Tema 2: Sistemas. 2.1 Introducción

Transcripción

1 Tema : Sisemas Tema : Sisemas. Iroducció U sisema respode co uas deermiadas señales a la acció de oras. x() sisema y ( ) = T x( ) Ejemplo Tiempo coiuo: sisema mecáico () dy b d y() T{ } { } d y() dy() M + b + ky() = F() d d Sisema geeral (orde ) d y( ) dy( ) + + ω y( ) = ω x( ) d d Sisemas y Circuios

2 Tema : Sisemas. Iroducció U sisema respode co uas deermiadas señales a la acció de oras. x() sisema T{ } Ejemplo Tiempo discreo: Acumulador k = { x( )} y ( ) = T Acumulador x [] x [ k] y [ ] = xk [ ] k = x[] y[] y [ ] = xk [ ] + x [ ] = y [ ] + x [ ] k = y[ ] Memoria Reardo 3. Iercoexió de sisemas Serie () x Sisema # Sisema # T {} T { } Sisema #N T N { } { T { T { T { x( )} } y( ) = TN N y() Paralelo x() Sisema # T {} Sisema # T {} Sisema #N T N {} { x( ) } + T { x( ) } + + T { x( )} y( ) = T N 4 Sisemas y Circuios

3 Tema : Sisemas. Iercoexió de sisemas Serie/Paralelo Sisema # T { } Sisema # T { } x() Sisema #3 T 3 { } Sisema #N T N { } y() Sisemas realimeados x() Sisema # Sisema # T { } T { } y() T { y( )} 3 Sisema #3 T 3 { } Ejemplo 5.3 Propiedades de los sisemas Sisemas si/co memoria Si memoria: la salida, para cada isae de iempo (valor de la variable idepediee) depede ÚNICAMENTE de la erada e ese mismo isae de iempo Ejemplos: x[] x() x[ ] x() y [ ] = x[ ] y ( ) = x( ) x Acumulador y[] x[] x [ k ] [ Co ] memoria: k = y[] y[ ] Memoria Reardo 6 Sisemas y Circuios 3

4 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Iveribilidad Diversas defiicioes U sisema es iverible si al observar la salida se puede deermiar erada... cuado disias eradas coduce a disias salidas Si u sisema es iverible, exise u sisema que deomiaremos iverso- al que coecado e serie produce el sisema ideidad. x() Sisema # T { } y () Sisema z() iverso T { } { { }} INV z() = T T x() x() INV 7.3 Propiedades de los sisemas Iveribilidad Ejemplos x() Sisema T { } ( x) y [ ] = cos [ ] y() T Sisema iverso { } { { }} INV z () z () = T T x () x () INV x [ ] y x [ ] + π produce la misma salida x[] y[ ] = x[ k] k = y [ ] = y [ ] + x [ ] x [ ] = y [ ] y [ ] y [ ] x[] y[ ] Memoria Reardo Memoria Reardo y[ ] 8 Sisemas y Circuios 4

5 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Causalidad U sisema es causal ambié deomiado físicamee realizable - cuado la salida e u isae de iempo depede ÚNICAMENTE de valores de la erada e Ejemplos x() Sisema y f x causal () = ( ( )), x[ ] y [ ] = f( x [ ], x [ ], x [ ], ) x() x() x+ ( ) y() y() x() x() x () x ( ) y() y() Sisema NO causal y() = x() Sisema causal 9.3 Propiedades de los sisemas Esabilidad Disias defiicioes Iuiiva: Sisema que respode co señales acoadas ae eradas acoadas (Bouded Ipu Bouded Oupu). x () Sisema y() x[ ] esable y[ ] Sisema esable x ( ), x ( ) Kx < y ( ) K < y x[] y [ ] = y [ ] + x [ ] x() x() exp [ x( ) ] y() y() e y[ ] Memoria Reardo Sisema NO esable Sisema esable Sisemas y Circuios 5

6 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Esabilidad x[] y[ ] y [ ] = y [ ] + x [ ] Memoria Reardo x() x() exp [ x( ) ] y() y() e Sisema NO esable Sisema esable Puo de parida x [ ] Kx < x () Kx < Se puede ecorar ua coa superior (meor que ) a la salida? y [ ] = xk [ ] xk [ ] Kx = k= k= k= desigualdad de Schwarz x( ) x( ) K x y () e e e K y = = <.3 Propiedades de los sisemas Ivariaza emporal U sisema es ivariae co el iempo si respode ae ua erada desplazada co ua salida igualmee desplazada. x () y() x( ) Sisema ivariae Ierpreació: la respuesa del sisema ae ua señal de erada es idepediee del isae e el que ésa se aplica. y( ) Sisemas y Circuios 6

7 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Ivariaza emporal Cómo recoocer si u sisema es ivariae?. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () SI: Ivariae NO: Variae co el iempo x () y () Sisema x () = x ( ) y () y ( ) = y ( )? 3 Ivariaza emporal.3 Propiedades de los sisemas. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () Ejemplo: y [ ] = x[ ] 4 Sisemas y Circuios 7

8 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Ivariaza emporal. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () Ejemplo: y[ ] = x[ k] k = 5 Ivariaza emporal.3 Propiedades de los sisemas. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () Ejemplo: y[ ] = x[ k] k = 6 Sisemas y Circuios 8

9 Tema : Sisemas Ivariaza emporal.3 Propiedades de los sisemas. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () Ejemplo: y[ ] = x[ ] 7 Ivariaza emporal.3 Propiedades de los sisemas. Defiir x (). Obeer la salida y (). Defiir x ()=x (- ). Obeer la salida y () 3. Comprobar si y (- ) es igual a y () Ejemplo: y[ ] = x[ ] u[ ] 8 Sisemas y Circuios 9

10 Tema : Sisemas.3 Propiedades de los sisemas Liealidad Cualidad que defie a sisemas que posee la propiedad de superposició x () Sisema y { } () = T x() x () T {} y { } () = T x() Pricipio de superposició Adiividad Escalado { () + () } = { () } + { () } { ()} = { ()} T x x T x T x T x T x { () + β ()} = { ()} + β { ()} T x x T x T x Cosecuecia iuiiva de la propiedad de escalado La respuesa de u sisema lieal ae ua erada idéicamee ula es ua salida idéicamee ula..4 Sisemas LIT SLIT: Sisemas Lieales e Ivariaes co el Tiempo Liealidad Supogamos que la señal x() se puede expresar como ua combiació lieal de señales más simples ( x i () ) y que, ae esas eradas, es fácilmee calculable la salida de u sisema (y i () ). Eoces, la salida y() es: x() = ax () + + a x () N N Sisema lieal T { } y() = a y () + + a y () N N Aplicació: Si coocemos la respuesa de u sisema lieal ae señales básicas (impulsos, escaloes, expoeciales complejas), ambié cooceremos su respuesa ae combiacioes lieales de esas señales Ejemplo: señales periódicas. Sisemas y Circuios

11 Tema : Sisemas.4 Sisemas LIT Tiempo discreo Propiedad: Cualquier señal defiida sobre iempo discreo puede represearse como ua suma de impulsos escalados y desplazados x[] x[ 3] δ[ 3] x[ ] δ[ ] - 3 = - 3 x[ ] δ[ ] x[ ] = x[ k] δ[ k] k = - 3 x[ ] δ[ ].4 Sisemas LIT Tiempo coiuo Cualquier señal defiida sobre iempo coiuo puede represearse como ua iegral (suma) de impulsos escalados y desplazados x() xk ( ε ) δ ( kε) ε ε x () = xk ( ε ) δ ( kε) ε k = ε Variable idepediee kε ( k + ) ε x ( τ) δ ( τ) = x( ) Variable iegració 3 Sisemas y Circuios

12 Tema : Sisemas.4 Sisemas LIT Liealidad x[] - 3 x(τ ) Si coocemos la respuesa de u Sisema lieal ae δ(-τ) (ó δ[-k]) podremos coocer la respuesa ae cualquier erada x() (ó x[]) = δ ( τ ) + x[ ] δ[ + ] + x[] δ[ ] + x[] δ[ ] + x[ ] = x[ k] δ[ k] τ k = coeficiee (o depede de ) x() = x( τ) δ( τ) Señal (depede de ) Combiació lieal de δ 4.4 Sisemas LIT Liealidad x[ ] = x[ k] δ[ k] k = x() = x( τ) δ( τ) { } δ[ k] Sisema h [ k ] = T δ [ k ] lieal δ ( τ ) T{ } hτ () = T{ δ ( τ )} y [ ] = xkh [ ] k[ ] k = = y () x( τ) h() τ Si coocemos la respuesa de u Sisema lieal ae δ(-τ) (ó δ[-k]) podremos coocer la respuesa ae cualquier erada x() (ó x[]) 5 Sisemas y Circuios

13 Tema : Sisemas Respuesa al impulso de u caal mulirayeco N () h (; τ) = r(; τ) δ( τ ()) i= i i h τ () Dispersió emporal τ Variaza Temporal 6.4 Sisemas LIT Ivariaza Temporal δ () h () Sisema ivariae h ( δ ( ) ) Coclusió: Si el sisema es lieal e ivariae co el iempo os basa coocer la respuesa al impulso uiario para calcular la respuesa a cualquier erada arbiraria. Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo δ () h () 7 Sisemas y Circuios 3

14 Tema : Sisemas.4 Sisemas LIT Liealidad e Ivariaza Temporal Tiempo coiuo δ () h () Sisema Lieal δ ( Ivariae ) h ( ) e el Tiempo h () x(τ) δ( τ) y () = x( τ) h ( τ) τ x() = x( τ) δ( τ) Covolució: y () = x ()* h () 8.4 Sisemas LIT Liealidad e Ivariaza Temporal Tiempo discreo δ[ ] h [ ] δ[ k] k x[] Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo h [] - - h [ k] - - k - 3 x[ ] = x[ k] δ[ k] k = Covolució: y [ ] = xkh [ ] [ k] k = y [] = x []*[] h 9 Sisemas y Circuios 4

15 Tema : Sisemas.5 Covolució x()* y() = x( τ) y ( τ) x[ ]* y[ ] = x[ k] y[ k] k = Propiedades de la covolució Comuaiva: x()* y() = y ()* x () τ= σ = dσ x()* y() = x( τ) y( τ) = = x ( σ) y( σ) ( dσ) = y()* x () τ= σ= τ= σ= k= l x[]*[] y= xky [][ k] = k= l= = x [ kyl ][] = y []*[] x k= l= k= l= 3.5 Covolució Propiedades de la covolució Asociaiva: x[]* y []*[] z = x []*[]*[] y z ( ) ( ) Cosecuecia: Iercoexió de Sisemas LIT e serie x[ ] h[ ] w [ ] h [ ] y[ ] Equivalecia ( ) ( ) y [ ] = x [ ]* h[ ] * h[ ] = x [ ]* h[ ]* h[ ] = x [ ]* h [ ] x[ ] y[ ] h[ ]* h [ ] eq Si ahora eemos e cuea la comuaividad h[ ]* h[ ] = h[ ]* h[ ] y[ ] = x[ ]* h[ ]* h [ ] = x[ ]* h [ ] * h[ ] x[ ] h [ ] ( ) ( ) z [ ] h[ ] y[ ] 3 Sisemas y Circuios 5

16 Tema : Sisemas.5 Covolució Propiedades de la covolució Disribuiva respeco a la suma: x[]* y [] + z [] = x []*[] y + x []*[] z ( ) ( ) ( ) Cosecuecia: Iercoexió de Sisemas LIT e paralelo Sisema # h () x() Sisema # h () y () x () Sisema Equiv. y () h() + h () N Sisema #N h () N 3.5 Covolució Propiedades de la covolució Elemeo euro: Es ua señal y() que al covolucioarla co x() produce como resulado la misma señal x(). Como... x()* y() = x( τ) y ( τ) = x () x(τ) δ( τ) x() = x( τ) δ( τ) τ El elemeo euro de la covolució es la fució δ() x( )* δ( ) = x ( ); x [ ]* δ[ ] = x [ ] 33 Sisemas y Circuios 6

17 Tema : Sisemas.5 Covolució Propiedades de la covolució Elemeo euro: x ()* δ( ) = x ( τ) δ( τ ) = x( σδ ) ( σ) dσ= x ( ) x() δ( ) x( ) 34.6 Propiedades de los SLIT Hemos represeado los SLIT e érmios de su respuesa impulsioal. Sisema Lieal x[] Ivariae y [ ] = xkh [ ] [ k] e el Tiempo k = h [] Sisema Lieal Ivariae x() y () = x( τ) h ( τ) e el Tiempo h () Por ao, se puede coocer las propiedades de u sisema (memoria, causalidad,...) aalizado su respuesa impulsioal. 35 Sisemas y Circuios 7

18 Tema : Sisemas.6 Propiedades de los SLIT Sisemas LIT si/co memoria Si memoria: la salida, para cada isae de iempo (valor de la variable idepediee) depede ÚNICAMENTE de la erada e ese mismo isae de iempo. Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo: x [] h [ ] y [ ] = hkx [ ] [ k] Sisema SIN memoria Sisema LIT si Memoria: k = = + h[ ] x[ + ] + h[] x[ ] + h[] x[ ] + x [] h [ ] y [ ] = f( x [ ]) h[ ] = h[] = h[ ] = = h [ ] = Cδ[ ] h () = Cδ () C C 36.6 Propiedades de los SLIT Sisemas LIT causales U sisema es causal cuado la salida e u isae de iempo depede ÚNICAMENTE de valores de la erada e Sisema causal x [] h [ ] y [ ] = f( x [ ], x [ ], x [ ], ) Sisema Lieal Ivariae e el Tiempo: x [] h [ ] y [ ] = hkx [ ] [ k] k = = + h[ ] x[ + ] + h[] x[ ] + h[] x[ ] + Sisema LIT causal: h()=, < (h[]=, <) h [ ] h () - 37 Sisemas y Circuios 8

19 Tema : Sisemas.6 Propiedades de los SLIT Sisemas LIT causales x[] - h [ ] y [ ] = hkx [ ] [ k] = xkh [ ] [ k] k= k= h () x() h () =, < y () = x( τ) h ( τ) = h ( τ) =, τ > = x()( τ h τ) Uilizamos valores de la señal de erada previos al isae e el que se calcula la salida () Uilizamos valores de la señal de erada previos al isae e el que se calcula la salida () 38 Causalidad.6 Propiedades de los SLIT x[] h [ ] y [ ] Causal - x() h () y () Aicausal x[] h [] - 3 y [ ] No causal 39 Sisemas y Circuios 9

20 Tema : Sisemas.6 Propiedades de los SLIT Esabilidad Tiempo discreo x [] h [ ] y [ ] = x [ ]* h [ ] Sisema esable x [ ], x [ ] K < y [ ] K < Esabilidad e SLIT y [ ] = hkx [ ] [ k] y [ ] = hkx [ ] [ k] k= k= Los SLIT esables iee ua respuesa impulsioal sumable e valor absoluo. X hk [ ] x [ k] hk [ ] x [ k] K hk [ ] X k= k= k= Si hk [ ] < y [ ] K = K hk [ ] k= Y X k= Y 4 Esabilidad Tiempo coiuo.6 Propiedades de los SLIT x() h () y () = x ()* h () Sisema esable x ( ), x ( ) K < y ( ) K < Esabilidad e SLIT y ( ) = x ( τ ) h( τ) y ( ) = x ( τ) h( τ) Si h( τ ) y( ) K = K h( τ) y ( ) = x ( τ ) h( τ) x ( τ) h( τ) Los SLIT esables iee ua respuesa impulsioal iegrable e valor absoluo. X Y X Y 4 Sisemas y Circuios

21 Tema : Sisemas.6 Propiedades de los SLIT Iveribilidad Cosideremos u sisema LIT y su iverso: x() h () y () y () Sisema x() iverso El sisema iverso... es lieal? es ivariae? x() y () h () h x() INV () ( ) ( ) x()* h() * hinv () = x()* h()* h () = x() INV Elemeo euro h ()* h () = δ () INV 4 Iveribilidad Ejemplo:.6 Propiedades de los SLIT x[ ] u [ ] y [ ] y [ ] Sisema x[ ] iverso u [ ]* h [ ] = δ[ ] INV Como u [ ] δ [] = u[] u[ ] h [ ] = δ[ ] δ[ ] INV h [ ] = δ[ ] δ[ ] INV u[] - - u[ ] - 43 Sisemas y Circuios

22 Tema : Sisemas.7 Respuesa al escaló Para calcular la salida y las propiedades de u SLIT ecesiamos coocer su respuesa impulsioal Tiempo discreo: o hay problema Sisema δ [ ] h [ ] LIT Tiempo coiuo: cómo geerar δ()? Solució: uilizar la respuesa al escaló (fácilmee geerable) δ () Sisema h () LIT u () s() u()* h() h( τ ) = = Relacioes ere respuesa impulsioal y respuesa al escaló ds() s() = h( τ ) h () = s () = d 44 Sisemas y Circuios