Intervalos de confianza Muestras pequeñas. Estadística Prof. Tamara Burdisso

Transcripción

1 Inervalo de confianza Muera pequeña Eadíica Prof. Tamara Burdio

2 Qué ocurre cuando n<30? No iempre e iene la poibilidad de conar con una muera grande. Vamo a focalizarno en muera pequeña cuando el eadíico e la media mueral Recordemo porque neceiábamo una muera grande Siempre y cuando la obervacione ean i.i.d., y la diribución poblacional no demaiado aimérica, una muera grande no aeguraba que La diribución mueral de la media e aproxima a la normal a medida que n (amaño de la muera) crecía Y el eimador del error eándar: SE e confiable donde e n el eimador de, el devío poblacional que por lo general e deconocido. Eadíica Prof. Tamara Burdio

3 Qué ocurre cuando n<30? El TCL aevera que la diribución mueral de X e aprox. Normal cualquiera ea el amaño de la muera iempre y cuando la diribución poblacional ea aprox. normal. Sin embargo, no e fácil de verificar en muera pequeña la condición de normalidad. Amba muera (n=10 y n=1000) provienen de una N(0,1) E difícil deerminar a parir de una muera pequeña cual e la diribución de la que provienen. Módulo 4 Inervalo de confianza 3 Eadíica Prof. Tamara Burdio

4 Qué ocurre cuando n<30? Vimo que i n 30, y e deconocido, eimamo con Sin embargo, cuando n<30 y e deconocido (cai iempre), ambién podemo uilizar como el eimador naural de, pero el hecho de que n ea pequeño orna a meno confiable. Para miigar ea mayor inceridumbre en y coninuar reeniendo la confianza del 95% en la conrucción de lo inervalo de confianza, deberíamo enonce aumenar el ancho del inervalo. Luego deberíamo rabajar con una diribución que de cuena de la neceidad de un inervalo má ancho. Por lo ano, la diribución normal eandarizada reemplazada por la de Suden. Módulo 4 Inervalo de confianza 4 Eadíica Prof. Tamara Burdio Z e

5 La diribución de Suden La de Suden ambién e imérica alrededor de la media=0, con forma de campana, pero con cola má peada, i.e. e má probable ener má obervacione má allá de devío eándar repeco de la media i e la compara con la dir. Normal eándar. La cola má peada on la que van a miigar la mayor inceridumbre originada en el cálculo del SE Módulo 4 Inervalo de confianza 5 Eadíica Prof. Tamara Burdio

6 La diribución de Suden La de Suden iene un olo parámero, llamado grado de liberad, que deermina cuan peada on la cola de la diribución. Qué ocurre con la forma de la diribución cuando lo grado de liberad e incremenan? N(0,1) de Suden con 1, y 5 grado de liberad Módulo 4 Inervalo de confianza 6 Eadíica Prof. Tamara Burdio

7 Cuándo y cómo e uiliza la de Suden? Cuando deeamo conruir un inervalo de confianza para la media y el e deconocido Tamaño de la muera n<30 El inervalo de confianza (región de confianza=1-α) e calcula de la mima manera pero en lugar de uilizamo Módulo 4 Inervalo de confianza Eadíica Prof. Tamara Burdio Z S X n-1, * n P( n-1, / ) P( n-1, / ) 7

8 Comparando la N(0,1) y la Calcular a. b. P Z z P,0.05 c P,0.05 Módulo 4 Inervalo de confianza 8 Eadíica Prof. Tamara Burdio

9 El origen de la de Suden William Goe, Eudió química y maemáica. Se unió a la cervecería Guinne, donde llegó a ocupar la poición má ala en el área de inveigacione de la compañía. Su preocupación era eudiar lo ipo de cebada para mejorar la calidad de la cerveza. Rara vez diponía de muera grande. Eo lo llevó a eudiar una diribución para muera pequeña. Llega a un acuerdo con la compañía para publicar u rabajo eadíico bajo el eudónimo de Suden. Módulo 4 Inervalo de confianza 9 Eadíica Prof. Tamara Burdio

10 Ejemplo Ciera emprea eá implemenado un programa de adieramieno por compuadora para u empleado. La emprea decide adierar a 15 empleado. La abla muera lo iempo de adieramieno. Tiempo de adieramieno en dia Empleado Tiempo Empleado Tiempo Empleado Tiempo Calcular el inervalo de confianza al 95% para la media poblacional Módulo 4 Inervalo de confianza 10 Eadíica Prof. Tamara Burdio

11 Inervalo de confianza de la varianza de una diribución normal Supongamo que de una población que igue una diribución normal con varianza e exrae una muera aleaoria de n obervacione cuya varianza e. Enonce n1 ( n 1) Sigue una diribución con n-1 grado de liberad Recordemo que n1 P( n 1 n1, ) Módulo 4 Inervalo de confianza 11 Eadíica Prof. Tamara Burdio

12 Inervalo de confianza de la varianza de una diribución normal P( n 1 n 1, ) Enonce Y la P( ) 1 n1 n1,1 Por lo ano P( ) n1 n1,1 Finalmene P( n 1,1 n 1 n 1, ) 1 1 Módulo 4 Inervalo de confianza 1 Eadíica Prof. Tamara Burdio

13 Inervalo de confianza de la varianza de una diribución normal Ejemplo: Supongamo que queremo hallar un par de número al que la probabilidad de que una variable aleaoria chicuadrado con 8 grado de liberad e encuenre enre eo número e Módulo 4 Inervalo de confianza 13 Eadíica Prof. Tamara Burdio

14 Inervalo de confianza de la varianza de una población normal Supongamo que hay una muera aleaoria de n obervacione exraída de una población que igue una diribución normal de varianza. Si la varianza mueral obervada e, enonce un inervalo de confianza al de la varianza poblacional e: P( P( Módulo 4 Inervalo de confianza 14 Eadíica Prof. Tamara Burdio ( n 1) n1,1 n1 n1, 1 ( n 1) ) ~ n1,1 1, 1 n ( n P 1) n1, ( n 1) n1,1 ) n (1 )%

15 Inervalo de confianza de la varianza de una diribución normal El direcor de Acero Nore, quiere evaluar la variación de la emperaura en el nuevo horno elécrico de la emprea. Se obiene una muera aleaoria de 5 emperaura durane 1 emana y e oberva que la varianza mueral e 100. Halle el inervalo de confianza al 95% de la varianza poblacional de la emperaura. Supueo??? Módulo 4 Inervalo de confianza 15 Eadíica Prof. Tamara Burdio

16 Reumiendo Parámero Muera Diribución poblacional Media Media ( n 30?) grande n grande Cualquiera Conocida n Cualquiera Deconocida ( n 30?) Media n 30 Debe er aprox. Media 30 Proporción n(1 normal n Debe er aprox. normal np 10 p) 10 Conocida Deconocida Inervalo de confianza X Z X Z X Z X n1, pˆ Z n S n n S n pˆ(1 pˆ) n Varianza Normal ( n 1) ( n 1) n 1, n 1,1 Módulo 4 Inervalo de confianza 16 Eadíica Prof. Tamara Burdio