DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO

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1 DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Dado un plano definido por su ecuación general, Ax + By + Cz + D, el ector n ( A, B, C) es perpendicular al plano. Dados dos puntos cualesquiera del plano P (x, y, z ) y P (x, y, z ), probaremos que el producto escalar de los ectores P (x x, y y, z z ) y n es nulo. P n.p P (A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) Como P, se cumple que Ax + By + Cz + D Como P, se erifica que Ax + By + Cz + D Restando, A(x x ) + B(y y ) + C(z z ), es decir,.p P ( n Ejemplo: Ecuación del plano que pasa por P(,, ) y es perpendicular al ector (, ) El plano buscado será x + y z + D Como pasa por el punto P(,, ), ( ). +.+ ( ). + D, es decir, D 5. luego la ecuación del plano será : x + y z n ( A, B, C) P P ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS Ángulo de dos rectas es el menor de los ángulos formados por sus respectios ectores de dirección. De la definición de producto escalar, se obtiene: u. u + u + u cos. u. u + u + u + + x x r : u s : x x y y u Tomamos el alor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos que forman las rectas. y y z z u z z

2 ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS Dos planos Ax + By + Cz + D y A x + B y + C z + D, determinan al cortarse cuatro ángulos diedros que son iguales dos a dos. Se llama ángulo de los dos planos al más pequeño de los ángulos diedros. Dicho ángulo es igual o suplementario al que forman los ectores perpendiculares de cada plano n n (A, B, C) n n (A, B, C ) También hemos de tomar el alor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos. n.n cos n. n A A.A + B.B + C.C + B + C A + B + C Ejemplos:. Calcula el ángulo que formado por las rectas r y s siendo: x y z 4 x y z r : ; s : 5 Los ectores de dirección de las respectias rectas son u (,,5) y (,, ),por tanto,. + ( ).+ 5.( ) 5 4 cos 7,68º + ( ) ( ) Calcula el ángulo que forman los planos : x y ; : x + y z n Los ectores perpendiculares a cada uno de los planos son: n (,,) y n (,, ). n.n + cos, 75,º n. n ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO Es el ángulo formado por la recta y la proyección de dicha recta sobre el plano. Teniendo en cuenta que y β son complementarios, sen cos β Además, n (A, B, C) (,, ) β r

3 n. sen cos β n. A A + B + B + C + C + + Ejemplo: Calcula el ángulo que forma la recta x + y + z 5 Vector perpendicular al plano: n (,, ) Vector director de la recta (,, -) x y 5 z + con el plano de ecuación.+. +.( ) sen ; 47,6º DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Distancia entre dos puntos A y B es el módulo del ector que une dichos puntos. Si las coordenadas de los puntos son A (x, y, z ) y B (x, y, z ) AB (x x, y y, z z ) y entonces, d(a, B) (x x ) + (y y ) + (z z Ejemplo: A ) Calcula la distancia entre los puntos A(,, ) y B(,, ) B d ( A, B) ( ) + ( ) + ( ) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A es un punto de la recta es un ector director. P x, y, ( z d A x, y, ),, ) ( z ) ( r

4 El área del triángulo iene definida por las siguientes fórmulas: base altura AP Area, es decir,.d AP y, por tanto, Ejemplo: AP d Halla la distancia del punto P(,, ) a la recta dada por las siguientes ecuaciones paramétricas: λ y + λ λ Un punto de la recta es A(,, ) AP (,, ) (,, ), ector director de la recta. AP,, (, 4, 5) ; 6 ( ) + ( 4) + ( 5) d(p, r) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO P( x, y, z) El triángulo RQP es rectángulo. n ( A, B, C) d 9º Q R( x, y, z) Dado el plano : Ax + By + Cz + D, el ector n (A, B, C) es perpendicular al plano. Obserando la figura, d (P, ) QP RP. cos. pero teniendo en cuenta la definición de producto escalar, n.rp n.rp d (P, ) RP. n. RP n cos n.rp, luego, RP n.

5 Si utilizamos las coordenadas de R, P y n resulta: n (A, B, C) ; RP (x x, y y, z z ) y entonces, A(x x) + B(y y) + C(z z) Ax d(p, ) A + B C Ax + By + Cz + D es decir, d(p, ) A + B + C + By + Cz A Ax By Cz + B + C ya que como Ax + D Ax By Cz R, By + Cz + D Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(,, ) al plano x y + z + Ax d + By + Cz + D.. + ( ) + A + B + C + ( ) + DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN P d r 9 s Q Siendo x x r: u y y u z z u ; s: x x y y z z Para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente: a. Hallamos la ecuación del plano. Dicho plano contiene a la recta s y es paralelo a la recta r por lo que utilizaremos el punto Q y los ectores de las dos rectas: x x y y z z u u u b. Después hallamos la distancia del punto P(x, y, z ) de r al plano

6 Ejemplo: Dadas la rectas 5 + λ r : y y 8 + λ + λ s : y λ + 4λ a. Estudia su posición relatia comprobando que se cruzan. b. Halla la mínima distancia entre ellas. Un punto de r es P(5,, 8) y un ector u (,, ) Un punto de s es Q(,, ) y un ector (,, 4) Vector PQ (,, 9) , por tanto, las rectas se cruzan. 9 Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r: x y z + ; 6 (y ) (z + ) + (x ) 4(y ) 4 x + y z + 9 Ahora hallamos la distancia del punto (5,, 8) al plano hallado:.5 + ( ) d + + ( ) 9

7 EJERCICIOS RESUELTOS.- Halla la distancia del punto P(,-,) a la recta r que pasa por A(,,) y tiene como ector de dirección al ector (,4,) SOLUCIÓN: Ecuación de la recta r: + λ y + 4λ A(,,) G(+λ,+4λ,) d P(,-,) (,4,) G es un punto genérico de la recta. PG es un ector ariable y nos interesa el que sea perpendicular a la recta. Entonces se ha de cumplir que PG. ( + λ, + 4λ,).(,4,) (producto escalar nulo) y se obtiene λ El ector perpendicular a la recta será, por tanto, PG ( 8,6,) y la distancia buscada es el módulo del ector PG : d ( 8) Otra manera: Se aplica la fórmula: AP d donde A(,,), P(,-,) y (,4,) Determina las ecuaciones ectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A(,,), B(,-,) y C(5,-,). Halla la distancia del punto P(,7,) al plano hallado. SOLUCIÓN: Elegimos, por ejemplo, el punto A(,,) y formamos los ectores AB (,,) y AC (4,,) Ecuación ectorial: ( x, y, z) (,,) + λ(,,) + µ (4,, ) + λ + 4µ Ecuaciones paramétricas: : y λ µ λ + µ x y z Ecuación general: 4 P x, y, ( z d A x, y, ),, ) ( z ) ( r

8 Desarrollando el determinante se obtiene : x + 7y + z La distancia del punto P(,7,) al plano hallado, se obtiene aplicando la fórmula Ax + By + Cz + D d(p, ) A + B + C x y +.- Determina un punto P de la recta r : + λ : x + y + z + y : y λ + µ 6 + µ z que equidiste de los planos SOLUCIÓN: Expresamos el plano en forma cartesiana: x + y z + 6 : x + y z Pasando a paramétricas la recta, obtenemos un punto genérico: P( + λ, + λ,λ) Como d(p, ) d(p, ), resulta:.( + λ) +.( + λ) +.λ +.( + λ) +.( + λ).λ con lo que se ( ) 6λ + 6λ + obtiene, es decir, 6λ + 6λ De la primera ecuación obtenemos λ y de la segunda λ Lleando los alores de λ al punto genérico obtenemos dos puntos que equidistan de los planos dados: P(,, ) y P (,,) dado el plano de ecuación x + y + z, la recta r de ecuación y el punto P(,,), calcula: a) Ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a b) Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r z r : y z + 4 SOLUCIÓN: a) El ector característico del plano es un ector director de la recta, es decir, (,, ) Y teniendo en cuenta que la recta pasa por P(,,), x y z b) En la recta r, hacemos z λ y queda de la siguiente forma: + λ r : y 4 + λ λ

9 El ector director de la recta es un ector característico del plano buscado. x + y + z + D Como el plano contiene al punto P(,,), D D -6 Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r: x + y + z Halla el simétrico del punto A(,,-) respecto al plano de ecuación : x y z + 5 Si la ecuación del plano es : x y z + 5, el ector característico del plano n (,, ) será ector director de la recta que pasa por A y A, por tanto, x y z + λ λ Y en paramétricas: y λ λ A(,,-) ( x, y, z ) A La intersección de la recta y el plano nos da las coordenadas del punto M:.λ ( λ) ( λ) + 5 λ Sustituyendo λ en la ecuación de la recta obtenemos el punto M(,, ) El punto M es el punto medio del segmento A A : + x x 4 + y y + z z Coordenadas del punto simétrico de A: A ( 4,,) M 6.- Halla el simétrico de A(,,) respecto de la recta x y z Plano perpendicular a la recta que pasa por A: x y + z + D Como dicho plano contiene al punto A,. + + D D -5 El plano tiene de ecuación : x y + z 5 A(,,) M (,-,) A (x, y,z )

10 Ecuación de la recta dada en paramétricas: λ x y z λ y λ + λ La intersección de la recta y el plano nos da el punto M: 4 λ + λ + + λ 5 λ Lleando λ a la recta obtenemos M (4,,) Como M es el punto medio de A y A, si aplicamos las fórmulas del punto medio, resulta: + x 4 x 6 + y y 4 + z z 5 Las coordenadas del simétrico de A son: A (6,4,5) 7.- Determina el ángulo que forman el plano : x + y z + 4 y la recta y r : x + z n. Aplicamos la fórmula sen donde n (A, B,C) y (,, ) n. n r β En primer lugar ponemos la recta en paramétricas: y r : y x, haciendo x λ, y λ x + z En la ª ecuación: 6 λ + z z 6 λ λ La recta r queda de la siguiente forma: r : y λ donde (,, ) 6 λ Y como n (,, )

11 n sen arcsen 9º n Dos értices consecutios de un paralelogramo son A(,,) y B(,,). El centro del paralelogramo es O(,,). Se pide: a) Las coordenadas de los otros dos értices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo c) Área del paralelogramo. D (x,y,z ) C (x,y,z ) O(,,) a) Aplicando las fórmulas de las coordenadas del punto medio de un segmento, + x + y x ; + z y ; z Las coordenadas de C son: C(,,) Del mismo modo obtenemos D(,, ) b) Ecuación del plano: OA (,,); OB (,, ) Con el punto O y los ectores OA y OB podemos escribir su ecuación: x y z x y z + d) El área del paralelogramo podemos calcularla de la forma siguiente: Área AD AB AD (,,) AB (,, ) A(,,) B(,,) AD AB,, (,, 4) Área + ( ) + ( 4) 4 u

12 9.- Halla la ecuación del plano que es perpendicular a : x 6y + z y contiene a la recta intersección de : 4x y + z y + λ : y + λ + µ + λ + µ Ecuación general de : x y z x y + z + 4x y + z : que pasamos a paramétricas resoliendo el sistema: x y + z + 4x y + z Sumando se obtiene x x + y z Sustituyendo en una de las dos ecuaciones resulta z y y haciendo y λ, : y λ + λ Un punto del plano buscado puede ser el de la recta intersección: (,,-) Los dos ectores que necesitamos serán: El ector director de la recta intersección: (,, ) El ector característico del plano : w (, 6,) Ecuación del plano : x y z + x + y z 5 6 (Después de desarrollar el determinante y simplificar el resultado).- Halla la ecuación del plano que es perpendicular a los planos : z y z, + + y : 6x + y + z sabiendo que pasa por el punto A(4,,). Para determinar un plano necesitamos: Un punto Dos ectores paralelos al plano y no paralelos entre sí. El punto lo tenemos. Los ectores característicos de y, (,, ) y w (6,,), son paralelos al plano y no paralelos entre sí. Por tanto, x 4 y z 6

13 Desarrollando el determinante, 6 (x 4) + 6(y ) + 6(z ) 8(z ) (x 4) 4(y ), es decir, : x + y z +.- Determina una constante a, para que el plano de ecuación ax + y + z forme un ángulo de radianes con el plano z Un ector característico del plano ax + y + z es n (a,, ) n n Un ector característico del plano z, es n (,,) Aplicando la fórmula cos a a n.n cos resulta: n. n + Eleando al cuadrado, a + 4 a ± a + a + x y z x + y + z.- dadas las rectas r : ; s : a) Halla la distancia entre las dos rectas b) Determina la ecuación de la perpendicular común a las dos rectas. a) Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r: (zona sombreada) x + y + z x + 4y z + Un punto de la recta r es P(,,) d Ahora calculamos la distancia del punto P al plano hallado: d ( ) 6 b) la perpendicular común podemos expresarla por la intersección de los dos planos que contienen a cada una de las dos caras sombreadas:

14 ,,) es un ector director de r t r w (,,) es un ector director de s El ector w es perpendicular a cada uno de los ectores dados: i j k i 4j + k (, 4,) s x y z x + y + z Plano : ; Plano : 4 4

15 Ejercicios propuestos t.- Estudia si las rectas r : y t s : t y + t t se cruzan en el espacio. Encuentra la distancia entre ellas. Escogemos un punto y un ector de cada recta. Como el determinante formado por el ector que uno los puntos de ambas rectas y los ectores directores es distinto de cero, las rectas se cruzan. Distancia entre r y s:.- Se dan las rectas y r : y z s : z 5 x y z a) Inestiga si son paralelas. b) En caso afirmatio, halla la ecuación del plano que las contiene Hacemos z λ y las expresamos en paramétricas. a) Las rectas son paralelas porque los ectores directores son proporcionales. b) Escogemos un punto de cada recta y formamos el ector que une ambos puntos. Con dicho ector, un ector director de una de ellas y uno de los dos puntos que conocemos, escribimos la ecuación del plano: x 4y z +.- Determina las coordenadas del punto simétrico de A(-,,-7), respecto de la recta x + y z + Hallamos un plano perpendicular a la recta que pasa por A. A continuación buscamos la intersección de la recta y el plano. El punto de intersección es el punto medio de A y su simétrico A A (,, ) x y z x + y z 4.- Las rectas y, se cruzan en el espacio. Calcula la 4 distancia entre ellas y la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas. d 4 Recta perpendicular común: 4λ y λ 5λ

16 x y z 5.- Halla la distancia entre las rectas r : ; x 5 s : y z x y 6.- Comprueba que la recta y halla la distancia de la recta al plano. z 7 es paralela al plano x + y + z El producto escalar del ector director de la recta y del ector característico del plano ha de ser nulo. (Condición de paralelismo de recta y plano) 4 d 7.- Halla la recta que pasa por A(,,) y es paralela a los planos x y + z + y x y + z + 6 x y z y z Las rectas r : s : se cruzan en el espacio. x + y 7 y 4 Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Halla un punto de r y otro punto de s tales que el ector con origen en uno y extremo en el otro, sea perpendicular a ambas rectas. 7 λ a) r : y λ λ : y 5 µ a) Tomamos un punto genérico de r y un punto genérico de s: P(7 λ, λ, λ); Q (, 5, µ ) El ector PQ ha de ser perpendicular a cada uno de los ectores directores de las rectas dadas. (Producto escalar nulo) Resoliendo el sistema se obtiene λ, µ alores que lleados a P y Q nos dan los puntos P (5,,) y Q(, 5,) x y + z 9.- Considera el punto P(5,-,9) y la recta r : 6 a) Calcula la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P. b) Halla el punto de corte de las dos rectas. a) Expresamos r en paramétricas y tomamos un punto genérico de la misma: G( λ, λ,6λ)

17 Como el producto escalar de PG y ha de ser nulo, obtenemos λ Obtenido PG, la ecuación de la recta s x 5 y + z 9 será: 6 P(5,-,9) G (,,6) r b) Punto de corte: G(, 4,6).- Sea el plano : x y + 4z y el punto P(,-,) a) Calcula la distancia d entre el plano y el punto P. b) Halla la ecuación de un plano paralelo a y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia d. c) Calcula el olumen de la figura limitada por el plano y los tres planos coordenados. s 4 a) C b) : x y + 4z 4 c) La coordenadas de los értices A(,,), B(,-6,) y C(,,) Volumen 6 u A B