PROGRAMA DEL CURSO "FISICA COMPUTACIONAL" (64 horas) 1 Simulación del movimiento de una partícula (8 horas) 1.1 Problema de Cauchy para una partícula

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1 PROGRAMA DEL CURSO "FISICA COMPUTACIONAL" (64 horas) 1 Simulació del movimieo de ua arícula (8 horas) 1.1 Problema de Cauchy ara ua arícula 1. Algorimos de Euler y de Ruge-Kua ara simular el movimieo de ua arícula 1. Ejemlo simle: simulació de la caída libre 1.4 Movimieo de ua arícula e 1D bajo fuerza oecial 1. Efecos de resisecia 1.6 Trayecorias bidimesioales 1.7 Procesos de decaimieo Sisemas oscilaorios (8 horas).1 Movimieo armóico simle. El movimieo de u édulo. Oscilacioes amoriguadas.4 Oscilacioes forzadas. Oscilacioes e circuios elécricos.6 Precisió y esabilidad de los algorimos Primer Proyeco Sisemas de ocos cueros: El movimieo de los laeas (8 horas).1 Las ecuacioes de movimieo laeario. Uidades asroómicas y adimesioales. Orbias elíicas, arabólicas e hierbólicas.4 U sisema mii-solar. Simulació de la órbia.6 Problemas de dos y res cueros.7 Problema de disersió 4 La diámica de sisemas de muchas arículas (8 horas) 4.1 El oecial iermolecular 4. Ecuacioes difereciales de diámica molecular e uidades adimesioales 4. El algorimo umérico 4.4 Codicioes de froera y codicioes iiciales 4. U Programa de Diámica Molecular. Corol de recisió 4.6 Parámeros ermodiámicas Segudo Proyeco Modos Normales y Odas (8 horas).1 Osciladores acolados y modos ormales. Series de Fourier. Trasformació de Fourier y desidad esecral.4 Movimieo odulaorio. Ierferecia.6 Difracció de Frauhofer.7 Difracció de Fresel 6 Camo elécrico (8 horas) 6.1 Las cargas esáicas y camos elécricos 6. Líeas de camo 6. Poecial elécrico. 6.4 Solució de la Ecuació de Lalace Tercer Proyeco Simulació del movimieo caóico de los sisemas diámicos (8 horas) 7.1 Sisemas diámicos. Diagrama de bifurcació ara modelo demográfico 7. Dulicació del eriodo demográfico 7. Auo-similiud y uos fijos 7.4 Sisemas caóicos y sus caracerísicas 7. Oscilacioes forzadas o-lieales 8 Procesos Aleaorios (8 horas) 8.1 Desde orde hacia desorde 8. Procesos de camios aleaorios simles 8. Esquemas modificados de camios aleaorios 8.4 La disribució de Poisso y la desiegració uclear 8. Alicació a los roblemas de cálculo de la robabilidad Cuaro Proyeco Bibliografía 1 H. Gould y J. Tobochik. A Iroducio o Comuer Simulaio Mehods Alicaios o Physical Sysems, Addiso - Wesley Publishig Comay, 1989 S. E. Kooi. Comuaioal Physics, Addiso -Wesley Publishig Comay, 1986 T. Pag. Iroducio o comuaioal hysics,cambridge Uiversiy Press, 6

2 Prefacio Las simulacioes e comuador so ahora ua are imorae de la física básica y alicada coemoráea, y la comuació se ha coverido a sigificaiva como la eoría y la exerimeació. La caacidad de calcular es ahora are del reerorio esecial de los cieíficos de ivesigació. El roósio de ese curso icluye siguiees objeivos 1. Proorcioar u medio adicioal ara hacer la física.. Dar la ooruidad de obeer ua comresió más rofuda de la física que ha aredido e oros cursos.. Esimular a "descubrir" la física de ua maera similar a cómo los físicos arede e el coexo de la ivesigació. 4. Areder a alicar los méodos uméricos e diferees áreas de la física y aalizar los límies de su alicabilidad. Dar u coexo diferee del la de esudios radicioal de física de regrado. 6. Eseñar formular los roblemas de física e u leguaje algorímico Cálculo acualmee es ua are iegral de la ciecia coemoráea y esá eiedo u efeco rofudo e la forma como hacer la física, como hacer las reguas imoraes, y como seleccioar los sisemas físicos a esudiar. Los avaces e la ecología iformáica esá dado lugar a uevas formas de esar acerca de los sisemas físicos. Preguar " Cómo uedo formular ese roblema ara u equio comuacioal?" ha llevado a la comresió de cómo es rácico y aural formular las leyes físicas y las reglas eedibles ara u equio e lugar de sólo e érmios de ecuacioes difereciales. El uso de comuadoras e la física se uede covecioalmee clasificar e las siguiees caegorías: - aálisis umérico, - la maiulació simbólica, - la visualizació, - la simulació, - la recoilació y aálisis de daos - Aálisis umérico se refiere a la solució de roblemas maemáicos bie defiidos ara ecorar solucioes uméricas (e corase co simbólicos). El comuador es ua herramiea idisesable ara calcular las iegrales mulidimesioales, maiular grades marices, o resolver ecuacioes difereciales o lieales. Ese uso de la comuadora es imorae e la física. - Uo de los uos fueres de las maemáicas es su caacidad formular roblemas e ua forma absraca, lo que os ermie resolver muchos roblemas similares de maera simuláea mediae el uso de símbolos. Las comuadoras uede ser uilizadas ara hacer mucho de la maiulació simbólica. Las oeracioes maemáicas ales como la difereciació, iegració, iversió de la mariz, y la exasió e serie de oecias uede ser rogramas de maiulació simbólica. El cálculo de los diagramas de Feyma, que reresea las iegrales mulidimesioales de la imoracia de la elecrodiámica cuáica, ha sido u imorae imulso ara el desarrollo de sofware de álgebra comuacioal que uede maiular y simlificar exresioes simbólicas. Male, Mahemaica y Malab so ejemlos de aquees de sofware que iee caacidades de maiulació simbólica, así como muchas herramieas ara el aálisis umérico. - A medida que el comuador juega u ael cada vez mayor e uesra comresió de los feómeos físicos, la rereseació visual de los resulados uméricos comlejos es cada vez más imorae. El uso de gráficos uede aumear uesra comresió de la auraleza de las solucioes aalíicas. Tradicioalmee, la reseació de las variables de dos y res dimesioes icluye las curvas de iveles de camo y gráficos de líeas de fuerza. Co frecuecia, se ecesia más de res variables ara eeder el comoramieo de u sisema, y se esá desarrollado uevos méodos de uso de color y la exura ara ayudar a los ivesigadores a obeer mejor rereseació de sus daos. -Por qué es la comuació llegó a ser a imorae e la física? Ua de las razoes es que la mayor are de uesras herramieas aalíicas ales como el cálculo diferecial so los más adecuados ara el aálisis de roblemas lieales. Por ejemlo, es robable que haya aalizado el movimieo de ua arícula uida a u resore lieal asumiedo ua fuerza de resauració y la solució de la seguda ley de Newo del movimieo. E ese caso u equeño cambio e el deslazamieo de la arícula lleva a u equeño cambio e la fuerza. Si embargo, muchos feómeos aurales so o lieales, y u equeño cambio e ua variable uede roducir u gra cambio e la ora. Debido a que so relaivamee ocos roblemas o lieales uede ser resuelos or méodos aalíicos, el comuador os roorcioa ua ueva herramiea ara exlorar los feómeos o lieales. -Ora razó de la imoracia de la comuació es el creciee ierés e los sisemas co muchas variables o co muchos grados de liberad. Las simulacioes or ordeador se refiere a veces como los exerimeos de comuació, ya que comare mucho e comú co los exerimeos de laboraorio. El uo de arida de ua simulació or comuador es el desarrollo de u modelo idealizado de u sisema físico de ierés. Los resulados de ua simulació or comuador uede servir como u uee ere los exerimeos de laboraorio y cálculos eóricos. Por oro lado, a veces os odemos hacer simulacioes de u modelo más realisa que se uede hacer e eoría, y or lo ao hacer ua comaració más direca co los exerimeos de laboraorio. Comuació se ha coverido e ua ercera maera de hacer física y comlemea la eoría y exerimeo.

3 1 Simulació del movimieo de ua arícula (8 horas) Los érmios la simulació y el modelado de los feómeos físicos se uiliza ara ua descrició maemáica e ua forma digial, gráfica o audiovisual las relacioes que exise ere los arámeros o la evolució de los mismos co el iemo e u sisema cerrado o variació bajo de ua erurbació exera. Por ejemlo, relació ere coordeadas velocidades y eriodos de roació de los laeas e el sisema solar, o deedecia de esos arámeros del iemo, o variació de ellos bajo la ifluecia de ua comea. El roceso de simulació icluye los siguiees elemeos: - elaboració del modelo maemáico. E la mayoría de los casos el modelo maemáico se reduce a ua ecuació o sisema de ecuacioes algebraicas o difereciales - elaboració del méodo de solució del modelo maemáico. E la mayoría de los casos méodos so uméricos - elaboració del algorimo que defie los arámeros de erada, los rocedimieos ara obeer los arámeros de salida y la maera de la rereseació de los resulados - codificació del algorimo o elaboració el rograma - esayo del rograma y verificació los límies de alicació del algorimo usado modelos simlificados cuyos solucioes exacos so coocidos o oros ios de crierios E ese curso de Física Comuacioal cosideremos feómeos físicos de diferees áreas, mecáica, ermodiámica, elecromageismo y odas, cuyos modelos maemáicos se reduce e la mayoría de los casos al roblema de Cauchy ara u sisema de ecuacioes difereciales, que se formula de la siguiee maera. Si u cojuo de los arámeros físicos X, i 1,,, N X, i 1,,, N y esos arámeros saisface u sisema i e el momeo iicial eía valores i de ecuacioes difereciales de rimera orde i i 1 N esos arámeros X, i 1,,, N i dx d f X, X,, X,, i 1,,, N eoces Cuáles será valores de e el momeo del iemo cualquiera? Algorimos más usados ara resolver ese io de roblemas se basa e los méodos de Euler y Ruge-Kua. 1.1 Problema de Cauchy ara ua arícula E la Mecáica Clásica el movimieo de ua arícula se describe or medio del vecor de osició e fució del iemo v que defie la raidez y la direcció del r que defie la rayecoria y del vecor de la velocidad e fució del iemo deslazamieo. La evolució de esos dos arámeros se ecuera a arir de la seguda ley de Newo: dr, v ; dv F r, v (1) d d m F r, v, es ua fuerza que acúa sobre la arícula que geera su movimieo, la cual e el Aquí m es la masa de la arícula y caso geeral uede deeder de la osició y velocidad de la arícula y del iemo. Si F r, v, esacioaria, si F r, v, F r V r se llama oecial y la fució Para que el sisema de ecuacioes difereciales (1), la cual iee dos vecores r, v F r, v la fuerza se llama V r e ese caso se llama eergía oecial. icogios ega la solució úica es ecesario comlearlo co dos codicioes iiciales, es decir defiir los valores de los vecores de la osició y de la velocidad e el momeo del iemo : r r ; v v () Ejemlo 1 Ua eloa de masa m.kg se laza hacia arriba desde la ierra co la velocidad v m/ s. Sobre eloa acúa dos F mg N (coordeada X esa direccioada hacia arriba y gravedad hacia abajo), y la resisecia de fuerzas, la gravedad g aire que acúa e la direcció coraria a la direcció de la velocidad Fr.1v. Formúlese el roblema de Cauchy que describe la evolució de la coordeada y velocidad de la eloa. Solució. La diámica de ese sisema se defie a ravés de dos variables X x, X v co las codicioes iiciales: X, X v 1 que saisface las ecuacioes difereciales g r 1 dx d v= X ; dx d dv d = F F m.1v. 1.X 1 Fialmee el roblema de Cauchy se formula como: dx1 d X X1 X1 x ; ; dx d 1.X X X v Ejemlo Ua eloa de masa m.kg se laza desde la ierra co la velocidad v m/ se la direcció forma co el horizoe el águlo. Sobre eloa acúa dos fuerzas, la gravedad Fg mg i N (coordeada X y el vecor uiario i esá

4 direccioados hacia arriba y gravedad hacia abajo), y la resisecia de aire que acúa e la direcció coraria a la direcció de la velocidad F r.1v. Formúlese el roblema de Cauchy que describe la evolució de los vecores de la osició y de la velocidad de la eloa. Solució. La diámica de ese sisema se defie a ravés de dos vecores bidimesioales xy,, v x,v y X1 x, X y, X=v x, X=v y co las siguiees codicioes iiciales: X1 x, X y =, X vx v cos, X 4 v y v si r v o 4 variables (a) Los vecores de la osició y de la velocidad saisface las ecuacioes difereciales dr dv Fg Fr mg.1 v v; 1 i. v (b) d d m m Esas mismas ecuacioes (b) escrias ara 4 coordeadas X1 x, X y, X=v x, X=v y juo co 4 codicioes iiciales (a) forma u roblema de Cauchy ara u sisema de 4 ecuacioes difereciales: dx1 d X X1 X1 x X 4 dx d X X y ; ; (4) dx d 1.X X X vx dx 4 d.x 4 X 4 X 4 v y Ejemlo Formúlese el roblema de Cauchy que describe la evolució de los vecores de la osició y de la velocidad del elecró e el áomo de hidrogeo clásico, siedo el vecor de la osició iicial igual a r x,, y el vecor de la velocidad iicial v, v, Solució. y la úica fuerza que acúa sobre elecró es elecrosáica F e r 4r La diámica de ese sisema se defie a ravés de dos vecores ridimesioales x, y, z, v x,v y,vz X1 x, X y, X z, X 4=v x, X=v y, X 6=vz co las siguiees codicioes iiciales: X x, X =, X =, X, X v, X v r v o 6 variables (a) Los vecores de la osició y de la velocidad saisface las ecuacioes difereciales dr dv F e r v ; (b) d d me 4mr e Esas mismas ecuacioes (b) escrias ara 6 coordeadas X1 x, X y, X z, X 4=v x, X=v y, X 6=vz juo co 6 codicioes iiciales (a) forma u roblema de Cauchy: dx1 d X 4 dx d X X1 x X1 x dx d X 6 X X y dx 4 d e X1 4 me X1 X X X X z ; ; (c) 4 4 vx X X dx d e X 4m 1 X v X v e X X X y X 6 X 6 vz dx 6 d e X 4me X1 X X El roblema de Cauchy ara el sisema de ecuacioes difereciales (1) co las codicioes iiciales () e su mayoría de los casos se uede resolver solamee uméricamee uilizado uo de los méodos desarrollados co ese fi. Exise ua muliud de los méodos que fuero desarrollados y los rogramas corresodiees uede ecorarse e diferees biblioecas. A coiuació reseamos ua breve clasificació de diferees méodos. - Méodos de u aso, que comúmee uiliza las mallas equidisaes y usado diferees rocedimieos basados e las relacioes de recurrecia se ecuera los valores de la fució icógia e cada odo de la malla a arir de sus valores coocidos de u solo odo aerior. Los méodos más coocidos de ese gruo so diferees algorimos modificados del méodo de Euler y los méodos de Ruge-Kua. Esos méodos iee ua veaja que ermie u arraque auomáico, ariedo de las codicioes iiciales se ecuera uo or uo los valores de los siguiees odos similar al efeco de domio. -Méodos de muliasos ambié uiliza comúmee las mallas equidisaes y diferees rocedimieos basados e las relacioes de recurrecia ero e ese caso los valores de la fució icógia e cada odo de la malla se ecuera a arir de sus valores coocidos e varios odos aeriores (,,4,...,ec.) Los méodos más coocidos de ese gruo so méodos de Adams- Bashforh, Adams-Moulo y los méodos de Mile. Esos méodos o ermie u arraque auomáico, y sugiere u cálculo relimiar los valores de las fucioes icógias i varios odos iiciales, usado uo de los méodos de u aso y solo desués arracar la ieració or méodo de muliasos

5 -Méodos redicor-correcor E aálisis umérico, los méodos de redicció-correcció ereece a ua clase de algorimos diseñados ara iegrar ecuacioes difereciales ordiarias - ara ecorar ua fució descoocida que saisface ua ecuació diferecial dada. Todos esos algorimos de roceder e dos asos: - La "redicció" aso iicial, comieza a arir de ua fució ajusada a la fució de los valores y los valores derivados e u cojuo aerior de uos de exraolar ("aiciar") el valor de esa fució e u uevo uo oserior. - El siguiee, "correcor" aso refia la aroximació iicial uilizado el valor redicho de la fució y oro méodo ara ierolar el valor de esa fució descoocida e el mismo uo oserior -Algorimos auo-adaivos Los algorimos adaaivos so aquellos que modifica su coduca durae su ejecució, aediedo a los cambios que se roduce e su eoro o e el roio rograma. 1. Algorimos de Euler y de Ruge-Kua ara simular el movimieo de ua arícula - A coiuació resumimos alguas de las écicas uméricas que se basa e los méodos de diferecias fiias ara la solució F r, v, dadas or uos leyes de física ideediees. de las ecuacioes del movimieo de Newo (1) co fucioes de fuerza El méodo de diferecias fiias ara el roblema de Cauchy (1), () icluye los siguiees asos: -1) Defiició de ua malla discrea equidisae de N+1 odos ara la variable del iemo co la searació h ere los odos adyacees: h;,1,,, N; h N (6) 1 N -) Para los vecores descoocidos malla se usa las oacioes r, v, F r, v, e los momeos del iemo corresodiees a los odos de la r r ; v v, F F r, v, ;,1,,, N (7) -) A arir de las ecuacioes difereciales (1) se esablece las relacioes de recurrecia aroximadas; r R r, v, h ; v Q r, v, h ; O h ;,1,,, N 1;,, (8) 1 1 Aquí se llama el error del méodo, y -el orde del méodo y las fucioes R y Q defie u rocedimieo, que ermie exresar los vecores descoocidos r1, v1e el odo 1 a ravés de los vecores coocidos r, ve el odo. -4) Susiuyedo sucesivamee e las relacioes der recurrecia (8),1,,, N 1 se ecuera los valores de los vecores de la osició y de la velocidad e los momeos del iemo corresodiees a odos odos de la malla Las relacioes de recurrecia (8) defie la comlejidad y la recisió del méodo. Geeralmee, más secillos so las relacioes meor es la recisió méodo. Error del méodo es más equeño cuao más alo es el orde del méodo. Por ejemlo, 4 si escogeremos el aso de la malla.1 es 1 (e el cuaro h, eoces el error del méodo de segudo orde digio de decimales), mieras que ara u méodo de cuaro orde 4 el error del méodo es 8 1 (e el ocavo digio de decimales). Para simlificar uesras oacioes e el roceso de derivació de las fórmulas de recurrecia edremos e cuea que las ecuacioes del movimieo de ua arícula (1) uede escribirse e la forma dr, v ; a; a d d m (9) El objeivo de los méodos de diferecias fiias cosise e deermiar los valores de los vecores r1, v1e el momeo del iemo 1 a arir de los valores coocidos de vecores r, ve el momeo del iemo. Para aalizar la r, v ere los odos y 1 uilizaremos la exasió de las fucioes subiegrales e las evolució de los vecores series de Taylor: 1 1 dr 1 d r 1 d r 1 r 1 r 1 r h r h h h O h 1 1! d! d! d d r 1 h h h O 1 h r v a! d 1 1 dv 1 d v 1 d v 1 v1 v 1 v h v h h h O h 1 1! d! d! d 1 da 1 d a 1 v ah h h O h ; a F r, v, m d! d Todos algorimos que se basa e las relacioes de recurrecia (1) se llama méodos de Euler Algorimos de Euler (1)

6 Algorimo de Euler simle (de seguda orde) Resrigimos las exasioes e las series de Taylor (1) hasa los érmios de la rimera orde reseco h r r v h O h 1 ;, v v a h O h v h F r, v m O h 1 Segú (11) el error de rucamieo local, o el error e cada aso de iemo, es del orde h. Al llegar al uo fial de la malla hay que hacer N 1 h asos, durae los cuales el error local se acumula formado el error global sobre el iemo de ierés. Debido a la acumulació de errores de u aso el error global del méodo de Euler simle defiido or las relacioes de recurrecia (11) es de orde Euler h. El algorimo de Euler or eso es u ejemlo de u algorimo de rimer orde. Algorimo de Euler-Cromer El algorimo de Euler simle es asimérico debido a que e las formulas (11) se uiliza la iformació sobre la velocidad y de aceleració solamee al comiezo del iervalo 1. La recisió del algorimo de Euler es limiada y or eso co frecuecia sus solucioes o so esables. Ua osible forma de modificar el algorimo de Euler es uilizar e la rimera fila de las ecuacioes (11) la velocidad e el fial del iervalo ara obeer la ueva osició. Esa modificació del méodo de Euler se llama el algorimo de Euler-Cromer:, ; v v a h O h v h F r, v m O h 1 r r v h O h 1 1 El algorimo de Euler de uo medio Ua maera más simle ara mejorar el algorimo de Euler es uilizar la velocidad media durae el iervalo 1 e la rimera fila de las ecuacioes (11) ara obeer la ueva osició. El algorimo de uo medio corresodiee se uede escribir como h O h h, m O h O h ; v v a v F r, v 1 r r h v v 1 1 El algorimo de uo medio se obiee ua recisió local de ercera orde ara la osició y la recisió de seguda orde ara la velocidad y ua recisió global de segudo orde ara la osició y la recisió de rimer orde ara la velocidad ( demuésrelo!). Auque la aroximació del uo medio da resulados exacos ara la aceleració cosae, o suele roducir resulados mucho mejores que el algorimo de Euler simle. De hecho, ambos algorimos so igualmee obres orque los errores aumea basae ráido co cada aso de iemo. El algorimo de Euler-Richardso de medio aso U algorimo de orde suerior cuyo error esá acoado es el algorimo de medio aso. E ese algorimo, la velocidad media durae u iervalo se oma ara ser la velocidad e el medio del iervalo. El algorimo de media aso se uede escribir como, v v a h O h v h F r, v m O h r r v h O h 1 1 Aóese que el algorimo de media a aso o es de arraque auomáico, es decir, (14) o os ermie iiciar el roceso ieraivo oiedo e la rimera ecuació ara ecorar v1or o saber el valor v 1. Esa dificulad se uede suerar mediae la adoció del algorimo de Euler simle ara hallar el valor v 1 v1 v a h v h F r, v, m (14a) Debido a que el algorimo de medio aso la recisió local mayor orde que los algorimos aeriores, es u algorimo más esable y se ecuera co mayor frecuecia e diferees libros de exo. Ua veaja del algorimo de Euler-Richardso es que las caidades r r 1 y v v1 da e ese algorimo ua esimació del error del méodo y uede uilizarse como las esimacioes ara cambiar el aso de iemo de modo que el error esé siemre dero de u ciero ivel de recisió deseado. Se uede además demosrar que el algorimo de Euler-Richardso es equivalee a la de segudo orde algorimo de Ruge-Kua (que se cosidera a la siguiee secció). El algorimo leafrog (ídola) Uo de los algorimos de orde suerior y libre de errores más comues fue roueso llamado leafrog (ídola) fue rouesa or Verle. Cosideremos dos exasioes e series de Taylor ara dos vecores de osició: 1 h h O h ; 1 h h O h r r v a r r v a Si sumamos esas dos igualdades los érmios de exasió de ordees imares se cacela y se obiee h O h 1 1 h O h r r r a r r r a Similarmee si resamos esas dos igualdades odemos ecorar la exresió ara la velocidad e el odo úmero : r r v h O h v r r h O h Relacioes de recurrecia ara el méodo leafrog fiales so: (11) (1) (1) (14)

7 4 4 h O h h, m O h 1 1 h O h r r r a r r F r, v v r r Aóese que el error global asociado co el algorimo (1a) es de ercer orde ara la osició y de segudo orde ara la velocidad. Si embargo, la velocidad o juega igú ael e la iegració de las ecuacioes de movimieo. Debido a que las ares derechas de las recurrecias (1a) iee dos icógias ese algorimo o ermie u arraque auomáico, oro algorimo debe uilizarse ara obeer los rimeros érmios. U roblema adicioal es que la ueva velocidad e (1a) se ecuera mediae el cálculo de la diferecia ere dos caidades del mismo orde de magiud. Dicha oeració resula e ua érdida de recisió umérica y uede dar lugar a errores or redodeo sigificaivos. Por esa razó, es referible usar oro esquema del algorimo leafrog similar a (1a) que se deduce a arir del mismo y es equivalee a (1a) 1 h h O h 4 4 h O h h,, m O h r r v a v v a a v F r, v F r, v La dificulad co ese úlimo algorimo cosise e que la velocidad v1 e la seguda ecuació era e ua forma imlícia y se ecesia elaborar u méodo esecial ara ecorarla, mieras que el vecor r1 s uede hallar direcamee a arir de la rimera ecuació (1). Ejemlo 1 Ua arícula de masa 1kg se arraca a lo largo de eje X a arir de uo x co la velocidad v m/ s. Suoiedo que sobre arícula acúa la fuerza F 1 x x 1 x v. Ecuérese las relacioes de recurrecia ara el méodo de Euler de ercer orde. Solució Las ecuacioes diámicas corresodiees al roblema Cauchy so: dx dv F r, v, v ; 1 x v; x ; v (E1) d d m Escogeremos la malla h,,1,, sobre la cual se cumle las siguiees relacioes 1 dx 1 d x 1 d x 4 x1 x h x h h h O h 1! d! d! d (E) 1 dv 1 d v 1 d v 4 v1 v h v h h h O h 1! d! d! d Usado las ecuacioes diámicas (E1) uo uede exresar los valores de las derivadas e (E) e los érmios de las fucioes e el odo úmero : dx dv d x x x; v v ; 1 x v ; d d d v v d d x dx d v 1 x v 1x 7v ; d d d d v d v dx d 1 7 1v 7 1 x v 7 4x 1v d d d Susiuyedo las derivadas (E) e (E) se obiee: x1 x vh 1 x v h 1x 7v h O h ; x ;; v 6 (E4) v1 v v 1 x v h 1x 7v h 7 4x 1v h O h 6 Ese ejemlo muesra como e cada caso aricular se uede obeer las relacioes de recurrecia ara os algorimos de Euler de uos órdees sueriores 1.1. Méodos de Ruge-Kua Ua clase de algorimos ara resolver el roblema de Cauchy ara u sisema de las ecuacioes difereciales muy coveiee y amliamee uilizado so los algorimos de Ruge-Kua, que viee e diferees órdees de recisió. A coiuació cosideremos ua versió más simle del algorimo de Ruge_Kua de seguda orde ara dar ua idea como se deduce la ecuació similar de uso geeral del méodo de Ruige-Kua de cuaro orde. r, v ere los odos y 1 cosideremos e lugar de las ecuacioes Para aalizar la evolució de los vecores difereciales (9), las ecuacioes iegrales, que se obiee al iegrar ambas ares de las ecuacioes (9) desde el odo hasa u uo, siuado dero del iervalo 1 h : 1 r r v d ; v a d ; ; a F r, v, m (16) Poiedo e esas ecuacioes 1 h se obiee: (1a) (1b) (E)

8 1 1 ; ;, r r v d v v a d a F r, v m (16a) 1 1 El cálculo aroximado de las iegrales lo realicemos uilizado la exasió de la fució subiegral e serie de Taylor alrededor del uo corresodiee a la miad del iervalo: h O h ; h, m O h r r v v v F r, v (16b) Aquí el error surge del érmio cuadráico e la serie de Taylor, ueso que el érmio lieal al iegrar se aula. Auque a la rimera visa arece lo que ara realizar el aso (16b) ecesiamos saber los valores de las fucioes descoocidos e la miad del iervalo que aarece e las ares derecha, ero eso o es absoluamee ciero. E realidad, ya que el érmio de error es de orde de O h cualquiera aroximació de las fucioes e el uo 1 cuya error es de orde Oh buea. Eso es lo que es exacamee roorcioa or el simle méodo de Euler, la ecuació (14a). 1 1 ) es lo suficieemee r r v h O h ; v v h a O h ; a F r, v, m (16c) Por lo ao, se obiee el siguiee rocedimieo e dos eaas (rimero 16c y desués 16b) que ermie exresar los valores r1, v 1 e érmios r, vy eso es u algorimo de Ruge-Kua de segudo orde. Esquemas de Ruge-Kua de órdees sueriores se uede elaborar de ua maera similar. Co esa fi se uede uilizar ara aroximar las iegrales (16a) diferees fórmulas de cuadrauras que exresa el resulado de iegració mediae ua suma fiia de los valores de las fucioes subiegrales e los uos iermedias.. Por ejemlo, usado la regla de Simso eemos: h r 1 r v 4 v 1 v 1 O h ; 6 h v1 v a 4 a1 a1 O h ; a F r, v, m 6 El siguiee algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde, que se obiee e la base de esas cuadrauras y que requiere ua evaluació de la fució subiegral cuaro veces ara cada aso de iegració y iee u error local de Oh ha sido ecorado exerimealmee como u mejor comromiso ere la recisió y el esfuerzo comuacioal se uede escribir de la siguiee maera: h 1 4 h 1 4 r 1 r v v v v O h ; v1 v a a a a O h ; v v ; a F r, v, m; h m; v v a h : a F r v h, v a h, h m; v v a h : a F r v h, v a h, h m; 4 4 v v a h : a F r v h, v a h, Ejemlo Ua arícula de masa 1kg se arraca a lo largo de eje X a arir de uo x co la velocidad v m/ s. Suoiedo que sobre arícula acúa la fuerza F x x x v ecuérese relacioes de recurrecia ara méodo de Ruge-Kua de 4a orde. Solució Las ecuacioes diámicas corresodiees al roblema Cauchy so: dx dv F x, v v ; a x v; x ; v (E1) d d m h,,1,, x x v v x x h x v v h v Escogeremos la malla Hay que esablecer relacioes ere x 1 y x y v 1 y v h 1 4 h 1 4 x1 x v +v +v +v O h ; v1 v a a a a O h ; ; x ; v ; 1,, v =v ; a = F x,v m x v ; x h h a F x h, a h m v v a h v x v h ; a F x v h, v a h m x v h v x v h v v a h v x v h v v ; v v x v x v h h v x v h v x v h h ; 4 v v a h v x v x v h h v x v h v x v h h h; 4 a F x v h, v a h m x v x v h v x v h h v x v x v h h v x v h v x v h h h ; (17)

9 1. Ejemlo simle: Simulació de la caída libre Ua de las formas e que la ciecia rogresa es haciedo modelos. Si el modelo es lo suficieemee deallado, odemos deermiar su coduca y luego comarar el comoramieo co los exerimeos. Esa comaració uede dar lugar a la verificació del modelo, los cambios e el modelo, y esimular oras simulacioes y exerimeos. E el coexo de la simulació or comuador, or lo geeral eemos que a arir de u cojuo de daos iiciales, deermiar el comoramieo diámico del modelo umérico, y geerar los daos e forma de ablas de úmeros, gráficos y aimacioes. Comezamos co u ejemlo secillo ara ver cómo fucioa ese roceso. Imagíese ua arícula uual de masa m esá sujea a ua sola fuerza, la fuerza de la gravedad. Suoemos que la fricció del aire es desreciable, y la fuerza graviacioal esá dada or F mg (1..1) Aquí g=9,8 N/kg. Para que uesro ejemlo sea máximo osible simle cosideremos sólo el movimieo verical y defiimos la coordeada verical Y defiida como osiiva e la direcció hacia arriba, deoemos como el iemo, F como la fuerza oal sobre la arícula. Segú la seguda ley de Newo: m y F (1..) Si susiuimos (1..1) e (1..) y suoemos que la osició del baló e el momeo iicial es v() y v eso coduce al siguiee roblema de Cauchy: dy d =v: dv d g; y y ; y v y y y la velocidad iicial (1..) Las relacioes (1..1) y (1..) resea u modelo maemáico ara aalizar el movimieo de la arícula. E ese caso, el modelo iee ua la forma de u roblema de Cauchy ara ua ecuació diferecial de segudo orde. Para ese caso aricular el modelo iee la solució aalíica exaca: y y v g ; v v g (1..4) Si embargo, vamos a aalizar el movimieo de ua arícula e caída libre uméricamee mediae méodos comuacioales co el fi de comarar las discreacias de diferees algorimos co la solució exaca que os servirá como ua guía ara escoger u méodo aceable ara aalizar los sisemas ara los cuales la solució aalíica o se cooce. Uo ara escoger u méodo umérico aceable siemre iee que buscar u comromiso ere el coso de cálculo y oleracia (el ivel del error aceable). Por ejemlo, si uo quiere calcular el valor de ua fució usado su exasió e serie de Taylor, eoces iee que buscar u comromiso ere el úmero de érmios que se uiliza ara el cálculo (la oleracia) y el coso (iemo de cálculo). Es claro mayor el úmero de érmios que se iee e cuea, el meor es la oleracia (el error) y el mayor es el coso (iemo del cálculo). Co el fi de alicar diferees méodos uméricos reducimos ecuació (1..) de segudo orde a dos ecuacioes difereciales de rimer orde: y v; v= g; y y ; v v (1..) Para la variable ideediee (el iemo) escogeremos ua malla equidisae h,,1,, y deoemos y y, v v Coordeadas y velocidades y,v se ecuera uo or uo usado las relacioes de recurrecia desde más secillas como e el caso del algorimo de Euler simle hasa más comlicados como e el caso de méodo de Ruge-Kua de cuaro orde 1) Algorimo de Euler simle y y v h; v v g h,,1,, (1..6) 1 1 Poiedo e esas relacioes (el rimer aso de ieració) se obiee y1 y v h; v1 v g h, y comarado esas relacioes exacas co (1..4) se ve que ara ese caso aricular, e el méodo de Euler simle (1..6) la fórmula ara la velocidad coicide co la exaca, eiedo e cuea que h, mieras que la fórmula ara la coordeada iee el error de orde Oh. ) Algorimo de Euler-Cromer Uilizaremos e la rimera de las ecuacioes (1..6) la velocidad e el fial del iervalo ara obeer la ueva osició. Esa modificació del algorimo de Euler llamada Euler-Cromer: iee la forma: v v g h, y y v h;,1,, (1..7) ) El algorimo de Euler de uo medio Ua maera más simle ara mejorar los dos algorimos aeriores es uilizar la velocidad media durae el iervalo 1 e la seguda de las ecuacioes (1..7) ara obeer la ueva osició. El algorimo de uo medio corresodiee se uede escribir como v v g h, y y v +v h ;,1,, (1..8) El algorimo de uo medio se obiee ua recisió local de ercera orde ara la osició y la recisió de seguda orde ara la velocidad y ua recisió global de segudo orde ara la osició y la recisió de rimer orde ara la velocidad ( demuésrelo!). Auque la aroximació del uo medio da resulados exacos ara la aceleració cosae, o suele roducir

10 resulados mucho mejores que el algorimo de Euler simle. De hecho, ambos algorimos so igualmee obres orque los errores aumea basae ráido co cada aso de iemo. 4 El algorimo de Euler-Richardso de medio aso U algorimo de orde suerior cuyo error esá acoado es el algorimo de medio aso. E ese algorimo, e la calidad de la velocidad media durae u iervalo se oma la velocidad e el medio del iervalo. El algorimo de media aso se escribe como v v g h; y y v h;,1,, (1..9) Aóese que el algorimo de medio aso o es de arraque auomáico, es decir, (1..9) o os ermie iiciar el roceso ieraivo oiedo e la rimera ecuació ara ecorar v 1or o saber el valor v 1. Esa dificulad se uede suerar mediae la adoció del algorimo de Euler simle ara hallar el valor v 1: v1 v g h Debido a que e el algorimo de medio aso la recisió local es de mayor orde que e los algorimos aeriores, ese algorimo es más esable y se ecuera co mayor frecuecia e diferees libros de exo. ) El algorimo leafrog (ídola) Uo de los algorimos de orde suerior y libre de errores más comues se llama leafrog (ídola). Cosideremos dos exasioes e series de Taylor ara dos vecores de osició: 1 v ; 1 v y y h g h O h y y h g h O h Sumado ua vez y resado ora desués de uas maiulacioes algebraicas se obiee las relacioes de recurrecia ara el méodo leafrog fiales: ; v 1 1 y y y g h O h y y h O h (1..1) Aóese que el error global asociado co el algorimo (1a) es de ercer orde ara la osició y de segudo orde ara la velocidad. Si embargo, la velocidad o juega igú ael e la iegració de las ecuacioes de movimieo. Debido a que las ares derechas de las recurrecias (1a) iee dos icógias ese algorimo o ermie u arraque auomáico, oro algorimo debe uilizarse ara obeer los rimeros érmios. U roblema adicioal es que la ueva velocidad e (1..1) se ecuera mediae el cálculo de la diferecia ere dos caidades del mismo orde de magiud. Dicha oeració resula e ua érdida de recisió umérica y uede dar lugar a errores or redodeo sigificaivos. Por esa razó, es referible usar oro esquema del algorimo leafrog similar a (1..1) que se deduce a arir del mismo y es equivalee a (1..1) 4 1 v ; v 1 v y y h g h O h g h O h (1..11) 6) El algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde El siguiee algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde, que iee u error local de Oh ara uesro caso aricular se uede escribir de la siguiee maera: h 1 4 h 1 4 y1 y v v v v O h ; v1 v a a a a O h ; v v ; v v v g h v v g h; a a a a g; Problema 1..1 La comaració de algorimos de Euler y Ruge-Kua (1..1) (A) Escriba u rograma que aaliza el roceso de la caída libre e el cual ua arícula se laza hacia arriba desde ua alura iicial y co ua velocidad iicial V, uilizado méodo de Euler simle. E el rograma los arámeros de erada so y, V y el aso de la malla del iemo h. El rograma debe calcular las coordeadas y velocidades y y, V V sobre la malla hasa que y y y resear los resulados e la forma de ua abla de cico columas, e la rimera columa el iemo, e las siguiee dos columas valores calculados y, V, e la cuara y quia los errores del cálculo yexac y y Vexac V, dode valores exacos de la coordeada y de la velocidad se calcula usado las fórmulas (1..4( (B) Para diferees valores de y, V y los asos de la malla del iemo h.1,.,.1,.1deermie el error umérico e la osició y la velocidad fial. Es el algorimo origial de Euler esable ara ese sisema? Qué ocurre si se ejecua or más iemo (cuado y, V se aumea sigificaivamee)? (C) Reia las ares (A, B) uilizado el algorimo de Euler-Cromer, Euler-Richardso, y leafrog. Cuál algorimo fucioa mejor? (D) Modifique los rogramas ara que se calcula la eergía oal, E V / g y y discreacias D E E dode / E V g y es la eergía iicial y coloque los valores E y D e la sesa y séima columas de la abla. Cómo la eergía oal se coserva ara diferees algorimos? Te e cuea ambié la caidad.

11 (E) Exieda el rograma ara que ese ecuere a arir de los daos de la abla los valores y max, alura máxima de la rayecoria y T, el iemo de vuelo hasa llegar a la ierra y comare los resulados del cálculo co las fórmulas exacas. La solució de las ecuacioes diámicas e la base de la seguda Ley de Newo ara ua arícula bajo ua fuerza cosae como ara el caso de la casida libre e las ecuacioes (1.. 4) se cooce e la forma exaca y or eso el aálisis umérico e ese caso resee solamee u ierés resrigido como ua rueba de esabilidad y resriccioes que uede eer corresodiees algorimos. Las ecuacioes diámicas ara la mayoría sisemas de ierés o se uede resolver e la forma aalíica y e esos casos la úica oció es usar los méodos uméricos. A coiuació cosideremos casos cada vez u oco más comlicados, cuado coseguir ua solució aalíica o es muy comlicado o imosible. 1.4 Movimieo de ua arícula e 1D bajo fuerza oecial Cosideremos el movimieo de ua arícula a lo largo de eje y bajo ua fuerza F y que deede solamee del a osició de la arícula. Para ese caso a cada fuerza defiida e la fució de coordeada se uede oer e cocordacia ua eergía oecial defiida como la rimiiva de F y : F y V y V y F y dy (1.4.1a) Por esa razó las fuerzas de ese io e 1D uede cosiderarse como oeciales y ara esas fuerzas se cumle la Ley de coservació de la eergía mecáica: E K V m y V y cos (1.4.1b) El roblema de Cauchy e ese caso ara dos ecuacioes difereciales de rimer orde iee la siguiee forma: y v; v= a y ; y y ; v v (1.4.) Aquí la deedecia de la aceleració de la coordeada esá defiida como: a y F y m (1.4.) Igual como e el árrafo aerior iroduciremos ua malla equidisae del iemo h,,1,, y usaremos deoacioes y y, v v Coordeadas y velocidades y,v se ecuera uo or uo usado las relacioes de recurrecia desde más secillas como e el caso del algorimo de Euler simle hasa más comlicados como e el caso de méodo de Ruge-Kua de cuaro orde 1) Algorimo de Euler simle 1 1 y y v h; v v a y h,,1,, (1.4.4) El error de orde Oh. ) Algorimo de Euler-Cromer Uilizaremos e la rimera de las ecuacioes (1..6) la velocidad e el fial del iervalo ara obeer la ueva osició. Esa modificació del algorimo de Euler llamada Euler-Cromer: iee la forma: v v a y h, y y v h;,1,, (1.4.) El error de orde Oh. ) El algorimo de Euler de uo medio E ese algorimo se uiliza la velocidad media durae el iervalo 1 e la seguda de las ecuacioes (1.4.) ara obeer la ueva osició. El algorimo de uo medio corresodiee es: v v a y h y y v +v h ;,1,, (1.4.6) El algorimo de uo medio se obiee ua recisió local de ercera orde ara la osició y la recisió de seguda orde ara la velocidad y ua recisió global de segudo orde ara la osició y la recisió de rimer orde ara la velocidad. 4) El algorimo de Euler-Richardso de medio aso U algorimo de orde suerior cuyo error esá acoado es el algorimo de medio aso. E ese algorimo, e la calidad de la velocidad media durae u iervalo se oma la velocidad e el medio del iervalo. El algorimo de media aso se escribe como v v a y h; y y v h;,1,, (1.4.7) El algorimo de medio aso o es de arraque auomáico, es decir, (1.4.7) o os ermie iiciar el roceso ieraivo oiedo e la rimera ecuació ara ecorar v 1or o saber el valor v 1. Esa dificulad se uede suerar mediae la adoció v : del algorimo de Euler simle ara hallar el valor 1 v1 v a y h Debido a que e el algorimo de medio aso la recisió local es de mayor orde que e los algorimos aeriores, ese algorimo

12 es más esable y se ecuera co mayor frecuecia e diferees libros de exo. ) El algorimo leafrog (ídola) Uo de los algorimos de orde suerior y libre de errores más comues se llama leafrog (ídola). Cosideremos dos exasioes e series de Taylor ara dos vecores de osició: y y v h a y h O h ; y y v h a y h O h 1 1 Sumado ua vez y resado ora desués de uas maiulacioes algebraicas se obiee las relacioes de recurrecia ara el méodo leafrog fiales: 4 y y y a y h O h ; v y y h O h (1.4.8a) El error global asociado co el algorimo (1.4.8a) es de ercer orde ara la osició y de segudo orde ara la velocidad. Si embargo, la velocidad o juega igú ael e la iegració de las ecuacioes de movimieo. Debido a que las ares derechas de las recurrecias (1.4.8a) iee dos icógias ese algorimo o ermie u arraque auomáico, y oro algorimo debe uilizarse ara obeer los rimeros érmios. U roblema adicioal es que la ueva velocidad e (1.4.8a) se ecuera mediae el cálculo de la diferecia ere dos caidades del mismo orde de magiud. Dicha oeració resula e ua érdida de recisió umérica y uede dar lugar a errores or redodeo sigificaivos. Por esa razó, es referible usar oro esquema del algorimo leafrog similar a (1..1) que se deduce a arir del mismo y es equivalee a (1.4.8a) 4 y1 y v h a y h O h ; v1 v a y a y1 h O h (1.4.8b) 6) El algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde El siguiee algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde, que iee u error local de Oh ara uesro caso aricular se uede escribir de la siguiee maera: h 1 4 h 1 4 y1 y v v v v O h ; v1 v a a a a O h ; v v ; a a y ; 1 1 v v a h ; a a y v h v v a h ; a a y v h 4 4 v v a h; a a y +v h A) Fuerza graviacioal (1.4.9) El aálisis del roceso de caída libre reseado e el árrafo aerior es válido solo ara el caso cuado el movimieo de la arícula sucede cerca de la Tierra, es decir la alura y es mucho 6 meor del radio de la Tierra R R 64km m. Si embargo, o es difícil exeder el aálisis umérico ara aluras grades a esar de que solucioes aalíicas simles ara ese caso o se cosigue. Segú la Ley de Newo de graviació la fuerza aracció ere ua arícula de masa m y la Tierra cuya masa deoemos como M es igual a: G M m G M m g F y m g R y R 1 y R 1 y R (1.4.1a) E el caso cuado la disacia hasa la Tierra es mucho meor que el radio de la misma se uede uilizar la siguiee aroximació que resula desde la exasió de la exresió (1.4.1) e la serie de Taylor ( demuésrelo!) G M Fg y m 1 y R m g 1 y R, si y R (1.4.1b) R.11 G M Aquí G m kg s es la cosae graviacioal y g 9.8 m / s es la aceleració graviacioal de caída R libre. Las exresioes (1.4.1) defie ua fuerza que deede de la osició de la arícula y se ve esa deedecia se hace desreciable cuado y R. A la fuerza graviacioal (1.4.1) le corresode la eergía oecial (la rimiiva de esa fució) G M m G M m m g R m g y V y m g R m g y y R y R (1.4.11a) R y R 1 y R 1 y R Para ese sisema la Ley de coservació de la eergía mecáica (1.4.1b) se uede uilizar e el cálculo e la siguiee forma:

13 y g y E m cos 1 yr (1.4.11b) Para alicar los algorimos 1)-6) e ese caso hay que eer e cuea que la deedecia de la aceleració de la osició de la a y F y m segú las fórmulas (1.4.1) es: arícula g a y g 1 y R 1 yr B) Resore aarmóico g (1.4.1) Oro ejemlo de sisemas diámicos co las Fuerzas Poeciales so sisemas oscilaorios. Por ejemlo, e el caso más simle de ua masa coecada a u resore co el coeficiee de elasicidad k, la fuerza resauradora (u oco más allá de la Ley de Hook) deede del deslazamieo dela masa desde osició de equilibrio y como: F y m y y (1.4.1a) Aquí el rimer érmio ese llama armóico y se debe a las fuerzas de elasicidad y el segudo, aarmóico, se debe a lasicidad de la resore. El arámero llamaremos el coeficiee de lasicidad. Para las oscilacioes equeños (armóicas) aore de ese érmio es desreciable y se uede e las fórmulas oer. A la fuerza (1.41a) le corresode la eergía oecial: 1 V y F y dy m y y (1.4.1b) Para ese sisema la Ley de coservació de la eergía mecáica (1.4.1b) se uede uilizar e el cálculo e la siguiee forma: y E m y 1 y cos (1.4.1c) Para alicar los algorimos 1)-6) e ese caso hay que usar ara la deedecia de la aceleració a del deslazamieo y desde la a y F y m la siguiee exresió: osició del equilibrio del bloque 6 g a y y m y (1.4.14) Para el caso de las oscilacioes equeñas (armóicas) e la exresió (1.4.14) hay que oer C) Pédulo maemáico : desde las oscilacioes hacia la roació El édulo simle (ambié llamado édulo maemáico o édulo ideal) es u sisema idealizado cosiuido or ua arícula de masa m que esá susedida de u uo fijo mediae u hilo de la logiud L iexesible y si eso. Nauralmee es imosible la realizació rácica de u édulo simle, ero si es accesible a la eoría. Para deermiar la auraleza de las oscilacioes deberemos escribir la ecuació del movimieo de la arícula. La arícula se mueve sobre u arco de circuferecia bajo la acció de dos fuerzas: su roio eso (mg) y la esió del hilo (N), siedo la fuerza moriz la comoee agecial del eso. Alicado la seguda ley de Newo obeemos: F m g si y m a (1.4.1a) siedo y el águlo de la roació, a la aceleració agecial y dode hemos icluido el sigo egaivo ara maifesar que la fuerza agecial iee siemre seido oueso al deslazamieo (fuerza recueradora). Al raarse de u movimieo circular, odemos relacioar la velocidad de roació v co la velocidad agular y y la aceleració agecial a dv d co la aceleració agular y : v L y; a L y (1.4.1b) A la fuerza (1.41a) le corresode la eergía oecial: V y F y dy m g cos y (1.4.1c) Para ese sisema la Ley de coservació de la eergía mecáica (1.4.1b) se uede uilizar e el cálculo e la siguiee forma: y E m g cos y cos (1.4.1d) Combiado ahora las relacioes (1.4.1a) y (1.4.1b) se uede formular el roblema de Cauchy ara dos icógias, el águlo y de la roació y la velocidad de roació v dy d v/ L; dv d = a y g si y; y y ; v v (1.4.16) Problema El movimieo 1D de ua arícula e el camo graviacioal

14 (A) Escriba u rograma que aaliza el roceso del movimieo libre e el cual u cohee se laza hacia arriba e la 6 direcció verical desde la suerficie de la Tierra ( y R 64km m ) co ua velocidad iicial V, uilizado méodo de Euler simle segú las fórmulas (1.4.4) y (1.4.1). E el rograma los arámeros de erada so y, V y el aso de la malla del iemo h y y, v v sobre la malla hasa que y y. El rograma debe calcular las coordeadas y velocidades y resear los resulados e la forma de ua abla de cico columas, e la rimera columa el iemo, e las siguiee dos columas valores calculados y, V, e la cuara y quia loa eergía ormalizada / E E m que caraceriza los errores del cálculo E m segú la fórmula (1.4.11b) y la discreacia (B) Para diferees valores de y, V y los asos de la malla del iemo h.1,.,.1,.1aalícese el error umérico e la osició y la velocidad fial. Es el algorimo origial de Euler esable ara ese sisema? Qué ocurre si se ejecua or más iemo (cuado y, V se aumea sigificaivamee)? (C) Reia las ares (A, B) uilizado el algorimo de Euler-Cromer, Euler-Richardso, y leafrog. Cuál algorimo fucioa mejor? (D) Realícese las simulacioes uméricas ara esimar la velocidad de escae y comárese los resulados de cálculo co la velocidad de escae exaca vescae g R 11. km / s ( demuésrelo1) Problema 1.4. El movimieo de ua masa coecada co u resore aarmóico (A) Escriba u rograma que aaliza el roceso del movimieo de ua masa coecada co u resore aarmóico co u deslazamieo iicial desde la osició de equilibrio y ) co ua velocidad iicial V, uilizado méodo de Euler simle segú las fórmulas (1.4.4) y (1.4.14). E el rograma los arámeros de erada so y, V, la frecuecia roia, el coeficiee de lasicidad, el úmero de los asos, N so y el aso de la malla del iemo h. El rograma debe calcular las coordeadas y velocidades y y, v v / sobre la malla hasa que Nso y resear los resulados e la forma de ua abla de cico columas, e la rimera columa el iemo, e las siguiee dos columas valores calculados y, V, e la cuara y quia loa eergía ormalizada E / m segú la fórmula (1.4.1c) y la discreacia E E m que caraceriza los errores del cálculo / (B) Para diferees valores de y, v,, y los asos de la malla del iemo h.1,.,.1,.1aalícese el error umérico e la osició y la velocidad fial. Es el algorimo origial de Euler esable ara ese sisema? Qué ocurre si se ejecua or más iemo? (C) Reia las ares (A, B) uilizado el algorimo de Euler-Cromer, Euler-Richardso, y leafrog. Cuál algorimo fucioa mejor? (D) Realícese las simulacioes uméricas ara el aalizar el efeco de lasicidad sobre la amliud y el eriodo de oscilacioes Problema 1.4. Pédulo maemáico: desde las oscilacioes hacia la roació (A) Escriba u rograma que aaliza el roceso del movimieo del édulo maemáico co diferees codicioes iiciales, el águlo iicial y y la velocidad iicial v, uilizado méodo de Euler simle segú las fórmulas (1.4.4) y (1.4.16). E el rograma los arámeros de erada so y, v, logiud L, el iemo fial T L g ( exlíquelo, orque!) y el aso de la malla del iemo h. El rograma debe calcular las coordeadas y velocidades y y, v v sobre la malla hasa que Tfial y resear los resulados e la forma de ua abla de cico columas, e la rimera columa el iemo, e las siguiee dos columas valores calculados y, V, e la cuara y quia loa eergía ormalizada / E E m que caraceriza los fial E m segú la fórmula (1.4.1b) y la discreacia errores del cálculo (B) Aalícese el error umérico e la osició y la velocidad fial ara diferees valores de y, V y los asos de la malla del iemo h T T.1,.,.1,.1. Es el algorimo origial de Euler esable ara ese sisema? fial fial Qué ocurre si se ejecua or más iemo (C) Reia las ares (A, B) uilizado el algorimo de Euler-Cromer, Euler-Richardso, y leafrog. Cuál algorimo fucioa mejor? (D) Realícese las simulacioes uméricas ara aalizar como u aumeo de los arámeros de erada y, v roduce la rasformació del movimieo oscilaorio e u roaorio. Co ese fi, resee los resulados de cálculos ara diferees valores de arámeros de erada y, v, las curvas de Poicaré cosiderado las velocidades y y. Aalícese, como u cojuo de las curvas de v v como fucioes de coordeadas (águlos) Poicaré cerradas ara equeños valores de arámeros de erada y, v se rasforma e oro cojuo de curvas abieras a medida que crezca esos valores y dos cojuos esá searadas or ua curva esecial llamada la curva searariz. Ecuérese la fórmula ara esa curva. /

15 1. Efecos de resisecia A coiuació, discuimos los modelos más realisas que se uede simular mediae la exesió v de las clases de fuerzas que acúe sobre arículas. Por ejemlo, ara arículas cerca de la suerficie de la Tierra, ua modificació más imorae es icluir la fuerza de adicioal la arícula. Para u cuero que cae, sobre al del cuero que cae se uede exresar como v F r geerada or la resisecia del aire. La direcció de esa fuerza F r es ouesa a la velocidad de Fr es hacia arriba y hacia abajo cuado el cuero sube. Por lo ao, la fuerza F resulae F m g F r (1..1) La fuerza Fr aquí iee u sigo oueso a la velocidad, es decir deedecia de la velocidad de Fr v Geeralmee, ara deermiar la deedecia velocidad de Ua maera de obeer la forma de umérica de la coordeada r F v si v r y viceversa F v si v. La se cooce eóricamee e el límie de velocidades muy bajas ara objeos equeños. v F r v ) emíricamee ara cada iervalo limiado de velocidades. F es medir y como ua fució del iemo y luego calcular v () mediae la derivació y. Del mismo modo, odemos uilizar v () ara calcular la aceleració r a uméricamee. A arir de esa iformació, es osible, e riciio, ecorar la aceleració como ua fució de v y ara exraer r v F m a m g a arir de (1..1). Si embargo, ese rocedimieo iroduce errores grades ya que la recisió de las derivadas calculadas uméricamee será meor que la recisió de las medicioes. Ua aleraiva es iverir el rocedimieo, es decir, asumir ua forma exlícia de la deedecia de F v y uilizarlo ara ecorar y r resolviedo el roblema de Cauchy ara corresodiee ecuació diferecial. Si los valores calculados de y so cosisees co los valores exerimeales de y eoces la suuesa deedecia de v comues de la deedecia de la velocidad de r v F so: F se jusifica emíricamee. Las dos formas asumidas F v m v ; 1, (1..) r Aquí los arámeros 1, deede de las roiedades del medio y la forma del objeo. E geeral, (1..) es ua exresió feomeológica úil, que roduce resulados aroximados de r r v F e u rago limiado de v. Cosideremos el caso de la caída libre de u cuero desde ua alura iicial y hacia la Tierra y, v, ara el cual la II Ley de Newo iee la forma: m dv d m g m v ; 1,, v (1..) Debido a que al iicio de la caída el rimer érmio e la are derecha de la ecuació es domiae la aceleració es egaiva y la velocidad hacia la Tierra se icremea. Pero, or oro lado la resisecia Fr v e el segudo érmio se aumea a medida que v crezca y llega ser igual a fuerza graviacioal cuado la velocidad se deja de crecer y el movimieo acelerado se rasforma e u movimieo uiforme co la velocidad fial. Esa velocidad fial se uede ecorar a arir de g 1 v ; 1, (1..4) f Por lo ao, combiado las ecuacioes (1..) y (1..4) odemos ecorar la siguiee relació ere la aceleració y velocidad ara caída libre de u cuero eiedo e cuea a resisecia de aire: a v dv d g 1 v v ; 1,, v (1..) f

16 Para deermiar si los efecos de la resisecia del aire so imoraes durae la caída de objeos ordiarios, cosideremos como u ejemlo la caída de ua iedra redoda de masa m 1g. Ua buea aroximació ara ese caso es la fuerza de resisecia roorcioal a v. Para ua iedra esférica de radio,1 m, se ecoró emíricamee que valor del coeficiee aroximadamee es 1 m 1. A arir de (1..4) ecoramos ua esimació de la velocidad fial alrededor de m/s. Sabiedo esa velocidad se cosigue mediae aálisis umérico ara la caída libre de u cuero desde uos meros u iemo de aroximadamee s. Esos valores se uede uilizar ara ua esimació de los efecos de la resisecia del aire que sería areciables ara los iemos y las disacias comarables. E la secció aerior hemos reseado los algorimos ara resolver el roblema de Cauchy e 1D e el caso cuado la fuerza exera es oecial, es decir deede solamee de la osició de la arícula. Esos algorimos o os sirve e la resecia de las fuerzas de resisecia, las cuales la fuerza deede ambié de la velocidad. Por esa razó, a coiuació exederemos esos algorimos ara el caso cuado la aceleració ( y la fuerza exera) deede de ambas variables, de la coordeada y de la velocidad. El roblema de Cauchy e ese caso ara dos ecuacioes difereciales de rimer orde iee la siguiee forma: y v; v= a y, v ; y y ; v v (1..6) Igual como e el árrafo aerior iroduciremos ua malla equidisae del iemo h,,1,, y usaremos deoacioes y y, v v Coordeadas y velocidades y,v se ecuera uo or uo usado las relacioes de recurrecia desde más secillas como e el caso del algorimo de Euler simle hasa más comlicados como e el caso de méodo de Ruge-Kua de cuaro orde 7) Algorimo de Euler simle 1 1 y y v h; v v a y h,,1,, (1..7) El error de orde Oh. 8) Algorimo de Euler-Cromer Uilizaremos e la rimera de las ecuacioes (1..7) la velocidad e el fial del iervalo ara obeer la ueva osició. Esa modificació del algorimo de Euler llamada Euler-Cromer: iee la forma: v v a y, v h, y y v h;,1,, (1..8) El error de orde Oh. 9) El algorimo de Euler de uo medio E ese algorimo se uiliza la velocidad media durae el iervalo 1 e la seguda de las ecuacioes (1..8) ara obeer la ueva osició. El algorimo de uo medio corresodiee es: v v a y, v h y y v +v h ;,1,, (1..9) El algorimo de uo medio se obiee ua recisió local de ercera orde ara la osició y la recisió de seguda orde ara la velocidad y ua recisió global de segudo orde ara la osició y la recisió de rimer orde ara la velocidad. 1) El algorimo de Euler-Richardso de medio aso U algorimo de orde suerior cuyo error esá acoado es el algorimo de medio aso. E ese algorimo, e la calidad de la velocidad media durae u iervalo se oma la velocidad e el medio del iervalo. El algorimo de media aso se escribe como v v a y, v h; y y v h;,1,, (1..1)

17 El algorimo de medio aso o es de arraque auomáico, es decir, (1..1) o os ermie iiciar el roceso ieraivo oiedo e la rimera ecuació ara ecorar v 1or o saber el valor v 1. Esa dificulad se uede suerar mediae la adoció del algorimo de Euler simle ara hallar el valor 1 v : a y v v h 1 Debido a que e el algorimo de medio aso la recisió local es de mayor orde que e los algorimos aeriores, ese algorimo es más esable y se ecuera co mayor frecuecia e diferees libros de exo. 11) El algorimo leafrog (ídola) Uo de los algorimos de orde suerior y libre de errores más comues se llama leafrog (ídola). Cosideremos dos exasioes e series de Taylor ara dos vecores de osició: y y v h a y, v h O h ; y y v h a y, v h O h 1 1 Sumado ua vez y resado ora desués de uas maiulacioes algebraicas se obiee las relacioes de recurrecia ara el méodo leafrog fiales: 4 y y y a y, v h O h ; v y y h O h (1..11a) El error global asociado co el algorimo (1..11a) es de ercer orde ara la osició y de segudo orde ara la velocidad. Si embargo, la velocidad o juega igú ael e la iegració de las ecuacioes de movimieo. Debido a que las ares derechas de las recurrecias (1..11a) iee dos icógias ese algorimo o ermie u arraque auomáico, y oro algorimo debe uilizarse ara obeer los rimeros érmios. U roblema adicioal es que la ueva velocidad e ((1..11a) se ecuera mediae el cálculo de la diferecia ere dos caidades del mismo orde de magiud. Dicha oeració resula e ua érdida de recisió umérica y uede dar lugar a errores or redodeo sigificaivos. Por esa razó, es referible usar oro esquema del algorimo leafrog similar a (1..11a) que se deduce a arir del mismo y es equivalee a (1..11a) 4 y1 y v h a y, v h O h ; v1 v a y, v a y1, v1 h O h (1..11b) 1) El algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde El siguiee algorimo de Ruge-Kua de cuaro orde, que iee u error local de Oh ara uesro caso aricular se uede escribir de la siguiee maera: h 1 4 h 1 4 y1 y v v v v O h ; v1 v a a a a O h ; v v ; a a y, v ; v v a h ; a a y v h, v a h v v a h ; a a y v h, v a h 4 4 v v a h; a a y +v h, v a h (1..1) Problema 1..1 Efeco de la resisecia del aire sobre el asceso y desceso de ua iedra redoda (A) Escriba u rograma que aaliza el roceso de caída libre de ua iedra desde el reoso a ua alura y, uilizado méodo de Euler simle segú las fórmulas (1..7). E el rograma los arámeros de erada so y, el úmero del modelo de resisecia e la fórmula (1..) y el aso de la malla del iemo h coordeadas y velocidades y y, v v. El rograma debe calcular las sobre la malla hasa que y y resear los resulados e la forma de ua abla de res columas, e la rimera columa el iemo, e las siguiee dos columas valores calculados y,v. Calcúlese el iemo y la velocidad a la que la iedra llega al suelo si se deja caer desde el reoso a

18 ua alura de m. Comárese el iemo y la velocidad co la de la iedra que cae libremee si resisecia bajo las mismas codicioes libre y g vlibre g y. Suoga que la fuerza de resisecia es roorcioal a v y que la velocidad fial es de m/s. (B) Aalícese los cambios que sufre los resulados del cálculo relacioados co el error umérico e la osició y la velocidad fial ara diferees valores de y y los asos de la malla del iemo.1,.,.1,.1( s). Es el algorimo origial de Euler esable ara ese sisema? Qué ocurre si se ejecua or más iemo (C) Reia las ares (A, B) uilizado el algorimo de Euler-Cromer, Euler-Richardso, y leafrog. Cuál algorimo fucioa mejor? (D).Suogamos que ua iedra es lazada vericalmee hacia arriba co ua velocidad iicial v. E la ausecia de la resisecia del aire, sabemos que la alura máxima alcazada or la iedra es v g, su velocidad a su regreso a la v a la Tierra es igual, el iemo de asceso es igual al iemo de desceso, y el iemo oal e el aire es v g. Aes de hacer ua simulació, resee ua esimació simle cualiaiva de cómo cree que esas caidades se verá afecados or la resisecia del aire. E aricular, cuál será el cambio del iemo de asceso comarado co el iemo de desceso? (E) Realícese ua simulació ara deermiar si sus resuesas cualiaivas e la are aerior so correcas. Comárese los resulados de simulació ara dos modelos de resisecia diferees, ara 1 y omado e ambos casos la velocidad fial e (1..) v m/ s 1.6 Trayecorias bidimesioales f Al asar del roblema del movimieo e 1D al roblema similar e el esacio D uo uede eserar que comlejidad umérica debe crecer sigificaivamee or la dulicació del úmero de las ecuacioes difereciales. Pero eso o es ciero ara odos modelos. Por ejemlo, los roblemas de la rayecoria de dos dimesioes e la ausecia de la resisecia de aire, como se sabe e los cursos de mecáica iee uas solucioes aalíicas. Si se laza ua eloa e el aire co ua velocidad iicial v co u águlo de co reseco al horizoe uo uede deducir las fórmulas ara resoder a reguas cuál es la forma de la rayecoria?, cuál es el recorrido de la eloa e la direcció horizoal?, cuál es su alura máxima y el iemo de vuelo? Si ua eloa se laza e las mismas codicioes desde ua alura h or ecima del suelo disio de cero. Cuál es el águlo ara el recorrido máximo? Pero si se oma e cuea la resisecia del aire esas resuesas deja de ser alicables y resuesas a esas y oras reguas similares se uede coseguir solamee mediae simulacioes uméricas. Cosideremos ua arícula de masa m, cuya velocidad iicial v cuya direcció forma u águlo co el horizoe (véase la figura). Sobre la arícula acúa dos fuerzas, graviacioales mg e la direcció verical hacia la Tierra y de resisecia velocidad v (véase la figura). F r e la direcció ouesa al vecor de la La seguda Ley de Newo ara dos comoees de la velocidad e ese caso se uede resear de la siguiee forma: m dv d F cos ; m dv d mg F si (1.6.1) x r y r Aquí es el águlo que forma el vecor de la velocidad co el horizoe que relacioe los comoees del vecor de la velocidad co su valor absolua cos v / v, si v / v. Teiedo e cuea esas relacioes y susiuyedo e las x y ecuacioes (1.6.1) la exresió aalíica (1..) y (1..4) se obiee la siguiee forma exlícia ara la seguda ley de Newo ara ese caso ( demuésrelo!)