PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

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1 CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO 2014 Apellidos Nombre Centro de examen Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS - Duración del ejercicio: Hora y media. - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y la ortografía. - Revise la prueba antes de entregarla. Esta materia de la prueba calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios: Criterios de calificación - El aspirante debe realizar una cinco ejercicios de los siete propuestos. - Si el aspirante realiza más de cinco ejercicios, sólo se calificarán los cinco primeros realizados. - Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2 puntos, distribuidos de la siguiente manera: - Ejercicio 1.. a) 1 punto b) 1 punto - Ejercicio puntos. - Ejercicio 3.. a) 0 5 puntos b) 0 5 puntos c) 1 punto - Ejercicio 4.. a) 0 5 puntos b) 0 5 puntos c) 0 5 puntos d) 0 5 puntos - Ejercicio 5.. a) 0 5 puntos b) 0 5 puntos c) 0 5 puntos d) 0 5 puntos - Ejercicio puntos - Ejercicio 7.. a) 0 75 puntos b) 0 75 puntos c) 0 5 puntos

2 - Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. - Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. - Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales. La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica. EJERCICIOS Ejercicio 1 A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de hombres. a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres y niños que asisten a la reunión. b) Resolver el sistema. Ejercicio 2 Un padre reparte 840 de forma inversamente proporcional a las edades de sus tres hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno. 2

3 Ejercicio 3 La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva en función del tiempo del tiempo en años es a) Calcular la cantidad inicial. b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años. c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede sea de un gramo. Ejercicio 4 Dados los puntos A(2, 3) y B( 1, 4), calcular a) La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos. b) La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta. c) La ecuación de la recta paralela a r que pase por C( 1, 2). d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C( 1, 2). Ejercicio 5 Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en casa, obteniéndose los siguientes resultados: Si tienen No tienen Totales 3º ESO º ESO Totales Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que: a) Sea de 3º y no tenga ordenador. b) Sea de 4º y tenga ordenador. c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º. d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador. 3

4 Ejercicio 6 Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo es de 60º. Halla la altura de la torre. Ejercicio 7 Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene dado por la función P(t) = 2t t, siendo t el número de días desde que se detectó el primer caso. a) Durante cuántos días el número de casos aumenta?, cuándo disminuye? b) Cuánto es máximo el número de afectados?, cuántos afectados son? c) Cuántos afectados había el tercer día? 4

5 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2014 Ejercicio 1 A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas. La suma del número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños. Si hubieran asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de hombres. a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres y niños que asisten a la reunión. b) Resolver el sistema. Solución a) Escribir un sistema de ecuaciones para determinar el número de hombres, mujeres y niños que asisten a la reunión. Solución. Nombramos con x al número de hombres; con y al número de mujeres; y con z al número de niños. Por los datos e información ofrecidos podremos describir el problema mediante las siguientes ecuaciones, A una reunión, entre hombres y mujeres y niños acuden 27 personas x + y + z = 27 La suma del número de mujeres y de hombres es el doble del número de niños y + x = 2z Si hubieran asistido un hombre más y una mujer menos, entonces el número de mujeres sería el doble que el de hombres. y 1 = 2 (x + 1) Esto nos lleva a un sistema de tres ecuaciones lineales que se puede expresar del siguiente modo: 5

6 b) Resolver el sistema. Este sistema se puede resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. Pasamos primero el sistema a la correspondiente Matriz de Gauss. Resolvemos, mediante transformaciones lineales, Escribimos el sistema que corresponde a la matriz transformada y resolvemos, Concluimos que hay 5 hombres, 13 mujeres y 9 niños en la reunión. 6

7 Ejercicio 2 Un padre reparte 840 de forma inversamente proporcional a las edades de sus tres hijos, que son 6, 10 y 12 años. Calcular el dinero que corresponde a cada uno. Solución. Haremos un reparto directamente proporcional a los inversos de las edades. Los inversos de las edades de los tres hijos son, Sumamos los inversos de las edades. Por lo tanto, al hijo cuya edad es 6 años le corresponderán, Fracción Dinero 840 x Al hijo cuya edad es 10 años le corresponderán, Fracción Dinero 840 y Y el hijo cuya edad es 12 años le corresponderán, = 200 7

8 Ejercicio 3 La fórmula que da la cantidad en gramos, de una determinada sustancia radioactiva en función del tiempo del tiempo en años es a) Calcular la cantidad inicial. b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años. c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede sea de un gramo. Solución. a) Calcular la cantidad inicial. Se trata de calcular la imagen de t = 0 años. Por lo tanto, la cantidad será de 100 gramos. b) Calcula la cantidad al cabo de 10 años. Se trata de calcular la imagen de t = 10 años. Por lo tanto, la cantidad será de gramos. c) Calcular los años que tienen que transcurrir para que la cantidad que quede sea de un gramo. Se trata de calcular igualar la función a 1 y resolver. Por lo tanto, pasarán aproximadamente años. 8

9 Ejercicio 4 Dados los puntos A(2, 3) y B( 1, 4), calcular a) La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos. b) La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta. c) La ecuación de la recta paralela a r que pase por C( 1, 2). d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C( 1, 2). Solución. a) La ecuación de la recta r que pasa por los dos puntos. Un vector director de la recta r es, Por lo tanto, la ecuación continua de la recta r es, Y la ecuación general de la recta r es, b) La pendiente y los puntos de corte con los ejes de dicha recta. Puesto que un vector director de la recta r es, La pendiente de la recta r es, 9

10 Calculamos ahora los puntos de corte, Corte con el eje OX. Hacemos y = 0 en la ecuación de la recta, Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (11, 0) Corte con el eje OY. Hacemos x = 0 en la ecuación de la recta, Por lo tanto, el punto de corte con el eje de abcisas es (0, 11/3) c) La ecuación de la recta paralela a r que pase por C( 1, 2). Puesto que la recta s es paralela a r, tendrá la misma dirección y, por tanto, los mismos vectores directores. En ese caso, la ecuación continua de la recta s que es paralela a r que pasa por C( 1, 2), Y la ecuación general de la recta s es, d) La ecuación de la recta perpendicular a r que pase por C( 1, 2). Sabemos que un vector perpendicular a v = (a, b) es n = ( b, a). Puesto que la recta t es perpendicular a r, y un vector director de r es ( 3, 1), entonces su vector director será 10

11 En tal caso, la ecuación continua de la recta t que es perpendicular a r y que pasa por C( 1, 2), Y la ecuación general de la recta t es, Ejercicio 5 Se ha preguntado a unos alumnos de 3º y 4º ESO si tienen o no ordenador en casa, obteniéndose los siguientes resultados: Si tienen No tienen Totales 3º ESO º ESO Totales Si se elige a un alumno al azar, calcular la probabilidad de que: a) Sea de 3º y no tenga ordenador. b) Sea de 4º y tenga ordenador. c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º. d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador. Solución Primeramente completamos la tabla del enunciado, Si tienen No tienen Totales 3º ESO º ESO Totales

12 a) Sea de 3º y no tenga ordenador. Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla, Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 3º y no tenga ordenador es del 35 %. b) Sea de 4º y tenga ordenador. Aplicamos la regla de Laplace utilizando los resultados obtenidos en la tabla, Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º y tenga ordenador es del 20 %. c) Tenga ordenador, sabiendo que el alumno elegido es de 3º. Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en la tabla, tendremos, Por lo tanto, la probabilidad de que tenga ordenador sabiendo que es de 3º es del %. d) Sea de 4º, sabiendo que el alumno elegido no tiene ordenador. Se trata de una probabilidad condicionada. Utilizando los resultados obtenidos en la tabla, tendremos, Por lo tanto, la probabilidad de que sea de 4º ESO sabiendo que no tiene ordenador es, aproximadamente, del %. 12

13 Ejercicio 6 Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo es de 60º. Halla la altura de la torre. Solución Se trata de un problema de trigonometría de doble observación. Representamos la situación mediante el dibujo adjunto. Calculamos las tangentes de los dos ángulos, Resolvemos el sistema, Calculamos la altura de la torre, Por lo tanto, la torre mide, aproximadamente m. 13

14 Ejercicio 7 Tras la aparición de cierta enfermedad infecciosa, el número de afectados viene dado por la función P(t) = 2t t, siendo t el número de días desde que se detectó el primer caso. a) Durante cuántos días el número de casos aumenta?, cuándo disminuye? b) Cuánto es máximo el número de afectados?, cuántos afectados son? c) Cuántos afectados había el tercer día? Solución. a) Durante cuántos días el número de casos aumenta?, cuándo disminuye? Se trata de una función polinómica de segundo grado función cuadrática cuya representación gráfica es una parábola. Sabemos que, como el coeficiente de segundo grado es positivo (a = 2) la parábola tendrá las ramas hacia abajo. Eso nos indica que la función es creciente hasta la abcisa del vértice y después es decreciente. Observamos Igualmente que el valor inicial de afectados en un primer momento es: P(0) = = 0 El vértice de la parábola estará en el valor de abcisa: Por simetría, si el vértice está en la abcisa x = 12 y P(0) = 0 entonces P(24) = 0 ya que x = 24 dista lo mismo del vértice que x = 0. Por lo tanto, se produce un aumento del número de afectados entre los instantes 0 y 12 días. Entre 12 días y 24 días disminuye. 14

15 b) Cuánto es máximo el número de afectados?, cuántos afectados son? El número máximo de afectados se produce en el día 12. El número de afectados será, P(12) = = = = 288 Concluimos que el número máximo de afectados se produjo en el día 12 y fue de un total de 288. c) Cuántos afectados había el tercer día? El número de afectados del tercer día fueron, P(3) = = = = 126 Concluimos que el número de afectados del tercer día es