PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 00 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Sepiembre, Ejercicio 4, Opción A Sepiembre, Ejercicio 4, Opción B

2 Considera los vecores u (,,), v (,, a) w (, 0, 0). a) Halla los valores de a para los que los vecores u, v w son linealmene independienes. b) Deermina los valores de a para los que los vecores u v u w son orogonales. MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) El deerminane formado por los res vecores iene que ser disino de cero. a a 4 0 a 0 0 Luego, son independienes para odos los valores de a. b) Calculamos los vecores: u v (,, a) u w (,,). Como son orogonales, su produco escalar debe valer 0. (,, a) (,,) a 0 a

3 Sabiendo que las recas: r respecivamene, que esán a mínima disancia. MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. s se cruan, halla los punos A B, de r s Escribimos las ecuaciones de las dos recas en forma paramérica. s r s s s A,, cualquier puno de la reca s endrá Cualquier puno de la reca r endrá de coordenadas de coordenadas B s, s, s El vecor Como el vecor AB endrá de coordenadas: AB s, s, s AB iene que ser perpendicular a la reca r s se debe cumplir que: AB u 0 s s s 0 AB v 0 s s s 0 Resolviendo las dos ecuaciones, obenemos que ; s Luego, los punos A B que esán a mínima disancia ienen de coordenadas,, ; B 0,, A

4 La ecuación general de será: Si escribimos la reca r en paraméricas: r, enonces cualquier puno P de esa reca endrá de coordenadas (,, ) P. Se iene que cumplir que disancia de P a iene que ser igual a la disancia de P a, luego: ó = Luego, (,, ) P Deermina el puno P de la reca r que equidisa de los planos 6 0 MATEMÁTICAS II. 00. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

5 0 Considera el plano 0 la reca r a 0 a) Halla el valor de a sabiendo que la reca esá conenida en el plano. 0 b) Calcula el ángulo formado por el plano la reca s 0 MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Si la reca esá conenida en el plano, el rango de la mari de los coeficienes del sisema formado por las ecuaciones de la reca la ecuación del plano debe valer, luego: 0 0 a a 0 a b) Pasamos la reca a paraméricas Aplicamos la fórmula del ángulo de reca plano. a 0 s 0 sen u A u B u C ( ) ( ) 0 0 u 5 0 u u A B C 0'6 8' 4º

6 0 Considera el puno P (,,0) la reca r 0 a) Halla la ecuación del plano que pasa por P coniene a la reca r. b) Deermina el puno de r más próimo a P. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) La ecuación del ha de planos es: k( ) 0. Como queremos el plano que pasa por P (,, 0), enemos que: luego, el plano es: k( ( ) ) 0 k ( ) b) Pasamos la reca a paraméricas: r 0 4 Calculamos la ecuación del plano que pasando por el puno P es perpendicular a la reca. Como la reca es perpendicular al plano, el vecor direcor de dicha reca el vecor normal del plano son paralelos, luego: Vecor normal del plano = vecor direcor de la reca =,, (,, 4) 4 4 La ecuación de odos los planos perpendiculares a dicha reca es: 4 D 0 Como nos ineresa el que pasa por el puno P (,,0) ( ) D 0 D Calculamos las coordenadas del puno de inersección de la reca con el plano (M); para ello susiuimos la ecuación de la reca en la del plano: luego las coordenadas del puno M son: ; ; 4 4

7 Considera una reca r un plano cuas ecuaciones son, respecivamene; ( R) (, R) 0 a) Esudia la posición relaiva de la reca r el plano. b) Dados los punos B (4,4,4) C (0,0,0), halla un puno A en la reca r de manera que el riángulo formado por los punos A, B C sea recángulo en B. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) r A (0,0,0) ; u (,,0) 0 B (0,0,0) ; v (,,0) ; w (0,0,) Vemos que la reca esá conenida en el plano, a que el puno A perenece al plano el rango de u, v, w b) Cualquier puno A de la reca r endrá de coordenadas: A (,,0). Como el riángulo debe ser recángulo en B, los vecores BA (4, 4, 4) BC (4,4,4), ienen que ser perpendiculares, luego su produco escalar debe valer 0. Luego, el puno A será: A (6,6,0) (4,4,4) (4,4,4)

8 Halla la ecuación de la reca que pasa por el puno (,, ), es paralela al plano 4 cora a la reca inersección de los planos 4. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Calculamos las coordenadas de un puno de la reca de core de los dos planos. 4 B (4,, ) El vecor AB (,, ), iene que ser perpendicular al vecor normal del plano, luego su produco escalar debe valer 0. Luego, 7 ( ) ( ) ( ) AB,,,, (,,) Por lo ano, la ecuación de la reca pedida es:

9 Considera la reca r el plano 0. a) Calcula el ha de planos que coniene a la reca r. b) Halla el plano que coniene a la reca r cora al plano en una reca paralela al plano 0. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) La ecuación del ha de planos que coniene a la reca r es: k( ) 0 ( k) k 0 b) El vecor direcor de la reca inersección de los planos: ( k) k 0 0 iene que ser perpendicular al vecor normal del plano = 0. i j k k ( k,, k) ( k,, k) (0, 0,) 0 k Luego, el plano pedido es: ( ) ( )

10 Se sabe que el plano cora a los semiejes posiivos de coordenadas en los punos A, B C, siendo las longiudes de los segmenos OA, OB OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. a) Halla la ecuación del plano. b) Calcula el área del riángulo ABC. c) Obén un plano paralelo al plano que dise 4 unidades del origen de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Los punos serán: A 4,0,0 ; B 0,4,0 0,0,4 C. El plano viene definido por el puno A 4,0,0 los vecores AB 4,4,0 4,0, 4 Luego, su ecuación será: b) Calculamos los vecores AB 4,4,0 4,0, 4 riángulo. i j k AC. AC aplicamos la fórmula del área del ,6, S = AB AC = '85 u c) Cualquier plano paralelo a endrá de ecuación: D 0 como disa 4 unidades del origen de coordenadas, enemos: D 4 D 4 Luego, el plano pedido endrá de ecuación: 4 0

11 Halla la perpendicular común a las recas: r s 0 MATEMÁTICAS II. 00. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. Cualquier puno de la reca r endrá de coordenadas A,, endrá de coordenadas B,,0. El vecor Como el vecor AB endrá de coordenadas: AB,, cualquier puno de la reca s AB iene que ser perpendicular a la reca r s se debe cumplir que: AB u AB v Resolviendo las dos ecuaciones, obenemos que. Luego, la reca que nos piden pasa por el puno A,0,0 su vecor direcor es el 4 AB,, (,, ) La perpendicular común iene de ecuación:

12 Se sabe que los punos A(,0, ), B (,,) C ( 7,,5) son vérices consecuivos de un paralelogramo ABCD. a) Calcula las coordenadas de D. b) Halla el área del paralelogramo. MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A a) El puno medio de la diagonal AC es: M,,,, El puno medio de la diagonal BD, ambién es M, luego si llamamos D ( a, b, c ), se iene que cumplir: a b c M,,,, D( 9,,) b) Calculamos los vecores AB (,, ) AD ( 0,, 4) aplicamos la fórmula del área del paralelogramo. i j k 0, 8,8 0 4 S = AB AD = '75 u

13 Los punos A(,, 0) B (,,) son vérices consecuivos de un recángulo ABCD. Además, se sabe que los vérices C D esán conenidos en una reca que pasa por el origen de coordenadas. Halla C D. MATEMÁTICAS II. 00. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Calculamos la ecuación de la reca que pasa por C D Con el puno A (,, 0) el vecor AB (,,) hallamos un plano perpendicular a la reca D 0 D 0 D 0 Las coordenadas del puno D, son las coordenadas del puno de core de la reca con ese plano, luego: 0 0 D,, Con el puno B (,,) el vecor AB (,,) hallamos un plano perpendicular a la reca D 0 D 0 D Las coordenadas del puno C son las coordenadas del puno de core de la reca con ese plano, luego: C,,