UNIDAD 3: MATRICES Y DETERMINANTES

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1 UNIDAD 3: MATRICES Y DETERMINANTES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MATRICES 3- OPERACIONES CON MATRICES 4 4- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ 6 5- MATRIZ INVERSA 7 6- RANGO DE UNA MATRIZ 8 7- ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES 9 8- APLICACIONES DEL CÁLCULO MATRICIAL 0 9- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 0- DETERMINANTES DE ORDEN Y 3 - CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA - ACTIVIDADES 3 3- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES 3 - INTRODUCCIÓN La palabra álgebra proviene del libro Al-jabr wa l muqabalah, del maemáico árabe Al-Jowarizmi (siglo IX) Con dicho nombre se designó en occidene en poseriores siglos a la ciencia que aprendieron del ciado libro El principal objeivo del álgebra clásico fue la resolución de ecuaciones hasa prácicamene la Edad Media con la aparición del libro de Al-Jowarizmi El Álgebra se exendió hacia Europa a ravés de España se consagró durane los siglos XVI y XVII Maemáicos como Diofano (siglo III), Cardano y Taraglia (siglo XVI), Viea y Descares (siglo XVII), Gauss, Galois, Hamilon, Sylveser y Cauchy (siglo XIX) son los principales impulsores del desarrollo y formalización del Álgebra durane la hisoria Con la unidad que comenzamos comienza un nuevo bloque del curso: Álgebra Lineal, que esá basane relacionado con el úlimo que veremos a final de curso, el bloque de Geomería del espacio A diferencia del bloque anerior, ese es mucho más mecánico en cuano a sus aplicaciones prácicas y consiuye una poene herramiena de base para esudios poseriores En la siguiene unidad nos enfrenamos a un nuevo concepo que va más allá del campo de los números reales Se raa de las marices, con numerosas aplicaciones en muchos campos de las ciencias Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

2 - MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MATRICES Definición : Se llama mariz de dimensión m x n a odo conjuno de m n números a a a n a a a n reales ordenados en filas y columnas de la forma: A = a m a m a mn Se designa por a al elemeno que ocupa la fila i y columna j Para abreviar, diremos que ( ) A M mxn R ij Ejemplo : 0 A = es una mariz de dimensión x 3 Definición : Dos marices son iguales si ienen la misma dimensión y coinciden elemeno a elemeno Definición 3: Una mariz se llama cuadrada de orden n si iene dimensión n x n, es decir si iene igual número de filas que de columnas En ese caso, al conjuno de elemenos de la forma a se le llama diagonal principal y a los de la forma a ij con i + j = n + se le llama diagonal secundaria ii Ejemplo : B = es una mariz cuadrada de orden siendo su diagonal principal 3 4 ( 4) y su diagonal secundaria ( 3) 0 5 C = 4 7 es una mariz cuadrada de orden 3, su diagonal principal es (- 9) y 4 9 su diagonal secundaria es (5 ) Definición 4: Dada una mariz A, se llama mariz opuesa de A a la mariz elemenos son los opuesos de los de A 0 5 Ejemplo 3: La mariz opuesa de la C del ejemplo es C = A cuyos Definición 5: Dada una mariz A, de dimensión m x n, se llama mariz raspuesa de A, a la mariz A de dimensión n x m que resula de inercambiar filas por columnas en A Ejemplo 4: Si A = 0 5, enonces, 3 4 A 0 3 = 5 4 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

3 Noa : Es evidene que ( A ) Definición 6: Una mariz A se llama: = A para cualquier mariz A Mariz fila si iene una sola fila Por ejemplo: A = ( 5 8 3) Mariz columna si iene una sola columna Por ejemplo: B = 0 c) Mariz riangular superior si es cuadrada y odos los elemenos siuados por debajo 3 de la diagonal principal son nulos Por ejemplo: C = d) Mariz riangular inferior si es cuadrada y odos los elemenos siuados por encima de 0 0 la diagonal principal son nulos Por ejemplo: D = e) Mariz riangular si es riangular superior o riangular inferior f) Mariz diagonal si es riangular superior e inferior, es decir, si odos los elemenos fuera 0 0 de la diagonal principal son nulos Por ejemplo: E = g) Mariz escalar si es diagonal y odos los érminos de la diagonal principal son iguales 0 0 Por ejemplo: F = h) Mariz idenidad o unidad si es escalar y los escalares son odos unos Sólo exise una para cada orden y se represena por I n, siendo n el orden de la mariz Por ejemplo: I = ( ), I =, I 3 0 0, I = 4 0 = i) Mariz nula o cero si odos sus elemenos son nulos Si son cuadradas se represenan por O n Por ejemplo: O =, O = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

4 j) Mariz simérica si es cuadrada y coincide con su raspuesa, es decir, si ejemplo: G = A = A Por k) Mariz anisimérica o hemisimérica si es cuadrada y coincide con la opuesa de su 0 raspuesa, es decir, si A = A Por ejemplo: H = Noa : Es evidene que si una mariz es anisimérica, odos los elemenos de su diagonal principal han de ser nulos Se proponen las acividades y 3- OPERACIONES CON MATRICES Definición 7: Dadas dos marices A y B, de la misma dimensión, se llama mariz suma A + B a la mariz de la misma dimensión que se obiene sumando los elemenos de A y B siuados en la misma fila y columna Ejemplo 5: = Noa 3: Obsérvese que dos marices sólo se pueden sumar si ienen la misma dimensión Noa 4: La resa de dos marices es la suma de la mariz minuendo con la opuesa de A B = A + B En la prácica se resan los elemenos la mariz susraendo, es decir, ( ) direcamene Proposición : (Propiedades de la sum La suma aneriormene definida verifica: A + ( B + C) = ( A + B) + C (Asociaiv A + O = A (Elemeno neuro) A + A = O (Elemeno simérico) c) ( ) d) A + B = B + A (Conmuaiv e) ( ) A + B = A + B Definición 8: Dada una mariz A de dimensión m x n y un número real α, se define la mariz produco de α por A como la mariz α A de, dimensión m x n, que se obiene al muliplicar α por odos los elemenos de A cada uno en su lugar correspondiene Ejemplo 6: 3 6 = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

5 Proposición : (Propiedades del produco por escalar) El produco así definido verifica: α ( A + B) = αa + αb (Disribuiva respeco de la suma de marices) ( α + β) A = αa + βa (Disribuiva respeco de la suma de escalares) c) α ( βa) = ( α β) A (Asociaiv d) αa = Aα (Conmuaiv αa = αa e) ( ) Noa 5: No exise la división de una mariz por un número Nunca se escribe 3 A, sino 3 A Definición 9: Dada una mariz A de dimensión m x n y una mariz B de dimensión n x p, se define la mariz produco de A por B como la mariz C = A B, de dimensión m x p, al que cada elemeno c ij es la suma de los producos de los elemenos de la i-ésima fila de A por los de la j-ésima columna de B en el orden usual (de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo) Dicho de ora forma, c = a b + a b + + a b ij i j i j in nj Ejemplo 7: 3 4 ( ) = = ( ) Noa 6: Obsérvese que para que pueda efecuarse el produco A B es imprescindible que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B Si no se cumple eso, ni siquiera exise el produco Proposición 3: (Propiedades del produco de marices) El produco anes definido verifica: A ( B C) = ( A B) C (Asociaiv A I = I A = A (Elemeno neuro) A B + C = A B + A C (Disribuiv c) ( ) d) ( ) A B = B A e) A B B A en general (No conmuaiv Si se cumple esa propiedad, se dice que A y B conmuan f) A B = A C no implica que B = C (No cancelaiv g) A B = O no implica que A = O ó B = O (Divisores de cero) Definición 0: Dada una mariz A, cuadrada de orden n, se define la poencia n-ésima n de A como el produco de A por sí misma n veces, es decir, A = A A A (n veces) Ejemplo 8: Si A = 0 0, A = A A = 0 0, A = A A = 0 0, Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

6 En general: A n 0 n = sin más que efecuar los producos Se proponen las acividades de la 3 a la 4- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ Definición : Se llaman ransformaciones elemenales por filas en una mariz a las siguienes: Inercambiar las filas i y j, que lo escribiremos: Fi F j Susiuir la fila i por el resulado de muliplicarla por un escalar a 0, que lo escribiremos: F ' = af i i c) Susiuir la fila i por el resulado de sumar los producos de las filas i y j por dos escalares a 0, b 0, que los escribiremos: F ' = F + af i i j Noa 7: Es imporane observar que esas operaciones ambién se exienden a combinaciones lineales enre más de dos filas siempre que el escalar que muliplique a la fila que se cambia no sea nulo Por ejemplo, es válida la ransformación F3 ' = F + F + 5F3, pero no es válida la ransformación: F3 ' = F + F ya que el coeficiene de la fila 3 es nulo (no aparece) Las más habiuales son las del ipo: F ' = F + 3F, que, aunque no es elemenal, si es la combinación de dos elemenales, la b y la c Por ello, la uilizaremos a menudo de la misma forma que si fuese elemenal Noa 8: Análogas ransformaciones se ienen para columnas cambiando F por C Definición : Si una mariz B se obiene de A mediane rasformaciones elemenales, se dice que A y B son equivalenes y se escribe A B Definición 3: Se llama mariz escalonada por filas de una mariz A, a cualquier mariz B equivalene a A que enga ceros debajo de cada elemeno de la forma b Si además, los elemenos de la forma b son odos, se dice mariz reducida por filas de A ii Ejemplo 9: 3 F F F ' = F+ F F3 ' = F3 F A = F3 ' = F+ F F ' = F = B, que es una reducida por filas de A La F3 ' = F mariz del paso anerior a B sería una mariz escalonada por filas de A Se propone la acividad 3 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 6 ii

7 5- MATRIZ INVERSA Definición 4: Una mariz A, cuadrada de orden n, se llama inverible, inversible, regular o no singular si exise ora mariz B, cuadrada de orden n, al que AB = BA = I En al caso, a la mariz B se le llama mariz inversa de A y se designa por se cumple A A = A A = I n A n, es decir, Noa 9: Es evidene, a parir de la definición, que sólo exise el concepo de mariz inversa para marices cuadradas En las no cuadradas, ni siquiera esá definido Noa 0: La inversa, en caso de exisir, es única Ejemplo 0: La inversa de aplicar la definición 3 5 A = 4 8 es 5 / 4 A = Para comprobarlo, basa 3 / 4 Proposición 4: (Propiedades de la invers Sean A y B regulares y del mismo orden Enonces se verifica: ( A ) = A ( ) AB = B A En esa unidad veremos dos méodos de cálculo para la mariz inversa, aunque el méodo más uilizado lo veremos al final de esa unidad El primero no es aconsejable para marices de orden superior a Noa : (Cálculo de la mariz invers MÉTODO (A ravés de la definición): Consise en colocar n incógnias en una mariz genérica A, cuadrada de orden n, y resolver el sisema de ecuaciones exigiendo que A A = I n 3 5 Sean A = 4 8 y a b A = c d Exigiendo que: 3 5 a b 0 =, obenemos el 4 8 c d 0 3a + 5c = a = 3b + 5d = 0 b = 5 / 4 5 / 4 sisema: Resolviendo: Así pues, A = 4a + 8c = 0 c = 3 / 4 4b + 8d = d = 3 / 4 MÉTODO : (De Gauss-Jordan): Consise en ransformar la mariz: ( A I n ) en la mariz equivalene: ( I n A ) mediane ransformaciones elemenales por filas También se pueden hacer las ransformaciones por separado, es decir, ransformar la mariz A en la idenidad mediane ransformaciones elemenales y luego aplicarle esas mismas ransformaciones a la idenidad, con lo que obendremos la inversa de A Ejemplo : Calculemos la inversa de 3 A = por ese méodo: 5 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

8 F ' = F F ' = 5F 3 F F ' = F+ F F ' = F Por lo ano: A = 5 3 Ejemplo : Calculemos la inversa de B = por ese méodo: F ' = 3 F+ F F ' = 3F+ F F ' = 4F3 + F F3 ' = 3F3 F F ' = F F F ' = F / / / B = 3 / / / F ' = F Se propone la acividad 4 6- RANGO DE UNA MATRIZ Exisen varias definiciones equivalenes de rango de una mariz de las que únicamene veremos una de ellas, que es la siguiene: Definición 5: Se denomina rango de una mariz A y se escribe rg A, al número de filas no nulas de una mariz escalonada por filas de A Análogamene para columnas Noa : El rango de una mariz no varía cuando esa se somee a ransformaciones elemenales, por ano, los rangos de dos marices equivalenes coinciden Así, se pueden suprimir las filas o columnas nulas y las que sean combinación lineal de oras para deerminar el rango Noa 3: Si una mariz es de dimensión m x n, su rango no puede ser mayor que m ni mayor que n Así, el rango de una mariz cuadrada de orden n es siempre menor o igual a n Evidenemene ambién es posiivo por definición Noa 4: Es evidene, a parir de la definición, que el rango de una mariz coincide siempre con el de su raspuesa Noa 5: Es ambién lógico y evidene que el rango por filas y por columnas coincide, por lo que podemos hacerlo escalonando por filas o por columnas Proposición 5: (Condición de exisencia de invers Una mariz cuadrada de orden n iene inversa, si y solo si, su rango es máximo, es decir, si su rango es n Ejemplo 3: A F ' = F + F F3 ' = F3 + F = Por ano rga = F3 ' = 9 F F Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

9 Ejemplo 4: F ' = F + F F3 ' = F + F3 B = F3 ' = 3F + F Luego rg 3 B = Se propone la acividad 5 7- ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Definición 6: Se llama ecuación/sisema maricial a oda ecuación/sisema en el que X Y = C la/s incógnias sean marices Por ejemplo: AX = B y, siendo A, B, C, 5X + 6Y = D D, X e Y marices Sólo analizaremos algunos casos concreos sencillos de ecuaciones y sisemas lineales que nos proporcionarán las herramienas básicas para los demás casos que se nos presenen Además, en algunos casos, al final de la unidad dispondremos de herramienas de cálculo más poenes (deerminanes) para resolverlas CASO : La ecuación lineal general AX = B Si la mariz A es inverible, la ecuación es equivalene a X = A B A AX = A B y, por ano En caso de que no sea inverible, o que ni siquiera sea cuadrada, se resuelve considerando la mariz incógnia X como una mariz genérica de m n incógnias y resolviendo el sisema lineal de ecuaciones Es imporane recordar que el produco de marices no es conmuaivo, por lo que no debemos olvidar que no es lo mismo muliplicar a derecha que a izquierda Así, si la ecuación fuese XA = B, la solución sería X = BA siempre que A sea inverible Ejemplo 5: Resolvamos la ecuación AX + B = C, siendo A =, B = y C = Es evidene que la ecuación es equivalene a AX C B 4 0 = Para despejar X, vemos primero si A es inverible Un simple cálculo nos lleva a que lo es, 3 siendo A = Así pues, según lo viso X = A ( C B) Sin más que susiuir y calcular, se iene que X = 6 3 ax + by = A CASO : El sisema lineal general cx + dy = B Ese ipo de sisema se resuelve uilizando los mismos méodos (susiución, igualación y reducción) que en los sisemas numéricos con la salvedad de que no exise la división de una mariz por un número (ver noa 5) Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 9

10 5 X + Y = 0 3 Ejemplo 6: Resolvamos el sisema maricial: Por comodidad, 3 X 3Y = 4 X + Y = A llamamos A y B a los érminos independienes, con lo que queda: X 3Y = B ( ) X + Y = A X 4Y = A Si aplicamos el méodo de reducción: X 3Y = B X 3Y = B Sumando ambas ecuaciones queda: 7Y = B A, con lo que Y = ( A B) 7 Susiuyendo en la primera ecuación, operando y despejando X, se obiene: 8 / 7 9 / 7 3 / 7 3 / 7 X = ( 3 A + B), con lo que la solución es: X =, Y = 7 8 / 7 3 / 7 4 / 7 4 / 7 Se proponen las acividades 6 y 7 8- APLICACIONES DEL CÁLCULO MATRICIAL Exisen numerosas siuaciones reales en las que el cálculo maricial iene gran uilidad (Sociología, Transpore, Teoría de Grafos,) Veamos alguno de esos ejemplos: Ejemplo 7: Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en res erminaciones: N, L y S Produce del modelo A: 400 unidades en la erminación N, 00 unidades en la L y 50 en la S Produce del modelo B: 300 unidades en la erminación N, 00 unidades en la L y 30 en la S La erminación N lleva 5 horas de aller y hora de adminisración La erminación L lleva 30 horas de aller y, horas de adminisración La erminación S lleva 33 horas de aller y,3 horas de adminisración Calculemos, uilizando cálculo maricial, una mariz que represene las horas de aller y adminisración para cada uno de los modelos La mariz P =, represena la canidad de lavadoras para cada modelo y erminación 5 La mariz H = 30,, represena la canidad de horas de aller y adminisración para 33,3 cada erminación Así pues, la mariz P H = 30, = ,3 Esa mariz represenará las horas de aller (ª column y adminisración (ª column para cada modelo A (ª fil y B (ª fil Definición 7: Llamamos grafo a odo conjuno de punos, llamados nodos o vérices unidos por enlaces, llamados arisas o arcos Se llama mariz de adyacencia de un Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 0

11 grafo de vérices,, 3, n a la mariz simérica de orden n cuyos elemenos a ij son si los nodos i y j esán conecados y 0 si no lo esán Ejemplo 8: Deerminemos la mariz de adyacencia de los siguienes grafos: La mariz del grafo será: M = La mariz del grafo será: N = Se proponen las acividades 8, 9 y 0 9- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Definición 8: Llamamos permuación de un conjuno a cada posible ordenación de los elemenos del conjuno en función de una ordenación de parida a la que se llama permuación principal Cada dos elemenos colocados en orden conrario al de la permuación principal, se dice que esán en inversión Se llama índice de una permuación al número de inversiones que iene Diremos que una permuación es par si iene índice par e impar si iene índice impar Noa 6: Es inmediao ver que si un conjuno iene n elemenos, exisen n! permuaciones del conjuno Ejemplo 9: Consideremos el conjuno A = {,, 3 } En el siguiene cuadro se pueden ver odas las permuaciones y su paridad: Permuación (,, 3) (, 3, ) (,, 3) (, 3, ) (3,, ) (3,, ) Nº de inversiones 0 3 Paridad Par Impar Impar Par Par Impar Definición 9: Dada una mariz A, cuadrada de dimensión n, llamamos deerminane de A, a la suma de odos los producos de n facores que se pueden efecuar omando un único elemeno de cada fila y un único elemeno de cada columna, precedido por un signo que es posiivo si la permuación correspondiene a los subíndices de las columnas es par y negaivo si es impar, una vez puesos los subíndices de las filas en el orden naural de A o bien de A la permuación principal El deerminane de A se escribe: ( ) Noa 7: Lo primero que hemos de observar es que el deerminane de una mariz es un número real y que únicamene exise cuando la mariz es cuadrada Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

12 0- DETERMINANTES DE ORDEN Y 3 La definición anerior correspondiene al concepo de deerminane apenas se uiliza en la prácica debido a su complejidad Durane los siguienes punos veremos méodos más efecivos en la prácica Vamos a comenzar con reglas prácicas para calcular deerminanes de orden y 3 que son los más uilizados Noa 8: (Cálculo de deerminanes de orden ) El deerminane de una mariz cuadrada de orden es: Ejemplo 0: a a a a = a a a a 3 5 = 5 6 = sen x cos x x x cos x sen x = + = sen cos Noa 9: (Cálculo de deerminanes de orden 3 Regla de Sarrus) El deerminane de una mariz cuadrada de orden 3 es: a a a 3 a a a = a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a = a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Esa úlima expresión se puede recordar fácilmene con la llamada regla de Sarrus, que gráficamene se puede inerprear con el siguiene diagrama: Ejemplo : 3 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 = = 6 = = Se proponen las acividades, y 3 - CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Proposición 6: (Cálculo de la mariz invers Una mariz cuadrada A es inverible si y solo si su deerminane es disino de cero Además, en al caso, la inversa de la mariz A viene dada por la expresión: A = ( A) Adj A Ejemplo : Vamos a calcular las marices inversas en dos casos: 7 A = 3 Es fácil ver que: A = 0 A Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

13 Aplicando la fórmula: A = = 4 0 B = 3 Es fácil ver que: B = 0 B Calculando la mariz adjuna y aplicando la fórmula: B = 0 / 0 / = 5 / 5 / Noa 0: Es curioso observar como en el caso de una mariz A de orden, la mariz ( Adj ) A es la que resula de cambiar de siio los elemenos de la diagonal principal y de signo los de la diagonal secundaria Se proponen las acividades 4 y 5 - ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Acividad : Escribe un ejemplo de cada ipo de mariz visa en la definición 6 Acividad : Deermina las marices raspuesas de: A = 5 y B = Acividad 3: Calcula a, b, c, y d para que se cumpla la siguiene idenidad enre marices: a b a 7 5 a + b = + c d 3d c + d 4 Acividad 4: Dadas las marices: 4 0 A =, B = y C = 0 3 3, calcula: A + B A B C c) 3A + 5B 6C d) AB BC e) AB + 3AC 5BC Acividad 5: Para las marices 4 A = 3 y B =, calcula AB y BA Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

14 Acividad 6: Calcula los producos posibles de dos facores, sin repeir, de las marices: 3 0 A =, B = y C = Acividad 7: Si A y B son dos marices cuadradas de orden n, son cieras, en general, las igualdades siguienes? A + B = A + AB + B ( ) A B = A AB + B ( ) c) ( A + B)( A B) = A B Acividad 8: Sea A una mariz de dimensión x 3 : Exise una mariz B al que AB sea una mariz de una sola fila? Y para BA? 0 0 Pon un ejemplo para cada caso, siendo: A = 0 Acividad 9: Sea A una mariz de orden mxn con m n Razona si se puede calcular la expresión AA A A Acividad 0: Si A es una mariz al que A A y B A I = =, demuesra que B = I Acividad : Dadas las marices: 3 3 A = 4 3 y B = 0, calcula A B 0 Acividad : Para la mariz A = 0, calcula A y A Encuenra los valores de a y a 0 b para que la mariz A conmue con la mariz b Acividad 3: Reduce por filas las marices: A = B = c) C = Acividad 4: Calcula las inversas de las marices A = y B = uilizando el méodo de Gauss-Jordan Comprueba después que los resulados son correcos uilizando la definición Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

15 Acividad 5: Deermina el rango de las marices: 3 5 A = y B = Acividad 6: Resuelve las ecuaciones mariciales siguienes: A = AX + B, siendo XA + X = B, siendo 0 A = y B = A = 0 0 y B = 3 Acividad 7: Resuelve los siguienes sisemas mariciales: 5 X 3Y = 4 0 X Y = 3 6 X + Y = X Y = 0 c) 3 X + Y = 0 0 X + Y = 4 Acividad 8: En un edificio hay res ipos de viviendas: L3, L4 y L5 Las viviendas L3 ienen 4 venanas pequeñas y 3 grandes; las L4 ienen 5 venanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes Cada venana pequeña iene crisales y 4 bisagras, y las grandes, 4 crisales y 6 bisagras Escribe una mariz A que describa el número y amaño de venanas de cada vivienda y ora B que exprese el número de crisales y bisagras de cada ipo de venana Calcula la mariz C que expresa el número de crisales y de bisagras de cada ipo de vivienda Acividad 9: Un indusrial fabrica dos ipos de bombillas: ransparenes (T) y opacas (O) De cada ipo se hacen cuaro modelos: M, M, M 3 y M 4 La siguiene abla muesra la producción semanal de bombillas de cada ipo y modelo T O M M M M El porcenaje de bombillas defecuosas es el % en el modelo M, el 5% en el M, el 8% en el M 3 y el 0% en el M 4 Calcula la mariz que expresa el número de bombillas ransparenes y opacas, buenas y defecuosas, que se producen Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

16 Acividad 0: Represena los grafos asociados a las siguienes marices de adyacencia: 0 0 A = B = 0 0 Acividad : Halla el valor de los siguienes deerminanes de orden y 3: c) 5 d) 0 e) Acividad : Calcula los deerminanes de las siguienes marices: a c) a a m 3 d) 5 3 m Acividad 3: Resuelve las ecuaciones: 3 x 3 = 0 4 x 7 x 0 x = 4 0 x c) + x x = x + x x x d) x x = 0 Acividad 4: Halla las inversas de las siguienes marices: 3 A = 4 3 B = c) 3 C = Acividad 5: Para qué valores de k la mariz k 6 k no iene inversa? ACTIVIDADES DE DESARROLLO Acividad 6: Deermina los valores de m para los cuales X X + I = O 5 Acividad 7: Dada la mariz 4 5 A = 3 4, calcula A, A,, A m 0 X = 0 verifique Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 6

17 Acividad 8: Comprueba que A A I =, siendo: de orden 3 Uiliza esa igualdad para calcular 4 A 5 4 A = 4 4 e I la mariz unidad Acividad 9: Deermina a y b de forma que la mariz A = a b verifique A = A 5 0 a b 0 Acividad 30: Sean las marices dadas por: A = 5 0 B = c c 0 Encuenra las condiciones que deben cumplir a, b y c para que A y B conmuen Acividad 3: Dadas las marices: A B ( + ) ( A B ) Acividad 3: Obén la mariz inversa de 3 A = y B = 3, calcula: c) A + A, siendo A A = Acividad 33: Deermina las marices A y B, sabiendo que: 5 3A + B = A + B = 4, Acividad 34: Deermina las marices A y B que son solución del siguiene sisema maricial: 3A B = 5 9 0, A + B = Acividad 35: Dada la mariz A =, halla dos números reales m y n ales que 3 A + ma + ni = O Acividad 36: Calcula, si exisen, las marices inversas de las siguienes marices uilizando el méodo de Gauss-Jordan: c) d) Acividad 37: Calcula la mariz B A B, siendo A = y B = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

18 Acividad 38: En una academia de idiomas se impare inglés y alemán en cuaro niveles y dos modalidades: grupos normales y grupos reducidos La mariz A = expresa el número de personas por grupo, donde la primera columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas, a los niveles primero, segundo, ercero y cuaro, respecivamene Las columnas de la mariz B = reflejan el porcenaje de esudianes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fil y curso normal (segunda fil para cada uno de los niveles Obén la mariz que proporciona el número de esudianes por modalidad e idioma Sabiendo que la academia cobra 8 por persona en los grupos reducidos y por persona en los grupos normales, halla los ingresos de la academia por cada idioma uilizando marices Acividad 39: Tres escriores presenan a un edior, al acabar una enciclopedia, la minua que se recoge en la abla: Horas de rabajo Conferencias dadas Viajes Escrior A Escrior B Escrior C El edior paga la hora de rabajo a 45, la conferencia a 8 y el viaje a 30 Si sólo piensa pagar, respecivamene, el 30%, el 0% y el 0% de lo que correspondería a cada escrior, qué gaso endría el edior? (hacer el ejercicio mediane cálculo con marices) Acividad 40: Una compañía de muebles fabrica buacas, mecedoras y sillas, y cada una de ellas en res modelos: E (económico), M (medio) y L (lujo) Cada mes produce 0 modelos E, 5 M y 0 L de buacas; modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 8 modelos E, 0 M y L de sillas Represena esa información en una mariz y calcula maricialmene la producción anual Acividad 4: Deermina el valor de x para el cual el deerminane de la mariz B vale x 3 60, siendo B = x + 4 x x Acividad 4: Calcula la mariz inversa de las siguienes marices: c) d) Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

19 a 0 Acividad 43: Para la mariz A = 0, halla el valor o valores de a para los que la a 0 mariz A no iene inversa Halla A para a = ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Acividad 44: (03) Sean las marices A = y B a b Obén a y b sabiendo que A = Para los valores a 3 y b = =, calcula la mariz X al que A B ( X 3I ) = Acividad 45: (03) Sean las marices 0 A = y B = 0 3 Calcula 03 A y A Resuelve la ecuación maricial A X + I = B A 5 Acividad 46: (03) Sean las marices / / 5 0 A, B = = ; C = / 5 3 / 5 4 / 5 4 / 5 3 Resuelve la ecuación maricial ( ) A + B X = 3A B Deermina en cada caso las dimensiones de la mariz D para que se puedan realizar las siguienes operaciones: C D + A, C D C, D C, C D C Acividad 47: (0) Sea la mariz A = Resuelve la ecuación maricial A X + A = I Qué requisios mínimos debe cumplir una mariz B para que pueda efecuarse el produco A B? c) Y para el produco 3 B A? Acividad 48: (0) Sean las marices 6 a 0 A = ; B = y C = b Halla los valores de a y b para que se verifique Resuelve la ecuación maricial A X A = I B C = A Acividad 49: (0) Los alumnos de º de bachillerao organizan una vena de paseles para el viaje fin de curso Venden paseles grandes, que necesian huevos, 5 errones Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 9

20 de azúcar y 00 g de harina cada uno, y paseles pequeños, que necesian huevo, 3 errones de azúcar y 80 g de harina cada uno Presena en una mariz M, de dimensión 3x, las canidades de los elemenos necesarios para la elaboración de un pasel grande y una pequeño Si desean fabricar 0 paseles de una clase y 30 de ora, escribe las dos marices columna, A (0 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 0 pequeños) que represenan ese reparo c) Calcula los producos M A y M B e indica si con 8 docenas de huevos, 00 errones de azúcar y 5 kg de harina se pueden elaborar 0 paseles grandes y 30 pequeños Y 30 grandes y 0 pequeños? Acividad 50: (0) Halla la mariz X que verifica la ecuación maricial A X = A B C, 0 0 siendo A, B y C las marices: A = ; B = y C = Acividad 5: (0) Una empresa vende res arículos diferenes A, B y C, cada uno de ellos en dos formaos, grande y normal En la mariz F se indican las canidades de los res arículos, en cada uno de los dos formaos, que ha vendido la empresa en un mes En la mariz G se indican las ganancias, en euros, que obienen la empresa por cada unidad que ha vendido de cada arículo en cada formao A B C A B C grande grande F = ; G = normal normal Efecúa los producos F G y F G Indica en qué mariz se pueden enconrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el oal de las unidades vendidas de cada uno de los res arículos y especifica cuáles son esas ganancias c) Indica en qué mariz se pueden enconrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el oal de las unidades vendidas de cada uno de los dos formaos, especifica cuáles son esas ganancias y halla la ganancia oal Acividad 5: (0) Una fábrica produce dos ipos de producos, A y B, que disribuye a res clienes En el mes de enero el primer cliene compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliene 3 de A y 7 de B, y el ercer cliene 4 de A y 6 de B En el mes de febrero el primer cliene y el segundo duplicaron las compras del mes anerior, y el ercer cliene compró de cada produco una unidad más de las que compró en enero En marzo el primer cliene no compró nada, y el segundo y el ercero compraron lo mismo que en febrero Para cada mes consruye la mariz de dimensión 3x correspondiene a las compras de ese mes Calcule la mariz de compras del rimesre c) Si los precios de los producos A y B son, respecivamene, 80 y 00 euros, calcule lo que facura la fábrica en el primer rimesre, por cada cliene y en oal Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 0

21 Acividad 53: (0) Sean las marices A =, B =, C = Calcula A B C Resuelve la ecuación maricial A X + B = C Acividad 54: (0) Dadas las marices M y N =, razona cuáles de las 0 0 siguienes operaciones ienen senido y efecúa aquellas que puedan realizarse: M + N, M N, M N Un indusrial cafeero produce dos ipos de café, naural y descafeinado, en res modalidades cada uno, A, B y C Se han anoado en la mariz P los pesos, en Kg, del café que el indusrial produce de cada una de las modalidades de cada ipo, y en la mariz Q los precios a los que vende el Kg de cada produco final: A B C A B C naural naural P = ; Q = descafeinado descafeinado Efecúa el produco P Q y explica el significado económico de cada uno de los elemenos de la diagonal principal de la mariz resulane Acividad 55: (0) Sean las marices C = 0 y D = X C D = I + D C Resuelve la ecuación maricial ( ) Si las marices C y D son las marices de adyacencia de dos grafos, de vérices a, b, c y,, 3 respecivamene, haz la represenación gráfica de dichos grafos Acividad 56: (0) 5 6 Dada la mariz A = 0 7, calcula ( I ) 3 3 A 0 0 a 5 Dadas las marices B =, C =, D =, deermina a y b de manera que b B C D = 0, siendo O la mariz nula Acividad 57: (0) De una mariz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguienes elemenos: a = a = ; a = a = 0 ; a = a = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

22 Deermina los demás elemenos de la mariz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación A B = C, donde B = y C = 4 Calcula D, siendo ( ) ( ) 5 D = 3 5 Acividad 58: (0) Sean las marices A = y B = 0 Efecúa, si es posible, los siguienes producos: A A ; A A ; A B Resuelve la siguiene ecuación maricial A A X = B Acividad 59: (00) Sean las marices A = y B = 3 0 Calcula A B A B Resuelve la ecuación maricial AX + BA = B Acividad 60: (00) Sean A, B y C marices con, 3 y filas, respecivamene Sabiendo que el produco de marices A B C es posible y que el resulado es una mariz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas marices 0 Halle la mariz X que verifica I X = A ( A B ), siendo A = y B = a b 3 Acividad 6: (00) Sean las marices A =, B = y C = Halla los valores de a y b para que se verifique A B + A B = C Exise algún valor de b para el que el produco B B sea igual a la mariz nula? c) Para a = 05 y b =, halla la mariz X que verifica la igualdad A X + B = O, (O represena a la mariz nula Acividad 6: (00) Sean las marices 5 c d 6 P =, Q = y R = a b Cuáno deben valer las consanes a, b, c y d para que: P Q = R? Acividad 63: (009) Sea la igualdad A X + B = A, donde A, X y B son marices cuadradas de la misma dimensión Despeja la mariz X en la igualdad anerior, sabiendo que A iene inversa Obén la mariz X en la igualdad anerior, siendo A = y B = 3 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página

23 Acividad 64: (009) Sean A = 0 0, B = 0 y C = Deermina X en la ecuación maricial X A B = C Acividad 65: (009) Sean las marices 3 A =, B = 0 Calcula A y B I + Resuelve la ecuación maricial A X I B = 3- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES Acividad : Respuesa libre Acividad : A = y B = Acividad 3: a = 5, b =, c = 6 y d = 4 Acividad 4: c) d) e) Acividad 5: Acividad 6: 4 6 AB = y BA = AB = 4, CA = y CB = Acividad 7: Ninguna de las res es ciera en general debido a la no comnuaividad del produco de marices Acividad 8: No, ya que, sea cual sea B, AB endrá dos filas Sí, omando B de dimensión x Lo siguiene es de respuesa libre Acividad 9: No se puede, ya que el primer facor resula una mariz cuadrada de dimensión m y el segundo de dimensión n Para que se pudiesen resar, endría que ser m = n, y, por hipóesis, son disinos Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 3

24 Acividad 0: Basa hacerlo Acividad : Acividad : a = y b = 0 Acividad 3: Respuesa libre / 4 / 4 Acividad 4: A = y B = 3 3 / 4 / 4 rg A = y rg B = Acividad 5: ( ) ( ) Acividad 6: X 3 = 4 Acividad 7: X = X = Y = 0 Acividad 8: 4 3 / X = 3 / / / Y = 3 / / 5 / 3 / 3 X = / 3 8 / 3 c) / 3 / 3 Y = 4 / 3 0 / A = 5 4 y B = C = Acividad 9: , 96 60,9 Acividad 0: Acividad : -9 c) 39 d) - e) 36 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 4

25 Acividad : 79 c) a 3 3a + d) m m + 4 Acividad 3: x = x = x = 3 c) x = 3 d) x = 0 x = x3 = Acividad 4: A 3 / = / / 5 / 3 / 5 / 5 / 3 4 / 5 / 0 / 3 3 / 30 B = c) No iene inversa Acividad 5: No iene inversa para k = 4 y k = 3 Acividad 6: m = m = / Acividad 7: A = A = Acividad 8: Lo primero es rivial A = Acividad 9: a = y b = Acividad 30: a = b = c Acividad 3: c) 3 Acividad 3: Acividad 33: / 3 / 3 / 3 / 3 / 6 / 3 / 3 / A = B = Acividad 34: 0 3 A = 3 B = Acividad 35: m = n = 0 Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 5

26 Acividad 36: 3/ / 3/6 /6 3/6 /6 9/6 5/6 /6 5/6 /6 c) Sin solución d) / 3 / 3 / 3 5/ 3 / 3 4/ 3 4/ 3 4/ 3 5/ 3 Acividad 37: Acividad 38: 5 49 M = en inglés y 6054 en alemán Acividad 39: 986 Acividad 40: Se producen un oal de 440 arículos 8 0 Acividad 4: x = 3 Acividad 4: 3 4 / 5 / 5 3 / 0 / 0 c) / / / 3 0 / / 6 d) / 5 / / / 5 / 5 0 Acividad 43: a = a = A / 3 0 / 3 = / 3 0 / 3 / 3 / 3 Acividad 44: a =, b = 0 A es simérica / X = 0 9 / Acividad 45: A 0 0 =, A = x = 3 5 Acividad 46: 3 / X = / 3x, x, mx3, 3x3 respecivamene Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 6

27 Acividad 47: 4 X = 6 xn c) mx Acividad 48: a = 3, b = Acividad 49: X / / 4 = 7 / 4 3/ M = 5 3 A = y B = c) M A = 90, M B = 0 Sí se pueden elaborar 0 grandes y 30 pequeños pero no se pueden elaborar 30 grandes y 0 pequeños, ya que falarían errones de azúcar Acividad 50: X 6 / 4 = / 4 Acividad 5: F G = , F G = del arículo A, 450 del arículo B y 80 del arículo C c) 00 del formao grande y 470 del formao pequeño Acividad 5: E = 3 7, F = 6 4, M = c) T P = 4700 Así pues, la fábrica facura Acividad 53: T 7 5 = X = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 7

28 Acividad 54: M + N =, M N = P Q = El elemeno a = 90 represena los euros que ha pagado por odo el café naural adquirido y el a = 97 los euros que ha pagado por odo el descafeinado adquirido Acividad 55: X = Acividad 56: a = 4 / 3, b = Acividad 57: a = 6, b = 3, c = 0 Acividad 58: , A A = A A = A B no se puede efecuar 0 3 X = / Acividad 59: X 8 = 3 5 Acividad 60: A iene dimensión x3, B iene dimensión 3x y C iene dimensión x4 0 3 / X = Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 8

29 Acividad 6: a = /, b = No hay ningún valor de b c) Acividad 6: X = 0 3 / b P Q = a a 5a El produco Q P no es posible a = 5, b =, c = 34, d = 8 Acividad 63: X A ( A B) = Acividad 64: Acividad 65: 9 X = X 4 9 = A =, B + I = / X = 4 / NOTA IMPORTANTE: Las acividades de la 43 a la 65 son de Selecividad En las dos páginas web siguienes se encuenran las soluciones de odos los exámenes de forma deallada: hp://emesradawordpresscom/caegory/maemaicas-aplicadas-a-las-ccss-ii/ hp://wwwiesayalacom/selecividadmaemaicas/ Además de esas, una web con acividades ineracivas que puedes uilizar es la siguiene: hp://niceducaciones/w3//eos/maerialeseducaivos/mem000/algebra/indexhml Maemáicas II CCSS º de Bachillerao B Prof: Saniago Marín Fernández Página 9