ANDALUCÍA JUNIO 2004

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1 ANDALUCÍA JUNIO 004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Insrucciones: a) Duración: 1 hora y 0 minuos. b) Elija una de las dos opciones propuesas y conese los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, pare o aparado se indica la punuación máxima que le corresponde. d) Puede usar una calculadora no programable y no gráfica. e) Si obiene resulados direcamene con la calculadora, explique con dealle los pasos necesarios para su obención sin su ayuda. Jusifique las respuesas. OPCIÓN A EJERCICIO 1 x+ y 6 x y 1 Sea el sisema de inecuaciones x + y x 0 a) Dibuje el recino cuyos punos son las soluciones del sisema y obenga sus vérices. ( punos) b) Halle los punos del recino en los que la función F( x, y) = x y oma los valores máximo y mínimo, y deermine ésos. (1 puno) a) En primer lugar represenamos las región facible: En segundo lugar calculamos los vérices: x+ y = 6 x+ y = 1 5x= 5 x= 5; y = 6 5= 1 A= (5,1) x y = 1 x y = 1 x y = 1 x y = 1 11y = y = ; x= + 6 = B= (, ) x+ y = x 9y = 9 x+ y = C = (0, 1) x = 0 x+ y = 6 D = (0,6) x = 0

2 b) Los punos del recino (vérices) en los que la función F( x, y) = x y oma los valores máximo y mínimo: F(5,1) = 5 = F(, ) = + 4 = 7 Luego el máximo esá en B = (, ) y el mínimo en C = (0,6) F(0, 1) = 0 + = F(0, 6) = 0 1 = 1

3 EJERCICIO La emperaura T, en grados cenígrados, que adquiere una pieza someida a un proceso viene dada en función del iempo, en horas, por la expresión: T ( ) = con0 4 a) Represene gráficamene la función T y deermine la emperaura máxima que alcanza la pieza. (1.5 punos) b) Qué emperaura endrá la pieza ranscurrida 1 hora? Volverá a ener esa misma emperaura en algún oro insane? (1.5 punos) a) Observamos que la función T () es una función cuadráica y por lo ano su represenación gráfica corresponde a una parábola. Puno de core con los ejes: = 0 T( ) = 0 (0,0) = 0 (0,0) T () = = 0 (40 10) = = 0 = 4 (4,0) Crecimieno, decrecimieno, máximos y mínimos: T'( ) = 40 0 = 0 = (,40) T () = = 40 (,) T ( ) es creciene; (, ) T ( ) es decreciene (,40) es un máximo. Concavidad, convexidad, y punos de inflexión: T ''( ) = 0 La función T ( ) es siempre cóncava. La emperaura máxima es de 40 grados cenígrados. b) T (1) = = 0 grados cenígrados. T simplificamos ( ) = = = = 0 4± ± = = = = A las horas ambién alcanza 0 grados cenígrados. = 1

4 EJERCICIO Pare I María y Laura idean el siguiene juego: cada una lanza un dado, si en los dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María; y en cualquier oro caso hay empae. a) Calcule la probabilidad de que gane Laura. (1 puno) b) Calcule la probabilidad de que gane María. (1 puno) Exisen 6 sucesos posibles al lanzar dos dados: (1,1) (,) (,) (4,4) (5,5) (6,6) 6 sucesos corresponden a sacar el mismo resulado. (,4) (4,) (,5) (5,) (1.6) (6,1) 6 sucesos corresponden a sacar en la suma de ambos. 6 1 a) P( gane Laura) = = b) P( gane María) = = 6 6 Pare II Un fabricane de pilas alcalinas sabe que el iempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una disribución Normal de media desconocida y varianza 600. Con una muesra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% ha obenido para la media el inervalo de confianza (7.6, 9.). a) Calcule el valor que obuvo para la media de la muesra y el amaño muesral uilizado. (1 puno) b) Cuál sería el error de su esimación, si hubiese uilizado una muesra de amaño 5 y un nivel de confianza del 86.9%? (1 puno) σ 60 X Z 7.6 = X n = n a) 1 = 0.95 Z = σ X + Z = 9. X = 9. n n 5. resamos ambas ecuaciones = 19.6 n = 144 n 600 X = = b) 1 = = = Z = 1.51 σ 60 E =± Z =± 1.51 =± 6.04 n 5

5 OPCIÓN B EJERCICIO Sean las marices A=, B=, C = a) Calcule la mariz P que verifica B P A= C. ( C, indica ranspuesa de C) ( punos) b) Deermine la dimensión de la mariz M para que pueda efecuarse el produco AM C. (0.5 punos) c) Deermine la dimensión de la mariz N para que C N sea una mariz cuadrada. (0.5 punos) a) B P= C + A B B P= B C + A P= B C + A ( ) ( ) Vamos a hacer la inversa de B: B = B = 1 1 Hagamos C + A: C = ; A+ C = + = Finalmene calculamos P: ( ) = + = = P B C A b) A es de dimensión x y C es de dimensión x. Para poder realizar el produco AM, M debe ener filas. Para poder realizar el produco M C, M debe ener columnas. Luego M ha de ser de dimensión x. c) La mariz C iene dimensión x, luego su ranspuesa endrá dimensión x, y para que sea posible el produco C N, N debe ener filas. Si además queremos que la mariz produco sea cuadrada N ha de ener columnas, y así la mariz produco será x.

6 EJERCICIO a) Halle los valores de a y b para que la función f ( x) = x + ax + b enga un exremo relaivo en el puno (-,). (1.5 punos) b) Halle la ecuación de la reca angene a la curva y = x 4x + en su puno de inflexión. (1.5 punos) a) x = 0 a f '( x) = x + ax= 0 x(x+ a) = 0 a = a= x+ a= 0 x= = ( ) + ( ) + b = b b = 1 b) y x y x x y ' = 4; '' = 6 = 0 = 0; (0) = (0,) y y = y x x x ( x, y ) = (0,) y = x y = x '( 0)( 0) 4( 0) 4 y'( x0) = y'(0) = 4 EJERCICIO Pare I Dados dos sucesos aleaorios A y B, se sabe que: C 1 PB ( ) = ypa ( ) = PA ( / B) = 4 C ( B indica el complemenario del suceso B). a) Razone si los sucesos A y B son independienes. (0.75 punos) b) Calcule PA ( B). (1.5 punos) c 1 a) P( B ) = 1 P( B) = P( B) = PA ( B) 1 ( / ) ( ) ( ) ( ) 4 1 PA B= = PA B = PB PA B= = PB ( ) = P( A B) = P( A) P( B) = = Si son independienes b) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = + = = =

7 Pare II El peso de los paquees enviados por una deerminada empresa de ranspores se disribuye según una ley Normal, con una desviación ípica de 0.9 kg. En un esudio realizado con una muesra aleaoria de 9 paquees, se obuvieron los siguienes pesos en kilos: 9.5, 10, 8.5, 10.5, 1.5, 10.5, 1.5, 1, 1. a) Halle un inervalo de confianza, al 99%, para el peso medio de los paquees enviados por esa empresa. (1 puno) b) Calcule el amaño mínimo que debería ener una muesra, en el caso de admiir un error máximo de 0. kg, con un nivel de confianza del 90%. (1 puno) a) 1 = 0.90 = = 0.90 =.575 Z X = = 11 es la media muesral. 9 σ σ X Z, X + Z , µ (10.75,11.775) n n b) 1 = 0.90 Z = σ 0.9 E = Z n n ha de ser al menos 5. n n Z