SERIES DE TIEMPO AJUSTADAS CON MODELOS DE ESPACIO DE ESTADO. Errores de proyección. Adriana Fátima Panico de Bruguera.

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1 Ruig head: PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES DE PROYECCIÓN DE LAS SERIES DE TIEMPO AJUSTADAS CON MODELOS DE ESPACIO DE ESTADO Errores de proecció Adriaa Fáima Paico de Bruguera María Agélica Pérez de Del Negro Faculad de Ciecias Ecoómicas Uiversidad Nacioal de Tucumá (Argeia)

2 Errores de proecció 2 RESUMEN Uo de los problemas más imporaes e el aálisis de las series de iempo es la proecció de valores fuuros. Pero e odo momeo se debe eer e cuea que o se puede predecir el fuuro, solamee se puede aalizar el pasado, esperar que el modelo persisa e base a ello realizar las esimacioes de valores fuuros mediae ua proecció hacia delae del modelo geerador de las observacioes. Cuado la serie represea algua variable ecoómica, la imporacia prácica de la proecció es evidee. El objeivo e el presee rabajo es esudiar los errores que se produce e el proceso de esimació predicció, explicado la forma e que ellos se propaga, mediae ua expresió maemáica simple, cómo iflue cuado ua serie es la acumulada de oras. Para el aálisis modelado esadísico de las series de iempo raadas, se aplica el efoque de espacio de esado, el cual, como se demosró e diversos rabajos publicados, resula mu saisfacorio a la hora de hacer proeccioes además mu úil e la aplicació de diversos problemas reales. Palabras Claves: Errores; Esimació proecció; Modelos de Espacio de Esado.

3 Errores de proecció 3 1. Iroducció E E u proceso esocásico { }, dode su media, ( ) = 0 ( ) ( s) s E su fució de covariaza = σ, es imporae cosiderar las proeccioes fuuras de e érmios de su pasado. Si es la proecció, el crierio es hacer pequeña a ( ) 2 E, eso sigifica que el error cuadráico medio de predicció se miimiza si se oma como la esperaza codicioal de dadas las observacioes pasadas, 1, 2,...,. Si la disribució es ormal o el proceso es Gaussiao, la esperaza codicioal será ua fució lieal, bajo oras circusacias podría o serlo. Supoiedo que el cojuo de observacioes,..., 1 saisface el modelo de espacio de esado (2), se desea predecir +, r =1,2,... j r 1. α = Z α + ε, ε ~ N( 0, H ), = T α R η, η ~ N( 0, Q ), 1 = 1,..., (1) Siguiedo co el argumeo aerior, la predicció debe ser co míimo error medio cuadráico de predicció dada la muesra complea Y. Es decir que se busca aquella esimació ( r) de + r que miimice F E ( ( ) )( ( ) ) r + r r r Y (2) + r = + para odas las esimacioes de + r. La predicció co míimo error cuadráico medio de + r dada la muesra complea Y es la media codicioal ( r) = E( Y ) + r (3) El propósio de esa ivesigació es aalizar qué relació exise ere los errores de las proeccioes de cada ua de las series de los impuesos que se recauda e la Provicia de Tucumá, el error de proecció de la serie del oal acumulado de esos impuesos. 1 HARVEY, A. C., (1989)

4 Errores de proecció 4 2. Daos Los daos aalizados correspode a los valores oales mesuales de la recaudació de impuesos proviciales de la Provicia de Tucumá 2 cada uo de los gravámees que compoe el oal. Las series de iempo así coformadas comprede el período: eero de 1996 a eero de Los daos e cuesió fuero sumiisrados por la Direcció Geeral de Reas de la Provicia de Tucumá e pesos corriees, es decir que esá expresados e pesos correspodiees al año e que fuero recaudados. Para poder realizar el aálisis los mismos debiero ser rasformados a pesos cosaes, o sea, expresados e pesos correspodiees a u mes o a u año base deermiado para elimiar la iflació durae el período. E la elecció del período base debe eerse e cuea diversos facores que permia cosiderar ese período como ormal o si grades cambios o sobresalos e la acividad ecoómica. Se cosideró más represeaivo de la realidad provicial deflacar las series, a precios de diciembre de 2001, co el IPC (Ídice de Precios al Cosumidor, Nivel Geeral, de Tucumá), calculado mesualmee por la Direcció Provicial de Esadísica, base 1984=100. Los impuesos icluidos e la serie correspode a los deomiados Impuesos Proviciales coocidos como: Igresos Bruos, Imobiliario, Auomoor; Salud Pública, Sellos, Auoraspore, Sellos Judiciales, Riego, Boleí, Cobros Judiciales, Pecuarios, Mulas, Eveuales Geerales, Juegos Tasas Policiales (los úlimos 10, por su poca sigificació idividual e los valores oales, aparece geeralmee agrupados e u solo íem como Oros). 2 No se cosidera los igresos ribuarios proveiees de fodos coparicipables.

5 Errores de proecció 5 3. Forma maemáica de la propagació del error Como se mecioó e la secció aerior, cada uo de los impuesos que se recauda e la provicia, iee u porceaje de paricipació e el oal, diferee. Dichos porceajes se calcularo mesualmee desde eero a julio de 2004, debido a que e ese período, e paricular, se adoparo diversas medidas para aumear la recaudació. La figura 1 represea la paricipació porceual de cada impueso e el oal recaudado por mes para el primer semesre de Se observa que el impueso a los Igresos Bruos es el de maor porceaje de paricipació (ere 48% 69% del oal), co marcada diferecia co respeco a los oros. Similar comporamieo se observa e la figura 2 para el segudo semesre de 2005, dode los porceajes de paricipació oscila ere 52% 75% del oal. De acuerdo a esa siuació, para el cálculo del error, se propoe poderar el error de proecció correspodiee a cada ua de las series que compoe el oal, de acuerdo a su correspodiee porceaje de paricipació. Para ello se defie los siguiees parámeros: p i, co i = 1,..., ; la paricipació co respeco al oal, el úmero de series que compoe el oal; e i el error de proecció de cada ua de ésas; p T la relació de la suma de las proeccioes de cada uo de las series que compoe el oal sobre la proecció del oal e T su correspodiee error de proecció. La relació maemáica propuesa para observar la propagació de los errores obedece a la siguiee expresió: pi ei i= 1 p e T T (4) El proceso de esimació proecció se realizó cosiderado las series co los valores observados hasa el mes de sepiembre de 2005 iclusive, co el modelo ajusado se proecaro res meses e adelae (ocubre, oviembre diciembre), co sus respecivos

6 Errores de proecció 6 errores. El mismo procedimieo se realizó co la serie observada hasa ocubre iclusive luego icluedo el mes de oviembre. Se ajusaro diferees modelos para proecar oviembre diciembre de 2005, eero febrero de 2006, respecivamee. E cada caso, se fuero comparado los valores observados co los proecados para corroborar la bodad del méodo esadísico empleado. Por oro lado, ambié se hizo lo propio co la serie de la recaudació oal se cosideró cuáo difería ésa de la suma de las oras, desde el puo de visa de las proeccioes. 4. Resulados de las proeccioes sus correspodiees errores. Las ablas 1,2 3 muesra los resulados de aplicar el procedimieo expueso e la secció aerior, para las series procesadas, ajusadas proecadas e pesos corriees. De acuerdo a los valores que resularo de los cálculos, se puede observar que la propagació de los errores correspodiee al oal obeido de la suma al oal proecado por sí mismo, difiere a parir de la ercera cifra decimal (el error es del orde 10-2 ) a medida que se agrega iformació a la serie el modelo ajusa mejor e cuao a las proeccioes. Además, e la primera proecció de cada caso la diferecia es meor que e las subsiguiees, lo cual se debe fudameales, a que a medida que se alarga el plazo de proecció crece su variaza (error cuadráico medio). Ese mismo aálisis se realizó ajusado proecado las series e pesos cosaes, acualizados co (el IPC 3 de Tucumá). Los valores proecados luego fuero rasformados a valores corriees aplicado el procedimieo e forma iversa, si que ese proceso afece los errores i los porceajes de paricipació. 3 IPC: Ídices de Precios al Cosumidor (Nivel Geeral, diciembre de 2001)

7 Errores de proecció 7 5. Coclusioes. El raamieo esadísico de aálisis de series croológicas aplicado a los daos cosidera u amplio rago de irregularidades e las mismas demuesra que odos los problemas esadísicos asociados puede ser maejados mediae el uso del efoque de espacio de esado. Las series de iempo esrucurales iee iuiivamee ua represeació de espacio de esado el filro el suavizador produce valores que iee ierpreació prácica, au cuado los daos presea diversas irregularidades. El hecho que la edecia cambie e el iempo, permie capurar los cambios esrucurales que se produjero e la ecoomía durae el período de observació. Las oras variables, como la esacioalidad las iervecioes, se iclue a fi de dar maor geeralidad al modelo de modo que e él iervega las esrucuras usuales de los modelos ecooméricos observados e el iempo. E el esudio de los errores, específicamee raado e ese rabajo, es coveiee desacar la cofiabilidad del méodos para la obeció de los errores propios de la proecció su imporacia e ua combiació lieal. Observado los resulados, se coclue que la ifluecia de los errores de proecció de cada ua de las series que compoe el oal, a ravés de la combiació lieal plaeada, o difiere mucho del error obeido al proecar la serie oal. Además, a medida que se va agregado iformació a la serie las diferecias se achica. La expresió uilizada para la propagació del error es ua aplicació de la propiedad que iee la variaza de ua combiació lieal de variables. E odos los casos la diferecia absolua al calcular ambos miembros de la expresió (4) es meor que 10-2.

8 Errores de proecció 8 Bibliografía ABRIL, J. C. (1997). Series de iempo irregulares: u efoque uificado. Coferecia iviada prouciada durae el XXV Coloquio Argeio de Esadísica. Sociedad Argeia de Esadísica. Noviembre ABRIL, J.C.: Modelos para el Aálisis de las Series de Tiempo. Edicioes Cooperaivas, Bueos Aires (2004) BROCKWELL, P. J., DAVIS, R. A.: Times Series:Theor ad Mehods. New York, (1987) HARVEY, A. C.: Forecasig, SrucuralTime Series Models ad he Kalma Filer. Cambridge Uiversi Press. (1989) KOOPMAN, S. J., HARVEY, A. C., DOORNIK, J. A. SHEPHARD, N.: STAMP 5.0: Srucural Time Series Aalser, Modeller ad Predicor. Chapma Ad Hall, (1995). LEGUIZAMON, M. C. PANICO, A. F.: U Esudio del Comporamieo de los Igresos Tribuarios de la Provicia de Tucumá, Aplicado u Aálisis de Series de Tiempo. Documeos de Trabajo de Ecoomisas de la Coruña, Segudo volume, Número 9. Referecia ISSN CODIGOS TRIBUTARIOS de la Provicia de Tucumá Provicias del NOA.

9 Errores de proecció 9 Figura 1: Paricipació porceual de cada impueso e el oal (Eero-Julio de 2004) Paricipació (e %) Auo_cos IgBr_cos imob_cos sellos_cos salud_cos oros_cos Figura 2: Paricipació porceual de cada impueso e el oal (Julio a Diciembre de 2005) Paricipació (e %) Jul-05 Ago-05 Sep-05 Oc-05 Nov-05 Dic-05 Auo_cos IgBr_cos imob_cos sellos_cos salud_cos oros_cos

10 Errores de proecció 10 Tabla 1: Paricipació propagació de los errores para las proeccioes de ocubre, oviembre diciembre, e pesos cosaes Auomo. Ig. Bruos Imobil. Sellos Sal. Pública Oros Toal (suma) Toal (proec.) Oc Paricip. 0,043 0,713 0,047 0,104 0,052 0,042 1,000 1,019 Error 0,331 0,040 0,291 0,101 0,064 0,235 0,057 p 2 e 2 i i 0, , , , , , , ,003 Nov Paricip. 0,03 0,72 0,07 0,09 0,05 0,04 1,00 1,00 Error 0,346 0,042 0,191 0,129 0,073 0,245 0,065 pi e i 0, , , , , , ,001 0,0042 Dic Paricip. 0,065 0,707 0,050 0,094 0,047 0,036 1,000 1,023 Error 0,363 0,045 0,287 0,131 0,083 0,254 0,069 pi e i 0, , , , , , ,002 0,0050 Tabla 2: Paricipació propagació de los errores para las proeccioes de oviembre, diciembre eero de 2006, e pesos cosaes. Auomo. Ig. Bruos Imobil. Sellos Sal. Pública Oros Toal (suma) Toal (proec.) Nov Paricip. 0,034 0,734 0,068 0,079 0,046 0,040 1,000 0,984 Error 0,337 0,036 0,251 0,108 0,083 0,254 0,058 pi e i 0, , , , , , , ,0033 Dic Paricip. 0,11 0,69 0,04 0,08 0,04 0,03 1,00 0,98 Error 0,338 0,039 0,290 0,108 0,097 0,343 0,063 pi e i 0, , , , , , , ,0038 Ee Paricip. 0,039 0,714 0,089 0,081 0,052 0,025 1,000 1,053 Error 0,340 0,040 0,211 0,114 0,087 0,191 0,064 p 2 2 i i 0, , , , , , , ,0045

11 Errores de proecció 11 Tabla 3: Paricipació propagació de los errores para las proeccioes de diciembre, eero febrero, e pesos cosaes. Auomo. Ig. Bruos Imobil. Sellos Sal. Pública Oros Toal (suma) Toal (proec.) Dic Paricip. 0,061 0,715 0,057 0,085 0,047 0,035 1,000 0,998 Error 0,179 0,037 0,389 0,104 0,079 0,285 0,060 pi e i 0, , , , , , , ,0036 Ee Paricip. 0,04 0,68 0,13 0,08 0,05 0,02 1,00 0,95 Error 0,310 0,036 0,438 0,108 0,075 0,343 0,066 pi e i 0, , , , , , , ,0040 Feb Paricip. 0,057 0,737 0,044 0,076 0,051 0,035 1,000 0,942 Error 0,250 0,040 0,458 0,135 0,093 0,199 0,087 pi e i 0, , , , , , , ,0067