03) Rapidez de Cambio. 0301) Cambio

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1 Págia 1 03) Rapidez de Cambio 0301) Cambio Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas

2 Págia 2 A) Iroducció Uo de los aspecos más desacables de la auraleza es su carácer variable. La Tierra y odos los sisemas biológicos ha experimeado, experimea y experimeará cambios, por lo que resula ieviable e imporae pesar la auraleza e érmios de cambios. E paricular, la cecia física esudia la variació de las diversas caidades físicas e fució del iempo. Esa variació puede cosisir: Aumeo o icremeo Dismiució o decremeo Variació cero (e cuyo caso se dice que la caidad física se maiee cosae) E geeral, e la auraleza se da dos ipos de feómeos: Feómeos deermiísicos, e los cuales se puede esablecer u paró sisemáico y cosisee, el cual puede expresarse a ravés ua fució relaivamee simple que permie modelarlo y predecirlo e forma razoable. Feómeos aleaorios, e los cuales o se puede esablecer ese paró sisemáico y cosisee, y que requiere herramieas maemáicas más sofisicadas, como la eoría de las probabilidades. E ese curso, os vamos a cerar e feómeos deermiísicos, e aquellos que se puede modelar a ravés de ua fució. Para efecos de ese curso, vamos a hacer las siguiees suposicioes para siuacioes comues El iempo es variable y su valor siempre aumea (la eoría de la relaividad aaliza el caso de que esa suposició sea falsa). E el rascurso del iempo cualquier cosa puede variar de cualquier modo. El iempo aumea uiformemee para odos los cambios, y e forma idepediee de ellos. Fució y = f(x) Se dice que y es fució de x si exise u modo sisemáico para ecorar el valor de y a parir de x. E la fució, x es la variable idepediee, mieras que y es la variable depediee. Ua fució puede ser represeada de res maeras diferees Tabla de valores uméricos Ecuació maemáica Gráfico Cosideremos el siguiee ejemplo: La reproducció de microorgaismos por miosis, que se ilusra e la figura 1. Ese proceso requiere, e érmios medio, el rascurso de u deermiado iervalo de Figura 1) Reproducció de microorgaismos por miosis

3 Págia 3 iempo, llamado iempo de geeració τ. Ese feómeo se puede represear maemáicamee a ravés de la fució ( ) τ N: Nº de Microorgaismos (variable depediee) : iempo (variable idepediee) Para el caso τ = 20 [mi], la fució se puede represear de las siguiees formas: a) Fució Maemáica: ( ) 20 2 N = N = 2, dode: b) Tabla de Valores [mi] N [microorgaismo] c) Gráficos (ver figura 2) (a) (b) Figura 2) Gráficos para la reproducció de microorgaismos por miosis. a) : escala lieal y N: escala lieal; a) : escala lieal y N: escala logarímica o de poecias de 10

4 Págia 4 B) Ierpolació y exrapolació. U día de verao realizamos el siguiee experimeo: a las 10 de la mañaa lleamos u vaso co agua corriee, lo pusimos derás de ua veaa ilumiada por el sol, irodujimos u ermómero e el agua y miramos la hora e u reloj. Medimos la emperaura a iervalos regulares de iempo; cuado observamos que la emperaura del agua había dejado de subir, pusimos el vaso a la sombra y coiuamos las medicioes de iempo y emperaura. Las medicioes se cosiga e la siguiee abla Tiempo[mi] Temperaura [ºC] 0 18, , , , , , , , , , , , , , , ,6 A parir de los daos, se puede obeer u gráfico a base de puos, como el mosrado e la figura 3a. Usualmee se dibuja ua curva que pasa por los puos, como el de la figura 3b. (a) (b) Figura 3) Gráficos de la variació de la emperaura de u vaso de agua. a) Solamee los puos medidos; b) gráfico co curva que pasa por los puos.

5 Págia 5 Cuado uo hace u cojuo de medicioes y las grafica, obiee puos que represea el valor de la fució e los isaes medidos. Tal como se ilusra co la líea azul de la figura 13, e pricipio o se puede afirmar ada acerca del valor de la fució ere los isaes medidos, y poseriormee a ellos, pues o se cooce su comporamieo, e especial si varía mucho ere puos medidos cosecuivos. Posible fució Ierpolació Exrapolació Ierpolació: Proceso de esimar valores ere puos correspodiees a daos medidos. Se puede hacer cuado los daos esá muy cercaos e el iempo y/o cuado se iee la cereza de que las flucuacioes del valor de la fució ere ales daos o es muy violea. E ales casos, se puede asumir que la fució ere esos puos es aproximadamee lieal, por lo que se puede razar ua reca ere ambos puos y usarla para esimar el valor e el isae deseado, como e la líea roja de la figura Exrapolació: Proceso de hacer prediccioes basadas e la exesió de ua curva más allá de los puos límies que correspode a medicioes. Figura 4) Ierpolació y exrapolació de daos. Se puede hacer cuado el isae buscado es muy cercao al úlimo dao y/o cuado se iee la cereza de que la fució maiee la edecia marcada por los úlimos daos medidos más allá de ésos. E ales casos, se puede razar la reca deermiada por los dos úlimos puos y usarla para esimar el valor e el isae deseado, como la reca verde de la figura 4. La idea de exrapolació esá implícia e muchos aspecos de la vida coidiaa, como e la ecoomía (proyeccioes de crecimieo e iflació) o e odo lo que ega relació co proósicos (esado climáico)

6 Págia 6 C) Cocepo de cambio Noació y coveio para diferecias Cuado os ieresa saber e cuao ha variado ciera caidad física calculamos diferecias. Cosidere ua caidad física F(), como la mosrada e la figura 5a. Se defie el cambio F de la fució ere los isaes y + como: F F() ( + ) F( ) F (a) F = F ( + ) F( ) + Al respeco, podemos aalizar los siguiees casos: F() (b) Cambio posiivo: F(+ ) > F() F > 0 (ver figura 5a) Cambio cero o ulo: F(+ ) = F() F = 0 (ver figura 5b) Cambio egaivo: F(+ ) < F() F < 0 (ver figura 5c) F ( ) = F( + ) + F() (c) F( ) F( + ) F + Figura 5) Cocepo de cambio. a) Cambio posiivo; b) cambio ulo; c) cambio egaivo

7 Págia 7 D) Relacioes lieales y o lieales Relació lieal y ecuació de la reca Eje Y (Ordeada) Sea dos puos diferees cualesquiera (x1,y1) e (x2,y2) e u sisema de coordeadas caresiao. (ver figura 6). La disacia más cercaa ere esos dos puos esá dada por la líea reca que los ue. Los dos puos deermia ua úica reca de exesió ifiia. Ua líea reca iee ua ecuació cuya forma es y = mx +, dode m es la pediee de la reca y es el iercepo co el eje y. Ora forma de expresarla es Ax + By + C = 0, dode A, B y C so úmeros reales. (x 1,y 1 ) α Orige (x 2,y 2 ) m Eje X (Abcisa) Cuado dos variables x e y se relacioa segú y = mx +, se dice que iee ua relació lieal. E el caso paricular = 0 y = mx, co m 0, se dice que y es direcamee proporcioal a x. E érmios gráficos, los iercepos de ua ecuació lieal co dos variables so los puos dode esa cruza los ejes de coordeadas. Por ejemplo, si razamos la gráfica de la ecuació: 3x + 4y = 13 (ver figura 7), sus iercepos so (0,3) y (4,0). El (0,3) se llama el iercepo e y y el (4,0) el iercepo e x. Algebraicamee, los iercepos represea solucioes de la ecuació e dode uo de los variables iee el valor de 0. E el iercepo e y el valor de x es 0. E el iercepo e x, el valor de y es 0. Figura 6) Defiició de reca Figura 7) Iercepos de ua reca La pediee de ua líea reca se refiere a la icliació que esa iee co respeco al eje horizoal. E referecia a la figura 8, podemos decir que: Si la líea reca es horizoal, su pediee es 0 (m = 0) Si la reca esá icliada a la derecha su pediee es posiiva (m > 0) Si esá icliada hacia la izquierda su pediee es egaiva. (m < 0) Si la líea reca es verical, la pediee es ifiia (m = ). Pediee ifiia Figura 8) Pediee de ua reca

8 Págia 8 Se defie el águlo de icliació α de la reca como g -1 ( α ) = m α = g ( m) Ajuse de la mejor reca. E muchos casos al represear gráficamee los valores medidos, ésos se ubica alrededor de ua líea reca (ver figura 9), cuya ecuació es de la forma: y = m x + C E ua primera aproximació, se puede razar la reca co ua regla rasparee, siedo de esperar que quede aos puos experimeales por sobre la reca como por debajo de ella disribuidos aleaoriamee. E esa aproximació, las cosaes C y m (pediee) se obiee direcamee del gráfico. Figura 9) Ajuse de la mejor reca Si se dispoe de u compuador o ua calculadora cieífica, se puede deermiar m y C usado el crierio que la suma de los cuadrados de las diferecias de cada medició co el valor correspodiee de la mejor reca sea u míimo: i = 1 2 ( y y ) = E míimo i m = Para obeer el míimo hay que derivar la fució E e igualarla a 0, para poseriormee obeer los valores m y C. Ese ipo de cálculo será viso co dealle e Maemáica I. El resulado de ese aálisis es: m i i = 1 = ( x x )( y y ) ( x i x ) i = 1 i 2 C = y m x dode 1 y = y i y x = i = 1 1 x i i = 1

9 Págia 9 Ejemplo: U barco perolero sufre u accidee, por lo que comieza a derramar peróleo. Desde u helicópero se moiorea el amaño de la macha, obeiédose el siguiee regisro de daos: Tiempo [h] 0 1/ Diámero [km] 0 0,4 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 Área [km 2 ] 0 0,13 1,84 4,3 6,9 12,3 29,6 a) Haga u gráfico del área de la macha para los isaes idicados. Trace la reca que mejor represea al cojuo de puos y ecuere ua relació algebraica ere ambos. b) Haga u gráfico del área de la macha e érmios de su diámero; comee. Vamos a esimar la mejor reca de la fució Area v/s Tiempo. Usado ua plailla de cálculo como Microsof Excel u OpeOffice Calc resula muy fácil. Los puos obeidos y la mejor reca se visualiza e la figura 10. Tiempo [h] Area [km^2] Area [km^2] Nº x y xi-xprom (xi-xprom)^2 yi-yprom (xi-xprom)(yi-yprom) y (mejor reca) 1 0,00 0,00-3,04 9,22-7,87 23,88-1,15 2 0,25 0,13-2,79 7,76-7,74 21,55-0,41 3 1,00 1,84-2,04 4,14-6,03 12,27 1,82 4 2,00 4,30-1,04 1,07-3,57 3,69 4,79 5 3,00 6,90-0,04 0,00-0,97 0,03 7,76 6 5,00 12,30 1,96 3,86 4,43 8,71 13, ,00 29,60 6,96 48,50 21,73 151,35 28,56 Promedios 3,04 7,87 Sumas 74,55 221,50 m 2,97 C -1,15 Ajuse de Mejor Reca Area [km] 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00-5,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Tiempo [h] Daos Experimeales Mejor Reca Figura 10) Problema de ejemplo: puos medidos y mejor reca segú esimació de míimos cuadrados

10 Págia 10 4

11 Págia 11 Referecia: hp://euler.us.es/~reao/clases/eam2002-3/ode21.hml Cosideracioes respeco de la parábola y La fució parabólica y = Ax 2 + Bx + C es de gra ierés para la física, pues sirve de modelo de siuacioes como el movimieo recilíeo uiformemee acelerado y el lazamieo de proyeciles. B E la figura 11 vemos la gráfica de ua parábola, e la cual podemos ideificar los coeficiees de la ecuació. C q El puo (p,q) es el puo de iflexió de la parábola, míimo o máximo depediedo de la orieació de la parábola Figura 11) Gráfico de ua fució parabólica p x

12 Págia 12 C represea el ierseco de la parábola co el eje y (x = 0). El puo de iersecció ere la parábola y el eje de las ordeadas es el puo (0,C) B represea la pediee de la reca agee a la parábola e el eje y, e el puo (0,C) E la figura 12 se muesra la relació ere el valor de A y la aberura de la parábola Si la aberura es hacia arriba (direcció +y), eoces A > 0. Si la aberura es hacia abajo (direcció -y), eoces A < 0. A > 0 A< 0 E la figura 13 se muesra los diferees valores que puede omar B, depediedo de A (que idica la aberura de la parábola) y p (coordeada x del puo de iflexió. Figura 12) Relació ere el valor de A y la aberura de la parábola Figura 13) Valores de B e fució de A y p