Ecuaciones diferenciales ordinarias: Problemas de valor inicial

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1 Tiulació: Asigaura: Auor: Grado e Igeiería Méodos Numéricos César Meédez Ulima acualizació: 5/03/0 Ecuacioes difereciales ordiarias: Problemas de valor iicial Plaificació: Maeriales: Coocimieos previos: 3 Teoría+ Prácicas+ Laboraorio MATLAB T mas. básicos de Cálculo Desarrollos de Taylor Sisemas lieales

2 Descripció del problema Obeer las fucioes que verifica ua ecuació e que la variable depediee se relacioa co su variació co respeco a la variable idepediee. Ejemplo: Ley de Newo aplicada al cálculo de la velocidad de desceso de u paracaidisa: dv F F ma a d m Fuerzas acuaes: Gravedad (peso) Resisecia del paracaídas al aire Opuesa al desceso Proporcioal a la velocidad Coeficiee de resisecia dv v g c v? d m gm c v c m e

3 Objeivos Eeder los cocepos de orde, cosisecia, esabilidad y covergecia. Difereciar los cocepos de error de rucamieo local y global, y su relació. Compreder los méodos de Taylor y la ierpreació gráfica de los de orde más bajo (Euler, Heu y el polígoo mejorado). Eeder la base de los méodos predicor-correcor y su coexió co las fórmulas de iegració. Aplicar los méodos de Ruge-Kua y eeder cómo se relacioa co el desarrollo e serie de Taylor. Aplicar los méodoas aeriores a siemas de ecuacioes difereciales de primer orde. Reducir ua ecuació diferecial ordiaria de -ésimo orde a u sisema de ecuacioes difereciales ordiarias de primer orde. Compreder la iesabilidad de alguos méodos para ipos especiales de problemas (rígidos). Saber seleccioar u méodo umérico para la solució de u problema paricular. 3

4 Cocepos básicos (I) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. Ua ecuació diferecial es cualquier ecuació que compreda derivadas de ua fució co respeco a ua sola variable idepediee. Cuado ay varias fucioes y ua sola variable idepediee se iee u sisema de ecuacioes difereciales ordiarias. Cuado ay ua fució y varias variables idepediees se iee ua ecuació e derivadas parciales (EDP). Cuado ay varias fucioes y varias variables idepediees se iee u sisema de ecuacióes e derivadas parciales (EDP). Si ua ecuació diferecial se puede escribir como u poliomio, su orde es el mayor eero posiivo de la -sima derivada presee e la ecuació. La poecia más ala co que aparece la derivada que marca el orde de la ecuació se deomia grado. Ejemplos y x y xy x EDO segudo orde y grado uo 3 3 x y xy y e EDO primer orde y grado 3 3 EDP primer orde y grado ( v.i) 3 x y x y x k EDP segudo orde y grado ( v.i.) xx yy zz y si y xy 5 x EDO ercer orde si grado

5 Cocepos básicos (II) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. Forma geeral de ua ecuació diferecial de orde y y x f, y, y, y, y 0 xy 3 sixy e xy Ua EDO es lieal cuado lo es e cada derivada de igual orde y x y xy x f x y f x y f x y g x 0 Ua solució explícia de ua EDO de orde es aquella fució y(x) que saisface la EDO para odo valor x del iervalo. x y x e Si x y y 0, x e x 0 y x No x e x 0 Ua solució implícia de ua EDO de orde es aquella relació g(x,y) que defie al meos ua y(x) que saisface la EDO para odo valor x del iervalo yy x f x y y x c 0, 0 f x, y yy x 0 3 5

6 Cocepos básicos (III) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. Ua familia de fucioes de parámeros f, y, c, c, c3, c 0 se deomia solució geeral si es solució de la EDO para cualquier valor de los parámeros y o ay u cojuo iferior de parámeros que represee esas solucioes y y0 xc y x c e No x y x ce Si La fució obeida al seleccioar los valores de los parámeros se deomia solució paricular f(,y) saisface la codició de Lipsciz e la variable y (es lipsciciaa respeco a y) e DR si exise L posiiva al que f(,y )-f(,y ) L y -y para odo (,y ), (,y ) D. y y y f, y 5, D,3 f, y f, y y y Si f(,y) esa defiida e u cojuo covexo D y f y L e D, eoces es lipsciciaa e y. U cojuo D es covexo cuado dos puos cualesquiera se puede uir mediae u segmeo recilíeo cuyos puos ambié pereece a D. U cojuo D es coexo cuado dos puos cualesquiera se puede uir mediae ua curva cuyos puos ambié pereece a D. 6

7 EDO er orde: resolució aalíica (I) Lieales: Exisecia y Uicidad de Solució Si p(x) y q(x) so coiuas e u abiero que coega a [a,b] Obeció de la solució pd Ejemplos y0 y p y q a b y a e y qd c y y 0 e e y e e d ce y0 y y 0 e e y e d c ce y0 e d d Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. 7 No lieales, y0 y f y a b y a M, y N, y y 0 Exisecia y Uicidad de Solució Si f(,y) es coiua y lipsciciaa respeco a y e e D={ab,-y}, exise solució y es úica (Picard) Muy difícil obeer la solució aalíica (explícia o implícia) salvo e casos especiales

8 EDO er orde: resolució aalíica (II) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. 8 Ejemplo: Solució o úica Ejemplo: sigularidades de la solució depede de la codició iicial y y y y y y y 0 y 0 Méodos aalíicos Variables separables Ec. omogéeas Ecuacioes exacas Fac. iegraes 3 y y y df 3 y0 0 y 0 dy y No defiida para y=0 0 M N y y N y dy M d f s, sy s f, y Cambio v y var.sep d P, y M, y N, y y 0 M N y d, y? : d P, y M, y N, y y 0 d M M N N y y M y N M y N g y g y?? N M

9 EDO er orde: resolució aalíica (III) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. 9 Ejemplo: Variables separables ycos y y l y y si c y dy cos d l y y si y y 0 y 0 Ejemplo: Ec. omogéeas y y d vdv y v d vvd dv 0 v y 0 l l v l c y c y Ejemplo: Ecuacioes exacas 3 3y d 8y 3 dy 0 M y 3 N 3 P y 3y f y y P Md Ndy Py 3 f y N P y 3y y c P, y y 3y y 0 Ejemplo: Fac. iegraes M y N y M y y? N y d ydy 0 y y M y N y N y y? M y y y d dy 0 y d P, y y 0 y

10 EDO orde superior: resolució aalíica (I) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. EDO de segudo orde y f, y, y a b ya y ya v Exisecia y Uicidad de Solució Si f(,y) es coiua y lipsciciaa respeco a y e y e e D={ab,-y,-y }, exise solució y es úica La obeció de solució aalíica es complicada., icluso e casos apareemee simples, y suele dar lugar a méodos de coeficiees ideermiados y series de poecias Caso lieal 0 0 y p y q y f a b ya y ya v 0 0 0

11 EDO orde superior: resolució aalíica (II) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. E.D.O. lieales omogéeas de coeficiees cosaes a y a y a y 0 I 0 Ec. Caracerísica : P x a x a x a 0 Las raíces λ de la ecuació caracerísica P(x) proporcioa u sisema fudameal de solucioes: Si λ es ua raíz real simple de P(x), y=e λx es solució de la ecuació diferecial.(i) Si λ es ua raíz real múliple de orde m de P(x), y=x k e λx, k=0,,m- so solucioes idepediees de la ecuació diferecial.(i) Si λ= a ± bi so raíces complejas cojugadas de P(x),, y =e ax cos(bx) e y =e ax se(bx) so solucioes idepediees de la ecuació diferecial.(i). Si λ= a ± bi so raíces complejas cojugadas de muliplicidad m de P(x), y k =x k e ax cos(bx) e y k =x k e ax se(bx), k=0,,m- so solucioes idepediees de la ecuació diferecial.(i) La solució geeral de la ecuació diferecial (I) se obiee como combiació lieal de las solucioes simples obeidas para cada raíz.

12 EDO orde superior: resolució aalíica (III) E.D.O. lieales compleas de coeficiees cosaes a y a y a y f x II 0 La solució geeral de la ecuació es igual a la suma de la solució geeral de la omogéea correspodiee, y de cualquier solució paricular de la ecuació complea. Méodo de los coeficiees ideermiados: Se oma ua solució paricular de la ecuació complea del mismo ipo que el érmio idepediee y cuyos coeficiees se deermia susiuyedo la solució e la ecuació. Si f(x)=p m (x) y λ= 0 o es raíz de P(x), y p =A 0 x m +A x m A m. Si f(x)=p m (x) y λ= 0 es raíz de orde r, de P(x), y p = x r (A 0 x m +A x m A m ) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. Si f(x)= e ax P m (x), y p =e ax.q m (x) si a o es raíz de P(x) o y p =x r e ax.q m (x) ) si a es raíz de P(x) de orde r. Si f(x)=e ax (P m (x)cosbx+q s (x)sebx)), y p =e ax (U(x)cosbx+V(x)sebx)), si a ± bi o es raíz de P(x) o y p =x r e ax (U(x)cosbx+V(x)sebx)) si a ± bi es raíz de P(x) de orde r, dode U(x) y V(x) so poliomios de grado = max (m,s)

13 EDO orde superior: resolució aalíica (IV) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. 3 Ejemplo y y x x Solució geeral de la omogéea Solució paricular 0 y 0 y 0 y 0 3 y 0, x x 0x 0x cos si P x x P i y x c e c e c e x c e x g p 3 y x a x a x a 0 a 0 y p y p 0 a x a x a x a 0 a0 0 Solució complea, x x cos si P x x P i y x y x y x c e c e c x c x x c g p 3 Codicioes iiciales yc0 c c c3 y c 0 c c c3 3 y 0 c c c y 0 c c c c c x x cos si c y x e e x x x

14 EDO: resolució umérica (I) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. Casos La resolució umérica se cera e las EDO de primer orde dado que las de orde superior se puede reducir a sisemas de primer orde. y y f, y, y, y, y 0 y y y y 3 f, y, y, y, y 0 y3 y y y y y y y Por su ierés específico, a veces se esudia las de segudo orde (asociadas a problemas de cooro). Problema perurbado: perurbacioes asociadas a la EDO y a la codició iicial y f, y a b z f, z a b y a z a a Problema bie plaeado El problema iee solució úica El problema perurbado iee solució úica y su error respeco al iicial esa acoado si lo esá las perurbacioes 0 k < a, b : < y z k 0

15 EDO: resolució umérica (I) Cocepos básicos Resolució aalíica Resolució umérica. 5 Proceso No se obiee la solució aalíica, sio u cojuo de pares ( i,y i ) que represea los valores aproximados de la solució para diferees valores de la variable idepediee. Los resulados se debe ierpolar (o ajusar) si se desea e valores iermedios. Es ecesario que el problema ese bie plaeado ya que los méodos uméricos iroduce perurbacioes de los coeficiees debido a la ariméica del ordeador. El problema de valor iicial de primer orde esa bie plaeado si f(,y) es coiua y lipsciciaa respeco a y e D={[a,b] (-,)}. Ejemplo: problema bie plaeado y y 0 y 0.5e f, y f, y y y y y f y y z z z a 0 z 0.5 e 0.5 a a y z e e a

16 Fudameos Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores 6 Méodos de Taylor Discreiza el iervalo oal e subiervalos iguales (puos equiespaciados co paso ) y obiee aproximacioes de la solució e esos puos. Uiliza el desarrollo e serie de Taylor Orde de u méodo: orde de la derivada superior uilizada e el desarrollo de Taylor o, equivaleemee, grado del poliomio para el que el méodo eórico o iee error. Noació: w k y( k ) y k f k, y k k k a k y f, y a b ya b a ya k k k k k y y y y y y!!!! y f, y d,, y, d y d y y yy y fy f y f y f y f y y f f f y y f f f f f f f f f d

17 Méodo de Euler (Taylor de orde ) Base eórica y algorimo y f, y a b yk yk yk y ya!! w0 k a k b a wk wk f k, wk k Ejemplo: omado =0.5 y =0. resolver y represear la solució y 0 y0 Y y Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores 7 0 w 0 0 w w f w w , w0 w w w w w w w w w

18 Ejemplo de Euler 0 =0 w 0 =.0000 =0. w =.0000 =0. w = =0.3 w 3 = =0. w = =0.5 w 5 = =0.6 w 6 = =0.7 w 7 = =0.8 w 8 = =0.9 w 9 = =.0 w 0 =0.399 Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores 8

19 Méodo de Taylor de orde superior (I) Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores 9 Base eórica y algorimo y f, y a b y k y k y k y ya!! w0 k a k b a wk wk T, k, wk k Ejemplo: omado =0.5 resolver para Taylor de orde,, 3 y y 0 y0 Y y,, y y T y y y y y T, y, T, y, y y y y T3 y T y y 3! 3 iv y y y y T y T3 y y! 3 3,,,, 3 iv 3 6 5,,,, w 0 0 y w 0 T, w, y y 0 w0 0 w0 T 0, w0, T 0, w0, y k

20 Ejemplo de Taylor (I) y 3 w w 0 T3 0, w0, T 0, w0, y ! iv y 3w 6 w 5 w iv 0.5 T 0, w0, T3 0, w0, y ! ,, w w T w w w T, w, w w T, w, w w T, w, Se repie el proceso co, 3 y Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores 0 orde T T T3 T Y 0 =0 w 0 =.0000 w 0 =.0000 w 0 =.0000 w 0 = =0.5 w =.0000 w = w = w = =0.50 w = w = w = w = =0.75 w 3 =0.80 w 3 = w 3 = w 3 = =.0 w =0.570 w =0.995 w =0.36 w =

21 Ejemplo de Taylor (II) Represeació de resulados para =0.5 y =0. Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores

22 Tipos de errores y error local Error de redodeo (represeació) Error de rucamieo global (local+propagado) Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores U méodo de diferecias w0 wk wk k, wk, k iee u error de rucamieo local dado por yk yk, k, yk yk yk,, y k k k

23 Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores Acoació del error e Euler Sea el problema de valor iicial, y f y a b y a El error de rucamieo global del méodo de Euler viee acoado por M k a L yk wk e L dode M sup y a b L es la cosae de Lipsciz de f, y e y El error del problema perurbado viee acoado por M k a L k a L y k wk e e L El error o dismiuye idefiidamee co el valor de 3

24 Ejemplo de acoació del error Fudameos Me. Euler Me. Taylor Errores Acoació del error del méodo de Euler para la EDO 3 y y 0 y 0 y e Error de rucamieo global co = k L e k M yk wk e e L dode y M sup y sup 3e 3e 0 0 f, y L k y w y-w coa

25 Defiicioes y ablas de Bucer Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 5 Logra la exaciud del méodo si ecesidad de calcular derivadas. Expresió Geeral w0 s i j wm wm ciki ki f m pm, wm qi k j m i j j Dode c, p e q so cosaes elegidas de forma adecuada i i i Expresió mediae ablas de Bucer p p 0 q p q q p q q q Explícios (Mariz esricam. riagular iferior) 0 0 c c c c w0 wm wm k m 0 p q q q q p q q q q p q q q q p q q q q 3 c c c c 3 k f m, wm k f m, wm k w Implícios 0 m m w w k m

26 Obeció de los coeficiees Los coeficiees se obiee, ua vez seleccioado el úmero de érmios, por comparació co los méodos de Taylor El méodo co u solo érmio coicide co el de Euler i El méodo es cosisee cuado k pi qi i, Para cada orde ay ifiias formas de kseleccioar el valor de los coeficiees (sisema o lieal ideermiado) Exise relació ere el úmero de evaluacioes por paso y el meor error local que e los méodos explícios viee dado por(bucer) Fudameos Explícios Implícios Adapaivos Evaluacioes () >0 Error local O( ) O( - ) O( - ) O( -3 ) 6

27 Ruge-Kua explício de orde Orde Heu 0 0 w w k k 0 k f, w Po. Medio 0 0 w w k 0 k f, w 0 k f, w k Ralso: k f, w k Demo c c c p c q y() y() f(,y ) () f(,y ) HEUN f( 3,y 3 ) f( 3,y 3 ) predico P.MEDIO () f( 3,y 3 ) f(,y ) predico f( 3,yRALSTON 3 ) Fudameos Explícios Implícios Adapaivos w w 3k 3k 0 k f, w k f, w k y() () f(,y ) () f( 3,y 3 ) predico f( 3,y 3 ) 7 () ()

28 Ruge-Kua abiuales de orde superior 0 0 w w 6 k k k3 0 k f, w 0 k f, w k k f, w k k w w k k k k k f, w k f, w k k f, w k k f, w k3 3 Orde 3 Orde Fudameos Explícios Implícios Adapaivos k f, w k w w 7k 3k k 3k 7k k f, w 0 0 k f, w k k k f 3 3, w k k k f, w 6 k 6 k k f, w 7 k 7 k 7 k 7 k 7 k Orde 5

29 Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 9 Ejemplo (orde): i, i, w k f w 0 wi wi ck ck i k f i p wi qk Heu k k w Puo medio k k w y 0 y 0 Y y Ralso k k w i i i

30 Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 30 Ejemplo (orde >): y 0 y0 Y k k k 3 k k 5 k 6 w y E RK3 E RK E RK x0 -.7x0-6.58x x x x x0-3.8x0-7.55x x0-7.53x x0 - y

31 Ejemplo (graficas): y 0 y0 Y y Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 3

32 Ruge Kua implícios Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 3 Muy robusos Poco uilizados por plaear e cada paso u sisema de ecuacioes o lieales Euler rerasado (orde ) wm wm k m k f m, wm k Lobao (orde ) w w k k k f, y k f, y k k Lobao (orde ) k f, w 5k 8k k w w k k k k f, w k f, w k k k

33 Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 33 Ejemplo (orde ): Euler rerasado Plaeamieo w0 wi wi k k f i, wi k Aplicació i w k wi wi k w k 0 i 0.5 k k k k i k Lobao Plaeamieo w w w k k k f, y k f, y k k Aplicació y 0 y 0 Y y k k 0.69 w w k k w w k k i i 0 i i wi wi k k k 0 k k w k k k k w k k k k.63 w k k.63 k k k

34 Ruge Kua adapaivos Fudameos Explícios Implícios Adapaivos El amaño de paso depede de la esimació del error de rucamieo local acual Algorimo Obeer el valor de w + de dos formas diferees Esimar a parir de ambas acual Comparar acual co la oleracia acual Esimació de w + iválida, modificar y repeir el proceso acual < Esimació de w + válida, modificar y calcular el uevo érmio Selecció de la oleracia Error absoluo = Error relaivo = y escala dode y escala = y + y Obeció de w RK del mismo orde co miad de paso Combiar dos méodos RK de orde y + 3

35 Adapació del amaño del paso Fudameos Explícios Implícios Adapaivos Méodos RK mismo orde co semipaso (RK) Combiació de RK de orde k y (k+) Modificació de : La modificació viee dada por uevo qaiguo A efecos prácicos, se impoe coas superiores e iferiores al amaño del paso, así como porceajes máximos y míimos de variació w w acual 5 q 5 w w w w k k k acual q k w w k k Demo Demo q mi uevo mi uevo mi uevo mi mi q max uevo q uevo max uevo max q max w b b w uevo max k uevo uevo k 35

36 Ruge Kua Adapaivos de orde bajo Fudameos Explícios Implícios Adapaivos RK - (Euler-Heu) 0 0 y y k 0 z y k k k f, y k f, y k RK -3 (Bogacki Sampie) y y 9 k 3 k 9 k3 0 0 z y k k k k 0 k f, y k f, y k k3 f, y k k f, y 9 k 9 k 9 k3 36

37 Ruge Kua Adapaivos de orde -5 Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 37 ¼ ¼ 3/8 3/3 9/3 /3 93/97 700/97 796/97 39/ /53 85/0 ½ -8/7 35/ /0 /0 5/6 0 08/565 97/0 /5 6/ /85 856/5630 9/50 /55 /5 /5 3/0 3/0 9/0 3/5 3/0-9/0 6/5 -/5 5/ -70/7 35/7 7/8 63/ /5 575/38 75/059 53/096 85/ / / /336 / 37/ /6 5/59 0 5/77 /5 /5 3/0 3/0 9/0 /5 /5-56/5 3/9 Felberg (miimiza el errror de RK) Cas Karp 8/9 937/ /87 68/656 /79 Dormad Price (miimiza el error de RK5) 907/ /33 673/57 9/76 503/ / /3 5/9 87/678 /8 35/ /3 5/9-87/678 /8 579/ / / / /00 /0

38 Adapació del amaño del paso: Ejemplo Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 38 Ruge Kua de orde Esimació del error acual 5 Error de rucamieo local: Paso máximo, míimo e iicial: 0.5,0.00 y 0.5 w w Facor de icremeo y decremeo del paso:.5 y 0.75 Tiempo w(/) w() dela E E E E E E E E E E E E E-00.99E E E E E E E E E E-00.98E E E-00.79E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-00.98E-00.35E E+000 Warig: Alcazado el valor miimo del paso Ulimo paso: fi - y 0 y 0 Y y

39 Adapació del amaño del paso: Ejemplo Fudameos Explícios Implícios Adapaivos 39 Ruge-Kua-Felberg: RK5 RK Esimació del error w w 5 acual Error de rucamieo local: Paso máximo, míimo e iicial: 0.5,0.00 y 0.5 Facor de icremeo y decremeo del paso:.5 y 0.75 Tiempo w5() w() dela E E E E E E E E E E E E E E E E E E-00.7E E E E E E E E-00.79E E E E E E E E-00.05E E E E E E E E E E E E E E-00.3E E+000 Warig: Alcazado el valor miimo del paso Ulimo paso: fi -

40 Fudameos Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor y f, y a b y a, y y f y d w w P d dode P U méodo mulipaso de paso m (co m>) para resolver la EDO aerior es aquel cuya ecuació e diferecias para obeer la aproximació e + se puede represear mediae m wi akw b k f, w i k i k i k k k0 dode los valores a k y b k so cosaes y se dispoe de los valores iiciales w k. Si b 0 =0 se deomia explício: el siguiee érmio se calcula direcamee (Adams-Basford) Si b 0 0 se deomia implício: es ecesario resolver ua ecuació o lieal para obeer la aproximació (Adams-Moulo) Icoveiees: Necesia valores iiciales que debe obeerse mediae oros méodos Exise dificulades cuado se plaea co paso variable (se debe recalcular los pasos aeriores) Problemas de covergecia e los méodos implícios y d f, y d m es u poliomio de ierpolació 0

41 Obeció de méodos (I) Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor Adams Basford (explícias o abieras) w w Pd co P,, m f w i k i k i k m f i, yi f, y Pm i i i m m! El méodo de Adaams Basford co paso coicide co méodo de Euler Adams Moulo (implícias o cerradas) co,, w w P d P f w m i k i k i k f, y f, y P m! El error de rucamieo local de u méodo mulipaso m m wi akw b k f, w i k i k i k k k0 viee dado por m yi akyi k m k i bk f, w i k i k k 0 m k m i i m i i i im k 0 m

42 Obeció de méodos (II) Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor Adams Basford de pasos 3 5 Formula wi wi 3, f i wi f i, wi wi wi 3, 6, 5, f i wi f i wi f i wi i i i i i i w 55 f, w 59 f, w 37 f, w wi wi 9 f i3, i3 i i i i i i f w f w 90 f, w 77 f, w 66 f, w wi wi 70 7 i3, i3 5 i, i i 3 iv y 5 y v y vi y 88 Adams Moulo de pasos Fórmula i wi wi f i, wi f i, wi y 3 iv wi wi 5 f i, wi 8 f i, wi f i, wi y 9 v 3 wi wi 9 f i, wi 9 f i, wi 5 f i, wi f i, wi y 70 5 f, 66, 6, i wi f i wi f i wi 3 5 vi w y 60 i wi f, w 9 f, w i i i3 i3

43 Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor 3 Ejemplo mulipaso Se uiliza Ruge Kua de orde para arracar el méodo y se oma =0.5 w w RK Adams Basford de pasos w w 3 f, w f 0, w w3 w 3 f, w f, w w w 3 f, w f, w Adams Moulo de paso wi wi f i, wi f i, wi w 0.5 w w 0.5 w w w w Adams Moulo de pasos RK w w y 0 y 0 Y y w w w w3 w w w w w w i w w w w 5 f, w 8 f, w f, w i i i i i i i i w w w w w w w w w w i

44 Predicor correcor Los méodos implícios o se plaea direcamee debido a sus dificulades. Se usa para mejorar los resulados obeidos por u méodo explício Explício: predicor Implício: correcor Ejemplo: predicor correcor de º orde (rucamieo local ) co =0.5 y 0 y 0 Y y,, predicor w w 3 f, w f, w correcor w w f w f w i i i i i i i i i i i i Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor w w w w w RK w p c p c w p c w

45 Represeació Fudameos Adams-Basford Adams-Moulo Predicor-Correcor 5

46 Ejemplo: Comparaiva (I) 0 =0.00 =0.5 = =0.75 =.00 Exaca Taylor () Taylor () Taylor (3) Taylor () R-K () Euler R-K () P.Medio R-K () Heu R-K (3) R-K () R-K (5) A-Basford () A-Moulo () ? A-Moulo () ? A-B()-M()

47 Ejemplo: Comparaiva de errores(ii) 7

48 Fudameo Dada la EDO y f, y a b y a Qué codició debe cumplir para que el méodo de Euler sea esable? Y covergee? Sisema rígido es aquel cuya solució combia compoees co variació muy rápida (abiualmee rasiorios), co oros de variació lea (que deermia el régime permaee). Los feómeos rasiorios puede deermiar el amaño del paso para oda la solució 8

49 Resume 9

50 Bibliografía comeada 50

51 Isruccioes 5 Válidas e Malab (M), Ocave (O) o ambos (B) O daspk O dassl O dasr M decic M Ideval O lsode M ode5i M odexx, odexxs, odexx, odexxb M odefile M odege M odese M odexed Solve differeial-algebraic equaio usig Pezold's solver Solve differeial-algebraic equaio usig Pezold's solver wi wi cosrais (soppig codiios) Solve differeial-algebraic equaio usig Pezold's solver wi wi fucioal soppig crieria (roo solvig). Compue cosise iiial codiios for ode5 Evaluae soluio of differeial equaio problem solve ODEs usig Hidmars's solver Solve fully implici differeial equaios, variable order meod Solve iiial value problems for ordiary differeial equaios usig differes solvers. ode3, ode5, ode3, ode5s, ode3s, ode3, ode3b Defie differeial equaio problem for ordiary differeial equaio solvers Ordiary differeial equaio opios parameers Creae or aler opios srucure for ordiary differeial equaio solvers Exed soluio of iiial value problem for ordiary differeial equaio

52 Aexos Demosracioes y desarrollos 5

53 Ruge Kua de Orde 53 La expresió del méodo de orde viee dada por,, dode,,, y y y y c k c k k f, y k f y k! y! y yy! y! y yy y fy f f yy o 3 3 f f k f f k f k f o f f ff f ff f f o f f ff f f Comparádo co el desarrollo de Taylor Igualado coeficiees se obiee y y c c f c f ff f ff f f o y y yy y y y y y y y f f y f f f f O!! 3! 3! y Familia de solucioes depediees de u parámero: Heu, Puo medio, Ralso c c, y y k k k f, y k f, y k c c 0, y y k k f, y k f, y k c c, y y k k k f, y k f, y k c c c c f fy f f yy f f y f f y f c f ffy f f yy? 6 Volver

54 Paso variable: Ruge Kua orde Esimació del error Hipóesis: pare pricipal del error 5 5 y w c c 5 5 y w c w w c c w w,,,,,, w w w y w w w w y w w w w y w w 5 w 5 Volver

55 Paso variable: Ruge Kua Felberg Esimació del error w w, w, 5 5 w w 5, w, y w w w w w w Hipóesis: pare pricipal del error Cálculo del uevo amaño del paso y y w w c q cq q q w w 5 q w w q 5 5 w w 55 Volver