3) (1p) Estudia la posición relativa de recta y plano.

Transcripción

1 CURSO de mayo de ) (1p) Si A(x 1,y 1,z 1 ) y B(x,y,z ) son dos puntos del espacio, demuesta que [AB ]=(x -x 1,y -y 1,z -z 1 ). ) (1p) Deduce la ecuación vectoial de la ecta. ) (1p) Estudia la posición elativa de ecta y plano. 4) (1,7p) Halla la ecuación continua de la ecta s que pasa po el punto P, cota a la ecta y es paalela al plano π: P(1,,1) = y 1 = z+ - π x-z=0 5) (1,8p) Halla el valo del paámeto k paa que las ectas y s sean coplanaias: -1 = z+ 4 = y- 6) (1,7p) Calcula la poyección del punto P(,-1,) sobe la ecta de ecuaciones paaméticas: x=t, y=5t-7, z=t+. 7) (1,8p) Halla el ángulo que foma el eje de abscisas con el plano que pasa po A(,,1), B(1,-,0) y C(,0,1). -1-

2 CURSO Ejecicio 4: Halla la ecuación continua de la ecta s que pasa po el punto P, cota a la ecta y es paalela al plano π: P(1,,1) = y 1 = z+ - π x-z=0 (1,7 PUNTOS) La ecta s se encuenta en el plano π' que pasa po el punto P y es paalelo a π, ya que es paalela al plano π: x-z+d= D=0 D=1 π' x-z+1=0 La ecta s también se encuenta en el plano π" deteminado po el punto P y la ecta, ya que las ectas y s se cotan. Ahoa bien, dicho plano queda deteminado po el punto Q(1,0,-) y los vectoes v=(,1,-) y [QP ]=(0,,4): π' π P X Q(1,0,-) v (,1,-) s u 0 y-0 z+ 1-4 =0 10()-8y+6(z+)=0 5()-4y+(z+)=0 5x-5-4y+z+9=0 π" 5x-4y+z+4=0 La ecuación continua de la ecta s se obtiene po intesección de ambos planos: x-z=-1 5x-4y+z=-4 x=-1+z 4y=4+5x+z x=-1+z 4y=4-5+10z+z x=-1+α y=-1/4+(1/4)α z=α R(-1,-1/4,0) u =(8,1,4) 8 = y- 1 = z-1 4 También puede calculase la ecta s teniendo en cuenta que el poducto vectoial de los vectoes u y v [QP ] es un vecto dieccional de la ecta s, ya que ambos son pependiculaes a ella. O calculando el punto de cote de las ectas y s: X(1+α,α,--α), ya que está en. Y paa calcula el paámeto basta dase cuenta de que dicho punto petenece al plano π' o que el vecto [PX ], que es un vecto dieccional de la ecta s, pues P no petenece a la ecta, ya que no satisface su ecuación, es pependicula al vecto u, pues la ecta s es paalela al plano π. 1 Ya que P π'. Ota foma de hallalo es teniendo en cuenta que se tata del plano del haz de aista, α(x-y-1)+β(y+z+)=0, que pasa po el punto P. --

3 CURSO Ejecicio 5: Halla el valo del paámeto k, paa que las ectas y s sean coplanaias: -1 = z+ 4 = y- (1,8 PUNTOS) Calculamos una deteminación lineal de cada una de las ectas: -1 = z+ P(1,1,-) u =(1,-1,) 4 = y- Q(-5,,-4) v =(4,k,) Evidentemente, las ectas no son paalelas: 1 4 Po tanto, paa que dichas ectas sean coplanaias los vectoes [PQ ]=(-6,,-), u y v deben se coplanaios: k - =0 18-k k-6=0 10k=-0 k=- Ota foma de azona seía la siguiente. Como las ectas son coplanaias y no son paalelas, se cotan. Po tanto, el siguiente sistema debe se compatible deteminado: 1 1+α=-5+4β 1-α=+kβ -+α=-4+β 1 Ya que el punto de cote petenece a ambas ectas y, po tanto, satisface las ecuaciones de ambas. --

4 CURSO Ejecicio 6: Calcula la poyección del punto P(,-1,) sobe la ecta de ecuaciones paaméticas: x=t, y=5t-7, z=t+. (1,7 PUNTOS) Sea la ecta dada y X la poyección del punto P sobe ella. Calculamos una deteminación lineal de : x=t y=-7+5t z=+t Q(0,-7,) u =(,5,) Como X petenece a, satisface su ecuación: X(t,-7+5t,+t). Y al se el punto de la ecta más póximo a P, la distancia ente ellos es mínima: d=d(p,x)= (t-) +(-6+5t) +(-1+t) Como d>0, podemos sustituila po su cuadado: C=d =(t-) +(-6+5t) +(-1+t) = =9t -1t t+5t +1-4t+4t =8t -76t+41 Como la condición necesaia de extemo elativo es que la deivada valga ceo, deivamos, igualamos a ceo y esolvemos la ecuación: C'=76t-76=0 76t=76 t=1 Paa aplica el citeio de la deivada segunda, 1 deivamos de nuevo y calculamos el valo de la deivada segunda en t=1: Po tanto, X(,-,4). C"= 76 C"(1)=76>0 d es mínima en t=1 u =(,5,) Q(0,-7,) P(,-1,) También puede calculase el paámeto t teniendo en cuenta que el punto X petenece al plano pependicula a la ecta que pasa po P; o que los vectoes [PX ] y u son pependiculaes; o aplicando el teoema de Pitágoas al tiángulo ectángulo PQX (en este caso, además de X, te saldá como solución extaña Q). El punto X(x,y,z) puede calculase también diectamente si se obseva que [QX ] es la poyección de [QP ] sobe u. X 1 También puede aplicase el citeio de la vaiación del signo de la deivada pimea. Dicho plano tiene po vecto caacteístico el dieccional de la ecta. Al aplica el teoema de Pitágoas al tiángulo PQX, siempe sale como una de las soluciones el punto Q de la ecta, ya que, si en la fómula del teoema, sustituyes X po Q, se obtiene PQ +QQ =PQ, esto es, PQ =PQ, lo que siempe es cieto. -4-

5 CURSO Ejecicio 7: Halla el ángulo que foma el eje de abscisas con el plano que pasa po A(,,1), B(1,-,0) y C(,0,1). (1,8 PUNTOS) Sea el eje de abscisas y π el plano deteminado po los puntos A, B y C: u v π Como es el eje de abscisas, v =i =(1,0,0): Un vecto caacteístico del plano π es: u =[AB ] [AC ]= i -1 0 j k =-i +k Po tanto: sen(,π)= cos(u,v u v ) = u v = (-,0,) (1,0,0) = = - 8 = = 1 = (,π)=45º -5-