y w es: Esa frecuecia wd es siempre meor que la frecuecia aural o amoriguada w. Wd varía co el facor de amoriguamieo relaivo δ. U aumeo e δ reducirá la frecuecia aural amoriguada wd y si δ dismiuye, wd aumeará. Si δ aumea más allá de la uidad, la respuesa se vuelve mucho más amoriguada y o oscilará. Para δ, wd vale cero. Para δ > wd o exise, porque wd w δ o da u úmero real, se ierprea como que la respuesa del sisema será ua expoecial si oscilacioes. c- Coeficiee de amoriguamieo relaivo (δ Es defiido como: δ w La pare real de las raíces α δ.w es el produco de δ por w, corola la maera de aumear o dismiuir el iempo de respuesa. A α se lo llama cosae de amoriguamieo o facor de amoriguamieo, su iversa α es proporcioal a la cosae de iempo del sisema. Cuado δ, el sisema es críicamee amoriguado, y e esas codicioes el facor de amoriguamieo es α w. Por eso ambié se defie a δ como el cociee ere el facor de α amoriguamieo real (δ.w y el facor de amoriguamieo críico (w, es decir δ ω Si 0<δ<, los polos de lazo cerrado so complejos cojugados y se ecuera e el semiplao izquierdo del plao S. El sisema se deomia subamoriguado, la respuesa es oscilaoria amoriguada por expoeciales y presea u sobreimpulso que se defie como la mayor desviació que se produce ere la respuesa del sisema y el valor fial de esado esacioario. Por ser la respuesa ua seoide cuya ampliud se aeúa e el iempo, es ua señal o periódica, auque sus maximos y míimos se repie a iervalos iguales. Si δ, los polos de lazo cerrado so reales y coicidees, y se ecuera e el semiplao izquierdo del plao S. El sisema se deomia amoriguado críico, y la respuesa es ua expoecial que iede rápidamee al valor fial. Es la respuesa más rápidas de los sisemas sobreamoriguados. La respuesa o oscila y o iee sobreimpulso. Si δ >, los polos de lazo cerrado so reales y disios, y se ecuera e el semiplao izquierdo del plao S. U polo se aproxima al eje jw, y al oro se aleja. El rasiorio del polo que esá más lejos, decae más rápidamee que el 9

30 rasiorio del polo que esá más cerca, por lo que el érmio expoecial del polo más alejado puede despreciarse y asemejarse así a la respuesa de u sisema de primer orde. El sisema se deomia sobreamoriguado, y la respuesa es ua expoecial bie amoriguada, que iede leamee al valor fial. La respuesa ampoco oscila y o iee sobreimpulso. Si δ 0, los polos de lazo cerrado so imagiarios puros y esá sobre el eje jw, la respuesa rasioria o se amorigua, el sisema se deomia oscilaorio puro o margialmee esable, la respuesa o iee ada de amoriguamieo y es ua seoide periódica. Si δ <0, los polos de lazo cerrado esá e el semiplao derecho de S, y la respuesa rasioria o se exigue uca, por el corario aumea coforme el iempo rascurre, la respuesa puede esar formada por ua expoecial creciee, o por ua seoide cuya ampliud crece e el iempo, el sisema iee u comporamieo Iesable 30

31 La siguiee figura, resume la respuesa ípica al escaló uiario correspodiee a disias localizacioes de las raíces e el plao complejo S y el valor del coeficiee de amoriguamieo δ. Figura 3.4: Comparació de la respuesa al escaló uiario para diferees localizacioes de las raíces de la ecuació caracerísica e el plao S. 3

32 3.6 Relació ere las raíces de la ecuació caracerísica y α, δ,w y wd δ cosθ Figura 3.5: Relació ere las raíces de la ecuació caracerísica de u sisema ípico de segudo orde y α, δ, w, y ϖ d ϖ es la disacia radial de las raíces al orige del plao S. α es la pare real de las raíces coocido como facor o cosae de amoriguamieo. ϖ d es la pare imagiaría de las raíces. δ es el coseo del águlo ere la líea radial de las raíces y el semieje real egaivo δ cosθ, cuado las raíces so complejas cojugadas o reales y coicidees, y esá e el semiplao izquierdo del plao S ( 0 δ. Para δ>, o se cumple que δ cos θ porque las raíces se separa, acercádose ua al orige y separádose ora del mismo Lugar geomérico de los polos del sisema o raíces de la ecuació caracerísica para cieros parámeros: ϖ, α,ϖ d, δ omados como ua cosae para u sisema ípico de segudo orde. Como se ha viso hasa ahora, la localizació de las raíces de la ecuació caracerísica juega u papel muy imporae e la respuesa rasioria del sisema, e la figura 3.6, se muesra el efeco de las raíces de la ecuació caracerísica e el amoriguamieo del sisema, cuado se maiee ϖ cosae mieras se varía δ de - a. Figura 3.6: Lugar geomérico de las raíces de la ecuació caracerísica del sisema ípico de segudo orde cuado se maiee ϖ cosae mieras se varía δ de - a. E la Figura 3.7 se muesra el lugar geomérico de los polos del sisema para wce, δce, δ.w ce y wdce 3

33 Figura 3.7: (a Lugar geomérico de los polos del sisema para la frecuecia aural o amoriguada cosae ϖce. (b Lugar geomérico de los polos del sisema para el coeficiee de amoriguamieo cosae δce. (c Lugar geomérico de los polos del sisema para el facor de amoriguamieo cosae δ.ϖce. (d Lugar geomérico de los polos del sisema para la frecuecia de oscilació del sisema co amoriguamieo ϖ d ce. Si se maiee cosae la frecuecia aural del sisema co amoriguamieo ϖce y se varía δ y ϖ d, los polos del sisemas esaría ubicados e ua circuferecia de radio cosae (Fig. 3.6 y Fig 3.7 a. Moviédoos e u círculo de ϖ cosae, mieras más cerca al eje jw esé ubicadas las raíces, el coeficiee de amoriguamieo δ dismiuye su valor, y la respuesa será más oscilaoria (respuesa subamoriguada<δ<0. E el caso paricular que las raíces se posicioe e el eje jw, es decir sea imagiarias puras, la respuesa es co oscilacioes soseidas y se deomia respuesa oscilaoria pura, y correspode a u sisema al límie de la esabilidad. Si las raíces, se aleja del eje jw, el coeficiee δ aumea y la respuesa es más amoriguada co meor sobreimpulso, la respuesa sigue deomiádose subamoriguada. Cuado las raíces se jua e u mismo lugar, y so reales y coicidees, δ oma el valor de, la respuesa ya o presea sobreimpulso y es basae rápida, poco amoriguada, co iempo de levaamieo pequeño, deomiádose amoriguada críica. El amoriguado críico es el que presea la respuesa más rápida de odos los sisemas sobreamoriguados. Cuado las raíces so reales y disias, el coeficiee de amoriguamieo, oma el valor δ>, la respuesa al escaló, o muesra igú sobrepaso, es decir, la salida uca excede su valor fial durae el periodo rasiorio, exhibiedo u comporamieo más leo, más amoriguado (arda más e arracar y e llegar a su esado esacioario y recibe el ombre de respuesa sobreamoriguada. Cuado δ >>, ua raíz se acerca al orige y ora se aleja hacia el -, e ese caso ua raíz se puede despreciar y cosiderar el comporamieo del sisema similar al de u sisema de primer orde. Si lo que se maiee fijo es el coeficiee de amoriguamieo δ y se varía ϖ y ϖ d (Fig. 3.7 b, los polos del sisema esaría ubicados e ua líea reca co θ ce. E ese caso, la 33