Naturaleza de un Campo Conceptual del Cálculo Infinitesimal: Una Visión Epistemológica

Transcripción

1 Nauraleza de u Campo Cocepual del Cálculo Ifiiesimal: Ua Visió Episemológica Germá Muñoz Cero Ivesigació e Maemáica Educaiva-Uiversidad Auóoma de Chiapas México germa@cimaeuach.org Episemología, Pesamieo maemáico Avazado Nivel Superior Resume A parir de ua problemáica propia de la eseñaza e la que esá imersos los esudiaes de Cálculo iegral, que cosise e la separació ere lo cocepual y lo algorímico (C y A), cosruimos u campo cocepual del Cálculo ifiiesimal que implica la relació ere lo C y A co base e el marco episémico de Newo. Evideciamos supuesos episemológicos del campo cocepual cosruido que jusifica la auraleza del cojuo de siuacioes problema de base cosiderado las cosmovisioes y las prácicas sociales que permiiero el surgimieo del Cálculo ifiiesimal e el siglo XVII. Dicha auraleza esá cerada e relacioes fucioales ere variables y sus variacioes y la oció de predicció e ao prácica social e sus formas de úmero-esado fuuro o fució-esado fuuro. Iroducció Esa ivesigació surgió a parir de ua problemáica propia de la eseñaza e la que esá imersos los esudiaes de Cálculo iegral que cosise e la separació ere lo cocepual y lo algorímico (C y A). E la géesis hisórica ecoramos ua evidecia de la imposibilidad de la separació ere lo C y A e el coexo del marco episémico de Newo (Caoral, 199; Piage & García, 1994). De maera que cosruimos u campo cocepual del Cálculo (Muñoz, 2), es decir, u cojuo de siuacioes que le da seido al Cálculo iegral y que implica la relació ere lo C y A co base e el marco episémico de Newo y e la perspeciva de la iegral vía la oció de acumulació (Cordero, 1994) así como e el referee de la eoría de campos cocepuales (Vergaud, 199). Nuesros resulados pricipales cosise e evideciar supuesos episemológicos del campo cocepual cosruido que jusifica la auraleza del cojuo de siuacioes problema de base. Dicha auraleza esá cerada e relacioes fucioales ere variables y sus variacioes y e la cosrucció de sisemas de rasformació que permie pasar de los esados iiciales (presee) de las variables de los feómeos de variació a los esados fiales (fuuro) e sus formas de úmero-esado o fució-esado e dode es iheree la oció de predicció e ao prácica social. Nuesra visió episemológica del campo cocepual previamee cosruido cosidera la cosmovisió y las prácicas sociales que permiiero el surgimieo del Cálculo ifiiesimal e u coexo socioculural específico del siglo XVII, que e el marco de la mecáica clásica origió lo que acualmee se le deomia la ciecia modera. Co base e lo aerior u aspeco imporae a resalar fue que uvimos ecesidad de reformular la visió de la eoría de los campos cocepuales. Nuesra visió aleraiva se ubica dero de los esfuerzos para desarrollar ua aproximació socioepisemológica e Maemáica Educaiva. 589

2 Aca Laioamericaa de Maemáica Educaiva Vol.18 Géesis hisórica de la relació ere lo cocepual y lo algorímico Al aeder la problemáica plaeada al pricipio, ideificamos eóricamee u aspeco que iee e comú lo cocepual y lo algorímico, el cual se refiere a que exise siuacioes problema (e ao objeo de coocimieo) a parir de las cuales se forma ocioes y procedimieos, e esrecha relació, asociados al Cálculo iegral. Ese aspeco e comú es ua codició ecesaria para propiciar la relació ere lo cocepual y lo algorímico, auque o suficiee para los fies de la Maemáica Educaiva. La ideificació de la codició aerior os permiió mirar ora perspeciva, e lugar de cerar la aeció e dos objeos de coocimieo (la defiició por ua pare y el procedimieo preesablecido por la ora) y eseguida buscar codicioes de relació ere los dos objeos. Nuesras ivesigacioes os ha coducido a buscar las relacioes a parir de precisar, e lo más posible, las caracerísicas del objeo de coocimieo comú a lo cocepual y a lo algorímico (Muñoz, 1999). El objeo de coocimieo comú lo caracerizamos omado e cuea los cambios de marco episémico (Piage y García, 1994) y eiedo como referecia las ivesigacioes de Caoral (199) y Cordero (1994), además por la auraleza de la problemáica os auxiliamos de la eoría de los campos cocepuales (Vergaud, 199); lo cual os permiió realizar el aálisis y la clasificació de las diversas siuacioes problema que le da seido al Cálculo iegral. Así que la pregua obligada es cuál es ese ipo de problemas?. E resume, las caracerísicas del objeo de coocimieo comú a lo Cocepual y a lo Algorímico las precisamos, e lo más posible, a ravés de precisar el ipo de problemas cuya solució exige de ua iegració; después aalizamos y clasificamos las diferees siuacioes que se deriva de ese ipo de problemas. Para ideificar el ipo de problemas cuya solució exige de ua iegració, revisamos brevemee el desarrollo hisórico del Cálculo. La perspeciva hisórica cosiderada, oma e cuea los cambios de marco episémico 1, es decir, la reformulació de preguas cruciales a ravés de las cuales el Cálculo iegral se ha desarrollado. Aes del siglo XVII ao Arquímedes como Arisóeles fuero alguos de los que más ifluyero e la época. Señalamos sólo alguos hechos relacioados co los elemeos del Cálculo iegral. Cuado Arisóeles esudió el movimieo de los cuerpos el marco episémico cosiderado fue: Cuales so las causas reales del movimieo? (Piage y García, 1994) pregua que uvo seido e ua cosmovisió dode el esado aural de las cosas era el reposo (e época paralela e la civilizació Chia había ua cosmovisió dode el esado aural de las cosas era el movimieo y por ede eía seido la pregua: Cuáles so las causas reales del reposo?). Dicho marco Griego origió descripcioes cualiaivas del movimieo (feómeo de variació); por ejemplo, omemos el caso de la piedra que cae libremee o por u plao icliado. Arisóeles, y sus seguidores medievales, se preguaba acerca de la auraleza del cuerpo que cae y de la forma e que se modifica sus aribuos durae la caída. Dero de ese marco, Arisóeles o geeró procedimieos para cuaificar el movimieo, simplemee porque o era pare de su marco episémico. E los siglos XVII y XVIII se sigue esudiado los mismos 1...e cada momeo hisórico y e cada sociedad, predomia u ciero marco episémico, produco de paradigmas sociales y episémicos. Ua vez cosiuido u ciero marco episémico, resula idiscerible la coribució que proviee de la compoee social o de la compoee iríseca al sisema cogosciivo. Así cosiuido, el marco episémico pasa a acuar como ua ideología que codicioa el desarrollo ulerior de la ciecia. Dicha ideología fucioa como obsáculo episemológico que o permie desarrollo alguo fuera del marco cocepual acepado. Sólo e los momeos de crisis, de revolucioes cieíficas, hay ua rupura de la ideología cieífica domiae y se pasa a u esadio diferee co u uevo marco episémico... (Piage & García, 1994, p. 234) 59

3 Nauraleza de u Campo Cocepual del Cálculo Ifiiesimal: Ua Visió Episemológica feómeos de variació (curvas geoméricas, movimieo de cuerpos), pero co oros marcos. Así, Galileo esudió el movimieo de los cuerpos, y su marco episémico fue: Qué relacioes se esablece ere disacias y iempos de caída de los cuerpos? (Piage y García, 1994) pregua que uvo seido e ua cosmovisió e dode el esado aural de las cosas era el reposo y el movimieo y por ede el pricipio de iercia fue cosruido. E dicho marco Galileo elimia las preguas sobre causas reales que hacía referecia a cualidades (aribuos) e iroduce medicioes. Pero medir es comparar para esablecer relacioes ere disacias y iempos. El pasaje de aribuos a relacioes implica ua ideificació de parámeros y su cosiguiee cuaificació. Pero o sólo se raa de medicioes, sio que Galileo iroduce el cocepo de relació fucioal ere las variables, que caraceriza el esado de movimieo de u cuerpo e momeos diferees de su rayecoria; eso supoe la iroducció del iempo como variable idepediee. Ahora aalicemos el marco episémico de Newo cuado esudiaba el movimieo de los cuerpos; ese marco era: Cómo se calcula la evolució ulerior del sisema de movimieo, si so coocidos los valores de los parámeros e u momeo dado y e lugar dado (es decir, las llamadas codicioes iiciales)? (Piage y García, 1994) pregua que uvo seido e ua cosmovisió e dode el esado aural de las cosas era el reposo y el movimieo. Así, el objeo fue calcular la evolució poserior del sisema de movimieo si plaearse oras preguas sobre las causas reales de él. Pero la evolució misma es calculada sobre la base de u sisema de rasformacioes que permie pasar de los valores de las variables, e el esado iicial, a los valores que adquiere e cualquier oro isae. Esa rasició de causas úlimas a sisemas de rasformació fue u paso decisivo e la hisoria de la mecáica, uo de los pilares más sólidos de la revolució del siglo XVII, y sigificó ua modificació profuda e la idea de la relació ere la maemáica y el mudo de los feómeos físicos (Piage y García, 1994). Es decir, el hecho de que la pregua sea calcular la evolució poserior implica cuaificar esados poseriores de ciera variable, e fució de ora, a parir de las codicioes iiciales para predecir parcialmee la evolució de u feómeo de variació o cambio. La uió a frucífera ere la maemáica y la física propias del siglo XVII y pare del XVIII, sufrió ua rupura a parir del problema de la cuerda vibrae cuya solució uvo cosecuecias sobre el cocepo de fució. E el siglo XVIII Leoard Euler ( ), abadoó el esudio de curvas geoméricas y fudó la ciecia de los ifiiésimos, sobre ua eoría formal de fucioes. De algua maera, eso sigificó la rupura ere u Cálculo de variables (físicas o geoméricas), como iicialmee empezó, y u Cálculo de fucioes uméricas. al rupura posibilia u uevo marco episémico que fue delieado e la obra de Fourier: Qué sigificado iee la f(x) dx, dode f(x) es ua sucesió arbiraria de ordeadas?. E ese marco Cauchy ( ) iició la cosrucció de ua eoría de iegració y escribió la defiició de fució coiua (Cordero, 1994). Luego cosruye su eoría de iegració para b fucioes coiuas. Ua implicació de su defiició es que f xdx iee u valor a deermiado para cualquier fució arbiraria coiua; si embargo, su defiició se exiede al caso de ua fució acoada, co u úmero fiio de puos de discoiuidad e u iervalo, y para cieras fucioes co u úmero ifiio de puos de discoiuidad. Por ora pare, el marco episémico de Riema ( ) cosise e lo siguiee: Qué se b eiede por a f xdx, dode f(x) es ua sucesió arbiraria de ordeadas y además desamee discoiua? y e qué casos es ua fució iegrable o o lo es?. Como resulado de ese marco episémico, se reflexioa sobre el sigificado del objeo iegral per se y o sobre los usos que el proceso de iegrar proporcioaba. Si duda, e ese periodo se raa ya de u cálculo de fucioes uméricas, es decir, el objeo de esudio ya o so las caidades 591

4 Aca Laioamericaa de Maemáica Educaiva Vol.18 variables sio las fucioes visas como ua sucesió arbiraria de ordeadas (Cordero, 1994; Caoral, 199). Así, e el periodo que abarca pare del siglo XVIII y el siglo XIX los marcos episémicos ya o se refiere a los feómeos de variació o cambio como e los periodos aeriores, lo cual geeró el iicio de los procesos de fudameació del Cálculo y la emergecia del Aálisis Maemáico. Hacia u campo de prácicas sociales del cálculo Fue e el siglo XVII cuado surge el Cálculo ifiiesimal (Caoral, 199) y ambié la uió ere física y maemáicas, es decir, la maemaizació de la física. ambié es e él dode los Newoiaos cocibe los problemas de la diámica como el ipo de problemas que más arde se deomiaría e la física problemas co codicioes iiciales (Piage y García, 1994). E el siglo XIX se reflexioa sobre el objeo maemáico per se (la iegral) y las discusioes gira alrededor de la fució iegrado (f(x)), visa como ua sucesió arbiraria de ordeadas, y sobre el domiio de dicha fució (Cordero, 1994). Además, los marcos episémicos ya o se refiere a los feómeos de variació o cambio como e los marcos aeriores. Co base e las discusioes aeriores y debido a que los feómeos de variació o cambio so el referee e el que surge los cocepos de derivada e iegral, y ambié so los que favorece pesar la iegral, hablado cogosciivamee (Cordero, 1994), uesro rabajo se desarrolla e el coexo del marco episémico de Newo. Si embargo, el aálisis realizado e el aparado aerior (2) os permiió precisar, e ciero modo, el ipo de problemas cuya solució exige de ua iegració, lo cual codesamos así: so los problemas específicos que se deriva de los feómeos de variació o cambio. Esos problemas específicos o se refiere a las causas del feómeo de variació ( por qué varía?), sio al cuáo varía ua vez que se recooce cómo varía el feómeo; es decir, se plaea preguas acerca de la ley que cuaifica (caidad descoocida F() que relacioa fucioalmee a las variables ivolucradas) al feómeo de variació o cambio. La cofiguració de esa ley depede de si so dadas, o o, las codicioes iiciales del problema específico. E primer lugar aalizamos dos caegorías de relacioes ivolucradas e las leyes que cuaifica al feómeo de variació o cambio. Primera caegoría: dadas las codicioes iiciales del problema, ecorar la ley que cuaifica al feómeo de variació o cambio. Seguda caegoría: ecorar la ley que cuaifica al feómeo de variació o cambio cuado o so coocidas las codicioes iiciales del problema. De cada caegoría se deriva res posibles siuacioes, segú la pregua que se plaea e el problema específico derivado de u feómeo de variació. Para la primera caegoría, res siuacioes 2 posibles so: (SA) F( ) F()=? Relació fucioal ere variables (SB) F( ) F( )=? Número (Esado) (SC) F( ) =? F( ) Número (rasformació) 2 El cocepo de siuació es omado e el seido del aparado sobre las siuacioes del escrio La héorie des Champs Cocepuels de Vergaud (199a); es decir, los procesos cogosciivos y las respuesas del sujeo so fució de las siuacioes a las que se efrea. 592

5 Nauraleza de u Campo Cocepual del Cálculo Ifiiesimal: Ua Visió Episemológica e dode: SA=Siuació A(Predicció); SB=Siuació B(Predicció); SC=Siuació C(Acumulació); =rasformació; F( )=Codició iicial coocida. E las res siuacioes se iicia la discusió de iegració porque la pregua es sobre la caidad descoocida (F(), F( ), o F( )- F( ) segú sea el caso) que se quiere hallar. Además, se requiere recoocer cómo esá variado el feómeo de variació (df()/d). Así, es posible aalizar a cada ua de las siuacioes co las siguiees expresioes: (SA): Predicció*F( ) F( ) d F( ) Aiderivació 2 3 F ( )( ) F ( )( ) *F( ) F( )( )... F( ) Derivació sucesiva 2! 3! (SB): Predicció *F( ) F( ) d F( ) Aiderivació 2 3 F ( )( ) F ( )( ) *F( ) F( )( )... F( ) Derivació suce 2! 3! 1 *F( ) F( i ) F( ) Suma i (SC): Acumulació*F ( ) F ( ) F ( ) d Aiderivació F ( )( ) *F( ) F( ) F( )( ) 2... Derivació sucesiva 2! *F( ) F( ) F( ) 1 i i Suma Las res siuacioes abarca a la llamada iegració defiida porque las codicioes iiciales del problema esá dadas. Para la seguda caegoría las res siuacioes so: (SD) F( )=C F()=? Relació fucioal ere variables (SE) F( )=C F( )=? Número (Esado) (SF) F( )=C =? F( ) Número (rasformació) 593

6 Aca Laioamericaa de Maemáica Educaiva Vol.18 e dode: SD=Siuació D; SE=Siuació E; SF=Siuació F; =rasformació; C=Codició iicial descoocida. E las res siuacioes se iicia la discusió de iegració porque la pregua es sobre la caidad descoocida (F(), F( ), o F( )-C segú sea el caso) que se quiere hallar. Además, se requiere recoocer cómo esá variado el feómeo de variació (df()/d).así, es posible aalizar a cada ua de las siuacioes co la siguiee expresió: (SD): (SE): *C F ( ) d F( ) Aiderivació *C F ( ) d F( ) y evaluar e Aiderivació (SF): *F( ) C F ( ) d Aiderivació Esas res siuacioes abarca a la iegració idefiida porque las codicioes iiciales del problema o esá dadas y e dode la predicció y acumulació so desvaecidas. Discusió fial Nuesra ivesigació os permiió percibir a la episemología del Cálculo iegral e el seido de caracerizar la episemología de u campo cocepual, aclado e u sisema de prácicas sociales (Predicció, Acumulació), cosruido a parir de u marco episémico como el de Newo y cuya auraleza esá cerada e relacioes fucioales ere variables y sus variacioes y e la cosrucció de sisemas de rasformació que permie pasar de los esados iiciales (presee), de las variables de los feómeos de variació, a los esados fiales (fuuro) e sus formas de úmero-esado fuuro o fució-esado fuuro e dode es iheree la oció de predicció e ao prácica social así como la ecesidad de calcular la diferecia ere los esados fiales e iiciales e dode subyace la oció de acumulació e ao prácica social deoada por la prácica de predecir. U aspeco imporae a resalar fue que uvimos ecesidad de reformular la visió de la eoría de los campos cocepuales e el seido de que fue ecesario icorporar ocioes como la predicció y la acumulació que o esá acladas a la acividad maemáica sio que pereece a la esfera de la acividad humaa por lo cual visualizamos ua especie de campo de prácicas sociales (por ejemplo, Predicció y Acumulació) como ejes orgaizadores del Cálculo iegral escolar. De maera que odo lo aerior permie eer elemeos para propiciar la relació ere lo cocepual y lo algorímico e isiucioes escolares específicas además de eer u puo de parida para fuuras ivesigacioes co el fi de rediseñar la maemáica escolar. Nuesra visió aleraiva se ubica dero de los esfuerzos para desarrollar ua aproximació socioepisemológica e Maemáica Educaiva cuyo objeivo fudameal cosise e rediseñar el discurso maemáico escolar co base e prácicas sociales. 594

7 Nauraleza de u Campo Cocepual del Cálculo Ifiiesimal: Ua Visió Episemológica Referecias Bibliográficas Caoral, R. (199). Caegorías relaivas a la apropiació de ua base de sigificacioes propias del pesamieo físico para cocepos y procesos maemáicos de la eoría elemeal de las fucioes aalíicas. Diseració docoral o publicada, Civesav, México. Cordero, F. (1994). Cogició de la Iegral y la cosrucció de sus sigificados: u esudio del Discurso Maemáico Escolar. Diseració docoral o publicada, Civesav, México. Cordero, F; Muñoz, G; Solís, M. (23). La iegral y la oció de variació. México: Grupo Ediorial Iberoamérica. García, R. (2). El coocimieo e cosrucció. De las formulacioes de Piage a la eoría de sisemas complejos. España: Gedisa. Muñoz, G. (1999). Aspecos Episemológicos de la Relació ere lo Cocepual y lo Algorímico, e la iegració. 29 Cogreso Aual de la Jea Piage Sociey (pp ). México. Muñoz, G. (2). Elemeos de elace ere lo cocepual y lo algorímico e el Cálculo iegral.revisa Laioamericaa de Ivesigació e Maemáica Educaiva3 (2), Piage, J. y García R. (1994). Psicogéesis e hisoria de la ciecia. México: Siglo XXI. Vergaud, G. (199). La héorie des Champs Cocepuels. Recherches e Didacique des Mahémaiques 1(3),