PROBLEMAS RESUELTOS POR EL MÉTODO DE GAUSS

Transcripción

1 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss PROBLEMAS RESUELTOS POR EL MÉTODO DE GAUSS ) Resolver el siguiene sisema por Gauss Para resolver el sisema por el méodo de Gauss, hemos de riangulariarlo. Lo cual quiere decir que en una de las ecuaciones aparece sólo una incógnia; en ora ecuación, ora incógnia sola o acompañada de la incógnia anerior; en ora, ora incógnia sola o acompañada de alguna de las dos aneriores (o de ambas); así sucesivamene. Para lograr eso, buscamos que una de las incógnias, por ejemplo la, sólo apareca en una ecuación. Es decir, que enga coeficiene en el reso. Luego, lo mismo, con ora de las incógnias (, por ejemplo) el reso de las ecuaciones (la única ecuación donde aparecía la no vuelve a uiliarse). Y así sucesivamene. El méodo para conseguirlo es el mismo que el que empleábamos para resolver un sisema por reducción elegimos dos ecuaciones muliplicamos cada una de ellas por el número adecuado, de forma que en la incógnia que queremos eliminar apareca el mismo coeficiene, posiivo en una de las ecuaciones negaivo en la ora. La suma de dicha pareja de ecuaciones susiuirá a una de ellas, con lo que en esa ecuación habrá desaparecido una de las incógnias. Veamos el proceso rabajando direcamene con las ecuaciones, al como nos las han dado. Dejaremos inaca la primera ecuación. A parir de ella, vamos a eliminar en la segunda en la ercera. Para conseguirlo, la primera ecuación la muliplicamos por la segunda, por ; sumamos, susiuendo la segunda ecuación por el resulado (hemos acordado dejar inaca la primera ecuación). A coninuación, muliplicaremos la primera ecuación por se la sumaremos a la ercera, susiuendo esa úlima (ª) (ª) 7 (ª ) (ª ) La primera ecuación no la ocamos más. A parir de la segunda, vamos a eliminar en la ercera. Para ello, a la ercera le sumamos la segunda ecuación muliplicada por 7 (ª ) (ª ) Ya esá riangulariado el sisema en la ercera ecuación sólo esá ; en la segunda, juno con. Y en la primera, las dos aneriores más la. Resolvemos la ercera ecuación = = / =. Susiuendo en la segunda + = 7 + = 7 7 = = / = =. La ecuación a susiuir va en primer lugar nunca se muliplica por un nº negaivo IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

2 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss Susiuendo en la primera ( ) + = + = = = 8 = 8/ =. Luego el sisema iene solución única = juno con = con =. Los sisemas que ienen una única solución se llaman compaibles deerminados. Vamos a repeir el proceso rabajando con el sisema en forma esquemáica, o sea, maricial. Parimos de la mari ampliada que es una caja recangular de filas columnas, encerrada en un gran parénesis, coneniendo únicamene los coeficienes de cada incógnia los érminos independienes. Realiamos eacamene los mismos pasos que anes. Pero ha que decir que el Méodo de Gauss se realia siempre en forma maricial. Méodo de Gauss Consise en lo siguiene Se rabaja siempre en forma maricial, porque es mucho más simple claro. Elegimos una fila. Usándola, hacemos odas las posiciones de una deerminada columna correspondiene a una de las incógnias (no puede ser la columna de érminos independienes) menos la posición correspondiene a la fila elegida, que no se cambia. La fila elegida a no se vuelve a uiliar. De enre las filas resanes, elegimos ora, mediane ella, conseguimos que odas las demás posiciones de una deerminada columna (las que no corresponden a la fila elegida en ese paso ni a la elegida en el paso previo) se hagan. Esa fila, juno con la previa, no se vuelve a ocar. Se repie el proceso con las filas resanes, anas veces como filas enía la mari, menos una. Es decir, para res filas, ese proceso se hará dos veces. Cuando hemos repeido el proceso odas las veces necesarias, decimos que la mari esá riangulariada. En los pasos que damos, usaremos cada ve dos filas. Muliplicamos cada una de ellas por el número adecuado para que los coeficienes de la incógnia que esamos eliminando se ransformen en el mismo número, posiivo en una de las filas negaivo en la ora. De ese modo, al sumarlas, obenemos un cero en la posición referene a la incógnia elegida. Esa suma resulane susiuirá a una de las dos filas. La fila no susiuida se vuelve a emparejar con ora fila para hacer el coeficiene de la misma incógnia en esa ora fila. Así hasa conseguir en oda la columna salvo en la posición correspondiene a la fila no susiuida. El resulado de la operación que hacemos con las dos filas (muliplicar cada una por un número sumarlas) se llama combinación lineal de filas. Debemos indicar la combinación lineal de filas que realiamos cada ve, para lo que escribiremos siempre en primer lugar la fila que esamos cambiando, muliplicada por un número si es necesario, en segundo lugar, la fila que nos sirve para cambiarla, muliplicada, en su caso, por oro número. Si alguno de los números que muliplican a las filas debe ser negaivo, será el de la fila que no es cambiada. Veámoslo en nuesro problema. En la mari ampliada, repiiendo eacamene los mismos pasos que se dieron anes con sus equivalenes en ecuaciones, queda 7 La ecuación a susiuir va en primer lugar nunca se muliplica por un nº negaivo IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

3 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss 7 El sisema esá riangulariado, porque hemos repeido el proceso dos veces para res ecuaciones. Así, en la ercera ecuación sólo esá, en la segunda esá, además, ; en la primera, además,. O lo que es lo mismo, en una columna (que no es la úlima) ha en odas las posiciones salvo en las de una fila ( ); en ora (que no es la úlima), ha en odas las posiciones salvo en una fila ( ) en la fila anerior ( ). Resolvemos la ercera ecuación, reconsruéndola a parir de la úlima mari obenida = = / =. Susiuendo en la segunda + = 7 + = 7 7 = = / = =. Susiuendo en la primera ( ) + = + = = = 8 = 8/ =. Luego el sisema iene solución única = juno con = con =. Los sisemas deben resolverse siempre en su forma maricial, aunque nosoros ambién lo hemos hecho con las ecuaciones originales por ilusrar el procedimieno. ) Resolver el siguiene sisema por Gauss Vamos a resolver ese sisema rabajando direcamene con las ecuaciones, al como nos las han dado. Dejaremos inaca la segunda ecuación. A parir de ella, vamos a eliminar en la primera, (aprovechándonos de que en la ercera ampoco aparece ; pero es igual parir de cualquiera de las res ecuaciones eliminar cualquiera de las res incógnias). Para conseguirlo, la primera ecuación la muliplicamos por (o sea, no la ocamos) la segunda, por, sumamos, susiuendo la primera ecuación por el resulado (hemos acordado dejar inaca la segunda ecuación) (ª ) (ª ) La ecuación ª (la que hemos acordado no ocar, pero que hemos usado para eliminar en la ª) a no la usaremos más. Ahora, para, por ejemplo, eliminar en la ª a parir de la ª (la ª a no la ocamos), muliplicamos la ª por la segunda por sumamos, susiuendo la ª ecuación por el resulado (ª ) (ª ) Y a esá riangulariado el sisema, porque hemos repeido el proceso dos veces eníamos res ecuaciones. Con ello, en la primera ecuación sólo enemos la incógnia, en la ª, dicha incógnia más la, en la ª ecuación, dichas incógnias (aunque el coeficiene de es ) más la. Despejando en la ª IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

4 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss = Susiuendo en la ª 87+ = = Susiuendo en la ª + = = 7 Solución única =; =; =7 (sisema compaible deerminado). Resolvamos ahora el mismo sisema maricialmene, que es como debemos hacerlo. Realiamos eacamene los mismos pasos que anes, indicando en cada paso las combinaciones lineales de filas que empleamos Ya no ocaremos más, que es la que se ha usado para cambiar. No ha hecho fala cambiar porque a enía cero en la C, que es donde hemos conseguidos en odas las posiciones salvo la de la fila usada ( ). Usamos, ahora para cambiar de manera que en C engamos un en odas las posiciones salvo en la de la fila usada para la operación ( ) en la fila que a no ocamos ( ). Lo que pasa, es que nos vamos a enconrar con el regalo de un segundo en esa columna mejor. Ya enemos riangulariado el sisema, porque hemos dado los dos pasos necesarios en un sisema con res ecuaciones. Y en la primera ecuación sólo aparece ; en la ercera, la misma más la. Y en la segunda, la, la (aunque muliplicada por ) la. O, de forma equivalene, una de las columnas (C ) iene en odas las posiciones salvo la correspondiene a ciera fila ( ); en ora (C ) ha en odas las posiciones salvo en las de la fila anerior ( ) ora ( ). Lo que pasa es que, en nuesro ejemplo, ha un adicional (el de ) no pasa nada, sino que es mejor aún. Escribimos las ecuaciones compleas vamos resolviendo, empeando por la que solo iene una incógnia, o sea, la primera ecuación = Susiuendo en la ª 87+ = = Susiuendo en la ª + = = 7 Repeimos los sisemas ha que resolverlos siempre en forma maricial. ) Clasificar dar odas las soluciones del siguiene sisema, resolviéndolo por el méodo de Gauss. Si uviera más de una solución, dar una concrea 7 (ª)+(ª) 7 (ª)-(ª) (ª) (ª) 7 IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

5 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss El sisema esá riangulariado porque hemos repeido dos veces el proceso para res ecuaciones. Eliminamos la ercera fila (ecuación), por ser rivial, a que = se va a verificar siempre, sean cuales sean los valores de las incógnias. Al quedar, enonces, dos ecuaciones con res incógnias, pasamos una de ésas al segundo miembro; a parir de ahora, acuará como parámero (a no es incognia, porque no oma un valor desconocido el valor de esa incógnia será arbirariamene fijado por nosoros). Dicha incógnia será, por ejemplo, (podría ser, ambién, pero no deberíamos pasar al segundo miembro porque nos cosaría más esfuero erminar de resolver el problema) El sisema esá riangulariado. Como el valor de queda libre, para recalcarlo, llamamos =. Enonces Ya enemos el valor de dos incógnias = e = + (de la segunda ecuación). Susiuendo en la primera (+) = + = + = +7 7 Luego las soluciones (infinias, una para cada valor de, elegido ése por nosoros de forma arbiraria) son 7 Es decir, es un sisema compaible indeerminado, lo que significa que iene infinias soluciones. Para, por ejemplo =, obenemos la solución (=, =, =). Clasificación de los sisemas según su número de soluciones Los sisemas lineales se clasifican en compaibles (ienen alguna solución) o incompaibles (no ienen solución). Los compaibles, además, pueden ser compaibles deerminados (ienen solución única) o compaibles indeerminados (ienen infinias soluciones). No ha más posibilidades para los sisemas de ecuaciones lineales. Si los érminos independienes son odos cero, el sisema se dice homogéneo. Los sisemas homogéneos ienen siempre la solución rivial =, =, =. Por ano, siempre son compaibles. Pueden ener más soluciones, en cuo caso van a ener infinias soluciones. Es decir, pueden ser compaibles deerminados (sólo la solución rivial) o compaibles indeerminados (infinias soluciones), pero no pueden ser incompaibles. ) Resuelva el siguiene sisema clasifíquelo aendiendo al número de soluciones IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

6 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp// Escribimos la mari ampliada resolvemos por Gauss Eliminamos la ercera fila, por rivial. Por ano, el sisema queda con dos ecuaciones res incógnias. Pasando la al segundo miembro llamándola, por ejemplo,, el sisema será Que a esá riangulariado. Despejando en la segunda ecuación, queda Susiuendo en la primera = = Es decir, que las soluciones son de la forma (,, ) El sisema iene, enonces, infinias soluciones (para cada valor de obenemos una solución). Luego es compaible indeerminado. ) Resuelva el siguiene sisema clasifíquelo aendiendo al número de soluciones 8 ) Para empear, se escribe el sisema en forma maricial sólo los coeficienes de las incógnias el érmino independiene 8 8 ) A coninuación, se riangularia Buscamos que una columna (que no sea la úlima) esé compuesa de ceros en odas las posiciones menos en una. Denro de las filas correspondienes a los ceros de la columna anerior, sin fijarnos en la fila que no iene el cero, hemos de buscar ora columna (que no sea la úlima) con ceros en odas las posiciones menos en una. Y así sucesivamene, con anas columnas con ceros como filas haa menos una unidad (en el ejemplo anerior filas = = columnas con los ceros en la forma descria). Ver más abajo como queda la mari anerior a riangulariada. Se riangularia así

7 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss Paso En una columna cualquiera que no sea la úlima, buscamos ceros en odas las posiciones menos la correspondiene a una fila que no se va a alerar. Lo hacemos realiando ransformaciones lineales de filas. Consisen en susiuir una fila por ella misma muliplicada por un número posiivo más ora muliplicada por un número posiivo o negaivo, de manera que al sumarlas resule en el cruce de la fila susiuida con la columna con la que rabajemos. Se hace lo mismo para el reso de filas, basándose siempre en la fila que no se va a alerar. En el ejemplo anerior, rabajaremos en la columna (C ) basándonos en la fila ( ), escribimos las operaciones que hacemos, siuando siempre en primer lugar la fila susiuida 8 Así, para conseguir un cero en (para la columna rabajada, C ) a parir de, engo que muliplicar por un número posiivo (porque es la fila que vo a susiuir) por uno posiivo o negaivo de manera que ambas den el mismo resulado en la columna C. Como enía en en, el mcm de ambos números (omados posiivos) es, necesio que resule en en (no al revés, porque la fila susiuida no puede cambiarse de signo). Para ello, muliplico sumo El resulado susiue a (la que va escria en primer lugar). Recordar que la fila susiuida no puede muliplicarse por un número negaivo. Igual se ha hecho con la a parir de. Paso Limiándonos a las filas con ceros en la columna que acabamos de rabajar, repeimos al operación con ora columna que no sea la úlima buscamos en odas las posiciones menos en una (sin conar la fila en la que a no nos fijamos). En nuesro ejemplo, lo hacemos con C, que es la que vemos con operaciones más fáciles 8 Si alguna fila se puede simplificar, se hace (no se pueden simplificar columnas). Por ejemplo, la enre enre IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 7 de hp//

8 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 8 de hp// 7 Paso Repeimos el paso con ora columna. Será la úlima, porque ha filas, luego basa hacerlo con columnas. En nuesro ejemplo, lo haremos con C 7 Y simplificamos Ya esá riangulariada. El nombre de riangulariada es porque inercambiando enre sí filas o columnas se puede conseguir un riángulo de ceros. En ese ejemplo C C C C Vemos el riángulo en la esquina inferior iquierda la primera columna, con ceros en odas las posiciones menos una; la segunda, con ceros menos una (sin conar la fila primera); la ercera, en odas menos una (sin conar las filas primera segunda). No nos enreenemos en hacer esos cambios sólo los mosramos para ilusrar por qué se dice que riangulariamos. ) Con la mari riangulariada, reconsruimos el sisema, que a es inmediao resolver Por lo que la solución es la cuaerna (,,, ). ªec = ªec = = ªec + = = ªec ++ = =

9 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp// ) (Sepiembre 7) Clasifique resuelva el sisema formado por las res ecuaciones siguienes + = ; + = ; 8 + =. El sisema es 8 Es homogéneo, pueso que los érminos independienes son odos. Por Gauss 8 Ya esá riangulariado, la úlima fila es oda ella de, por lo que la eliminamos. No ha ninguna fila complea de ceros salvo la úlima columna, por lo que es compaible. Y como quedan menos ecuaciones () que incógnias (), es un sisema homogéneo compaible indeerminado, con infinias soluciones. Lo reconsruimos, para hallarlas Llamamos = Luego la forma general de las infinias soluciones es ( /, /, ). Si usamos k =, podemos prescindir de denominadores ( k, k, k). Discusión de un sisema Consise en clasificarlo, según su número de soluciones. Se hace ras riangulariar la mari anes de resolverlo. Siempre que, después de riangulariar, obenemos una fila con en odas las posiciones relaivas a las incógnias un número no nulo en la posición del érmino independiene, el sisema será incompaible. Siempre que, después de riangulariar, nos quede una fila complea de ceros, la eliminamos. Cuando, ras ello, nos queden menos ecuaciones que incógnias no se cumpla la condición enunciada aneriormene, el sisema será compaible indeerminado. Y si nos queda el mismo número de ecuaciones que de incógnias, el sisema será compaible deerminado. 7) Resuelva el siguiene sisema clasifíquelo aendiendo al número de soluciones 7 7 Trabajamos con la mari ampliada (que así se llama la mari que esquemaia el sisema) Como la ercera fila es de, la eliminamos. Las dos filas resanes corresponden a un sisema a riangulariado, pero con dos ecuaciones res incógnias. Pasamos, por ejemplo al segundo miembro; a parir de ahora, acuará de parámero =, ª ec = / ª ec = +/ = /

10 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp// suponiendo un número conocido, cuo valor deerminamos nosoros a nuesro anojo La segunda ecuación nos da el valor de. Susiuéndolo en la primera despejando = = 7 Luego el sisema iene infinias soluciones. Es decir, es compaible indeerminado. Y las infinias soluciones, dependienes del valor que, para cada una de ellas, elijamos para, son ( = 7, = 7+, = ) 8) Resolver el siguiene sisema por Gauss Lo resolveremos maricialmene 7 7 Ese sisema es incompaible, pueso que la úlima ecuación es = Y ningún valor de,, puede hacer que dicha igualdad sea ciera. Luego no iene solución. ) Clasificar según el número de soluciones resolver por el méodo de Gauss en su forma maricial (no es válido ningún oro méodo) el siguiene sisema. Si uviera más de una solución, dar dos soluciones concreas ( punos) 8 7 Realiamos ransformaciones lineales de filas en la mari ampliada con el fin de riangulariar la mari de los coeficienes (formada por la mari ampliada salvo la úlima columna A' = 8 7

11 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss Como la resulane es nula, la eliminamos. El sisema queda riangulariado. No basaba con el primer paso, porque ha que dar dos pasos (ha filas). Queda con una ecuación menos que incógnias, por lo que es un sisema compaible indeerminado. Llamamos = (ambién podríamos =, pero no =, pues la riangulariación la forman la ª ª columna cruadas con las filas ª ª, o la ª ª columna cruada con las mismas filas. No la forman ª ª columna. Por ora pare, la ª ecuación proporciona un valor fijo de, por lo que no puede llamarse =, siendo variable arbirariamene escogido por nosoros) ª ecuación =. 8 ª ecuación = = = = Luego la forma general de las infinias soluciones es (,, ). Dos soluciones concreas son = (,, ) = (,, ) DISCUSIÓN DE SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS, POR EL MÉTODO DE GAUSS ) Discua resuelva el siguiene sisema en función del parámero m m 7 m no es una incógnia, sino un parámero para cada valor del mismo, enemos un sisema de ecuaciones diferene. En realidad, esamos resolviendo infinios sisemas de ecuaciones que son mu parecidos enre sí, diferenciándose en el valor de m. Veremos cuándo esos sisemas son compaibles, a sea deerminados o indeerminados, o incompaibles, según los valores del parámero m. La mari ampliada es m 7 m m Si m =, es decir, si m =, la úlima ecuación es ++ =, es decir, =, por lo que podemos eliminarla. Enonces, el sisema será de dos ecuaciones con res incógnias, es decir, compaible indeerminado con infinias soluciones. Llamando = pasándola al segundo miembro de las dos ecuaciones que quedan, el sisema será Susiuendo = (segunda ecuación) en la primera ecuación + = = + = Por ano, las soluciones son de la forma (,, ) Si m el sisema esá riangulariado, no se cumple la condición de incompaibilidad, enemos el mismo número de ecuaciones que de incógnias. Por ello, el sisema es compaible deerminado. Como ambién nos piden resolverlo, sería así IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

12 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss (ª ec.) = /(m ) = (ª ec.) + = ( m ) = (ª ec.) + + = = = El sisema es compaible deerminado, con solución (,, ) ) Discua el siguiene sisema según los valores de a b a a b La mari ampliada es a a b Buscando la riangulariación, usamos para conseguir en odas las posiciones de C salvo la correspondiene a dicha fila. Y lo hacemos así porque es la única fila en la que no aparece ningún parámero, al que no nos ineresa desplegar por oda la mari, lo mismo para C a a b No hemos de seguir, porque a esá riangulariada la primera columna es de salvo en la posición de, la segunda, salvo. La ecuación que iene una única incógnia es la primera. Disinguimos Si a =, la primera fila es oda de la eliminamos, quedando un sisema con dos ecuaciones res incógnias, que observamos con deenimieno b o Si b =, además de que a =, la úlima ecuación es oda de, por lo que ambién la eliminamos. Nos quedará sólo una ecuación con res incógnias, por lo que el sisema será compaible indeerminado. (Para resolverlo, que no piden, llamaríamos, por ejemplo, = =, siendo ésos valores libremene elegidos por nosoros, los pasaríamos al segundo miembro; despejaríamos lo que nos daría la solución en función de ). o Si b, además de que a =, la úlima ecuación sería = b, siendo b no nulo, por lo que sería imposible. Tendríamos un sisema incompaible. Si a, enemos el sisema riangulariado no se cumple la condición de incompaibilidad, por lo que es compaible deerminado. La primera ecuación nos daría un valor único de =. La ercera, nos proporcionaría, valga lo que valga b, la ecuación resane nos daría. IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//

13 Maemáicas Problemas resuelos por el Méodo de Gauss ) Discua el siguiene sisema según los valores de a b a b Tomamos la mari ampliada. Inenando eviar desplegar por oda la mari los parámeros, buscamos en C (la más fácil, porque a iene un cero en una posición), lo haremos a parir de, que no coniene ningún parámero a a b b Ya no ocamos más. A parir de vamos a conseguir en oda la C salvo en, que a no se oca, en la fila usada a b b Ya esá riangulariada. Tomamos la primera ecuación, que sólo iene una incógnia (). Si a =, la ecuación primera queda como = b. o Si a = b = /, la ec. es =, eliminable. El sisema se reduce a / con dos ecuaciones res incógnias, sin cumplir la condición de incompaibilidad. Por ano es compaible indeerminado. Si pasáramos = al oro miembro, nos va a dar infinias soluciones en función del que elijamos nosoros. o Si a = b /, la ec. es = b, no nulo ése úlimo valor. Por lo ano, imposible de verificarse para ningún valor de las incógnias el sisema es incompaible. Si a, enemos el sisema riangulariado, sin la condición de incompaibilidad, con el mismo número de ecuaciones que de incógnias es compaible deerminado. La primera ecuación nos va a proporcionar. La ercera,, valga lo que valga b, la segunda,. IES ernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de hp//