MS-1 Modelos de supervivencia Página 1 de 20

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1 CURSO: - TEMA : Pricipales modelos de moralidad. Modelizació esocásica. Ley de De Moivre. Leyes de Dormoy y de Sag. Leyes de Gomperz y de Makeham. Oros modelos de moralidad. Esudiaremos aquí disios modelos de comporamieo aleaorio de las fucioes ioméricas. E cada caso el modelo propoe ua forma fucioal para la fució de supervivecia, el ao isaáeo de moralidad, la proailidad de supervivecia o/y la proailidad de fallecimieo. La razó e ierés de la cosrucció, diseño y esudio de los modelos de supervivecia pivoa sore dos ámios: uo meodológico y oro prácico: Meodológicamee la cosideració de alguas hipóesis sore los feómeos ioméricos colleva ua esrucura fucioal de alguas de las fucioes ioméricas. E el ámio prácico ua vez seleccioado u modelo que implica u forma fucioal para ua deermiada fució iomérica ésa depederá de uos pocos parámeros ( o 3) y ua vez deermiados ( geeralmee esimados esadísicamee) la oeció de cualquier icógia iomérica se coviere e u simple prolema de cálculo. Aes de iroduciros e los disios modelos hay que eer e cuea fialmee que auque los esudiaremos separadamee, e la prácica suele omarse muchas veces de forma comiada aplicado u modelo disio a disios ramos de edad. Ley de De Moivre La ley de De Moivre supoe que la fució de supervivecia es ua fució lieal de la edad: l()=c+d. para Los parámeros c y d so fácilmee ideificales: l = c + d.= c l = = c + d. = c/d Como la ordea e el orige es l y la pediee es (l /) escriir la ley de De Moivre como: l l ( ) l l( ), podemos MS- Modelos de supervivecia Págia de

2 CURSO: - Para edades eeras la fució de supervivecia será ua progresió ariméica decreciee co diferecia l / : Esa diferecia es, e realidad, las defucioes auales: l d l l l ( ) l ( ) Es decir el modelo supoe que las defucioes so iguales odos los años y coicide co la pediee camiada de sigo de la f. de superviviees, e defiiiva, igual al amaño de la cohore dividido por la edad de eició, ya que los fallecimieos se disriuye igualiariamee odos los años. Las proailidades de fallecimieo será: l d q l l( ) Por lo ao la proailidad aual de fallecimieo es creciee, lo que es lógico si pesamos que el úmero de fallecidos es cosae pero pereece a u colecivo que va meguado co la edad. Igualmee la asa isaáea de moralidad amié será creciee y, de hecho, coicide co la proailidad aual de fallecimieo: l l ( ) l ( ) l( ) Como el ao isaáeo crece co la edad ese modelo suele usarse para ramos de edades alas. E cuao a las proailidades emporales de supervivecia y fallecimieo para más de u año edremos: l( ) l p l l( ) q p Esa úlima epresió muesra que la proailidad de fallecer e u ramo de iempo es proporcioal a segú el facor ( años del ramo): por lo que, por ejemplo, la proailidad de que u idividuo fallezca e los próimos años es el dole de que lo haga e los próimos 5. La fució de supervivecia S() y la fució de disriució de la edad de fallecimieo puede oeerse amié a parir de l() como: S()=l()/l y F()=-S() MS- Modelos de supervivecia Págia de

3 CURSO: - Tedremos que ( ) S ( ) l F ( ) l Por lo que : f()= / lo que supoe que segú la ley de De Moivre la variale edad de fallecimieo sigue ua Disriució Uiforme e [,] E el siguiee gráfico se muesra las fucioes de: Supervivecia ( la de disriució sería la diagoal coraria) y ao isaáeo de moralidad ( que coicide co la proailidad de fallecimieo) e el modelo de De Moivre Igualmee es muy secillo ver que la disriució de la vida residual es amié ua disriució uiforme e el iervalo [,], ya que l( ) l ( ) g() p( ). l( ) l( ) Que es la fució de desidad de ua uiforme e [,] y de aquí es elemeal cocluir que la esperaza de vida e y la vida residual proale so precisamee ((-) / ): MS- Modelos de supervivecia Págia 3 de

4 CURSO: - Resumiedo e esa ficha el modelo: Modelo De Moivre euciado La supervivecia es fució lieal ( decreciee) de la edad Disriució de X uiforme l() ( l ) d p q p -. q. S() F() f() g () e V l MS- Modelos de supervivecia Págia 4 de

5 CURSO: - Primera ley de Dormoy La primera ley de Dormoy supoe que la forma fucioal de la fució de superviviees l() es epoecial segú: l ( ) K S Dode S es u valor meor que para que l() sea ua fució decreciee Para = edremos que l()=l y por lo ao el parámero K es el valor iicial de la cohore l() l KS K l( ) l S Aleraivamee podemos cosiderar S=e - y el modelo para l() se podría re-escriir como: l ( ) ls l e Para edades eeras los valores de la fució de supervivecia se ecuera e progresió geomérica decreciee de razó S ( S<): l l S l S S l S De aquí se deduce que la proailidad de supervivecia aual es cosae e igual a S ya que : l p S l Como cosecuecia la proailidad aual de fallecimieo será igualmee cosae q = -S Para oeer la asa isaáea de moralidad derivemos la fució l(): l( ) ls (l( S)) Y el ao isaáeo de moralidad será la cosae l(s), e efeco: l( ) ls (l( S)) ( ) l( S) l ( ) ls MS- Modelos de supervivecia Págia 5 de

6 CURSO: - Por lo ao la fuerza de la moralidad se esá cosiderado idepediee de la edad. Puede eer seido esa cosideració, y por lo ao ese modelo, e los ramos cerales de edad. Veamos ahora cómo se compora las proailidades emporales de supervivecia y fallecimieo: l ( ) l S p S q S l ( ) l S Que so amié idepediees de la edad. E cuao a la fució de supervivecia S() edremos que : l ( ) ls S ( ) S l l La fució de disriució de la edad de fallecimieo será: F()=-S Y derivádolo oeemos las de desidad: f ( ) F( ) S (l( S)) Nóese que se raa de la fució de desidad de u disriució epoecial cuyo parámero sería = l(s) : f ( ) S (l( S)) ( e ) e La fució de desidad de la variale vida residual vedrá dada por: g() p( ) S ( l( S)) Que es amié la fució de desidad de ua epoecial co parámero = l(s) La esperaza de vida será la media de la vida residual que al seguir ua disriució epoecial omará el valor recíproco de su parámero : e E ep( l( S)) l( S) Y la vida media proale acaará siedo : l V l( S) MS- Modelos de supervivecia Págia 6 de

7 CURSO: - El gráfico muesra la fució de supervivecia, la proailidad aual de supervivecia y muere para ua ley (ª) de Dormoy de parámero S=.95 Modelo Primera ley de Dormoy euciado La supervivecia es fució epoecial ( decreciee) de la edad Disriució de X Epoecial (=-l(s)) l() l S d l S ( S) p S (cosae) q -S (cosae) l( S) (cosae) p S q S S() S F() S f() S (l( S)) ( ep(= l(s)) ) g () l( S) S e l( S) V l l( S) MS- Modelos de supervivecia Págia 7 de

8 CURSO: - Seguda ley de Dormoy E el modelo aerior i la asa isaáea de moralidad i la proailidad (aual) de fallecimieo depedía de la edad. E alguas siuacioes eso será poco realisa, precisamee para susaar eso y que y q sí depeda de, la seguda ley de Dormoy propoe ua fució de superviviees l() segú el siguiee esquema: l ( ) KS S Dode S y S so iferiores a la uidad y como e la primera ley K=l. l ( ) ls S El siguiee gráfico muesra cómo quedaría l() para S =.995 y S =.999 Aleraivamee podemos cosiderar S =e - y S =e - y el modelo para l() se podría reescriir como: ( ) l ( ) ls S le E la ª ley de Dormoy las proailidades de supervivecia y fallecimieo aual resulará: l ( ) ls S S S l ( ) ls S ( p q p S S ) Para deermiar la ao isaáeo de moralidad, primero derivamos la fució de superviviees: MS- Modelos de supervivecia Págia 8 de

9 CURSO: - l( ) l S S l( S ) l S S l( S ) l( ) l( ) ( ) l( ) l( ) l S S S S l S S Por lo que el ao isaáeo de moralidad quedará como: l( ) l ( ) l( S) l( S) l ( ) l ( ) (aleraivamee ()=+) ( ) l( S) l( S) La proailidades emporales de supervivecia y muere será, para la seguda ley de Dormoy: ( ) l ( ) ls S l ( ) ls S q p S S S S p S S Las fució de supervivecia y disriució será : l ( ) S ( ) S S l F( ) S S (aleraivamee S()=e (+ ) y F()=- e (+ ) ) Y la fució de desidad quedará como: f F S S S S ( ) ( ) l( ) l( ) (aleraivamee f()=(+).e (+) ) E cuao a la disriució de la vida residual T =(X-) su fució de desidad quedará como: g ( ) p ( ) S S l( S )( ) l( S ) A parir de la desidad de vida residual podríamos oeer la esperaza de vida como la esperaza de la variale T, auque se suele oeer a parir de la iegral de la proailidad de supervivecia emporal, y aú así por aproimació umérica: e E( T ). g( ) d e p d S S d MS- Modelos de supervivecia Págia 9 de

10 CURSO: - E cuao a la vida residual proale puede oeerse igualado a ½ la proailidad emporal de supervivecia e ella y edríamos: v v v vv v p omado logarimos: S S S S v l( S ) ( v v )l( S ) l() resolviedo la ecuació de º grado v l( S) l( S) l( S) l( S) 4l()l( S) l( S ) Modelo euciado Disriució de X l() Seguda ley de Dormoy La supervivecia es fució epoecial-cuadráica ( decreciee) de la edad Epoecial-cuadráica l S S d l S S ( S S ) SS p q ( SS ) S S p q S S S() F() f() ( ) l e l( S ) l( S ) + S S e (+ ) S l( ) l( ) S S S S S -e (+ ) (+).e (+ ) g () S S l( S )( ) l( S ) e V S S d l( S) l( S) l( S) l( S) 4l()l( S ) l( S ) MS- Modelos de supervivecia Págia de

11 CURSO: - Ley de Sag La ley de Sag es ua modificació de la primera ley de Dormoy añadiedo a la fució l() la adició ua cosae idepediee de la edad: l ( ) a K Co K posiivo y compredido ere y. Discuiedo la fució para sus valores sigulares (l(), l()) podemos evaluar alguos de sus parámeros: l() l a K a K l a l K l( ) ak l K K l l K K ( ) ( ) y eoces el valor de a se podría oeer como: l l al K l a ( ) Quedado la fució l() como: l l l l a K ( ) ( ) El siguiee gráfico muesra la fució de superviviees segú la ley de Sag Para deermiar el ao isaáeo de moralidad, primero derivamos la fució de superviviees: l l( ) l( ) MS- Modelos de supervivecia Págia de

12 CURSO: - Por lo que el ao isaáeo de moralidad quedará como: l l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) ( ) l ( ) l ( ) ( ) ( ) ( ) Resulado u ao isaáeo posiivo ( umerador y deomiador so amos egaivos) y creciee co la edad. Las proailidades auales de supervivecia y fallecimieo, quedará como: l ( ) ( ) l ( ) ( ) p l ( ) l ( ) ( ) ( ) q p Las proailidades emporales de supervivecia y fallecimieo será: l ( ) ( ) l ( ) ( ) p l ( ) l ( ) ( ) ( ) q p La fució de supervivecia y la de disriució de la variale X=edad de fallecimieo omará la epresió: l ( ) l ( ) S ( ) ( ) l l ( ) F( ) S( ) l( ). Resulado la fució de desidad: f( ) F( ) Que so las fucioes de supervivecia disriució y desidad de ua disriució epoecial rucada para valores X[,] co u valor del parámero = l(). E efeco, por ejemplo, para la fució de desidad os quedaría: l( ). e f ( ) e F ( ) para F() o S() ep( ) e E, igualmee podríamos comproarlo MS- Modelos de supervivecia Págia de

13 CURSO: - E ese gráfico se muesra las fucioes de supervivecia, ao isaáeo de moralidad y proailidad aual de supervivecia, para u modelo de supervivecia de Sag co =.96: E cuao a la disriució de la vida residual a la edad, edremos que : l( ) ( ) l( ) l( ) g () p( ) ( ) ( ) Que vuelve a ser, de uevo, la fució de desidad de ua epoecial rucada, esa vez ere [,-] La esperaza de la variale vida residual será la esperaza de vida e : l( ) l( ) e E[ T ] d. d resolviedo por pares: u= du=d l( ) e dv= d v= l( ) l( ) l( ) d d ( ) l( ) ( ) ( ) l( ) l( ) ( ) l( ) MS- Modelos de supervivecia Págia 3 de

14 CURSO: - Y la vida residual proale v la podemos oeer a parir de que : v v v p ( ) ( ) omado logarimos v l( ) l( ) l v l( ) l l( ) Modelo euciado Disriució de X l() d p q p q S() F() f() g () e V ley de Sag La supervivecia es fució epoecial ( decreciee) de la edad más ua cosae Epoecial (=-l()) rucada al iervalo (,) l ( ) l ( ) l( ) ( ) ( ) ( ep(= l() rucada a [,]) ) ( ep(= l() rucada a [,]) ) l( ). ( ep(= l() rucada a [,]) ) l( ) ( T ep(= l() rucada a [,-]) ) ( ) l( ) l( ) l l( ) MS- Modelos de supervivecia Págia 4 de

15 CURSO: - Ley de Gomperz La ley de Gomperz se plaea, al igual que hacía la seguda ley de Dormoy, cosiderar el ao isaáeo de moralidad creciee co la edad, pero co u crecimieo relaivo cosae (e la ley de Dormoy ese crecimieo relaivo es decreciee). Es decir que la ley Gomperz plaea que : ( ) ( ) Co cosae y posiiva. Iegrado la epresió aerior: h l( ( )) h( ) e BC Dode B= e h es posiiva y C= e >, ya que era posiiva. Veamos la epresió que oma la fució de superviviees, l(): l( ) BC ( ) BC iegrado l( l( )) D l ( ) l( C) BC D lc ( ) ( ) le l Kg co: C B D B l C K e g e g ( ya que ) l C Podemos relacioar la cosae K co l : C l l() Kg K g Por lo que podemos reescriir la epresió de l() como: C C l g C l ( ) Kg l g g Aquí se muesra la fució l() segú la ley de Gomperz para valores C=.3 y g=.7: Teiedo e cuea las epresioes aeriores es fácil ver que el ao isaáeo de moralidad, e fució de los parámeros C y g quedaría como: ( ) l( g).l( C). C MS- Modelos de supervivecia Págia 5 de

16 CURSO: - Las proailidades emporales de supervivecia y muere vedrá dadas por: C l ( ) l g p C l ( ) l g C ( C ) q p g C C C ( C ) g g La fució (eórica) de supervivecia, S(), y las fucioes de disriució y de desidad de la variale edad de fallecimieo será: l ( ) C S ( ) g l C F( ) S( ) g C f( ) F( ) l( g).l( C). C g El siguiee gráfico muesras las fucioes S(), p, () para ua ley de Gomperz co C=.3 y g=.7 La vida residual a la edad, T (X) edrá ua fució de desidad: C ( C ) g () p ( ) g l( g).l( C). C Oeer la esperaza de T para deermiar la esperaza de vida e es difícil para valores geerales y e cuao a la vida proale, a parir de su defiició, se puede oeer que es : l v l l C C l g MS- Modelos de supervivecia Págia 6 de

17 CURSO: - Modelo euciado Disriució de X l() ley de Gomperz La moralidad( ao isáaeo) se cosidera creciee co u crecimieo relaivo cosae. C C >, g < amas posiivas l g d p C ( C) q C ( C) g g l( g).l( C). C C ( C p g C ( C ) q g S() C g F() g C C f() l( g).l( C). C g C ( C ) g () g l( g).l( C). C e E(T ) V l l l C C l g ) MS- Modelos de supervivecia Págia 7 de

18 CURSO: - Primera Ley de Makeham Ese modelo supoe que el ao isaáeo de fallecimieo oedece a la epresió: ( ) A BC E dode el segudo sumado coicide co la ley de Gomperz y supodría u facor de resisecia a la muere decreciee co la edad y vedría a dar cuea de las mueres por causas aurales, mieras que el primer sumado supodría u facor cosae co la edad y vedría a regisrar la moralidad accideal. A >, B >, < C < La fució de superviviees l() la oedremos iegrado la relació ere l() y (): l( ) BC ( ) ABC l l( ) ( A D) l ( ) lc BC l C - A BC ( A D) lc l ( ) e l ( ) KSg dode: K e g e S e D cosae posiiva C cosae meor que ya que B/lC es posiivo cosae meor que la uidad. Teiedo e cuea de l()= l : l = Kg y, por ao: K= ( l / g ) y os quedará: C l C C l ( ) KSg Sg l ( ) lsg g E ese gráfico eemos la fució l() co C=.3,g=.7 y S=.998: Volviedo a la relació ere l() y () podemos ver que: MS- Modelos de supervivecia Págia 8 de

19 CURSO: - C l( ) ls g l Sl gl CC ( ) l S l gl C C C l ( ) ls g p Las proailidades emporales de supervivecia y muere será: C l ( ) ls X g C ( C ) S g l ( ) ls g C X C ( C ) q p S g Y fialmee: l ( ) S( ) S g l C F( ) S( ) S g C f F S g S g CC C ( ) ( ) l l l C ( C ) ( ) ( ) l l l g p S g S g C C E ese gráfico se muesra las fucioes S(), () y p para el caso de ua ley de Makeham co parámeros: C=.3,g=.7 y S=.998, puede verse cómo el perfil es muy similar a la ley de Gomperz. La primera Ley de Makeham suele presear prolemas de ajuse a las edades más jóvees por lo que a meudo se uiliza ua seguda ley de Makeham que cosidera el ao isaáeo como: ()=A+H+BC. MS- Modelos de supervivecia Págia 9 de

20 CURSO: - Modelo euciado Disriució de X l() ley de Makeham La moralidad (ao isaáeo) se dee, e pare a causas aurales, facor creciee co la edad ;y e pare a causas accideales, facor cosae X C C ( C) d ls g Sg p C X ( C) q C X ( C) Sg l Sl gl C C C ( C ) p S g C ( C ) q S g C S() S g C F() S g C ls g < g,s < ; C > C f() S g l S l gl C C C ( C ) g () Sg l Sl gl C C e V Sg X Se oiee por su defiició Se oiee por su defiició X MS- Modelos de supervivecia Págia de