GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Transcripción

1 PROUTO ESLR GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b+ a b + a3 b3 ( uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los vectoes son pependiculaes su poducto escala sea 0. PROUTO VETORIL ados lo vectoes u (x,y,z) y v (x',y',z') uxv i j k x y z x' y' z' (El vecto que esulta de este deteminante es pependicula a u y v, y su módulo coincide con el ÁRE EL PRLELOGRMO que foman u y v ). OORENS E UN VETOR LIRE ados los puntos (a,b,c ) y (d,e,f ) el vecto con oigen en y extemo en se calcula estando - - EUIONES E L RET EN EL ESPIO.Paa halla la ecuación de una ecta es necesaio conoce UN PUNTO Y EL VETOR IRETOR de la misma. Una ecta, (obtenida a pati de un PUNTO (x 0, y 0,, z 0 ) y un VETOR (v, v, v 3 ) ),se puede expesa de las siguientes fomas:.- EUIÓN VETORIL: ( x,y,z) (x 0, y 0,, z 0 ) + t (v, v, v 3 ) x x 0 + t v.- EUIONES PRMÉTRIS : y y 0 + t v z z 0 + t v 3 x x0 y y0 z z0 3.- EUIÓN ONTINU: v v v 4.- INTERSEIÓN E OS PLNOS: x + y + z + 0 (E.GENERL E L RET) x + y + z + 0 NOT: Paa halla el vecto de una ecta expesada como intesección de dos planos basta con hace el poducto vectoial (i, j, k) axb. siendo a(,,) y b(,, ). Paa halla un punto sólo hay que dale a la x o a la y o a la z un valo abitaio, sustituilo en el sistema y despeja las otas dos incógnitas. 3

2 EUIONES EL PLNO Paa halla la ecuación de un plano es necesaio conoce UN PUNTO Y OS VETORES IRETORES del mismo. Un plano,(obtenido a pati de un PUNTO (x 0, y 0,, z 0 ) y OS VETORES V (v, v, v 3 ) y W (w, w, w 3 ) ), se puede expesa de las siguientes fomas:.- EUIÓN VETORIL: ( x,y,z) (x 0, y 0,, z 0 ) + t (v, v, v 3 ) + s(w,w,w 3 ).- EUIONES PRMÉTRIS x x 0 + t v + s w y y 0 + t v + s w z z 0 + t v 3 + s w EUIÓN GENERL O IMPLÍIT: x + y + z + 0 NOT: Paa hallala sólo hay que ealiza este deteminante e igualalo a 0. x - x y - y z - z v v v 3 w w w EUIÓN SEGMENTRI: x a y z + + b c Los valoes a, b y c se denominan, espectivamente, abscisa, odenada, y cota en el oigen. 5.- OTR FORM E HLLR L EUIÓN E UN PLNO: Un plano también se puede halla sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VETOR, siempe y cuando ese vecto sea pependicula al plano( llamado vecto nomal), las coodenadas de ese vecto coinciden con los coeficientes (,, ) del plano; paa halla el témino independiente ( ) del plano, sólo hay que sustitui las coodenadas del punto que nos den y despeja. Ej/. π: x + y + z + O Vecto nomal ( 3, 4, 5)

3 Posición elativa E OS PLNOS. POSIIONES RELTIVS. π: x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 M ' ' ' Rango de M Rango de M* Posición de OS PLNOS aso Planos secantes aso Planos paalelos y distintos aso 3 Planos coincidentes M* ' ' ' ' secantes paalelos coincidentes ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Posición elativa E TRES PLNOS M ' ' ' '' '' '' M* ' ' ' ' '' '' '' '' π : x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 π : x + y + z + 0 Rango de M Rango de M* Posición de TRES PLNOS aso 3 3 Planos secantes en un punto. aso a) Planos secantes dos a dos foman una 3 supeficie pismática. (3 SE) b) os planos paalelos cotados po el oto. ( PRL. y SE) aso 3 a) Plano distintos y se cotan en una ecta. (3 SE.) b) os coincidentes y el oto los cota. ( OIN. y SE.) aso 4 a) Planos paalelos y distintos dos a dos. (3 PRL.) b) os son coincidentes y el oto paalelo a ellos y distinto. ( OIN. y PRL.) aso 5 Planos coincidentes. 3

4 aso : aso : a) b) aso 3: a) b) aso 4: a) b) aso 5: Posición elativa E PLNO Y RET. x + y + z + 0 Si la ecta nos la dan de la foma geneal: : ' x + ' y + ' z + ' 0 Y el plano de la siguiente foma α " x + " y + " z + " 0 4

5 M ' " ' " ' " M* ' ' ' ' Entonces se estudian los angos de M y M': " " " " Rango de M Rango de M* Posición de ecta y plano Gaficamente aso 3 3 Recta y plano secantes aso 3 Recta y plan paalelos aso 3 Recta contenida en el plano Posición elativa E OS RETS. adas dos ectas y s po sus ecuaciones geneales: x + y + z + 0 "x+ "y+ "z+ " 0 ' ' ' : s : M ' x + ' y + ' z + ' 0 '" x+ '" y+ '"z+ '" 0 " " " ' " ' " ' " Entonces se estudian los angos de M y M': Rango de M Rango de M* Posición de OS RETS aso 3 4 ectas cuzadas aso 3 3 ectas secantes aso 3 3 ectas paalelas aso 4 ectas coincidentes ' ' ' M " " " ' " ' " ' " ' " ' " adas dos ectas y s, de las que conocemos el vecto diecto y un punto de cada una: VETORES V (v, v, v 3 ), W (w, w, w 3 ) y PUNTOS (x 0, y 0,, z 0 ), (x, y,, z ) V M w V w V3 w3 V V V 3 M w w w 3 X X 0 Y Y0 Z Z 0 Rango de M Rango de M* Posición de OS RETS aso 3 ectas cuzadas aso ectas secantes aso 3 ectas paalelas aso 4 ectas coincidentes 5

6 Ángulo de OS RETS: Sean u y v los vectoes de dos ectas y s. os x uv u v x Ángulo ente OS PLNOS: Sean u y v los vectoes nomales de dos planos π π os x u v x u v Ángulo ente PLNO Y RET. Sea N el vecto nomal del plano v el vecto diecto de la ecta. os β N v N v v β α N El ángulo que hay que halla NO es β sino α que se calcula: α 90º - β istancia ENTRE OS PUNTOS ( a, a, a 3 ) ( b, b,b 3 ) ( ) d, (b a ) + (b a ) + (b a ) 3 3 istancia E UN PUNTO UN RET d(p, ) P X V v P( a, a, a 3 ) Q v R 6

7 istancia E UN PUNTO UN PLNO P( x 0, y 0, z 0 ) π: x + y + z + 0 istancia ente OS RETS QUE SE RUZN. ( ) dp, π x + y + z d(, s) det(p P,u s,us) u xu s PERPENIULR OMÚN OS RETS RUZS Se llama pependicula común de dos ectas cuzadas a la ecta que cota otogonalmente a cada una de ellas. det p : det ( X,u,uXus ) ( sx,us,uxus ) 0 0 p VOLUMENES Y ÁRES ÁRE EL PRLELOGRMO: ( ) S X ÁRE EL TRINGULO: ( ) S X 7

8 VOLUMEN EL PRLELEPÍPEO: det (,,) V VOLUMEN EL TETRERO: det (,, ) V 6 SUPERFIIE ESFÉRI: ( ) ( ) ( ) x a + y b + z c ÁLULO E L ISETRIZ E UN ÁNGULO E OS RETS QUE SE ORTN. Llamamos bisectiz, b, del ángulo que foman las ectas y' a la ecta que divide a dicho ángulo en dos pates iguales. Hay que obseva que son dos las bisectices que podemos taza, paa hallalas utilizaemos los vectoes diectoes de las ectas y'. Sean y' dos ectas secantes en un punto P, con vectoes diectoes u y v, es deci: : X P + λ u y ': X P + µ v - Si los vectoes diectoes de las ectas tuviesen el mismo módulo, al sumalos fomaíamos un ombo, en el cual el vecto suma y el vecto difeencia seían las diagonales mayo y meno, espectivamente. En este caso, las diagonales del ombo son las bisectices de los ángulos inteioes, po tene los cuato lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. - Si los vectoes no tienen el mismo módulo, nomalizándolos obtenemos vectoes diectoes de las ectas de módulo uno, y los vectoes diectoes de las bisectices seían el vecto suma y el vecto difeencia de los nomalizados. Po tanto, las ecuaciones de sus bisectices seán: 8

9 b : X P + λ ( u' + v' ) y : X P + µ ( u' v' ) b siendo u ' y v ' los vectoes unitaios de Ejemplo u y v. Vamos a halla las ecuaciones de las bisectices de los ángulos que foman las ectas x y + z 3 : y s : ( x, y, z) (,, ) + λ( 0,, 0). on λ R Si hallamos la posición elativa de las ectas, obtenemos que se cotan en el punto P(,,-). Sea u (,, -) el vecto diecto de de módulo u 3 y v (,0,0) el vecto diecto de s, de módulo v. Nomalizando u y v, obtenemos u ',, y v ' (,0,0) : luego las ecuaciones de las bisectices son: 4 b : ( x,y,z) (,, ) + λ,, b : ( x,y,z) (,, ) + µ,,