UNIDAD 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 UNIDAD 4. INFERENCIA ESTADÍSTICA. Eimació por Iervalo Se puede eablecer u iervalo de eimació para la media, i la muera e eleccioa de ua població ormal o i e grade 30, coiderado la diribució mueral de X. Iervalo de Cofiaza para, i e cooce. Se eleccioa ua muera aleaoria de amaño de població cuya variaza e cooce y la media e calcular para obeer el iguiee iervalo de cofiaza del -% para : Z Z dode Z e el valor de Z a la derecha del cual e iee u área de. Error: i e realmee el valor del cero del iervalo, eoce eima a i error. La mayor pare de la vece, i embargo, o erá eacamee igual a y la eimació puual e erróea. El amaño de ee error e erá el valor aboluo de la diferecia ere y y e puede eer ua cofiaza del -% que ea diferecia o ecederá de Z. Tamaño de la muera: i e uiliza a como ua eimació de, e puede eer ua cofiaza del -% de que el error o ecederá ua caidad epecífica e cuado el amaño de la muera e: Z = redodeada al eero uperior má cercao e Iervalo de Cofiaza para, i o e cooce. Si y o la media y la deviació eádar de ua muera aleaoria omada de ua població ormal co variaza decoocida, u iervalo de cofiaza del -% para e: dode e el valor de la Diribució de Sude co - grado de liberad, que deja u área de a la derecha. Iervalo de Cofiaza para, de muera grade. Icluo cuado o e puede upoer la ormalidad de la població, co decoocida y 30, podría reemplazar a y e podría uilizar el iervalo de cofiaza: Z Z dode Z e el valor de Z a la derecha del cual e iee u área de.

2 Eimació de la diferecia ere do media Si e iee do poblacioe co media y y variaza y repecivamee, el eimador puual de la diferecia ere y lo da el eadíico X X. Iervalo de Cofiaza para - coociedo y : Si y o la media de muera aleaoria idepediee de amaño y de poblacioe co variaza coocida y, repecivamee, u iervalo de cofiaza del -% para - e: Z Z dode Z e el valor de Z que iee a u derecha u área bajo la curva igual a. Iervalo de Cofiaza para -, co = pero decoocida Si y o la media de muera aleaoria idepediee de amaño y, repecivamee, de poblacioe aproimadamee ormale co variaza iguale pero decoocida, u iervalo de cofiaza del -% para - e: S S p p dode S p e la eimació comú de la deviació eádar poblacioal y e el valor de la diribució co v = - grado de liberad, que iee a u derecha u área bajo la curva igual a. = S p Iervalo de Cofiaza para - co pero decoocida Si y y y o la media y variaza de muera aleaoria pequeña e idepediee de amaño y, repecivamee, de poblacioe aproimadamee ormale co variaza diferee y decoocida, u iervalo de cofiaza del -% para - e: dode e el valor de la diribució co v grado de liberad, que iee a u derecha u área bajo la curva igual a. [ ] [ ] = v

3 Eimació de la proporció U eimador puual de la proporció p e u eperimeo biomial eá dado por el eadíico P ˆ = X, dode X repreea el úmero de éio e ieo. Por lo ao, la proporció mueral p ˆ = e uiliza como eimació puual del parámero p. Si o e epera que la proporció decoocida p e acerque demaiado a cero o a uo, e puede eablecer u iervalo de cofiaza para p coiderado la diribució mueral de. Iervalo de Cofiaza para p de ua muera grade Si e la proporció de éio e ua muera aleaoria de amaño, y =, u iervalo de cofiaza aproimado de -% para el parámero biomial p e: pq ˆ ˆ pq ˆ ˆ Z p Z dode Z e el valor de Z que iee a u derecha u área bajo la curva igual a. Cuado e pequeño y e cree que la proporció decoocida p e acerca a 0 o a, ee iervalo o e cofiable y, por lo ao, o debe uilizare. Para ear eguro e requiere que ambo y ea mayore o iguale a 5. Error: Si e uiliza como ua eimació puual de p, e puede eer ua cofiaza del -% de que el error o ecederá de Z pq ˆ ˆ. Tamaño de : Si e uiliza como ua eimació puual de p, e puede eer ua cofiaza del -% de que el error erá meor que ua caidad epecífica e cuado el amaño de la muera ea aproimadamee: Z ˆ ˆ pq Z = Cuado o e cooce ua eimació de p: = e 4e Eimació de la diferecia ere do proporcioe Iervalo de Cofiaza para p p de ua muera grade Si p ˆ ˆ y p o la proporcioe de éio e muera aleaoria de amaño y de do poblacioe biomiale, u iervalo de cofiaza del -% para la diferecia ere lo do parámero biomiale, p -p, e: ˆ Z p p p Z dode Z e el valor de Z que iee a u derecha u área bajo la curva igual a. Se requiere que: ˆp, ˆq, ˆp y ˆq ea mayore o iguale a 5. 3

4 . Prueba de Hipóei. Fudameo de la prueba de hipóei La prueba de hipóei coie e la formulació de u procedimieo de deciió baado e dao eperimeale, que pueda producir ua cocluió acerca del iema e eudio. Ua hipóei eadíica e ua afirmació o cojeura acerca de ua o má poblacioe. Se plaea la cojeura o hipóei, e uiliza dao eperimeale muera aleaoria y e oma deciioe co bae e ello. Nuca e abe co abolua cereza la verdad o faledad de ua hipóei eadíica, a o er que e eamie la població eera, pero como e abe eo o e poible e la mayoría de lo cao prácico, por ello e oma ua muera aleaoria de la població de ieré y e uiliza dicho dao para proporcioar evidecia que cofirme o o la hipóei. La evidecia de la muera que e icoiee co la hipóei plaeada coduce a u rechazo de la mima, miera que la evidecia que apoya la hipóei coduce a u acepació. La acepació de ua hipóei implica a olo que lo dao o proporcioa evidecia uficiee para refuarla. Por oro lado, el rechazo implica que la evidecia de la muera la refua. Si el cieífico e ierea e repaldar co fuerza u argumeo, epera llegar al argumeo e la forma de rechazo de ua hipóei. Por ejemplo, i e deea morar que el omar café aumea el riego de cácer, la hipóei a probar deberá er o hay aumeo e el riego de padecer de cácer debido a la igeió de café ; como reulado el argumeo e alcaza vía rechazo.. Formulació de hipóei. Hipóei imple y compuea. La erucura de la prueba de hipóei e formulará uilizado el érmio hipóei ula. Eo e refiere a cualquier hipóei que e deee probar y e repreea por H 0. el rechazo de H 0 da como reulado la acepació de ua hipóei aleraiva, que e repreea por H. Ua hipóei ula referida a u parámero poblacioal iempre erá eablecida e forma al que epecifique u valor eaco del parámero, miera que la hipóei aleraiva admie la poibilidad de vario valore. Por ejemplo: Si H 0 : p=0.5, la hipóei aleraiva puede er H : p 0.5, ó H : p > 0.5, ó H : p Prueba de ua hipóei eadíica La deciió e baa e u eadíico de prueba, por ejemplo X: caidad de éio i e eá rabajado co ua Diribució Biomial. Y e el eablecimieo de la regió críica, que e la zoa dode e rechaza H 0. 4

5 4. Tipo de errore que e puede comeer e la Prueba de Hipóei. Ee procedimieo que e acaba de decribir podría coducir a cualquiera de do cocluioe erróea, que e reume e la iguiee abla: H 0 e verdadera H 0 e fala Se acepa H 0 Deciió correca Error ipo II β Se rechaza H 0 Error ipo I Deciió correca Nivel de igificacia : e la probabilidad de comeer u error ipo I. Para ua muera de amaño fijo, la dimiució e la probabilidad de comeer u error cai iempre reula e u icremeo e la probabilidad de comeer el oro error. Aforuadamee, la probabilidad de comeer ambo ipo de errore puede reducire icremeado el amaño de la muera. 5. Tipo de prueba Regió de Acepació 8 Regió Críica Valor críico Prueba de ua cola: dode H e uilaeral, por ejemplo: H 0 : θ = θ 0 H 0 : θ = θ 0 H : θ > θ 0 ó H : θ θ 0 θ 0 θ 0 Prueba de do cola: dode H e bilaeral H 0 : θ = θ 0 La regió críica e divide e pare, H : θ θ 0 ya que H eablece que θ θ 0 y θ > θ 0 6. Prueba a eudiar: e cada prueba el procedimieo e el mimo, lo úico que cambia e el eadíico de prueba a uilizar y el eablecimieo de la regió críica. Guía para eablecer la hipóei: θ 0 θ 0 Leer cuidadoamee el problema para deermiar la afirmació que deea probare. Ea afirmació debe eguir ua ola direcció como, por ejemplo, má que, meo que, iferior a, uperior a, ec. Eoce e H e eablecerá el igo de deigualdad ó > correpodiee a la direcció ugerida. Si la afirmació ugiere ua direcció compuea =,, como, por ejemplo, al meo, igual o mayor que, o mayor que, ec., eoce ea direcció compuea complea, e eprea como H 0 pero uado olo el igo de igualdad y H e eprea e la direcció opuea. Si o e ugiere igua direcció e la afirmació, eoce H e eablece uilizado el igo diferee que. 5

6 Eapa e la coraació de hipóei. Eablecer la hipóei ula H 0 : θ = θ 0. Seleccioar ua hipóei aleraiva apropiada H de ua de la aleraiva: θ θ 0, θ > θ 0, o θ θ Seleccioar u ivel de igificacia de amaño. 4. Seleccioar el eadíico de prueba apropiado y eablecer la regió críica. 5. Calcular el valor del eadíico de prueba a parir de lo dao muerale. 6. Decidir: rechazar H 0 i el eadíico de prueba e ubica dero de la regió críica, de ora forma, o rechazar H 0. Prueba de hipóei a eudiar: Prueba de hipóei para la media co coocido. o Eadíico de prueba: Z = 0 Prueba de hipóei para la media co decoocido. o Eadíico de prueba: = 0 co ν = grado de liberad Prueba de hipóei para la proporcioe: coie e probar la hipóei de que la proporció de éio e u eperimeo Biomial e igual que u valor epecificado. Se ua como eadíico de prueba la variable Biomial X co p=p 0. Si o e grade: Debido a que X e ua v.a. Biomial dicrea, e poco probable que pueda deermiare ua regió críica cuyo amaño ea eacamee igual a. Por ea razó e preferible, al raar co muera pequeña, baar la deciioe e el valor deomiado P. * Si H 0 : p = p 0 P = PX cuado p=p 0 H : p p 0 dode e el úmero de éio e la muera de amaño Si P, la prueba e igificaiva e el ivel y e rechaza H 0 a favor de H. * Si H 0 : p = p 0 P = PX cuado p=p 0 H : p > p 0 dode e el úmero de éio e la muera de amaño Si P, la prueba e igificaiva e el ivel y e rechaza H 0 a favor de H. * Si H 0 : p = p 0 P = PX cuado p=p 0 i p 0 H : p p 0 P = PX cuado p=p 0 i > p 0 dode e el úmero de éio e la muera de amaño Si P, la prueba e igificaiva e el ivel y e rechaza H 0 a favor de H. Si e grade y p 0 o e acerca a cero o uo, e uiliza la aproimació ormal y el valor z para probar que H 0 : p = p 0 eá dado por: 6

7 z = p el cual e u valor de la variable aleaoria ormal eádar Z. Si e iee ua prueba de do cola H : p p 0, la regió críica e z -z y z > z. p 0 q 0 0 Si e iee ua prueba de ua ola cola la regió críica e: Si H : p p 0 z -z Si H : p > p 0 z > z 7