PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN

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1 Puebas de selectividad PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD.004 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instucciones: a)duación: 1 hoa y 0 minutos. b) Tienes que elegi ente ealiza únicamente los cuato ejecicios de la Opción A o ealiza únicamente los cuato ejecicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pegunta está indicada en la misma. d) Contesta de foma azonada y escibe odenadamente y con leta claa. e) Puedes usa calculadoa (puede se pogamable o tene pantalla gáfica), peo todos los pocesos conducentes a la obtención de esultados deben esta suficientemente justificados. Opción A Ejecicio 1. f :( 1, ) R f ( x) f ( ) 0 De la función se sabe que y que. (a) [1,5 puntos] Detemina f. (b) [1,5 puntos] Halla la pimitiva de f cuya gáfica pasa po el punto (0,1). f : ( 1, ) R f ( x) f ( ) 0 Sabemos que con y con, entonces: (a) Paa detemina (,0). Es deci: f ( x) dx ( ) f x bastaá con halla una pimitiva de la función anteio que pase po el punto dx C + C x + 1 y paa que pase po el punto (,0)se tendá que cumpli que f()0, po tanto f ( ) C C C Luego: f ( x) (b) Una pimitiva seá de la foma: gx ( ) f ( xdx ) + dx x + + x + C x ln 1 y paa que su gáfica pase po el punto (0,1) se tendá que cumpli que: + x g( 0) ln C 1 C 1 Po tanto la pimitiva buscada seá: gx ( ) ln x x + 1 Andés Plaza Plaza

2 Puebas de selectividad Ejecicio. Considea la función f:r R definida po f(x)(x+1)(x-1)(x-) (a) [1 punto] Halla las ecuaciones de la ecta tangente y nomal a la gáfica de f en el punto de abscisa x1. (b) [1,5 puntos] Detemina los intevalos de concavidad y convexidad de f. Tiene puntos de inflexión la gáfica de f? f x x + 1 x 1 x x 1 x x x x + (a) Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f po tanto podemos deduci que: f ( x) x 4x 1 f ( 1) 4 1 y sin más que aplica las fomulas paa la ecta tangente y paa la ecta nomal a una cuva en un punto obtendemos que: Re ctatangente: y f ( a) f ( a) ( x a) y ( x 1) 1 1 Re cta Nomal: y f ( a) ( x a) y ( x ) 1 f ( a) (b) Paa detemina las egiones de concavidad y convexidad necesitaemos aveigua, si es que tiene, las abscisas de los puntos de inflexión, paa ello calculamos la segunda deivada y esolvemos la ecuación y confimamos posteiomente con la tecea, es deci: f ( x) x 4x 1 f ( x) 6x 4 0 x ( ) 0 f x 6 f 6 0 El punto, f, es de Inflexion 7 La ecta Real queda dividida en dos intevalos o egiones de cuvatua:, y, Un punto inteio al pime intevalo es el 0 y en el f 0 4 < 0, entonces : f(x) es cóncava en el intevalo,, es deci tendá esta foma. ( ) Un punto inteio al segundo intevalo es el 1 y en el ( ) > f , entonces: f(x) es convexa en el intevalo, po tanto tendá esta foma., Andés Plaza Plaza

3 Puebas de selectividad Ejecicio. Considea el sistema de ecuaciones mx y 1 x my m 1 (a) [1,5 puntos] Clasifica el sistema según los valoes de m. (b) [1 punto] Calcula los valoes de m paa los que el sistema tiene una solución en la que x. (a) El sistema dado es: mx y 1 x my m 1 su matiz ampliada A B en los distintos casos. A m 1 1 m A m m ± 1 m ±1.Pasemos a estudia su matiz de coeficientes A y Si, entonces Rango(A)Rango(A B)nº de incógnitas y sin más que aplica el teoema de Rouche-Föbenius, el sistema es compatible y deteminado, es deci tiene una solución única paa cada incógnita Si m1, A 0 y entonces Rango(A)1. Po oto lado AB donde claamente la segunda fila es idéntica a la pimea po tanto Rango(A B)1, es deci tenemos que Rango(A)Rango(A B)1<nº de incógnitas y aplicando nuevamente el teoema de Rouche-Föbenius, el sistema es compatible e indeteminado, o lo que es lo mismo el sistema tiene infinitas soluciones. Si m-1, A 0 y entonces Rango(A)1. Po oto lado AB po tanto Rango(A B), es deci tenemos que Rango(A)1<Rango(A B)nº de incógnitas y aplicando una vez más el teoema de Rouche-Föbenius el sistema es incompatible, es deci no tiene soluciones. m y 1 (b) Si x sustituyendo nos quedaía el sistema y esolvemos po my m 1 sustitución. De la pimea despejamos ym-1 y sustituimos en la segunda, esultando: -m(m-1)m-1 ; -m +mm-1; m +m-40, entonces: m 1 ± m m Andés Plaza Plaza

4 Puebas de selectividad Ejecicio 4. Sean los puntos A(1,,1), B(,,1), C(0,5,) y D(-1,4,). (a) [1 punto] Pueba que los cuato puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano. (b) [0,75 puntos] Demuesta que el poligono de vétices consecutivos ABCD es un ectángulo. (c) [0,75 puntos] Calcula el áea de dicho ectángulo. (a) Vamos a calcula la ecuación geneal del plano que deteminan los puntos A, B y D, paa ello utilizaemos el punto A y los vectoes AB 110,, y AD,,, entonces: π x 1 y z ( ) ( ) ( ) x 1 y + z 1 0 π ( ) ( ) ( ) 0 x 1 y + 4 z 1 0. ( ) ( ) π x y + z 1 0 Po tanto la ecuación del plano seía:. simplificando po, obtendemos: Compobamos si C petenece al plano anteio sustituyendo sus coodenadas en la ecuación del mismo: Luego C petenece al plano y po tanto los cuato puntos son coplanaios. (b) AB DC (,,) 110 ABCD es un paalelogamo, además AB AD es deci los lados AB y AD son pependiculaes. Es deci la figua ABCD es un ectángulo. i j k (c) Aea i j + 4k + ( ) u. Andés Plaza Plaza

5 Puebas de selectividad PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD.004 ENUNCIADO Y RESOLUCIÓN Instucciones: a)duación: 1 hoa y 0 minutos. b) Tienes que elegi ente ealiza únicamente los cuato ejecicios de la Opción A o ealiza únicamente los cuato ejecicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pegunta está indicada en la misma. d) Contesta de foma azonada y escibe odenadamente y con leta claa. e) Puedes usa calculadoa (puede se pogamable o tene pantalla gáfica), peo todos los pocesos conducentes a la obtención de esultados deben esta suficientemente justificados. Opción B Ejecicio 1. ( ) f : 1, R Se sabe que la función definida po ( ) f x x 4x + si 1 < x < 0 x + a si x 0 x + 1 es continua en (-1, ). (a) [1,5 puntos] Halla el valo de a. Es f deivable en x0? (b) [1,5 puntos] Detemina los intevalos de cecimiento y dececimiento de f. Resolución ( ) f : 1, R f ( x) x 4x + si 1 < x < 0 x + a si x 0 x + 1 Sabemos que con y que f(x) es continua en x0 po selo en todo su dominio, entonces: a (a) lim f ( x) lim f ( x) a + x o x o 1 a Si x<0 entonces f ( x) x 4 f ( 0) 4 x ( x + ) Si x>0 entonces f ( x) f ( ) + 0 Luego la función f(x) no es deivable en x0 ya que sus deivadas lateales existen peo no coinciden. (b) ( ) 4 0 ( 10, ) f x x x Si -1<x<0 entonces luego la función no tiene extemos elativos en dicho intevalo. Andés Plaza Plaza

6 Puebas de selectividad + 4 x + x ± x 4 0 luego en (1,f(1)) la función puede tene un extemo elativo, compobemoslo haciendo la segunda deivada Si x>0 entonces f ( x) (, ) f ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) x + x + 1 x + x x ( x ) ( x ) ( x x ) f ( 1) > Efectivamente la función tiene un Mínimo elativo en el punto (1,f(1))(1,). Po lo tanto la función tendá tes intevalos de cecimiento o dececimiento: (-1,0), (0,1) y (1, ). Estudiemos la situación en cada uno de ellos: 1 f < 0 f xes dececiente en ( ) ( ) f < 0 f xes dececiente en 01, 5 f ( ) > 0 f ( xes ) ceciente en ( 1, ) 9 ( ) (, ) Ejecicio. [,5 puntos] Detemina b sabiendo que b>0 y que el áea de la egión y x y bx limitada po la cuva y la ecta es igual a. Pimeo vamos a halla los punto de cote de ambas funciones, paa ello esolvemos el sistema que foman las dos funciones y x x 0 x bx x bx 0 x ( x b) 0 y bx x b Entonces el áea de la figua limitada po las gáficas de ambas funciones seá: b 0 b bx x b b b 9 bx xdx b 7 b Andés Plaza Plaza

7 Puebas de selectividad Ejecicio. Considea las matices A B y C 1 0 1, (a)[1,5 puntos] Calcula A.B, A.C, A t.b t y C t.a t, siendo A t, B t y C t las matices tanspuestas de A, B y C espectivamente. (a)[1,5 puntos] Razona cuales de las matices A, B, C y A.B tienen matiz invesa y en los casos en que la espuesta sea afimativa, halla la coespondiente matiz invesa. A B A C t t t B t A ; A C (b) A, B y C son matices ectangulaes, no cuadadas, po tanto en ellas no tiene sentido habla de matiz invesa. A.B es la matiz identidad paa el espacio de matices cuadadas x, po tanto la invesa no solamente existe sino que coincide con ella misma, es deci: (AB) -1 AB Ejecicio 4. [,5 puntos] Dados los vectoes u ( 10,, ) y ( ) v 101,,, halla un vecto unitaio que sea u v v coplanaio con y y otogonal a. Si w es coplanaio con u ( 10,, ) y v ( 101,,) entonces se podá expesa como una combinación lineal de ellos, es deci: αβ, R/ w α u + β v α,, + β,, α βαβ,, w v w v α + β + 0+ β 0 α β w ( ααα,, ) w es unitaio su módulo seá la unidad, es deci: ( 10) ( 101) ( ) Si es otogonal a entonces el poducto escala de ambos seá nulo, es deci: Si w Andés Plaza Plaza

8 Puebas de selectividad 1 1 w α + α + α α 1 α α ± ± Po tanto existen dos soluciones : w o,, w,, Andés Plaza Plaza