PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL SEPTIEMBRE Apellidos Nombre. DNI / NIE Centro de examen

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1 CALIFICACIÓN: Consejería de Educación, Ciencia y Culura PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL SEPTIEMBRE 011 Resolución de 9 de marzo de 011 (DOCM de 5 de abril) DNI / NIE Cenro de examen PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Insrucciones Generales - Duración del ejercicio: horas - Manenga su DNI en lugar visible durane la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuesas enregadas al final de ese documeno y enregue ese cuadernillo compleo al finalizar la prueba. - Lea deenidamene los exos, cuesiones o enunciados. - Cuide la presenación y, una vez erminada la prueba, revísela anes de enregarla. - Se puede uilizar cualquier ipo de calculadora cienífica no programable. - Se pueden uilizar insrumenos de dibujo para las represenaciones si lo considera oporuno. Crierios de calificación - El aspirane debe realizar cuaro ejercicios, eligiendo ejercicios de cada opción. - Si un aspirane realiza más de ejercicios de la misma opción, sólo se calificarán los dos primeros realizados. - Esa prueba se calificará numéricamene enre 0 y 10, en función de los siguienes crierios: Todos los ejercicios ienen una punuación de 5 punos. Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presenación. Se valorará el orden y el rigor en el planeamieno y el uso correco del lenguaje maemáico. Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. Se valorarán negaivamene los errores concepuales. - La noa de la pare común será la media ariméica de las calificaciones obenidas en cada una de las maerias de las que consa. Esa noa media de la pare común deberá ser igual o superior a cuaro punos para que haga media con la pare específica. Dirección General de Formación Profesional

2 Opción A (elegir ejercicios) EJERCICIOS Ejercicio 1 Dados dos punos A(, 1) y B(1, ), hallar: a) Ecuación de la reca que pasa por los punos A y B. b) Pendiene de dicha reca. c) Punos de core de la reca con los ejes de coordenadas. d) Disancia enre los punos A y B. Ejercicio Observa la siguiene gráfica en la que el eje de abcisas represena los 1 meses del año y el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una pequeña empresa exil. Responde, de manera razonada, a las siguienes cuesiones: a) Qué ganancias logró en mayo? En qué mes consiguió unos beneficios de.300? b) Durane qué meses obuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a ener beneficios? c) Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? d) En qué período del año experimenó un descenso en los beneficios? e) Esima, de manera aproximada, los beneficios obenidos durane el año. Dirección General de Formación Profesional

3 Ejercicio 3 Una empresa ha gasado en comprar un móvil a cada uno de sus 5 empleados. Su compañía elefónica oferó dos modelos diferenes, uno a 75 y oro a 50. Cuános móviles de cada modelo compró? Ejercicio 4 Una urna coniene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y bolas rojas. Hacemos dos exracciones: a) Calcula la probabilidad de obener dos bolas blancas, si las exracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. b) Calcula la probabilidad de obener una bola blanca y ora negra, si las exracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Opción B (elegir ejercicios) Ejercicio 5 El crecimieno de una colonia de abejas esá deerminado por la siguiene ecuación: 30 P( ) 0, ,5 e Cuánas abejas había inicialmene? Cuáno iempo le omará a las abejas ener una población igual a 180? Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho iempo ( )? Ejercicio 6 Midiendo el iempo (en minuos) que han ardado los paricipanes de una carrera en llegar a la mea, hemos obenido los siguienes resulados. TIEMPO [0, 3] [3, 6) [6, 9) [9, 3) [3, 35) Nº CORREDORES a) Calcula el iempo medio empleado por los corredores y la desviación ípica. b) Se raa de un grupo de corredores homogéneo o heerogéneo? Dirección General de Formación Profesional 3

4 Ejercicio 7 Se desea saber la alura de un árbol siuado en la orilla opuesa de un río. La visual del exremo superior del árbol desde un ciero puno forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 5,9 meros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la alura del árbol. Ejercicio 8 El censo de población en edad laboral en un pueblo es de habianes. El 60 % de los habianes son mujeres y el reso de los hombres. De las mujeres el 50 % esán en paro y de los hombres el 10 %. a) Complea la siguiene abla Parados Trabajado Toal Hombres Mujeres Toal b) Cuános habianes esán parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. c) Cuánas mujeres esán rabajando? Si se elige una persona del censo Cuál es la probabilidad de que sea mujer y rabaje? d) Si se elige un individuo al azar que resula esar rabajando Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Dirección General de Formación Profesional 4

5 Opción A (elegir ejercicios) SOLUCIONES Ejercicio 1 Dados dos punos A(, 1) y B(1, ), hallar: a) Ecuación de la reca que pasa por los punos A y B. b) Pendiene de dicha reca. c) Punos de core de la reca con los ejes de coordenadas. d) Disancia enre los punos A y B. Solución. a) Ecuación de la reca que pasa por los punos A y B. La ecuación de la reca es de la forma y = mx + n. En ese caso, hacemos pasar a reca por los punos A y B. x y = mx + n 1 = m () + n m + n = = m 1 + n m + n = Resolvemos el sisema calculando primeramene por reducción la pendiene m: m n 1 m n Y para calcular n: x( 1) m n 1 m n m 3 m + n = 3 + n = n = + 3 = 5. Solución: La ecuación de la reca es y = 3x + 5 b) Pendiene de dicha reca. Por lo viso en el aparado anerior, la pendiene es m = 3. Dirección General de Formación Profesional 5

6 c) Punos de core de la reca con los ejes de coordenadas. Dada la ecuación de la reca y = 3x + 5 enonces los punos de core vienen deerminados por: Con el eje OX hacemos y = 0. En ese caso, 0 3x 5 3x 5 x 5 3 Por lo ano, hay core en el eje de abcisas en el puno Con el eje OY hacemos x = 0. En ese caso, y = = 5 5, 3 0 Por lo ano, hay core en el eje de ordenadas en el puno (0, 5) d) Disancia enre los punos A y B. La disancia enre los dos punos viene deerminada por el módulo del vecor Calculamos dicho módulo: AB. d ( A, B) AB ( 1) unidades Por lo ano, la disancia enre los dos punos A y B es 10 unidades. Dirección General de Formación Profesional 6

7 Ejercicio Observa la siguiene gráfica en la que el eje de abcisas represena los 1 meses del año y el eje de ordenadas las ganancias mensuales, en miles de euros, de una pequeña empresa exil. Responde, de manera razonada, a las siguienes cuesiones: a) Qué ganancias logró en mayo? En qué mes consiguió unos beneficios de.300? b) Durane qué meses obuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a ener beneficios? c) Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? d) En qué período del año experimenó un descenso en los beneficios? e) Esima, de manera aproximada, los beneficios obenidos durane el año. Solución a) Qué ganancias logró en mayo? En qué mes consiguió unos beneficios de.300? En mayo ha enido unos beneficios de.000. Los meses en que hay un beneficio de.300 es durane mayo y en sepiembre. b) Durane qué meses obuvo pérdidas la empresa y cuándo comenzó a ener beneficios? Los meses de perdidas fueron enero, febrero y beneficios. marzo. A parir de abril hay Dirección General de Formación Profesional 7

8 c) Cuáles fueron los mayores beneficios conseguidos y en qué mes se alcanzaron? Los máximos beneficios se alcanzan en Julio y son de d) En qué período del año experimenó un descenso en los beneficios? En el segundo semesre del año se regisran descensos de los beneficios. e) Esima, de manera aproximada, los beneficios obenidos durane el año. Si enendemos la preguna como beneficio oal, se observa en la gráfica que los beneficios ienen a ser de.000 euros a 31 de diciembre. Ejercicio 3 Una empresa ha gasado en comprar un móvil a cada uno de sus 5 empleados. Su compañía elefónica oferó dos modelos diferenes, uno a 75 y oro a 50. Cuános móviles de cada modelo compró? Solución. Llamamos x al número de móviles cuyo precio es 75 e y al número de móviles cuyo precio es 50 En ese caso, podremos crear un sisema de ecuaciones según lo que se nos describe: Ha gasado oferando dos modelos diferenes, uno a 75 y oro a x + 50y = Compra un móvil a cada uno de sus 5 empleados x + y = 5 Resolvemos el sisema por el méodo de reducción: 75x 50y x y 5 Pueso que x = 10 y x + y = 5 enonces : 5 x( ) 3x y 60 x y 50 x 10 y = 5 x = 5 10 = 15. Solución: Habrá 10 móviles que cuesan 75 y 15 móviles que cuesan 50. Dirección General de Formación Profesional 8

9 Ejercicio 4 Una urna coniene 4 bolas negras, 3 bolas blancas y bolas rojas. Hacemos dos exracciones: a) Calcula la probabilidad de obener dos bolas blancas, si las exracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. b) Calcula la probabilidad de obener una bola blanca y ora negra, si las exracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Solución. a) Calcula la probabilidad de obener dos bolas blancas, si las exracciones se hacen CON REEMPLAZAMIENTO. Mediane el siguiene diagrama de árbol que ilusra el experimeno de doble exracción: La probabilidad de obener dos bolas blancas será: P ( Dos bolas blancas ) Dirección General de Formación Profesional 9

10 b) Calcula la probabilidad de obener una bola blanca y ora negra, si las exracciones se hacen SIN REEMPLAZAMIENTO. Mediane el siguiene diagrama de árbol que ilusra el experimeno de doble exracción: La probabilidad de obener una bola blanca y ora negra será: P ( Una bola blanca y la ora negra ) Dirección General de Formación Profesional 10

11 Opción B (elegir ejercicios) Ejercicio 5 El crecimieno de una colonia de abejas esá deerminado por la siguiene ecuación: 30 P( ) 0, ,5 e Cuánas abejas había inicialmene? Cuáno iempo le omará a las abejas ener una población igual a 180? Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho iempo ( )? Solución. 1) Cuánas abejas había inicialmene? Para calcular las abejas que hay inicialmene hacemos P(0): P ( 0) 4 0, ,5 e 1 56,5 57,5 abejas. ) Cuáno iempo le omará a las abejas ener una población igual a 180? Igualamos la expresión funcional a 180, muliplicamos en cruz y deshacemos el parénesis, ,5 e 0, (1 56,5 e ) e 0,37 0, e 0, e 0, e 0,37 Despejamos omando logarimos neperianos. Ln (1) Ln(03 4 e ) 0 Ln(03 4) Ln( e 0,37 0,37 0 Ln(03 4) 0 37 Ln( e) 0 Ln(03 4) 0 37 ) Ln(03 4) minuos Por ano, ardarán años. Dirección General de Formación Profesional 11

12 3) Cuál será la población de las abejas cuando pase mucho iempo ( )? Para calcular la población de las abejas cuando pase mucho iempo hacemos el límie cuando el iempo iende a infinio de la expresión funcional. 30 lim P( ) lim, ,5 e ,5 e Dirección General de Formación Profesional , abejas Por lo ano, cuando pase mucho iempo la población se esabilizará en 30 abejas. Ejercicio 6 Midiendo el iempo (en minuos) que han ardado los paricipanes de una carrera en llegar a la mea, hemos obenido los siguienes resulados. TIEMPO [0, 3] [3, 6) [6, 9) [9, 3) [3, 35) Nº CORREDORES a) Calcula el iempo medio empleado por los corredores y la desviación ípica. b) Se raa de un grupo de corredores homogéneo o heerogéneo? Solución. a) Calcular e iempo medio empleado por los corredores y la desviación ípica. Procedemos en los inervalos deerminados a calcular las marcas de clase y los valores que nos son necesarios: Inervalo Marca de clase (x j ) f i x j f i x j fi [0, 3) x 1 = x 1 = 46 5 [3, 6) x 5 = x 5 = [6, 9) x 9= x 9= [9, 3) x 9 = x 9 = [3, 35) x 6 = x 6 = Toales f = 50 n j x j = 1417 n j x j = Por lo ano, la media ariméica es: j f j x j 1417 X 8 34 minuos f 50 j

13 Uilizando la fórmula de la varianza muesral: donde: s ( X ) M( X ) [ M( X )] M ( X ) X x j n f j, M ( X ) x j n f j Por lo ano, la varianza es: s ( X ) M ( X ) [ M ( X )] minuos 50 y la desviación ípica será su raíz cuadrada: s s minuos b) Se raa de un grupo de corredores homogéneo o heerogéneo? Se raa de un grupo muy homogéneo por cuano la desviación ípica es muy pequeña. Dirección General de Formación Profesional 13

14 Ejercicio 7 Se desea saber la alura de un árbol siuado en la orilla opuesa de un río. La visual del exremo superior del árbol desde un ciero puno forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 5,9 meros hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la alura del árbol. Solución. Llamamos x a la disancia enre el puno de segunda medición y la base del árbol. Por ora pare, llamamos h a la alura del árbol. La represenación adjuna ilusra la siuación planeada: Aplicando la razón angene sobre cada ángulo, endremos un sisema de dos ecuaciones con dos incógnias que resolvemos por el méodo de igualación: h g 31º x h x g 31º h g 17º h ( x 5 9) g 17º x 5 9 x g 31º ( x 5 9) g 17º x g 31º x g 17º 5 9 g 17º x g 31º x g 17º 5 9 g 17º 5 9 g 17º x ( g 31º g 17º ) 5 9 g 17º x 6 83 m g 31º g 17º Por lo ano, el puno donde se oma la segunda observación esá siuado a 6 83 m del árbol. La alura del árbol será: h = x g 31º = 6 83 g 31º = 16 1 m Dirección General de Formación Profesional 14

15 Ejercicio 8 El censo de población en edad laboral en un pueblo es de habianes. El 60 % de los habianes son mujeres y el reso de los hombres. De las mujeres el 50 % esán en paro y de los hombres el 10 %. a) Complea la siguiene abla Parados Trabajado Toal Hombres Mujeres Toal b) Cuános habianes esán parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. c) Cuánas mujeres esán rabajando? Si se elige una persona del censo Cuál es la probabilidad de que sea mujer y rabaje? d) Si se elige un individuo al azar que resula esar rabajando Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución. a) Complea la siguiene abla Hacemos el 60 % del oal de personas para saber cuánas mujeres hay: Dirección General de Formación Profesional % de Por lo ano, hay 600 mujeres y los 400 resanes serán hombres. De las 600 mujeres, hacemos el 50 % para saber cuánas esán paradas: % de Por lo ano, 300 mujeres esán en el paro y las oras 300 rabajando.

16 De los 400 hombres, hacemos el 10 % para saber cuános esán parados: 10 % de Por lo ano, 40 hombres esán parados y los oros 360 rabajando. Así, la abla queda del siguiene modo: Hombres Mujeres Toal Parados Trabajado Toal b) Cuános habianes esán parados? Si se elige una persona del censo cuál es la probabilidad de que sea un parado. Según la abla anerior, hay un oal de = 340 parados. La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea un parado es, según la regla de Laplace: Dirección General de Formación Profesional P ( parado) Por lo ano, podemos decir que hay un porcenaje de probabilidad del 34 % de que escogida una persona al azar, esé en el paro. c) Cuánas mujeres esán rabajando? Si se elige una persona del censo Cuál es la probabilidad de que sea mujer y rabaje? Según la abla del aparado a), hay un oal de 300 mujeres rabajando. La probabilidad de escoger una persona al azar y que sea una mujer que rabaje es: P ( mujer y rabaja ) Por lo ano, podemos decir que hay un porcenaje de probabilidad del 30 % de que escogida una persona al azar, sea mujer y esé rabajando.

17 d) Si se elige un individuo al azar que resula esar rabajando Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Según la abla del aparado a), el oal de personas rabajando es de = 660. La probabilidad de escoger una persona al azar enre los que rabajan y que sea una mujer es: P ( mujer / rabaja ) Por lo ano, podemos decir que hay un porcenaje de probabilidad del % de que escogida una persona al azar de enre las que rabajan, sea mujer. Dirección General de Formación Profesional 17