PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO DE 2012 Resolución de 27 de abril de 2012 (DOCM de 30 de abril)

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1 CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL JUNIO DE 2012 Resolución de 27 de abril de 2012 (DOCM de 30 de abril) Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS - Duración del ejercicio: 2 horas (desde las 12 hasta las 14 horas) - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla. - Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora no programable. Criterios de calificación - El aspirante debe realizar cuatro ejercicios de los seis propuestos. - Si el aspirante realiza más de cuatro ejercicios, sólo se calificarán los cuatro primeros realizados. - Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios: Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2,5 puntos, distribuidos de la siguiente manera: Ejercicio 1.. a) 1,25 puntos. b) 1,25 puntos. Ejercicio 2.. a) 0 9 puntos. b) 0,9 puntos. c) 0,7 puntos. Ejercicio 3.. a) 1,25 puntos. b) 1,25 puntos. Ejercicio 4.. 2,5 puntos. Ejercicio 5.. 2,5 puntos. Ejercicio 6.. a) 0 9 puntos. b) 0,9 puntos. c) 0,7 puntos. Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. Se valorarán negativamente los errores conceptuales. La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.

2 Ejercicio 1 EJERCICIOS El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación, P(t) = 1500 e 2t, donde t es el tiempo transcurrido en meses. a) Cuántas abejas había inicialmente? b) Cuánto tiempo tardarán las abejas en tener una población de 8000 individuos? Ejercicio 2 Entre la población de una determinada región se estima que el 55 % presenta obesidad, el 20 % padece hipertensión y el 15 % tiene obesidad y es hipertenso. a) Calcula la probabilidad de ser hipertenso o tener obesidad. b) Calcula la probabilidad de tener obesidad sabiendo que es hipertenso. c) Calcula la probabilidad de ser hipertenso sabiendo que es obeso. Ejercicio 3 La rentabilidad R(x) (en euros) de un plan de inversión es función de la cantidad x que se invierte (en euros) según la expresión: R(x) = x x a) Averigua qué cantidad hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima. b) Halla gráfica y numéricamente cuál es la rentabilidad máxima. Ejercicio 4 Desde los extremos A y B de un barranco, que están a la misma altura, se observa un punto C del fondo del barranco con ángulos de 40º y 25º respecto a la dirección AB, como ilustra el siguiente dibujo. Si la profundidad del barranco es de 10 m, halla la longitud de un puente que une esos dos puntos. 2

3 Ejercicio 5 Sabemos que 2 kg de manzanas y 1 kg de peras cuestan 5 5. Además, 1 kg de manzanas y 3 kg. De patatas cuestan 4 4. Por último, 2 kg de cada artículo cuestan 8 6. Halla el precio de cada artículo. Ejercicio 6 En la construcción de un puente trabajaron personas en turnos de 8 horas durante 300 días. a) Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas? b) Y si hubieran trabajado 600 personas en turnos de 8 horas? c) Y si fuesen personas trabajando 5 horas diarias? 3

4 Ejercicio 1 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. JUNIO 2012 El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación, P(t) = 1500 e 2t, donde t es el tiempo transcurrido en meses. a) Cuántas abejas había inicialmente? b) Cuánto tiempo tardarán las abejas en tener una población de 8000 individuos? Solución. a) Cuántas abejas había inicialmente? Se tratará de calcular la imagen de t = 0. Por lo tanto, había abejas. P(0) = 1500 e 2 0 = = 1500 b) Cuánto tiempo tardarán las abejas en tener una población de 8000 individuos? Se trata de calcular el valor t para el que P(t) = En ese caso habrá que resolver la ecuación siguiente: Procedemos a resolver: 1500 e 2t = 8000 Tomando logaritmo neperiano encontramos que: De donde, finalmente la solución será: Por lo tanto, tardarán aproximadamente 0 84 meses. 4

5 Ejercicio 2 Entre la población de una determinada región se estima que el 55 % presenta obesidad, el 20 % padece hipertensión y el 15 % tiene obesidad y es hipertenso. a) Calcula la probabilidad de ser hipertenso o tener obesidad. b) Calcula la probabilidad de tener obesidad sabiendo que es hipertenso. c) Calcula la probabilidad de ser hipertenso sabiendo que es obeso. Solución. Entendemos que estamos interesados inicialmente en dos sucesos que nombramos A = Tener obesidad y B = Ser hipertenso. Según los datos del problema sabemos algunas probabilidades, P(A) = 0 55, P(B) = 0 2 y P(AB) = 0 15 a) Calcula la probabilidad de ser hipertenso o tener obesidad. Se nos está pidiendo la probabilidad de la unión de los sucesos A y B, es decir, P(AB). La probabilidad de la unión vendrá descrita por: En cuyo caso, la probabilidad pedida será: P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = = 0 6 Concluimos que hay un 60 % de probabilidad de ser hipertenso o tener obesidad en la población de esa región. b) Calcula la probabilidad de tener obesidad sabiendo que es hipertenso. Se nos está pidiendo la probabilidad condicionada de A respecto a B, es decir, P(A/B). La probabilidad de la probabilidad condicionada vendrá descrita por: En cuyo caso, la probabilidad pedida será: Concluimos que hay un 75 % de probabilidad de que une persona de la población de esa determinada región sea obesa si sabemos que es hipertenso. 5

6 c) Calcula la probabilidad de ser hipertenso sabiendo que es obeso. Se nos está pidiendo la probabilidad condicionada de B respecto a A, es decir, P(B/A). La probabilidad de la probabilidad condicionada vendrá descrita por: En cuyo caso, la probabilidad pedida será: Concluimos que hay un % de probabilidad de que une persona de la población de esa determinada región sea hipertensa si sabemos que es obesa. Ejercicio 3 La rentabilidad R(x) (en euros) de un plan de inversión es función de la cantidad x que se invierte (en euros) según la expresión: R(x) = x x a) Averigua qué cantidad hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima. b) Halla gráfica y numéricamente cuál es la rentabilidad máxima. Solución. a) Averigua qué cantidad hay que invertir para obtener la rentabilidad máxima. Se trata de una función cuadrática del tipo f(x) = ax 2 + bx + c con a = , b = 0 6 y c = 0, cuya gráfica es una parábola con las ramas hacia abajo puesto que a = es negativo. En ese caso, el vértice de la parábola es el máximo de la función y nos determina la cantidad que hay que invertir y la rentabilidad máxima. Para calcular la cantidad que hay que invertir calculamos la componente x o abcisa del vértice según la fórmula: 6

7 En nuestro caso, tendremos que: Como la abcisa del vértice es positiva no hay problema en concluir que la cantidad que hay que invertir para obtener una rentabilidad máxima es x = euros. b) Halla gráfica y numéricamente cuál es la rentabilidad máxima. La rentabilidad máxima vendrá dada por la imagen de la cantidad obtenida en el apartado b). En tal caso, calculamos R(6.000) R(3000) = = 900 Lo cual nos hace concluir que la rentabilidad máxima que va a lograr son 900. Para hacer la gráfica de la función hacemos una tabla de valores dando tres abcisas mayores y menores que la abcisa del vértice: x R(x) = x x = = = = = = = 0 En cuyo caso, la gráfica vendrá esbozada mediante la siguiente representación: En la gráfica se puede apreciar que el máximo está situado en el punto (3000, 900) que son respectivamente la cantidad óptima a invertir y la rentabilidad máxima. 7

8 Ejercicio 4 Desde los extremos A y B de un barranco, que están a la misma altura, se observa un punto C del fondo del barranco con ángulos de 40º y 25º respecto a la dirección AB, como ilustra el siguiente dibujo. Si la profundidad del barranco es de 10 m, halla la longitud de un puente que une esos dos puntos. Solución. Llamando D al punto de corte de la altura a calcular y la recta AB, se observan dos triángulos rectángulos ACD y ABD. Los triángulos son rectángulos porque la altura hace 90º con el puente. Actuamos por separado aplicando trigonometría en cada uno de los dos triángulos rectángulos por separado. Para el triángulo ACD podemos hallar la longitud AD mediante la razón tangente. Para el triángulo BCD podemos hallar la longitud DB mediante la razón tangente. Por lo tanto, la longitud del puente será la suma de las longitudes de los tramos AD y DB. Concluimos que el puente medirá m. 8

9 Ejercicio 5 Sabemos que 2 kg de manzanas y 1 kg de peras cuestan 5 5. Además, 1 kg de manzanas y 3 kg. De patatas cuestan 4 4. Por último, 2 kg de cada artículo cuestan 8 6. Halla el precio de cada artículo. Solución. Nombramos con las siguientes letras los precios de los productos: x al precio del kg de manzanas; y al precio del kg de peras; z al precio del kg de patatas En tal caso, las siguientes afirmaciones se pueden llegar a expresar algebraicamente del siguiente modo: 2 kg de manzanas y 1 kg de peras cuestan 5 5 2x + y = kg de manzanas y 3 kg. De patatas cuestan 4 4 x + 3z = kg de cada artículo cuestan 8 6 2x + 2y + 2z = 8 6 Por lo tanto, debemos resolver el siguiente sistema: Aplicamos el método de Gauss haciendo ceros: Procedemos a despejar: Concluimos que el kilo de manzanas cuesta 2, el kilo de peras cuesta 1 5 y el kilo de patatas cuesta

10 Ejercicio 6 En la construcción de un puente trabajaron personas en turnos de 8 horas durante 300 días. a) Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas? b) Y si hubieran trabajado 600 personas en turnos de 8 horas? c) Y si fuesen personas trabajando 5 horas diarias? Solución. En el problema se manejan tres magnitudes: Nº de personas, Horas diarias y Tiempo en días. a) Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas? Estudiamos la relación de proporcionalidad que existe entre las magnitudes horas diarias, nº personas con respecto a tiempo en días. El nº personas y el tiempo en días son inversamente proporcionales. Las horas diarias y el tiempo en días son inversamente proporcionales. Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad: Nº de personas Horas diarias Tiempo en días personas 8 horas 300 días personas 10 horas x días En ese caso, invirtiendo las inversamente proporcionales: Concluimos que tardaran 240 días personas trabajando diariamente 10 horas al mismo ritmo. 10

11 b) Y si hubieran trabajado 600 personas en turnos de 8 horas? Las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes se conservan. Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad: Nº de personas Horas diarias Tiempo en días personas 8 horas 300 días 600 personas 8 horas x días Por lo tanto, invirtiendo las inversamente proporcionales: Concluimos que tardaran 500 días 600 personas trabajando diariamente 8 horas al mismo ritmo. c) Y si fuesen personas trabajando 5 horas diarias? Las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes se conservan. Por lo tanto, tendremos el siguiente esquema de proporcionalidad: Nº de personas Horas diarias Tiempo en días personas 8 horas 300 días personas 5 horas x días Por lo tanto, invirtiendo las inversamente proporcionales: Concluimos que tardaran 320 días personas trabajando diariamente 5 horas al mismo ritmo. 11