Control de un proceso en bucle cerrado:

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2 0/0/0 Corol de u proceso e bucle cerrado: PC e Corolador v Proceso M Medida Para poder aplicar el corolador adecuado ecesiamos saber cómo se compora el proceso a lo largo del iempo. Cualquier proceso se puede ideificar maemáicamee mediae ua o varias ecuacioes difereciales. Fució de rasferecia: Relació que exise ere la erada y salida del proceso. Trasformada de Laplace: Proceso maemáico por el cual es posible coverir ecuacioes difereciales e ecuacioes maemáicas que so más fáciles de maejar. Propiedades de la rasformada de Laplace: La rasformada de ua fució del iempo f() se coviere e ua fució de la variable s, F(s). La rasformada de la suma o resa de varias fucioes del iempo es la suma o resa de las rasformadas. La rasformada del produco de ua cosae por ua fució de es el produco de dicha cosae por la rasformada. La rasformada de la derivada eésima de ua fució f() es s veces la rasformada de f(). La rasformada de la iegral de la fució f() es /s veces la rasformada de f(). Trasformadas: Impulso: Escaló uidad: /s Rampa: /s Teorema del valor fial: lim f s 0 lims F s

3 0/0/0 Diagramas de bloques: Los diagramas de bloques de u sisema so bloques operacioales y uidireccioales que represea la fució de rasferecia de las variables de ierés. Tiee la veaja de represear e forma más gráfica el flujo de señales de u sisema. Co los bloques es posible evaluar la coribució de cada compoee al desempeño oal del sisema. El diagrama de bloques de u sisema deermiado o es úico Xs Gs Ys Variable de erada Variable de salida Diagramas de bloques e bucle cerrado: R(s) E(s) C(s) + G(s) B(s) H(s) Fució de rasferecia e bucle abiero Fució de rasferecia rayecoria direca Fució de rasferecia e bucle cerrado B(s) G(s)H(s) E(s) C(s) G(s) E(s) C(s) G(s) R(s) G(s)H(s) 3

4 0/0/0 Régime rasiorio y régime esacioario: x() Sisema coíuo y() x() y() Régime rasiorio ( 0) Régime esacioario: salida acoada e u pequeño marge ( ) Grados de esabilidad relaiva: x() x() y() y() Esable Esable x() x() y() y() Críicamee esable Iesable 4

5 0/0/0 Especificacioes de fucioamieo para la salida: x() y() Sobreoscilació Respuesa A Respuesa B Error de posició,05 0,95 Tiempo de esablecimieo Régime rasiorio Régime esacioario B es más esable que A Ifluecia e la respuesa rasioria de la siuació de polos y ceros: El comporamieo de u sisema viee dado por la fució de rasferecia: Xs m G s m m m s zi Y s b0s bs bs... bm s bm i G s X s a 0s as a s... a s a s pi i zi. Ceros de la fució de rasferecia. pi. Polos de la fució de rasferecia. X(s) + G C (s)= Co realimeació H(s): G s - G bc s G s H s Igualado a cero el deomiador se iee la ecuació caracerísica cuyas raíces so los polos de la fució de rasferecia e bucle cerrado. Los ceros so las raíces del umerador. Los ceros y polos puede ser reales o parejas de úmeros complejos cojugados. Codició de esabilidad: los polos ha de esar siuados e el semiplao complejo que comprede la pare real egaiva. Y s E(s) U(s) Y(s) G(s) H(s) 5

6 0/0/0 Calcular los polos y ceros de la siguiee fució de rasferecia e bucle cerrado y deermiar la esabilidad del sisema: s G bc s s s js j Ifluecia e la respuesa rasioria de la siuació de polos y ceros: 6

7 0/0/0 Sisemas de primer orde La ecuació diferecial que describe el comporamieo diámico del sisema es ua ecuació de primer orde. ENTRADA x SISTEMA SALIDA y dy a d b y c x Fució de rasferecia: Y s c G s X s as b τs. Gaacia del sisema (facor de amplificació ere salida erada) τ. Cosae de iempo. Nos da ua idea de lo rápido o leo que es el sisema e respoder. A mayor valor, más leo es el sisema. Sisemas de primer orde Respuesa ae erada escaló de x uidades: Y s x /τ y x e τs s El régime permaee iede a x. T>5τ. Régime permaee. Maemáicamee la salida alcaza su valor fial e u iempo ifiio, pero e el sisema real lo hace e iempo fiio. Para fies prácicos se cosidera que la salida alcaza el esado esable e ciero porceaje del valor fial. Se suele usar el crierio del 95% (5τ) τ/τ Cálculo de τ. y τ x e 0,63 x 7

8 0/0/0 Modelo de u moor de corriee coiua corolado por iducido: Modelo de u sisema de accioamieo: relacioa las órdees de mado geeradas e la uidad de corol co las fuerzas y pares uilizados para producir el movimieo s kkk kkk Js B p k m u s R k k JsB k k k k k T s i i p b T m s Ts ˆ ˆk u s R k k JsB k k k k k T s p m m i i p b T m Sisemas de segudo orde La ecuació diferecial que describe el comporamieo diámico del mismo es ua ecuació de segudo orde. ENTRADA SALIDA d y dy SISTEMA a b x d d Fució de rasferecia: Y s e ω ω G s X s as bs c s ξωs ω s σ ωd js σ ωd j s ξω s ω 0 s ξω ω ξ j σ ω j d y c y e x e c c ω a b ac 8

9 0/0/0 Sisemas de segudo orde. Gaacia del sisema e esado esacioario. y=.x. ω. Frecuecia aural o amoriguada. Si o exisiera amoriguamieo el sisema oscilaría co esa frecuecia. ξ. Coeficiee de amoriguamieo. Mide la esabilidad relaiva. σ. Facor de decrecimieo. s ω -σ s Im(s) ω d j -ω d j Re(s) cos =ζ Y s G s X s s e ω ω as bs c s ξω s ω s σ ω js σ ω j s ξω s ω 0 ξω ω ξ j σ ω j d d d Amoriguamieo cero, ξ = 0 Se iee u sisema o amoriguado. y - cosω E ese caso la salida es: 9

10 0/0/0 Amoriguamieo uidad, ξ = Se iee u sisema críicamee amoriguado. y - e -ω E ese caso la salida es: ω Amoriguamieo mayor que la uidad, ξ > Se iee u sisema sobreamoriguado. y - Ae -ωb -ωd E ese caso la salida es: Ce ξ A B ξ ξ ξ ξ ξ ξ C ξ D ξ ξ 0

11 0/0/0 Amoriguamieo meor que la uidad, 0 < ξ < Se iee u sisema subamoriguado. y - e cos ω ξ ξ si ω ξ ξ E ese caso la salida es: -ξω y() y p 0,9 0, r p s M p,05 0,95 π α r,α arcg ω p π s σ M Especificacioes π ω p d e d σπ ω d 00 ξ ξ Ubicació polos s σ ω j e d Respuesas depediedo del coeficiee de amoriguamieo.

12 0/0/0 Polos domiaes: E los sisemas de orde superior, alguo o alguos de los polos se ecuera más cerca del eje imagiario. A dichos polos se les llama polos domiaes porque deermia e mayor medida el comporamieo y respuesa del sisema. Ejemplo. Dada la siguiee fució de rasferecia, calcular el sisema de segudo orde equivalee: G(s) s 8s 87s 70s 36 Presea los siguiees polos e bucle cerrado: Sus efecos so de cora duració (se desprecia) i Polos domiaes de lazo cerrado i El sisema de segudo orde equivalee será:.6 G(s) s 0.5s i i Polos de lazo cerrado

13 0/0/0 Si e régime permaee la salida es diferee al valor deseado, se dice que exise u error e esado esacioario, ese error depede del ipo de sisema de corol (e forma específica de la fució de rasferecia e bucle abiero) y de la señal de erada. Error e régime esacioario: Se clasifica de acuerdo a su capacidad de seguir eradas escaló, rampa, parabólicas y oras. Las eradas reales se suele cosiderar como ua combiació de ellas. Los valores de los errores esacioarios debidos a esas eradas idividuales so idicaivos del desempeño del sisema. 3

14 0/0/0 Cosidérese la siguiee fució de rasferecia e bucle abiero: (Tas )(Tbs ) (Tms ) G(s)H(s) N s (T s )(T s ) (T s ) El esquema de clasificació esá basado e la caidad de iegracioes idicadas por la fució de rasferecia de lazo abiero (es decir el valor de N e s N ) Si N=0, el sisema se deomia ipo cero. Si N=, el sisema se deomia ipo uo, y así sucesivamee. Esa clasificació es diferee e idepediee a la del orde del sisema. Al aumear el úmero del ipo, dismiuye el error e régime esacioario. Al dismiuir el úmero del ipo, empeora el problema de esabilidad. p Cosidérese el siguiee sisema e bucle cerrado: R(s) E(s) C(s) + G(s) B(s) H(s) La señal de error E(s) e Laplace es: E(s) R(s) G(s)H(s) Uilizado el eorema del valor fial podemos ecorar el valor fial de la señal de error: sr(s) ees lim e() lim se(s) lim s0 s0 G(s)H(s) Se observa que el valor del error depede ao del sisema como de la erada. 4

15 0/0/0 El error esacioario del sisema, para ua erada escaló uiario (error e posició) es: s ees lim s0 G(s)H(s) s G(0)H(0) Cosae de error e posició p : Para u sisema ipo 0: Para u sisema ipo o superior: P P P lim G(s)H(s) G(0)H(0) s0 (Ta s )(Tbs ) lim s0 (T s )(T s ) (Ta s )(Tbs ) lim s0 N s (T s )(T s ) P e es e es 0 El error esacioario del sisema, para ua erada rampa uiaria (error e velocidad) es: e ss s lim s0 G(s)H(s) s Cosae de error e velocidad V : V lim sg(s)h(s) s0 lim s0 sg(s)h(s) Para u sisema ipo 0: s(ta s )(Tbs ) V lim 0 ees s 0 (T s )(Ts ) Para u sisema ipo : s(ta s )(Tbs ) V lim ees s0 s(t s )(Ts ) V Para u sisema ipo o superior: V (Ta s )(Tbs ) lim s 0 N s (Ts )(T s ) e es V V 0 V 5

16 0/0/0 Resume: Error e esado esacioario e érmios de la gaacia Erada escaló Erada rampa Erada aceleració r() r() r() Sisema ipo 0 Sisema ipo Sisema ipo Tema. Aálisis de sisemas. 6