El apartado de logaritmos se ha explicado en clase, el resto de la unidad se desarrollará en grupo (trabajo cooperativo)

Transcripción

1 UNIDAD 2: ARITMÉTICA MERCANTIL El aparado de logarimos se ha explicado en clase, el reso de la unidad se desarrollará en grupo (rabajo cooperaivo) 2 PORCENTAJES. Los porcenajes se pueden hacer con regla de res, calculando el % sumando o resando, pero es necesario que a parir de ahora comprendamos que: a) Si aumenamos un % el precio de C C + C = C + 0 C = 1, C, no 100 necesiamos calcula el % y sumarlo, simplemene muliplicamos por 1,. b) Si disminuimos un % el precio de C C - C = C - 0 C = 0, C, no 100 necesiamos calcula el % y resarlo, simplemene muliplicamos por 0,. r a) Si hay un aumeno porcenual del r%, calculamos C = C i. k siendo k = índice de variación. r b) Si hay una disminución porcenual del r%, calculamos C = C i. k siendo k = y se llama y se llama índice de variación. c) Si hay un encadenamieno de aumenos y disminuciones, calculamos C = C i. k siendo k = k 1. k 2. k 3... Ejercicio : En cuáno se ransforma 250 si aumena un 23%? Y si aumenamos el 10%? Y para el 20%? Y para el 6%? Y para el 6 5%? Y para el 0 3%? Ejercicio 9: En cuáno se ransforma 250 si disminuye un 23%? Y si disminuye el 10%? Y para el 20%? Y para el 6%? Y para el 6 5%? Y para el 0 3%? Ejercicio 10: Di cuál es la variación porcenual (indica si es aumeno o disminución) que corresponde a cada una de las siguienes ransformaciones: a) Índice de variación k = = = ,5 % de aumeno. b) Índice de variación k = 0,93 1 0,93 = = 7 7 % de disminución. c) d) 1 15 e) 1 2 f) g) 0 5 h) 0 i) 0 95 j) 2,35 1

2 Ejercicio 11: Complea la siguiene abla, en cada fila encuenras la canidad inicial y el porcenaje, debemos calcular el índice de variación de aumeno y disminución y las canidades finales correspondienes: C i r % Aumeno C f del aumeno Disminución C f de la disminución , ,5 0, , , , ,5 Problema resuelo: Pusimos un capial de en el banco. En un año después se había ransformado en Qué ano por cieno ha aumenado? No mires la resolución, piénsalo, hazlo y después compara con el siguiene proceso: Obenemos lo mismo si realizamos = 1 054, por ano el aumeno es de 5 4% Es más rápido ese proceso o el que vosoros habéis hecho? Ejercicio : Di cuál es la variación porcenual que corresponde a cada una de las siguienes Cf ransformaciones (para ello calculamos k ): C i Anes Después k % Aumeno o disminución personas personas kilos kilos En ocasiones los aumenos y disminuciones se suceden, para calcular el índice de variación muliplicamos odos los índices de variación, k = k 1. k 2. k 3... Ejercicio resuelo: El precio de la gasolina desde principio de año ha enido los siguienes aumenos y disminuciones: el 2 de enero aumena un 3%, el 4 de febrero disminuye un 2%, el 2 de febrero disminuye un 4%, el 20 de marzo aumena un 5%, el 20 de abril aumena un 3%, el 4 de junio aumena un 2%, el 10 de julio aumena un 3% y el 21 de agoso aumena un 4%. Calcula el cose final si a principios de año valía C f = C i. k 1. k 2. k 3. K = ( ) = =

3 Ejercicio 13: Después de subir un 20%, un arículo vale Cuáno valía anes de la subida? No olvides Cf = k Ci Ejercicio 14: Después de rebajarse en un 35%, un arículo vale Cuáno valía anes de la rebaja? Ejercicio 15: A principios del año 199 el precio de las gasolina es de 1 27 y ha sufrido las siguienes variaciones a lo largo de la década pasada, en 199 aumenó un 1 5%, en 1999 aumenó un 0 %, en 2000 aumenó un 1 2%, en 2001 disminuyó un 1%, en 2002 aumenó un 0 5%, en 2003 disminuyó un 0 65%, en 2004 aumenó un 0 65%, en 2005 aumenó un 0 2%, en 2006 disminuyó un 0 5% y en 2007 aumenó un 0 9%, Cuál es el precio acual de la gasolina? Cuál ha sido el porcenaje final de aumeno o disminución? Ejercicio 16: Un vehículo cosaba el año pasado.540 y ese año se vende a.976, cuál es el índice de variación?, y el aumeno porcenual? Ejercicio 17: Si el precio del alquiler de un aparameno sube un 10% cada año, cuános ardará en duplicarse? 3 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO (TAE). Lo que se gana por el dinero deposiado en el banco se llama inereses, en caso de présamo de dinero, nos cobrará esos inereses. Al ano por cieno anual que paga un banco por deposiar en él un dinero se llama rédio. a) Si un capial esá a un inerés simple, las ganancias se reiran y no se acumulan al capial que las ha generado. I = C. r. siendo C el capial, r el % que me conceden en forma decimal (i) y el iempo en años. De forma que Cf = Ci + I b) Si un capial esá a inerés compueso, al final de cada unidad de iempo las ganancias del capial se acumulan al capial que las ha generado para producir a su vez nuevos inereses (beneficios). Dichos inereses se calculan eniendo en cuena: r B1) Periodo de capialización anual, el capial final será C f = C i. 1 siendo r inerés, 100 años y C i el capial inicial. B2) Periodo de capialización mensual, el capial final será C f = C i. r m 1 siendo r 00 inerés, m el número de meses y C i el capial inicial. B3) periodo de capialización rimesral, el capial final será C f = C i. r r 1 siendo r 400 inerés, r número de rimesres y C i el capial inicial. 3

4 B4) En las cuenas de ahorro ocurre que si los periodos de capialización son inferiores a un año, los inereses anuales producidos por el capial son superiores al rédio que declara el banco. Es lo que se denomina T.A.E. o asa anual equivalene. Ejercicio resuelo: a) Calcula las ganancias que nos genera un capial de al 5% de inerés simple anual en 3 años. Calculamos los inereses I = x 0 05 x 3 = esas son los inereses (las ganancias) Por ano nuesro capial final será C f = = b) Calcula las ganancia que nos genera un capial de al 5% de inerés compueso anual en 3 años. Calculamos direcamene el capial final Cf = Ci x r 1 -> Cf = x ( ) 3 = , es decir, nos apora unas ganancias de A parir de esos ejercicios siempre hablaremos de inerés compueso y cuando nos queramos referir al simple lo especificaremos. Ejercicio 1: Escribe la fórmula del inerés compueso en caso de periodo de capialización diario. Ejercicio 19: Si enemos un capial de al % anual, complea la siguiene abla: 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años Ejercicio 20: Averigua en cuáno se ransforma un capial de al 6% anual durane 4 años si los periodos de capialización son: años meses Días Trimesres Qué periodo de capialización nos conviene más? Ejercicio 21: En cuáno se ransforma un capial de deposiados durane res meses al,5% anual con periodo de capialización mensual? Y si se maniene 5 años con periodo de capialización rimesral? Ejercicio 22: Si deposiamos 500 al 6% anual, durane 2 años, con periodo de capialización mensuales. Cuáno pagará el banco al final de los dos años? Ejercicio 23: Si deposiamos durane 0 días al 14% de inerés anual, con periodo de capialización diario. En cuáno se conviere? Cuando el periodo de capialización es menor al año, los beneficios que obenemos corresponden a % mayor llamado TAE, cómo calculamos el TAE? 4

5 Si en el ejercicio 22 consideramos el 6% con periodo anual endremos C f = = , en cambio, si el periodo es mensual endremos C f = = 530,39 a 00 qué se debe la diferencia? Cuando el periodo de capialización es menor al año, el % es mayor al indicado (6%), cómo lo calculamos? Simplemene enemos que calcular 6 1 = 00 0,062 r = 0,062 x 100 = 6,2% es el TAE Calcula el TAE correspondiene al ejercicio 23. Ejercicio resuelo: Un banco da el % de inerés anual pagadero en periodo de capialización mensual: a) Si deposiamos 400 en un año, qué capial obenemos? C f = C i. r 1 m 0 0 = = b) Qué TAE ofrece el banco? = 1 03, luego es TAE 3% Ejercicio 24: Calcula el ano por cieno anual al que se han de colocar 600 para que en dos años se convieran en 699,4. Ejercicio 25: En cuános años, 236 colocados al 5% de inerés compueso se converirán en ? Ejercicio 26: Calcula el capial final obenido para un capial de al 10% con pagos mensuales de inereses durane un año. Calcula el TAE correspondiene. Ejercicio 27: Decidimos hacer una inversión de y la enidad financiera decide darnos un 6 5% anual. Calcula cuáno dinero obendremos después de dos años: a) Si nos dan un inerés simple. b) Período de capialización anual. c) Período de capialización semesral. d) Período de capialización mensual. e) Período de capialización diario. f) Cuál es el T.A.E. correspondiene en el aparado c, d y e? g) Cuál es el período de capialización más ineresane? 4 ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN. Son canidades iguales que se abonan al principio de cada año a una enidad financiera para formar, juno con sus inereses compuesos, un deerminado capial al cabo de un número de años. Ejemplo: planes de jubilación, plazos fijos, ec. De esa forma endremos que: 5

6 n 1 i 1 C f = A (1 + i) A = anualidad de capialización, i % en forma decimal, n i número de años. En dicha fórmula podemos susiuir i por r/k siendo k periodo de iempo inferior al año. Ejercicio resuelo: Luis decide ingresar.000 cada año al 5% para reirarlo denro de 15 años. Cuáno dinero recibirá? C f = A (1 + i) 1 i n 1 =.000 ( ) = i 0 05 ** Cuidado, si no obienes el mismo resulado es porque e ha falado un parénesis en la calculadora:.000 ( ) Ejercicio 2: Un ciudadano ingresa en el banco odos los años en la misma fecha en una cuena que le produce el 6% anual. Qué canidad habrá acumulado al cabo de 3 años? Ejercicio 29: Un rabajador ahorra anuales que ingresa en el banco al principio de cada año. Si el banco le da un 9 5% de inerés, qué canidad endrá al cabo de una década? Ejercicio 30: Una señora decidió cuando cumplió 35 años ingresar odos los años hasa que se reire de rabajar. Una sociedad gesora le garanizó el 5 4% de inerés anual. Si reiró Con qué edad dejó de rabajar? Ejercicio 31: Una señora decidió cuando cumplió 35 años ingresar odos los años una canidad fija hasa que se reire de rabajar. Una sociedad gesora le garanizó el 5 4% de inerés anual. Si reiró a los 60 años. Qué canidad ingresó cada año? Ejercicio 32: En un banco se ofera un plan de jubilación con un rédio del 5% fijo, durane el período de vida del plan. Una persona esá ineresada en obener un capial final de denro de 30 años, que es el iempo que le fala para jubilarse. Qué anualidad de capialización debe aporar al principio de cada año? Ejercicio 33: Una persona ingresa en un plan de jubilación al principio de cada año. La compañía de seguros le genera un inerés del 6% fijo anual, durane oda la vida del plan. Qué capial se habrá formado al final de los 15 años? 5 ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN. Son canidades iguales que se abonan al final de cada año (o unidad de iempo) a una enidad financiera, para pagar el impore de una deuda conraída y los inereses compuesos cargados por su deuda. A = D.i(1 i) (1 i) 1 r A = anualidad, D = deuda conraída, i = 100, = años 6

7 i D. 1 Si fuese mensualidad endríamos M = m i 1 i 1 m M = mensualidad Ejercicio resuelo: Hemos soliciado un présamo de al 6 5% anual para devolverlo durane años. Qué canidad anual hemos de pagar para amorizar el présamo? ( ) A = 3247, 46 ( ) 1 *** Observa que si pagamos dicho présamo durane años en anualidades de 32.47,46, finalmene habremos pagado 32.47,46 x = , 6. *** Si no consigues la canidad del ejemplo es porque necesias poner, en la calculadora, ( ) parénesis en el denominador. Es decir, ( ) 1 Ejercicio 34: Hemos soliciado una hipoeca de a nuesro banco, y deseamos pagarla en periodos anuales. El banco nos la ha concedido al 3 % de inerés anual. Debiendo pagar por ello cada año. Cuános años ardaremos en amorizar la hipoeca? Ejercicio 35: Para amorizar un présamo de al 9% anual fijo en el plazo de 15 años, qué canidades fijas e iguales debe pagar al final de cada año para amorizar la deuda? Ejercicio 36: Un ayunamieno conrae una deuda de 20 millones de euros que debe amorizar en el plazo de 40 años. El rédio fijo anual es del 5%. Qué canidad debe abonar cada año? Ejercicio 37: Luis se compra una moo de 1.200, para ello pide un présamo por su oalidad al 5% anual que pagará en mensualidades de Cuáno iempo ardará en pagarla? Ejercicios volunarios del libro: página 46, ejercicios del 53, 54, 55, 57, 61 al 66, 72 al 79, 1. 7