Contrastes sobre proporciones Tema 9

Transcripción

1 Cotrastes sobre proporcioes Tema 9. Ua proporció. Dos proporcioes. Dos proporcioes idepedietes. Dos proporcioes relacioadas (Prueba de McNemar) 3. Más de dos proporcioes relacioadas (Prueba de Cochra)

2 . Cotraste sobre ua proporció Objetivo: Realizar iferecias acerca de ua úica proporció poblacioal.. Hipótesis a) Bilateral: H 0 : π π 0 ; H : π π 0 b) U. derecho: H 0 : π π 0 ; H : π > π 0 c) U. izquierdo: H 0 : π π 0 ; H : π < π 0. Supuestos Muestra aleatoria π costate e cada extracció 3. Estadístico de cotraste 3.. Muestra pequeña ( 5): X i X i (úmero de éxitos) X ~ Biomial (, π 0 )

3 3 3. Muestra grade (> 5) Z X π P π 0 π 0( π 0) π 0( π 0)/ 0 Z se distribuye segú la ormal (0, ) 4. Zoa crítica a) Bilateral: Z z α/ y Z z -α/ b) Uilateral derecho: Z z -α c) Uilateral izquierdo: Z z α 5. Decisió: 5. Muestra pequeña Rechazar H 0 si p (ivel crítico) es meor o igual que α (uilateral) o α/ (bilateral) 5. Muestra grade: Rechazar H 0 si el estadístico Z cae e la zoa crítica

4 4 Ejemplo: Se está realizado ua ivestigació sobre tabaquismo juveil. Se ha tomado ua muestra de 5 alumos de istituto y se ha ecotrado que 5 de ellos fuma habitualmete. Cotrastar la hipótesis de que el porcetaje de jóvees fumadores es del 40% utilizado α0,0.. Hipótesis H 0 : π 0,4 H : π 0,4. Supuestos Muestra aleatoria π 0,4 costate e cada extracció 3. Estadístico de cotraste Dado que la muestra es pequeña: º de éxitos : X 5 X ~ Biomial (5, π 0 0,4)

5 5 4. Zoa crítica X P(X ) 0,005 X P(X ) - 0,998 0,00 ivel crítico: p ()P(X 5) ()0,403 0, Decisió: X cae e la zoa de aceptació. p 0,806 > 0,0 α Mateer H 0 Utilizado la aproximació ormal (o es ecesario): Z X π 0 π 0( π 0) 5 (5)0,4 (5)0,4( 0,4) 5 6 3,6-0,53 0,005Z -,575; 0,995Z,575

6 6 Cálculo del ivel crítico H 0 : π 0,4 H : π < 0,4 H 0 : π 0,4 H : π > 0,4 H 0 : π 0,4 H : π 0,4 Uilateral izquierdo p P(X 5) 0,403 Uilateral derecho p P(X 5) -P(X 4) - 0,7 0,783 Bilateral ()p P(X 5) ()0,403 0,806 ( por el meor de ambos)

7 7.. Dos proporcioes idepedietes Objetivo: Cotrastar si so iguales dos proporcioes procedetes de dos poblacioes diferetes.. Hipótesis Bilateral: H 0 : π π ; H : π π U. derecho: H 0 : π π ; H : π > π U. izquierdo: H 0 : π π ; H : π < π. Supuestos Muestra aleatoria π y π costates e cada extracció 3. Estadístico de cotraste Muestra :, P Muestra :, P P P + + P

8 8 Z P P( P) Z se distribuye ormal (0, ) P + 4. Zoa crítica Bilateral: Z α/ z Z -α/ z Uilateral derecho: Z -α z Uilateral izquierdo: Z α z 5. Decisió Rechazar H 0 si el estadístico de cotraste cae e la zoa crítica (o si p α)

9 9 Ejemplo: Cotiuado co la ivestigació sobre tabaquismo, desea cotrastarse si fuma más las chicas que los chicos. Se toma ua muestra de 0 chicas y se ecuetra que fuma. E ua muestra de 8 chicos fuma 8. Realizar el cotraste co α0,0.. Hipótesis H 0 : π π H : π > π. Supuestos Muestra aleatoria π y π costates e cada extracció 3. Estadístico de cotraste 0; P /0 0,60 8; P 8/8 0,44

10 0 P P P ,53 Z P( P P P) 0,6 0,44 0,53( 0,53) ,99 4. Zoa crítica: Z 0,99 z,33 5. Decisió: Mateer H 0. No puede cocluirse que las chicas fuma más.

11 .. Dos proporcioes relacioadas (Prueba de McNemar) Objetivo: Cotrastar si so iguales dos proporcioes poblacioales cuado se utiliza u diseño de medidas repetidas (ates-después). 3. Estadístico de cotraste Ates Después m Calcular + 3. Muestra pequeña ( 5) T T ~ Biomial (, π0,5)

12 3. Muestra grade ( > 5) X ( ) + X ~ χ co grado de libertad 4. Regla de decisió 4. Estadístico T : Utilizar el ivel crítico 4. Estadístico X : a) Bilateral : X α χ b) U. Derecho : X c) U. Izquierdo : X α χ α χ

13 3 Ejemplo: Se ha tomado u grupo de 40 jóvees y se ha ecotrado que fumaba 5. Se les proporcioa iformació sobre los perjuicios del tabaco y se covece a 5 fumadores para que deje el tabaco. Después de recibir la iformació so 9 los jóvees que o fuma Puede cocluirse co α0,0 que la iformació es eficaz? Los datos puede orgaizarse: Después Si No Si 5 5 Ates No Hipótesis U. derecho: H 0 : π π ; H : π > π. Supuestos Muestra aleatoria de m pares π y π costates e cada extracció

14 4 3. Estadístico de cotraste Ates Completar la tabla: Después Si No Si No Calcular + 6 T 5; T ~ Biomial (6, π 0,5) 4. Regla de decisió P (T 5) - P (T 4) 0,89 0,09 > α 0,0 5. Decisió Mateer H 0

15 5 Utilizado X (o es ecesario): 3. Estadístico de cotraste X ( + ) (5 ) 5 +,67 X ~ χ co grado de libertad 4. Regla de decisió (α 0,0) Zoa crítica: X -α χ 0,98 χ 5,4 5. Decisió Mateer H 0

16 6 3. Más de dos proporcioes relacioadas (Prueba de Cochra) Objetivo: Cotrastar si so iguales más de dos proporcioes poblacioales cuado se utiliza u diseño de medidas repetidas.. Hipótesis H 0 : π + π +... π +J H : π +j π +j. Supuestos Muestra aleatoria π +j costate e cada extracció 3. Estadístico de cotraste Q J J ( J ) T+ j j JT i T ( J i+ ) T

17 7 J: Número de proporcioes (grupos) T: Total de la muestra T +j : Total de cada tratamieto j T i+ : Total de cada sujeto i Q ~ χ co J- grados de libertad 4. Zoa crítica: Q χ α J 5. Decisió. Rechazar H 0 si Q cae e la zoa crítica Ejemplo: 0 sujetos decide participar e u tratamieto atitabaco. Para realizar u seguimieto de su efectividad, ua vez fializado el tratamieto se toma datos al cabo de uo, dos y tres meses. La siguiete tabla idica qué sujetos ha vuelto a fumar. Puede cocluirse que la proporció de fumadores se matiee estable co α0,05? U mes Dos meses Tres meses

18 8. Hipótesis H 0 : π + π + π +3 H : π +j π j. Supuestos Muestra aleatoria π +j costate e cada extracció. Estadístico de cotraste U mes Dos meses Tres meses T i+ T +j T

19 9 J ( J ) J j + j ( J ) T Q JT Ti+ i 3()( ) ( 3() (3 + + L + 0 T ) ) Q ~ χ J 3. Zoa crítica: Q χ α J 0,95 χ 5,99 4. Decisió. Mateer H 0. La proporció de fumadores o cambia durate los tres meses.

20 0 Formulario del tema 9 Cotraste sobre ua proporció X ~ Biomial (, π 0 ) Z X π P π 0 π 0( π 0) π 0( π 0)/ 0 Z ~ ormal (0, ) Dos proporcioes idepedietes P P + P + Z P P P( P) + Z ~ ormal (0, )

21 Dos proporcioes relacioadas (McNemar) T T ~ Biomial (, π0,5) X ( ) + X ~ χ Más de dos proporcioes relacioadas (Cochra) Q J J ( J ) T+ j j JT i T ( J ) T i+ Q ~ χ J

22 Ejercicios recomedados del libro:...3.4