SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

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1 DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA FACULTAD DE CIENCAS EXACTAS Y TECNOLOGIA CÁTEDRA: SISTEMAS DE CONTROL (PLAN 004) DOCENTE: Prof. Ig. Mec. Marco A. Golao ANÁLISIS DE RESPUESTAS TRANSITORIAS SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 1 Cáedra: Siema de Corol TEO

2 RESPUESTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Siema de egudo orde: e aquel que poee do polo e u fució de raferecia. Fíicamee ee iema puede repreear u circuio RLC paralelo, acoplamieo de do aque, aque co iema de caleamieo/efriamieo, iema de maa ierciale, ec. Geéricamee cualquier iema diámico lieal de egudo orde e puede repreear por la iguiee ecuació diferecial ordiaria lieal: (co a 1, a, a o ybcoae) Frecueemee e acoumbra ecribir ea ecuació como: Cáedra: Siema de Corol TEO

3 dode: ; ; (upoiedo a 0 0). Aplicado la Traformada de Laplace m.a.m. m a la ED: Fució raferecia del iema de egudo orde. Vemo que g() o iee cero, pero iee do polo dado por la raíce del poliomio caraceríico. 3 Cáedra: Siema de Corol TEO

4 Dode: Lo parámero K,, τ,, caraceriza la coduca de lo iema de egudo orde y e defie como: K = gaacia. = facor de amoriguamieo. τ = periodo aural. Supoiedo que ao τ como K>0, el ipo de raíz (real o compleja) ea deermiada por lo valore del parámero egú: > 1 e iee raíce reale diferee. < 1 exie raíce compleja cojugada. =0 eemo raíce compleja. Cáedra: Siema de Corol TEO

5 OBSERVACIONES 1/τ = ω = deoa la frecuecia aural, el cual e u idicador de la rapidez de repuea. = e el facor de amoriguamieo, el cual proporcioa ua idea del grado de ocilació de la repuea. El comporamieo diámico de lo iema de egudo orde, puede decribire e érmio de lo parámero ω y. Para faciliar el aálii e realiza el iguiee cambio de variable: K = ω ω = 1/τ ω = 1/τ τ = 1/ω y ( ) u( ) = ω ω ω Fució raferecia eádar de egudo orde e fució de ω y. 5 Cáedra: Siema de Corol TEO

6 RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UNA ENTRADA ESCALÓN UNITARIO Se preea re cao: (1) Cao ubamoriguado ( 0 < < 1) : lo polo de lazo cerrado o complejo cojugado y yace e el emiplao izquierdo. E ee cao e ecribe: y ( ) u( ) y ( ) = u( ) ( ω ω jω )( d ω jω ) dode ω d = ω 1 e deomia frecuecia aural amoriguada. Si e ua erada ecaló: u() ω y ( ) = ( ω ω ) d Cáedra: Siema de Corol TEO

7 Uilizado fraccioe parciale ) ( ) ( 1 ) ( d d y ω ω ω ω ω ω = Aplicado Laplace: ω ω 1 e d d ω ω ω ω ω co ) ( = -1 L e e d d d ω ω ω ω ω = ) ( -1 L d ) ( Se obiee la alida e el iempo 0) ( 1 a 1 1 ) ( 1 = e e y d ω ω 7 Cáedra: Siema de Corol TEO

8 OBSERVACIÓN: Si la eñal de erada de ipo ecaló, o fuee uiario (A/), la expreió de la repuea debe ir muliplicada por la ampliud del ecaló (A). E la ecuació de la repuea y(), e oberva que la frecuecia de ocilació raioria e la frecuecia aural amoriguada ω d y que, por ao, varía co el facor de amoriguamieo. La eñal de error para ee iema e la diferecia ere la eñal de erada y la eñal de alida, y reula: e () = u () y () Ea eñal preea ua ocilació eoidal amoriguada. E régime eacioario ( = ), o hay error ere la erada y la alida. Para = 0, la repuea e vuelve NO amoriguada y la ocilacioe coiúa idefiidamee. Para ee cao la alida o queda: y() Cáedra: Siema de Corol TEO

9 () Cao de amoriguamieo críico ( = 1) : y() e ee cao e iee do polo reale iguale e, ae u ecaló reula: ω y ( ) = ( ω ) Aplicado La Traformada Ivera de Laplace, la repuea emporal reula: ω y( ) = 1 e (1 ω ) ( 0) 9 Cáedra: Siema de Corol TEO

10 ( > 1) (3) Cao obreamoriguado : e ee cao e iee do polo reale egaivo y diferee. Para ua erada ecaló, y() e: y( ) = ω ( ω ω 1)( ω ω 1) Aplicado La raformada ivera de Laplace a la ecuació reula: y( ) = 1 1 1( 1) e ( 1) ω ( 1) ω 1 1( 1) e Cuado e >> 1, uo de lo do expoeciale que decae dimiuye mucho má rápido que el oro, por lo que el érmio expoecial que decae má rápido puede depreciare (correpode a ua coae de iempo má pequeña). Para ee cao la repuea emporal reula: y() Cáedra: Siema de Corol TEO

11 Repuea al ecaló para iema de egudo orde para diferee valore del coeficiee de amoriguamieo = 0. = = = 0.7 = = 1 ca > 1 a ω. 11 Cáedra: Siema de Corol TEO

12 ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA La caraceríica deeada de u iema de corol, e epecifica e érmio de caidade e el domiio del iempo. Normalmee e epecifica la repuea raioria egú ua erada del ipo ecaló uiario. 1. Tiempo de reardo, d : iempo requerido para que la repuea alcace la primera vez la miad del valor fial.. Tiempo de crecimieo, r : iempo requerido para que la repuea pae del 10 al 90%,del5al95%odel0al100%deuvalor fial. 3. Tiempo pico, p : iempo requerido para que la repuea alcace el primer pico del obreimpulo. 4. Sobreimpulo (%), M p : e el valor pico máximo de la curva de repuea, medido a parir de la uidad. 5. Tiempo de eablecimieo, : iempo que e requiere para que la curva de repuea alcace u rago alrededor del valor fial. Por lo geeral, de a 5% y permaezca dero de él. Cáedra: Siema de Corol TEO

13 OBSERVACIÓN: Si el valor fial e eado eable de la repuea e diferee de la uidad, e comú uar u porceaje del obreimpulo. Se defie mediae: Porceaje de obreimpulo El valor del máximo obreimpulo (%), o da ua idea de la eabilidad relaiva del iema. Al epecificar lo valore de d, r, p, y M p, queda deermiada la forma de la curva de repuea. No oda la epecificacioe o frecuee e lo iema de corol. Para u iema obreamoriguado oeaplica lo érmio p ym p. E alguo cao e eceario que la repuea de u iema ea lo uficieemee rápida y amoriguada, para eo cao =0,4 a0,8. Para valore de <0,4 produce exceivo obreimpulo M p y para valore de > 0,8, el iema repode muy ardíamee. Cáedra: Siema de Corol TEO

14 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Y ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA A coiuació decribiremo la epecificacioe de iema de do orde e érmio de y ω. Tiempo de crecimieo r La repuea de u iema ub-amoriguado era: Si hacemo y (r) = 1, obeemo: y ( ) = 1 e ω 1 e ω d a 1 1 ( 0) (Tiempo de crecimieo) Dode abemo que: ω ω 1 (frecueciaaural amoriguada) d = E fácil obervar que para u valor pequeño de r, ω debe er alo. 14 Cáedra: Siema de Corol TEO

15 Tiempo de pico p Si derivamo y () co repeco del iempo y la igualamo a cero e llega a: dy Lo érmio de coeo de ea úlima ecuació e cacela uo al oro, por lo que la ecuació evaluada e = p,e implifica a: dy Dado que el iempo pico correpode al primer pico de obre impulo máximo, eoce ω p. p = π. Por ao: (Tiempo de pico) El iempo pico p correpode a medio ciclo de la frecuecia de ocilació amoriguada. Cáedra: Siema de Corol TEO

16 Sobreimpulo máximo M p e preea e el iempo pico ( = p = π / ω d ). Por ao, Mp e obiee como: M p = y (p) - 1 Dode: σ = ω (Aeuació) Si la eñal de forzamieo e o uiaria, por ejemplo i el ecaló poee ua ampliud A, eemo que: M p = A. = A. 16 Cáedra: Siema de Corol TEO

17 OBSERVACIONES PARA SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS Repuea diámica de u iema de egudo orde ubamoriguado para diio valore del facor de amoriguamieo. amieo La velocidad de caída de la repuea raioria depede del valor de la coae de iempo T. El iempo de eablecimieo, para u iema apea amoriguado, e mayor que para u iema muy amoriguado. = 14,9 [eg] p/ = 0,3 (Ce. de iempo) = 0,5 [eg] p/ = 0, 17 Cáedra: Siema de Corol TEO

18 OBSERVACIONES PARA SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS Repuea diámica de u iema de egudo orde obre amoriguado para diio valore del facor de amoriguamieo. Para u iema obre amoriguado, ehacegrade debido a la ardaza e la iiciació de la repuea. Cuao meor e la ce. de iempo T, má rápida e la velocidad de repuea y por lo ao u iempo meor. (Ce. de iempo) 18 Cáedra: Siema de Corol TEO

19 COMPROMISO DE DISEÑO EN SISTEMAS DE do ORDEN Recordemo que: Para aegurar ua repuea raioria acepable: 1- El coeficiee de amoriguamieo o debía er demaiado pequeño. -La frecuecia aural o amoriguada ω, debía er grade. 3- Por oro lado, para aegurar u error eacioario acepable, e podía lograr aumeado la gaacia K del iema. Pero e eo cao la repuea e hacía muy ocilaoria, aumeado el máximo obreimpulo!. Eoce de lo expueo urge la eceidad de llegar a u compromio ere el valor del error eacioario i y el máximo obreimpulo. Cáedra: Siema de Corol TEO

20 CONCEPTO DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA Para que u iema de corol ega u valor prácico, u pricipal codició e que ea eable. Recordemo que: U iema fíicamee eable e aquel e el cual lo raiorio decae, e decir, la repuea raioria deaparece para valore creciee e el iempo. Supógae u iema coiuo de egudo orde, cuya fució de raferecia e: y() u( ) ω ω Lo polo de la fució de raferecia erá: = ω 0 Cáedra: Siema de Corol TEO

21 E cao de que: el radical e egaivo, y lo polo reula er complejo cojugado: Plao S : La figura muera la ubicació de lo polo complejo. Nóee que la diacia de lo polo al orige (la magiud del complejo) e juamee ω. Ademá, el coeo del águlo Ø formado co el emieje real egaivo, e juamee. 1 Cáedra: Siema de Corol TEO

22 Si evaluamo la repuea emporal para el iema i upueo, eemo que: ω e 1 1 ( ) 1 a ( 1 y = e ωd 0) y como: ω d = ω 1 podemo ecribirla de maera má prácica, como: ( ) ω 1. φ ( 0 ) ω e y ( ) = 1 e φ 1 Al evaluar ea expreioe, e oberva que para valore poiivo de -.ω, el érmio expoecial crece idefiidamee, y por ao : la repuea e hace ifiia. Cáedra: Siema de Corol TEO

23 REGIÓN DE ESTABILIDAD El érmio -.ω coicide co la pare real de lo polo dl del poliomio i caraceríico, i al como e muera e el Plao S, por lo ao, la regió de eabilidad, aquella e la que debe ubicare lo polo para que el iema ea eable, reula er el emiplao izquierdo. Para ello e requiere que lo coeficiee de e lo érmio expoeciale de: la olució raioria, ea úmero reale egaivo o úmero complejo co pare reale egaiva. Cáedra: Siema de Corol TEO

24 Im () Re () 4 Cáedra: Siema de Corol TEO

25 OBSERVACIONES Ua eñal aplicada a u iema o iee efeco e la eabilidad del mimo. U iema que e eable a ua eñal, lo e ambié a oda la eñale. Si la raíce del poliomio caraceríico o reale poiiva o compleja co pare reale poiiva, el iema reula ieable. E lo cao de eer raíce co pare real cero, la repuea de eo iema e ua ocilació periee, que o decae i crece e el iempo (Eabilidad Limiada). E la prácica e coidera ieable. Para ua eabilidad abolua, oda la raíce debe er úmero reale egaivo o úmero complejo co pare reale egaiva. Cáedra: Siema de Corol TEO

26 CRITERIO DE ROUTH Crierio de Rouh-Hurwiz (eabilidad abolua): prueba i la raíce del poliomio caraceríico eá e el emiplao de la izquierda o de la derecha. Supogamo la fucio raferecia de u iema: 1- Tomamo e poliomio caraceríico del mimo: - Armamo el iguiee i arreglo: Dode: 6 Cáedra: Siema de Corol TEO

27 3- Se iveiga lo igo de la primera columa del arreglo: Rouh eablece que el umero de cambio de igo e la primera columa del arreglo e igual al umero de raíce co pare reale poiiva. Ejemplo 1: x 5 3x 4 7x 3 0x 6x15 = 0 El arreglo de Rouh e: / /11 15 Ejemplo : x 4 x 3 3x 8x = 0 El iema e eable. No hay cambio de igo e la primera columa, y por lo ao, o hay raíce co pare reale poiiva. El arreglo de Rouh e: El iema e ieable. Hay do cambio de igo e la primera columa (de maameoyde meoa ma), lo que idica que hay do raice co pare reale poiiva. 7 Cáedra: Siema de Corol TEO

28 OBSERVACIONES Ee crierio eablece que el úmero de raíce co pare real poiiva (emiplao derecho) e igual al úmero de cambio de igo e la primera columa del Arreglo de Rouh. La codició ecearia y uficiee de eabilidad e i y ólo i odo lo elemeo de la primera columa del Arreglo o poiivo. Ee crierio de evaluació de la eabilidad de u iema, puede er aplicado a iema SISO, MIMO, y mulilazo. Todo lo elemeo de cualquier regló puede muliplicare o dividire por ua coae i afecar lo cambio de igo de la primera columa. Si e el arreglo aparece u regló de cero, el iema e ieable o poee ua eabilidad limiada. i Si la primera caidad e u regló e cero, miera que la ora o lo o, el procedimieo coie e reemplazar el cero por u umero ε pequeño pq y poiivo. Lo cambio de igo de la columa formada puede obeere haciedo que ε ieda a cero. Cáedra: Siema de Corol TEO