EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS (MB536)

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 EXAMEN FINAL DE METODOS NUMERICOS (MB36) SOLO SE PERMITE EL USO DE UNA HOJA DE FORMULARIO Y CALCULADORA CIENTIFICA ESCRIBA CLARAMENTE SUS PROCEDIMIENTOS PROHIBIDO EL USO DE CELULARES U OTROS EQUIPOS DE COMUNICACION ELECTRONICA LAS MOCHILAS O MALETINES DEBERÁN DEJARSE EN LA PARTE INFERIOR DE LA PIZARRA DURACION: MINUTOS Problema Dado el siguiee mecaismo de barras, dode a = mm, b = mm, c = mm y d = 8 mm. Esa relació puede ser demosrado geoméricamee por la relació ere los águlos α y β : (d a cos(α) b cos(β)) + (a se(α) + b se(β)) c = Para cada alor de α obeemos su respecio β, segú la siguiee abla α ( ) β ( ) 9,83 88,33 8,798 7,8 Usado ua fució Splie Naural cúbico, realice lo siguiee: a) (.pos) Si la barra AB roa co u águlo de α =, y ua elocidad agular de 7, /s (deoada por dα = 7, /s) deermiar la elocidad agular. d d b) (.po) Para α =, aproime d β dα c) (.po) Esime el águlo β cuado α = 8 d) (.po) Usado los comados de MATLAB resoler (c) uilizado aora ierpolació cúbica. Problema Se iee ua plaa de geeració de aire comprimido, basado e el sisema cilidro-pisó (er Figura ), accioados por moores de combusió iera. Se sabe que el modelo maemáico para calcular el rabajo para la compresió del aire e u ciclo es: dw = Fd = pad = pdv W = pdv Figura Si e el proceso de compresió, se cosidera que la carrera míima ecierra u olume de. m 3 y la carrera máima ecierra u olume de. m 3. Se logró regisrar los siguiees alores del proceso: (m 3 ) p(kpa) 6 Esime el rabajo ecesario e kj para comprimir el aire e cada ciclo. a) (. pos) Usado el méodo Gauss-Legedre co 3 puos. b) (. pos) Usado el méodo de Simpso de /3. c) (. po) Usado u programa (Scrip) e MATLAB aplicado el méodo del rapecio co u paso de..

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 Problema 3 Al aplicar la seguda ley de ewo a u sisema masa-resore co amoriguamieo, al como se muesra e la Figura 3, se modela mediae la siguiee ecuació diferecial ordiaria de segudo orde: d d m k d d La masa m= kg se libera al iicio de ua posició = mero de la posició de equilibrio co elocidad de m/s. Ademas k= y =. Se pide: a) (. po) Reducir a u sisema de ecuacioes difereciales ordiarias de primer orde b) (. pos) Mediae Euler, deermie la posició y elocidad a cabo de. segudos, co icremeos de =. seg. c) (. po) Deermie el error porceual para la posició y elocidad e el úlimo puo si la solució aalíica es e e. Comee su respuesa. 3 3 d) (. po) Escriba la fórmula para Taylor de orde, para ese problema. e) (. po) Escriba comados de MATLAB para allar la solució eaca de la posició y la elocidad. Problema Sea la siguiee ecuació diferecial ordiaria (EDO): d y dy y d d Co codició de froera: y() =, y() =., se pide: a) (. po) Realice la disribució de los puos discreos de la ariable idepediee i, para calcular la solució umérica usado =.. b) (. pos) Plaee el sisema de ecuacioes lieales que resula al aplicar el méodo de las diferecias fiias e los puos discreos allados e a). c) (. po) Resuela el sisema lieal aerior, y deermie el porceaje de error comeido al compararlo co la solució eaca, y() = c + c /. d) (. po) Si la codició froera cambia a y() y () =, eplique co dealle cómo modificaría el sisema de ecuacioes lieales alladas e b), al usar diferecias fiias? Los Profesores

3 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 Solució P SOLUCIONARIO a) La elocidad agular de BC es: d = dα dα = 7, d dα Para allar, allamos la fució Splie aural dα α ( ) β ( ) [,] 9,83 -,33 88,33 -,3 8,798 -, 7,8 M M,997,98 6,9,89 M,37 ; M,38,37 a,37; b ; c,38; d 9,83 3 [i,i+] a b c d S [;] -, -,38 9,8 S [;],3 -,36 -,386 88,3 S [;] -,69,6 -,3 8,8 Para α =, dα =,386 Por lo ao: S (α) =,3(α ) 3,36(α ),386(α ) + 88,3 S () =,386 = dα = 7, = 7,,386 =.98 /s d dα d dα b) Para α =, d β = M dα =,38 c) Para esimar el águlo β cuado α = 8 uilizamos S S (8) 8.78 d) X=[::] S () =,3( ) 3,6( ),386( ) + 88,3

4 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 Y=[9,83 88,33 8,798 7,8] Pol=polyfi(X,Y,3) Value=polyal(Pol,8) Solució P Pare a) Como la iegral a aplicar es: aplicamos las siguiees formulas,. W = pdv. Por lo ao el rabajo requerido por cada ciclo es de W=6.6 kj Pare b) Aplicado la fórmula de Simpso de /3 Por lo ao el rabajo requerido por cada ciclo es de W=6.6 kj Pare c) =. c=[ ] y=[6 ] I=(c*y')*/ fprif('el rabajo es %.f\',i);

5 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 Solució P3 a) d d d d d d d d b) Aplicado Euler: c) eaca =.6 eaca = Euler =.8 Euler = -.6 ErrorX =.88% ErrorV = 9.8 % Error de la posicio es acepable, mieras que la elocidad presea muca iesabilidad. d) Taylor. e) MATLAB X=dsole('D+*D+*=','()=','D()=') dx=diff(x)

6 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 Solució P a) = =., N = = i = + i, i=,, y = y =. b) = =. =. 3 =.7 =. y i = y i + y i y i y i + y i+ = i y i+ y i i=,,3 y y + y. = y y. y y + y 3. = y 3 y. + y + y y y 3 + y. = y y + 3. y y [ ] [ y.986. c) Solució del sisema Lieal: y 3 ] = [ + i y i.9 ].3393 y = y =.7 y =.839 y 3 =.6 y =. = =. =. 3 =.7 =. Solució eaca: y() = + y( ) = y( ) =. y( ) =.833 y( 3 ) =.67 y( ) =. Error = y y() y() = 3.873e.39% d.) C. F: y() y () = y = y y y 3 y y f = =. =. 3 =.7 =. f Se agregaría ora ecuació para i= y 3 y + y f. = y f y y 3

7 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. 7- FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA //7 y() y () = y ( y f y 3 ) = y f = y 3 + y Arreglado ecuació: y 3 y + (y 3 + y ). = (y 3 + y ) y y 3 Dado alores: y 3.7y =.38 Esa úlima ecuació se agregaría al sisema e b) ya que y o es fijo si o ua ariable.