TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LAPLACE: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

Transcripción

1 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- TEM 3. NLISIS DE L DINMIC DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE LPLCE: FUNCIONES DE TRNSFERENCI. La trasformada de Laplace permite la solució rápida y elegate de ecuacioes difereciales lieales que describe el comportamieto diámico de procesos. La trasformada de Laplace, así mismo, permite el desarrollo simple de modelos de etrada salida que coduce al importate cocepto de la fució de trasferecia y da ua idea sobre el comportamieto de u sistema ate diferetes ifluecias exteras La trasformada de Laplace. La defiició de la trasformada de Laplace es: -st f(s)l[ f(t) ] f(t)e dt [3.1] La trasformada de Laplace covierte ua fució de domiio e el tiempo al domiio de Laplace Propiedades. 1-La trasformada de Laplace es u operador lieal L[f 1 (t)+f (t)] L[f 1 (t)] + L[f (t)] f 1 (s)+f (s) [3.] -La trasformada del producto de ua costate por ua fució temporal es la costate por la trasformada de la fució. L[ Kf(t) ] KL[ f(t) ] Kf(s) [3.3] 3-La trasformada de Laplace de la derivada eésima de ua fució e el domiio del tiempo es: df(t) L s f(s)-s f()-s f ()-s f ()-...-f () dt [3.4] Cuestió. Deducir la trasformada de Laplace de la derivada primera de ua fució. Resp. df (t) df (t) L exp( st)dt dt ; itegrado por partes: dt

2 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 1 u exp( st) du s exp( st) df (t) udv uv vdu dv dt dt v f(t) df (t) exp( st)dt exp( st)f (t) + s f (t)exp( st)dt dt sf(s) f() ; para derivadas superiores: d f(t) df (t) 1 1 L exp( st)dt s f (s) s f () s f '()...sf () f () dt dt 4-La trasformada de Laplace de la itegral de f(t) es: t f(s) L f(t)dt [3.5] s Cuestió. Deducir la trasformada de Laplace de la itegral de ua fució. Resp. t t L f(t)dt f(t)dtexp( st)dt ; itegrado por partes y dividiedo por s: dv exp( st) 1 v exp( st) s t udv uv vdu u f(t)dt o du f (t)dt t f (t)dt exp( st) + f (t)exp( st)dt f (s) s s s o Teoremas de la trasformada de Laplace. (Ejemplos e Corripio págia 36). Teorema del retardo puro (teorema de la traslació real). La trasformada de ua fució retardada t m uidades es: -stm [ ] L f(t-t ) e f(s) [3.6] m

3 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- Cuestió. Demostrar el teorema del retardo puro. Resp. L[ f (t t m) ] f (t t m) exp( st)dt exp( st m) f (t t m) exp( s[ t t m] )d(t t m) haciedo τt-t m ; exp( st ) L[ f (s)] m Teorema del valor fial. Si existe límite temporal y la trasformada de Laplace de f(t) es f(s) se cumple: lim f(t) lim sf(s) [3.7] t s La pricipal aplicació de este teorema es que permite hallar el valor fial de la respuesta del proceso (valor e régime permaete) a partir del modelo diámico. Cuestió. Demostrar el teorema del valor fial. Resp. Partiedo de la trasformada de la derivada y tomado límites e ambos miembros: df (t) lim exp( st)dt lim [ s f (s) f ()] dt s s df (t) lim exp( st)dt lim [ s f (s) f ()] dt s s df (t) dt lim f (t) f () lim s f (s) f () dt t s Teorema del valor iicial. f() lim sf(s) s Cuestió. Demostrar el teorema del valor iicial. Resp. df (t) lim exp( st)dt lim [ s f (s) f ()] dt s s df (t) lim exp( st)dt lim [ s f (s) f ()] dt s s

4 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 3 Teorema de difereciació compleja. L t f(t) ( 1) df(s) ds Cuestió. Demostrar el teorema de la difereciació compleja. Resp. d[ exp( st) ] L[ t f(t) ] t f(t)exp( st)dt f(t) dt ds d f (t)exp( st)dt ds Para comprobacioes sucesivas: [ ] [ ] L t f(t) L t t f(t) L t g(t) ( 1) df(s) ds Teorema de la traslació compleja. Es la trasformada de fucioes del tipo: g(t) exp( at) f (t) L exp( at) f(t) f(t)exp (s a)t dt [ ] [ + ] haciedo p s+a, os ecotramos ate la trasformada de Laplace de f(t) e la variable p; L[ exp( at) f (t)] f (p) f (s + a) Es decir: la trasformada de g(t) exp( at) f (t) se obtiee hallado f(s) y después sustituyedo s por s+a Otras propiedades de la trasformada de Laplace. Trasformada de g(t) f(t) t [ ] [ ] s s [ ] f(t)exp st f(t) f(t)exp st dt ds f(s) ds dt L t t Ejemplos: Ejemplo 3.1-Obtégase la trasformada de Laplace de: d x(t) dx(t) dx(t) x(t) Kr(t); x() dt + ξω dt +ω dt t

5 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 4 Ejemplo 3.-Obtégase la trasformada de Laplace de: y(t) t exp(-at) Trasformada de Laplace de fucioes comues e cotrol de procesos. (Stephaopoulos) ) Fució escaló. Cosidérese la fució f(t) KU(t) dode U(t) es la fució escaló uitario: K L KU(t) KU(t)e dtk e dt s -st -st [ ] [3.8] B) Fució rampa. Si f(t) kt etoces fácilmete se obtiee que: K L Kt Kte dtk te dt s -st -st [ ] [3.9] Demostració: u Kt du Kdt dv exp( st)dt udv uv vdu 1 v exp( st) s K K K t exp( st) exp( st)dt exp( st)dt s s s K 1 K exp( st) s s s C) Fució seoidal. Sea f(t) se (ωt) dode ω es la frecuecia de la oda siusoidal, la trasformada resulta: ω Lse( [ ωt) ] [3.1] s+ ω Demostració. Recordado las relacioes de Euler: La expasió e series de potecias del seo y coseo so: 4 6 θ θ θ cos θ ! 4! 6! ( jθ) ( jθ) 3 ( jθ) 4, por tato, cos θ+ j se θ 1+ j θ θ θ θ! 3! 4! se θθ ! 5! 7! 3 4 x x x La expasió e series de la expoecial es: exp(x) 1+ x + + +, se cumple que:! 3! 4!

6 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 5 cos θ+ j se θ exp( j θ) y cos θ j se θ exp( j θ ) teorema de Euler segú el teorema de Euler se obtiee de Laplace de la fució seoidal será: exp(jωt) exp( jωt) se ω t, por tato la trasformada j exp( jωt) exp( jωt) L[ se ω t] exp( st)dt e itegrado ambos térmios por separado: j exp( j s)t exp( j s)t j ω ω ω j s j ω+ j s co lo que fialmete se obtiee: ω j + j s j s ω + ω + ω + s D) Fució expoecial. Si f(t) e -at resulta la siguiete trasformada: -at -at -st 1 L e e e dt [3.11] s+a E) Fució Delta de Dirac. d La fució delta de Dirac es igual a la derivada del escaló uitario. δ () t U(t) dt Por su parte el escaló uitario se puede escribir como: Ut () lim(1 e αt ) α Por lo tato se llega a: d αt αt α L[ δ( t) ] L lim(1 e ) lim L αe lim 1 dt α α α s + α [3.1] F) Fució pulso uidad t< Pulso 1/ < t < t > esta fució se puede poer como diferecia de dos fucioes: f t < f t < 1/ t > 1/ t > 1 Pulso f 1 f

7 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 6 f 1 es la fució escaló cuya trasformada es 1/s. f es similar a f 1 pero retrasada uidades de tiempo es decir, f f 1 (t-). plicado el teorema del retardo puro la trasformada es 1 exp( s). s 1 1 exp( s) s Restado ambas trasformadas [ ] G) Fució coseo. s Lcosω ω + s [ t] Se demuestra de forma similar al seo teiedo e cueta que: exp( jω t) + exp( jωt) cos ω t Trasformada iversa o atitrasformada. [ ] L f() s f() t Es el paso del domiio de Laplace al domiio del tiempo empleádose la otació L -1 [f(s)] f(t). Si la fució es simple, la iversa puede ecotrarse e tablas. Para fucioes complejas el método más utilizado es la descomposició e fraccioes parciales. La fució que se quiere ivertir descompoe e serie de fucioes simples cuya atitrasformada es coocida: [ ] 1 3 f ( s) f () t + f () t + f () t f () t Mediate la propiedad de operador lieal se puede escribir: [ ] [ ] [ ] [ ] f () t L f () t + L f () t + L f () t L f () t E el aálisis de procesos diámicos f(s), aparece ormalmete como u cociete de poliomios e s: N N s () f() s ds () m i i b s i as i i i [3.13] la ecuació del poliomio deomiador: i as i i tedrá raíces (reales o complejas), algua de las cuales podrá icluso ser repetida. La forma de proceder es descompoiedo e fraccioes simples (al igual que se hace e itegració de fraccioes poliómicas) y a cotiuació se hace la trasformada de dichas fraccioes simples. De las relacioes algebraicas se deduce las siguietes reglas geerales: 1-Si u factor lieal (as +b) esta icluido e el deomiador, existe ua fracció parcial correspodiete a este factor: /(as+b).

8 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 7 -Si u factor lieal (as+b) aparece veces e el deomiador, existe fraccioes parciales para este factor del tipo: 1 + as + b ( as + b) ( as + b) 3-Si u factor cuadrático (as +bs+c) aparece e el deomiador, existe ua fracció parcial que correspode a este factor de la forma as s + B + bs + c 4-Si u factor cuadrático (as +bs+c) aparece e el deomiador veces, existe fraccioes parciales que correspode a este factor de la forma 1s + B1 + as + bs + c s + B s + B ( as + bs + c) ( as + bs + c) Para realizar la iversió de la trasformada se requiere ecotrar las raíces del poliomio deomiador. Para ello se usa métodos uméricos de esayo y error. Tres de los métodos más eficaces so el método de Newto para raíces reales, el de Newto-Bairstow para raíces reales y complejas cojugadas y el método de Müller para raíces complejas y reales. Hoy e día estos métodos está icluidos e paquetes de software por lo que gra parte de estos cálculos re realiza por ordeador Método de expasió de Heaviside. Es u método sistemático para determiar los coeficietes de la expasió e fraccioes parciales que o requiere la solució simultáea de ecuacioes algebraicas. El grado del poliomio del deomiador debe ser mayor que el umerador. Si se tiee la fució de trasferecia F(s) P(s)/Q(s) y Q(s) posee raíces, es posible escribir: P(s) Q(s) Ci /(s + a i ) i 1 la hora de evaluar el coeficiete C j, se multiplica ambos miembros de la ecuació aterior por (s+a j ) tal como se muestra, P(s)(s + a j) Q(s) Ci(s + a j) /(s + ai) para s -a j todos los térmios del sumatorio se hace cero excepto para i j. E este caso, se comprueba que: C j P(a j )/Q (a j ) dode Q (a j ) Q(s)/(s+a j ). Ejemplo 3.3. Hallar la ati-trasformada de la expresió: s 1 F(s) 3 s + 6s + 11s+ 6

9 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 8 El procedimieto aterior o es válido cuado existe raíces repetidas e el poliomio Q(s), e este caso, la fracció poliómica se escribe: P(s) Q(s) Φ(s) (s + a) r 1 h(s) + + (s + a) (s + a) r (s + a) Dode h(s) es la suma de fraccioes parciales que o cotiee el térmio s+a e el deomiador. Multiplicado la ecuació aterior por (s+a) r se obtiee: φ (s) h(s) (s+a) r + 1 (s+a) r-1 + (s+a) r- + r-1 (s+a) + r La fució φ (s) puede desarrollarse mediate serie de Taylor alrededor del puto a: 1 r 1 Φ ( a) Φ r ( a) Φ(s) Φ( a) + Φ ( a)(s + a) + (s + a) (s + a) +! r 1! r a) r r+ 1 Φ Φ ( a) + (s + a) + (s + a) r! r + 1! (TOM Térmios de Orde Mayor). Idetificado térmios se observa que: r Φ ( a) () y que tambié: r! j j r Φ (s + a) h(s)(s + a) j! j r s+ 3 Ejemplo 3.4. F(s) 4 3 s + 5s + 9s + 7s+ Problema resuelto co Mathematica ( r+ 1 + TOM r Para el caso aú más complicado de la existecia de ecuacioes co térmios cuadráticos repetidos, el procedimieto a seguir es: 1- Ecotrar los coeficietes de todos los factores o repetidos, o repetidos de primer orde usado el método de Heaviside. - Ecotrar el coeficiete para el factor cuadrático repetido a la mayor potecia usado la técica estádar. 3- Sustituir los coeficietes ateriores e F(s) y resolver para el resto de coeficietes de similar potecia e s. Ejemplo 3.5. s+ 1 ( s+ )( s + s+ ) 3

10 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia Resolució de ecuacioes difereciales lieales. El uso de la trasformada de Laplace elimia la ecesidad de evaluar las costates de itegració ya que estas queda itegradas e la trasformada de la ecuació diferecial. Si todas las codicioes iiciales so cero la trasformada de Laplace se obtiee simplemete sustituyedo d/dt por s, d /dt por s, etc. El método es el siguiete: -Se covierte la ecuació diferecial mediate Laplace e ua ecuació algebraica e s. -Se reordea para obteer la expresió de la trasformada de la variable depediete. -La solució temporal se halla mediate la iversa. Ejemplos: Luybe 318, CES 4 y siguietes, Stephaopoulos, 156, Corripio 41, ulas. Ejemplo 3.6. Resolver el sistema de ecuacioes dado sabiedo que las derivadas tiempo cero so dx 1 x 1 +3x +1 dt dx x t 1 +x +e dt 3.4. Respuesta a u escaló de alguos sistemas simples. ) Sistema de primer orde. La ecuació diferecial de u sistema lieal de primer orde de gaacia K y costate de tiempo τ es: dy(t) τ +y(t)ku(t) [3.18] dt sumiedo codicioes iiciales ulas, es decir variables de desviació y aplicado la trasformada de Laplace: τ s y(s) + y(s) Ku(s) [3.19] La trasformada de Laplace de u escaló de magitud Δu es u(s) Δu/s, ahora sustituyedo y KΔu 1 KΔu despejado resulta: y(s) s(τs+1) τ s(s+1/τ) Descompoiedo e fraccioes parciales se obtiee: KΔu KΔu y(s) s s+1/τ Y utilizado la iversa se llega a la respuesta temporal del sistema de primer orde: Δ [3.] -t/ y(t)k u 1-e τ

11 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 3 B) Sistema de segudo orde.la ecuació diferecial de u sistema de este tipo se escribe de la forma: dy(t) dy(t) τ + δτ +y(t)ku(t) [3.1] dt dt dode τ es el periodo atural de oscilació y δ el coeficiete de amortiguamieto. plicado Laplace se obtiee: ( τs+ ) Como u(s) Δu/s despejado y(s) resulta: y(s) s δτ s+1y(s)ku(s) [3.] KΔu ( τs+δτ s+1) Las raíces del poliomio que aparece e el deomiador so: - ± 1 p 1, δ δ τ Y por tato depediedo del valor de δ puede platearse tres casos: 1-Sistema de segudo orde subamortiguado. ( < δ < 1). Las dos raíces del poliomio que aparece e el deomiador so complejas co parte real egativa. La trasformada iversa resultate es la siguiete: δ exp( δωt) 1 1 δ y(t) KΔu 1 se( ω dt + tg ) 1 δ 3.5] dode: ω ω δ d 1 Cuato meor es δ más rápida es la respuesta pero tambié más oscilatoria. Este tipo de respuesta aparece e el cotrol de procesos químicos cerrados, es decir cuado iteraccioa el cotrolador y el proceso. Cuestió. Deducir la ecuació [3.5]. Resp. Teiedo e cueta que ω 1/τ (frecuecia atural o amortiguada), para ua etrada e escaló, la ecuació [3.] puede poerse de la forma: ω Bs+ C y(s) KΔ u + s s + δω s+ω s s + δω s+ ω de expasió de Heaviside:, los coeficietes, B y C se halla por el método

12 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 31 ω + δω +ω s KΔ u KΔu, por otro lado, s s KΔ u s + δω s+ω + Bs + Cs KΔuω KΔ u+ B B K Δ u C K Δ u δω KΔuδω + C 1 s+ δω 1 s+δω δω y(s) KΔu K u s Δ s s + δω s+ω s + δω s+ω s + δω s+ω 1 s+δω y(s) K u δω Δ s s 1 s 1 ( +δω ) +ω ( δ ) ( +δω ) +ω ( δ ) 1 s+ δω δω ω y(s) KΔu s ( s+δω ) +ω ( s+δω ) +ω d ωd d d δω y(t) KΔu 1 exp( δωt) cos( ωdt) exp( δωt)se( ωdt) ωd δ y(t) KΔu 1 exp( δωt) cos( ω dt) + se( ωdt) 1 δ teiedo e cueta que a cos(x) + b se(x) (a +b ) 1/ se(x + tg -1 (a/b)), fialmete se obtiee: exp( δωt) 1 1 δ y(t) KΔu 1 se( ω dt + tg ) 1 δ δ -Sistema de segudo orde sobreamortiguado (δ > 1). Las dos raíces so reales y egativas. La fució temporal tras aplicar Laplace y la atitrasformada es (ver fig. 3.1): δ y(t) KΔu 1 exp( δωt) cosh 1 t seh 1 t ω δ + ω δ 1 δ [3.3] Cuestió. Deducir la ecuació [3.3]. Resp.?

13 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia Sistema de segudo orde críticamete amortiguado (δ 1). Las dos raíces so reales iguales y egativas. Descompoiedo e fraccioes parciales y aplicado la atitrasformada se llega ahora a la siguiete forma: t t y(t) KΔu 1 1+ exp( ) τ τ [3.4] Esta es la respuesta más rápida posible si sobreoscilació. Cuestió. Deducir la ecuació [3.4]. Resp.? Respuesta de u sistema de segudo orde a u escaló Fucioes de trasferecia y modelos etrada-salida (iput-output). Cosidérese u sistema simple co ua sola etrada u(t) y ua sola salida y(t) y el comportamieto diámico del proceso está cotrolado por la ecuació diferecial lieal de orde, 1 m m 1 m d y d y d y dy d u d u d u du m m 1 1 m... m m m 1 a + a + a + a + a y b + b + b + b + bu[3.6] dt dt dt dt dt dt dt dt co codicioes iiciales ulas y >m. plicado la trasformada de Laplace a ambos miembros y teiedo e cueta que las codicioes iiciales so ulas se llega a la siguiete expresió: ys () bs + b s + b s... + bs+ b us ( ) as a s a s... as a m m 1 m m m 1 m [3.7] que es la fució de trasferecia del sistema. La fució de trasferecia es el cociete etre la trasformada de Laplace de la variable de salida y la trasformada de Laplace de la variable de etrada ambas escritas e térmios de variable de desviació.

14 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 33 U(s) SISTEM Y(s) Fució de trasferecia. La aplicació del cocepto de fució de trasferecia está limitada a los sistemas descritos mediate ecuacioes difereciales lieales ivariates co el tiempo. El efoque de la fució de trasferecia se usa extesamete e el aálisis y diseño de dichos sistemas. cotiuació se preseta alguos cometarios importates relacioados co la fució de trasferecia. 1. La fució de trasferecia de u sistema es u modelo matemático porque es u método operacioal para expresar la ecuació diferecial que relacioa la variable de salida co la variable de etrada.. La fució de trasferecia es ua propiedad de u sistema, idepediete de la magitud y aturaleza de la etrada o fució de excitació. 3. La fució de trasferecia icluye las uidades ecesarias para relacioar la etrada co la salida; si embargo, o proporcioa iformació acerca de la estructura física del sistema. (Las fucioes de trasferecia de muchos sistemas físicamete diferetes puede ser idéticas.) 4. Si se cooce la fució de trasferecia de u sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de etrada, co la iteció de compreder la aturaleza del sistema. 5. Si se descooce la fució de trasferecia de u sistema, puede establecerse experimetalmete itroduciedo etradas coocidas y estudiado la salida del sistema. Ua vez establecida ua fució de trasferecia, proporcioa ua descripcio completa de las características diámicas del sistema, a diferecia de su descripció física. (Ejemplo e Ogata 587, para etrada sioidal) Coceptos geerales e el uso de las fucioes de trasferecia. Orde. El orde del sistema o de la fució de trasferecia es el mayor orde de la derivada de la variable de salida, es decir la mayor potecia de s e el deomiador de la fució de trasferecia. Polos. Los polos de la fució de trasferecia so las raíces de la ecuació característica, que es la ecuació resultate de igualar a cero el poliomio deomiador de la fució de trasferecia

15 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 34 Ceros. Los ceros de la fució de trasferecia so las raíces del poliomio umerador igualado a cero. Realizabilidad física. La fució de trasferecia de u sistema físico real preseta ua limitació e relació co las órdees de los poliomios umerador y deomiador: el orde del deomiador debe ser superior al orde del umerador m. La fució de trasferecia tampoco puede teer térmios predictivos que represete ua traslació e el futuro. Gaacia estática. La gaacia estática de u sistema estable se obtiee haciedo s e la fució de trasferecia. Si se somete u sistema a ua etrada e escaló uitario, la gaacia estática será el valor de y (variable de desviació) al alcazar el uevo estado permaete. plicado el teorema del valor fial resulta: 1 K lim yt ( ) lim sgs ( ) lim Gs ( ) G() t s s s Producto de fucioes de trasferecia. Cosidérese dos sistemas diámicos e serie cuyas fucioes de trasferecia so G 1 (s) y G (s). Obviamete la señal de etrada al segudo es la señal de salida del primero. Por tato se puede escribir: y () s G () s u (); s y () s G () s y () s sí pues, se llega a la coclusió de que la fució de trasferecia del cojuto formado por varios sistemas e serie es el producto de las fucioes de trasferecia de los sistemas idividuales. y () s G() sg() su() s Gsus ()() Fucioes de trasferecia de sistemas simples. ) Itegrador puro. La ecuació diferecial correspodiete al itegrador puro es: dy(t) Ku(t) dt [3.8] aplicado la trasformada de Laplace a ambos miembros resulta (codició iicial ula): sy(s)ku(s), y y(s) K de aquí: [3.9] u(s) s B) Sistema o retardo de primer orde. Reordeado la ecuació correspodiete a u sistema lieal de primer orde e el domiio de Laplace se obtiee la fució de trasferecia y(s) K [3.3] u(s) 1+ τs

16 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 35 C) Retardo puro o tiempo muerto. E u retardo puro la variable de salida es igual a la de etrada retrasada t m uidades de tiempo. Utilizado el teorema del retardo puro resulta: y(s) exp(-t m s)u(s) [3.31] Reordeado y(s) e -tms u(s) [3.3] D)Sistema de segudo orde. Reordeado la ecuació [3.] correspodiete a u sistema lieal de segudo orde e el domiio de Laplace se obtiee: y(s) K u(s) τ s +δτ s+1 y al hacer s se llega a G() K, que es la gaacia estática del sistema. [3.33] Ejemplo 3.7. Obteer la fució de trasferecia de u caletador de agua e mezcla perfecta. (Stephaopoulos 16, 164) Ejemplo 3.8. Obteer la fució de trasferecia de u sistema multivariable como el descrito e el euciado. (Stephaopoulos 16, 164) Fucioes de trasferecia de sistemas de parámetros distribuidos. E este tipo de sistemas la variable idepediete es fució de la posició y el tiempo. La trasformada se usa para pasar del domiio del tiempo al domiio de s y después para pasar de la variable de posició a la variable compleja p. Ejemplo 3.9. Obteer la fució de trasferecia de u reactor tubular co reacció de primer orde álisis cualitativo del comportamieto diámico de u sistema. Estabilidad a partir de la fució de trasferecia. La respuesta de u sistema e el domiio de Laplace es y(s) G(s) u(s). E geeral, tato G(s) como u(s) so cocietes de poliomios e s, por tato se puede escribir: N(s)(s) y(s) D(s)d(s) l descompoer y(s) e fraccioes parciales y obteer la trasformada iversa es claro que aparecerá u sumado fució del tiempo por cada raíz real de D(s) y d(s) y otro por cada par de raíces complejas cojugadas. alizado los ejemplos vistos hasta ahora se comprueba que:

17 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia Los polos simples y reales da lugar a térmios expoeciales como c 11 e p1 t crecietes si p 1 > y decrecietes si ocurre lo cotrario. Si p 1 es cero se obtiee u térmio costate. -Los polos reales múltiples da lugar a térmios como: c c c 3 c1 + t + t t e إ( 1 - ) إ إ 1-1 pt auque el térmio etre corchetes tiede a ifiito cuado t tiede a ifiito, debido al factor expoecial, el producto tederá a ifiito si p > y decaerá a cero si p <. 3-Los polos complejos cojugados da lugar a térmios como e αt se(ωt+φ). Si α < las oscilacioes se amortiguará. Si α el térmio oscilará co amplitud costate. (ver figura). U sistema de fució de trasferecia G(s) se dice que es estable cuado ate ua etrada limitada (o creciete cotiuamete) produce ua respuesta limitada. Es decir, u sistema será estable cuado todos los polos de la fució de trasferecia tega parte real egativa. c 11 exp(p 1 t) p 1 <1 c 11 exp(p 1 t) p 1 >1 exp(p 1 t)se(ωτ+φ) p 1 <1 exp(p 1 t)se(ωτ+φ) p 1 exp(p 1 t)se(ωτ+φ) p 1 >1 Respuesta e fució de polos de fució de trasferecia Diagramas de bloques. E muchos casos el proceso cuyo comportamieto diámico se desea estudiar está costituido por varios sistemas itercoectados etre sí y represetados cada uo de ellos por ua fució de trasferecia. El diagrama de bloques es ua herramieta utilizada para combiar fucioes de trasferecia de sistemas idividuales e ua úica fució de trasferecia para el cojuto. U sistema de cotrol puede teer varios compoetes. Para mostrar las fucioes que lleva a cabo cada compoete e la igeiería de cotrol, por lo geeral se usa ua represetació deomiada diagrama de bloques. Esta secció explica qué es u diagrama de bloques, preseta u método para obteer los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, aaliza técicas para simplificar tales diagramas.

18 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 37 Diagramas de bloques. U diagrama de bloques de u sistema es ua represetació gráfica de las fucioes que lleva a cabo cada compoete y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relacioes existetes etre los diversos compoetes. diferecia de ua represetació matemática puramete abstracta, u diagrama de bloques tiee la vetaja de idicar e forma más realista el flujo de las señales del sistema real. E u diagrama de bloques se elaza ua co otra todas las variables del sistema, mediate bloques fucioales. El bloque fucioal o simplemete bloque es u símbolo para represetar la operació matemática que sobre la señal de etrada hace el bloque para producir la salida. Las fucioes de trasferecia de los compoetes por lo geeral se itroduce e los bloques correspodietes, que se coecta mediate flechas para idicar la direcció del flujo de señales. Obsérvese que la señal sólo puede pasar e la direcció de las flechas. Por tato, u diagrama de bloques de u sistema de cotrol muestra explícitamete ua propiedad uilateral. Las dimesioes de la señal de salida del bloque so las dimesioes de la señal de etrada multiplicadas por las dimesioes de la fució de trasferecia e el bloque. Las vetajas de la represetació mediate diagramas de bloques de u sistema estriba e que es fácil formar el diagrama de bloques geeral de todo el sistema co sólo coectar los bloques de los compoetes de acuerdo co el flujo de señales y e que es posible evaluar la cotribució de cada compoete al desempeño geeral del sistema. La operació fucioal del sistema se aprecia co más facilidad si se examia el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico mismo. U diagrama de bloques cotiee iformació relacioada co el comportamieto diámico, pero o icluye iformació de la costrucció física del sistema. E cosecuecia, muchos sistemas diferetes y o relacioados puede represetarse mediate el mismo diagrama de bloques. Debe señalarse que, e u diagrama de bloques, la pricipal fuete de eergía o se muestra explícitamete y que el diagrama de bloques de u sistema determiado o es úico. Es posible dibujar varios diagramas de bloques diferetes para u sistema, depediedo del puto de vista del aálisis Procedimietos para dibujar u diagrama de bloques. Para dibujar el diagrama de bloques de u sistema, primero se escribe las ecuacioes que defie el comportamieto diámico de cada compoete. cotiuació se toma las trasformadas de Laplace de estas ecuacioes e térmios de variables de desviació (las codicioes iiciales so cero), y se represeta idividualmete e forma de bloques cada ecuació trasformada por el método de Laplace. Por último, se itegra los elemetos e u diagrama de bloques completo.

19 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 38 Como ejemplo, cosidérese el circuito RC de la figura. Las ecuacioes para el circuito so La ecuació I(s) represeta ua operació de suma y el diagrama correspodiete aparece e la figura (b). La ecuació E o (s) represeta el bloque de la figura (c). Si se itegra estos dos elemetos se obtiee el diagrama de bloques geeral para el sistema, tal como aparece e la figura (d) Reducció de u diagrama de bloques. Álgebra de bloques. Es importate señalar que los bloques puede coectarse e serie, sólo si la etrada de u bloque o se ve afectada por el bloque siguiete. Si hay efectos de carga etre los compoetes, es ecesario combiarlos e u bloque úico. Cualquier catidad de bloques e cascada que represete compoetes si carga puede sustituirse co u solo bloque, cuya fució de trasferecia sea simplemete el producto de las fucioes de trasferecia idividuales. G G + - B G-B + - B/G -B/G G G-B 1/G B B G (+B) G B + - G (+B) B G G G G G G G G1 Y + - G G G1 1/G Y + - G G G G G 1/G G1 Y + - G G1/(1+G1G) Y

20 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 39 U diagrama de bloques complicado que cotega muchos lazos de realimetació se simplifica mediate u reordeamieto paso a paso mediate las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. lguas de estas reglas importates aparece e la tabla y se obtiee escribiedo la misma ecuació e formas distitas. La simplificació de u diagrara de bloques mediate reordeamietos y sustitucioes reduce de maera cosiderable la labor ecesaria para el aálisis matemático subsecuete. Si embargo, debe señalarse que, coforme se simplifica el diagrama de bloques, las fucioes de trasferecia de los bloques uevos se vuelve más complejas, debido a que se geera polos y ceros uevos. l simplificar u diagrama de bloques: 1. El producto de las fucioes de trasferecia e la direcció de la trayectoria directa debe ser el mismo.. El producto de las fucioes de trasferecia alrededor del lazo debe ser el mismo. Cuestió. Cosidere el sistema que aparece e la figura. Simplifique este diagrama. H C G1 - G G3 R H1 Resp. 1º se mueve el puto suma del lazo de realimetació egativa que cotiee H hacia afuera del lazo de realimetació positiva que cotiee H 1. º elimiamos el lazo de realimetació positiva. 3º elimiació del lazo que cotiee H 1 G. Por último, la elimiació del lazo de realimetació coduce a la simplificació total. Obsérvese que el umerador de la fució de trasferecia e lazo cerrado C(s)/R(s) es el producto de las fucioes de trasferecia de la trayectoria directa. El deomiador de C(s)/R(s) es igual a: Deomiador 1-Σ(producto de fucioes de trasferecia e cada lazo) Ejemplo 3.1. Obteer el diagrama de bloques de u caletador de agua co salida por gravedad. Ejemplo Obteer el diagrama de bloques de u caletador de agua co camisa calefactora. Ejemplo 3.1. Ecotrar el diagrama simplificado de Y(s)/X(s). Ejemplo Simplificar el cojuto motor accioador. Ejemplo Simplificar los siguietes diagramas de bloque (formato pdf). Ejemplo Fució de trasferecia a través de sistemas de ecuacioes. Ejemplo Depósito de agua.

21 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia Reducció de diagramas de bloques. Regla de Maso. La regla de Maso permite determiar la fució de trasferecia de u bloque de diagramas complejo co diversos lazos de realimetació y lazos de adelato. Los siguietes coceptos debe ser teidos e cueta. U diagrama de bloques costa de vías directas (camios que va desde la señal de etrada a la salida si pasar dos veces por el mismo sitio) y lazos. U lazo es cualquier camio que empieza y termia e u mismo sitio si pasar dos veces por el mismo lugar. Dos lazos se dice disjutos si o posee elemetos e comú (o se toca). El determiate de u diagrama de bloques se defie como: Δ(s)1 - (suma de lazos) + (suma del producto de lazos disjutos tomados de dos e dos) - (suma del producto de lazos disjutos tomados de tres e tres) + El cofactor asociado a ua trayectoria directa i es: Δ i (s)1 - (suma de lazos disjutos de la trayectoria i) + (suma del producto de lazos disjutos de la trayectoria i tomados de dos e dos) - (suma del producto de lazos disjutos de la trayectoria i tomados de tres e tres) + El cofactor asociado a ua trayectoria directa i es igual al determiate elimiado aquellos térmios que toca a la trayectoria i. Llamado gi a las trayectorias directas, la regla de Maso es: 1 H() s gi() s Δi() s Δ() s i Ejemplo Obteer la fució de trasferecia etre la salida y la etrada del sistema: Ejemplo Obteer la fució de trasferecia etre la salida y la etrada del sistema:

22 álisis de la Diámica de Procesos e el Domiio de Laplace. Fucioes de Trasferecia.- 41 Ejemplo Obteer la fució de trasferecia etre la salida y la etrada del sistema