GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Transcripción

1 GEOMETRÍ NLÍTIC EN EL ESPCIO PRODUCTO ESCLR ab = a b cosx (Cuando sepamos el ángulo que forman a y b (x)). ab = a b a b a b (Cuando sepamos las coordenadas de a y b ). Cuando los vectores son perpendiculares su producto escalar será (Cero)(cos 9 = ). PRODUCTO VECTORIL Dados los vectores u (x,y,z) y v = (x',y',z') uxv i j k x y z x' y' z' (El vector que resulta de este determinante es perpendicular a u y v, y su módulo coincide con el ÁRE DEL PRLELOGRMO que forman u y v ). u v = u v senα ( es el ángulo que forman u y v.) COORDENDS DE UN VECTOR LIRE Dados los puntos (a,b,c ) y (d,e,f ) el vector con origen en y extremo en se calcula restando - - ECUCIONES DE L RECT EN EL ESPCIO. Para hallar la ecuación de una recta es necesario conocer UN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR de la misma. Una recta, [obtenida a partir de un PUNTO (x, y, z ) y un VECTOR (v, v, v ) ], se puede expresar de las siguientes formas:.- ECUCIÓN VECTORIL: (x,y,z) = (x, y, z ) + t (v, v, v ).- ECUCIONES PRMÉTRICS : x y z x y z t v t v t v.- ECUCIÓN CONTINU: x x v y y v z z v

2 4.- EC. GENERL DE L RECT (Intersección de dos planos): x + y + C z + D = x + y + C z + D = NOT: Para hallar el vector de una recta expresada como intersección de dos planos basta con hacer el producto vectorial a b. Siendo a = (,,C) y b = (,,C ). Para hallar un punto sólo hay que darle a x, a y o a z un valor arbitrario, sustituirlo en el sistema y despejar las otras dos incógnitas. ECUCIONES DEL PLNO Para hallar la ecuación de un plano es necesario conocer UN PUNTO Y DOS VECTORES DIRECTORES del mismo. Un plano, [Obtenido a partir de un PUNTO (x, y, z ) y DOS VECTORES V (v, v, v ) y W (w, w, w )], se puede expresar de las siguientes formas:.- ECUCIÓN VECTORIL: ( x,y,z) = (x, y,, z ) + t (v, v, v ) + s(w,w,w ).- ECUCIONES PRMÉTRICS x y z x y z t v t v t v s w s w s w.- ECUCIÓN GENERL O IMPLÍCIT: x + y + Cz + D = NOT: Para hallarla sólo hay que realizar este determinante e igualarlo a cero: x x y y z z v v v = w w w 4.- ECUCIÓN SEGMENTRI: Los valores a, b y c se denominan, respectivamente, abscisa, ordenada, y cota en el origen. x a y b z c 5.- OTR FORM DE HLLR L ECUCIÓN DE UN PLNO: Un plano también se puede hallar sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VECTOR, siempre y cuando ese vector sea perpendicular al plano (llamado vector normal), las coordenadas de ese vector coinciden con los coeficientes (,,C) del plano;

3 para hallar el término independiente ( D ) del plano, sólo hay que sustituir las coordenadas del punto que nos den y despejar D. Ej/. : x + y + Cz + D = O Vector normal (, 4, 5) POSICIONES RELTIVS. Posición relativa de DOS PLNOS. : x + y + C z + D = : x + y + C z + D = M C ' ' C' M* C D ' ' C' D' Rango de M Rango de M* Posición de DOS PLNOS Caso Planos secantes Caso Planos paralelos y distintos Caso Planos coincidentes secantes paralelos coincidentes ' ' C C' D D' ' ' C C' D D' ' ' C C' D D'

4 Posición relativa de TRES PLNOS C M ' ' C' '' '' C'' C D M* ' ' C' D' '' '' C'' D'' : x + y + C z + D = : x + y + C z + D = : x + y + C z + D = Rango de M Rango de M* Caso Planos secantes en un punto. Caso Caso Caso 4 Caso 5 Planos coincidentes. Posición de TRES PLNOS a) Planos secantes dos a dos forman una superficie prismática. ( SEC) b) Dos planos paralelos cortados por el otro. ( PRL. y SEC) a) Plano distintos y se cortan en una recta. ( SEC) b) Dos coincidentes y el otro los corta. ( COINC. y SEC.) a) Planos paralelos y distintos dos a dos. ( PRL.) b) Dos son coincidentes y el otro paralelo a ellos y distinto. ( COINC. y PRL.) Caso : Caso : a) b) Caso : a) b) 4

5 Caso 4: a) b) Caso 5: Posición relativa de PLNO Y RECT Si la recta nos la dan de la forma general: x y Cz D r ' x ' y C' z D' Y el plano de la siguiente forma " x " y C" z D" M ' " ' " C C' C" C D M* ' ' C' D' Entonces se estudian los rangos de M y M*: " " C" D" Rango de M Rango de M* Posición de recta y plano Gráficamente Caso Recta y plano secantes Caso Recta y plan paralelos Caso Recta contenida en el plano 5

6 Posición relativa DE DOS RECTS Dadas dos rectas r y s por sus ecuaciones generales: x y Cz D " x " y C" z D" r : s : ' x ' y C' z D' ' " x ' " y C' " z D' " Se estudian los rangos de M y M* : ' ' M " " '" ' " C C' C" C' " Rango de M Rango de M* Posición de DOS RECTS Caso 4 rectas cruzadas Caso rectas secantes Caso rectas paralelas Caso 4 rectas coincidentes C ' ' C' M " " C" '" ' " C' " D D' D" D'" Dadas dos rectas r y s, de las que conocemos el vector director y un punto de cada una: VECTORES V(v, v, v ), W (w, w, w ) y PUNTOS (x, y,, z ), (x, y,, z ) M V M w V w V w V V V w w w X X Y Y Z Z Rango de M Rango de M* Posición de DOS RECTS Caso rectas cruzadas Caso rectas secantes Caso rectas paralelas Caso 4 rectas coincidentes Ángulo de DOS RECTS: Sean u y v los vectores de dos rectas r y s. Cos x = u v u v 6

7 Ángulo entre DOS PLNOS: Sean u y v los vectores normales de dos planos y Cos x = u v u v Ángulo entre PLNO Y RECT. Sea N el vector normal del plano v el vector director de la recta. N v Cos N v v N El ángulo que hay que hallar NO es sino que se calcula: = 9º - Distancia ENTRE DOS PUNTOS ( a, a, a ) ( b, b,b ) d, (b a ) (b a ) (b a ) La distancia entre y es el módulo del vector que los une. Distancia DE UN PUNTO UN RECT d P, r = rp V r V r P( a, a, a ) r Q v r r 7

8 Distancia DE UN PUNTO UN PLNO P( x, y, z ) x + y + Cz + D = d( P, ) x y Cz C D VOLUMENES Y ÁRES C ÁRE DEL PRLELOGRMO: C S X C ÁRE DEL TRINGULO: C S X C C VOLUMEN DEL PRLELEPÍPEDO: V det, C, D D C VOLUMEN DEL TETREDRO: V det, C, D C 6 D x a y b z c r SUPERFICIE ESFÉRIC: 8

9 CÁLCULO DE L ISECTRIZ DE UN ÁNGULO DE DOS RECTS QUE SE CORTN. Llamamos bisectriz, b, del ángulo que forman las rectas r y r' a la recta que divide a dicho ángulo en dos partes iguales. Hay que observar que son dos las bisectrices que podemos trazar, para hallarlas utilizaremos los vectores directores de las rectas r y r'. Sean r y r' dos rectas secantes en un punto P, con vectores directores u r : X P λ u y r': X P μ v y v, es decir: - Si los vectores directores de las rectas tuviesen el mismo módulo, al sumarlos formaríamos un rombo, en el cual el vector suma y el vector diferencia serían las diagonales mayor y menor, respectivamente. En este caso, las diagonales del rombo son las bisectrices de los ángulos interiores, por tener los cuatro lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. - Si los vectores no tienen el mismo módulo, normalizándolos obtenemos vectores directores de las rectas de módulo uno, y los vectores directores de las bisectrices serían el vector suma y el vector diferencia de los normalizados. Por tanto, las ecuaciones de sus bisectrices serán: b : X siendo u ' y v ' los vectores unitarios de Ejemplo P λ u' v' y : X P μ u' v' u y v. b Vamos a hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas x y z r : y s : x, y, z,,,,. Con R Si hallamos la posición relativa de las rectas, obtenemos que se cortan en el punto P(,,-). Sea u = (,, -) el vector director de r de módulo u y v,, el vector director de s, de módulo v. Normalizando u y bisectrices son: v, obtenemos ',, 4 u y v',, : luego las ecuaciones de las b : x,y, z,, λ,, : x,y, z,, μ,, b 9

10 Problemas geométricos. Procedimientos analíticos - Haz de planos Sea la recta de ecuaciones: x y Cz D r : x y Cz D l conjunto de planos que contienen la recta r se le llama Haz de Planos, y cualquier plano del haz tiene por ecuación: t x y Cz D + s x y Cz D = t, s R - Proyección de un punto sobre un plano Cuando se proyecta perpendicularmente un punto P sobre un plano se obtiene un punto del mismo que coincide con la intersección de dicho plano con la recta perpendicular a este y que pasa por el punto dado. Hallamos la recta r que pasa por p y es perpendicular a ". Hallamos la intersección de r con y obtenemos el punto proyección P. - Proyección de un punto sobre una recta La proyección de un punto (P) sobre una recta (r) es el punto (P ) de intersección de la recta con el plano () perpendicular a ella y que pasa por el punto. Hallamos el plano perpendicular a r y que pasa por P. Hallamos la intersección de con r y obtenemos el punto pedido, que es el punto proyección P

11 - Proyección de una recta sobre un plano La proyección de una recta sobre un plano es otra recta, que evidentemente estará contenida en el plano dado. Hallamos el plano que contiene a r y es perpendicular a. La recta proyección s de r sobre es la intersección de y - Elementos Simétricos - Simétrico de un punto respecto de un plano El simétrico de un punto P respecto de un plano es el punto P que se encuentra en la perpendicular trazada desde P al plano, de modo que P y P equidistan del plano. Hallamos el punto M proyección del punto P sobre el plano. Calculamos el punto P teniendo en cuenta que M es el punto medio del segmento PP Nota: Sean P(x, y, z ), P (x, y, z ) y M(x m, y m, z m ) donde M es el punto medio del segmento PP se verifica que: x m = x + x, y m = y + y, z m = z + z - Simétrico de un punto respecto de una recta El simétrico de un punto P respecto de una recta r es el punto P que se encuentra en la perpendicular trazada desde P a la recta, de modo que P y P equidistan de la recta. Hallamos el punto M proyección del punto P sobre la recta r. Calculamos el punto P teniendo en cuenta que M es el punto medio del segmento PP

12 - Recta que se apoya en dos y pasa por un punto La recta s que se apoya en dos rectas r y r dadas y que pasa por un punto P dado es la recta que corta ambas y pasa por P. Hallamos el plano que contiene a r y a P. Hallamos el plano que contiene a r y a P. La intersección de los planos y es la recta s buscada. - Recta que se apoya en dos y es paralela a una dada La recta s que se apoya en dos rectas r y r dadas y que es paralela a la recta r dada es la recta que corta a ambas y es paralela a r. Hallamos el plano que contiene a r y a v r. Hallamos el plano que contiene a r y a v r. La intersección de los planos y es la recta s buscada. - Distancia entre dos rectas que se cruzan Para hallar la distancia entre dos rectas r y r que se cruzan aplicamos el siguiente procedimiento analítico: Hallamos el plano que contiene a una de la recta (r ) y es paralelo a la otra (r ). La distancias entre ambas rectas es igual a la distancia entre un punto de la recta r y el plano